पहचान प्रमेय

वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण में, गणित की शाखाएँ, विश्लेषणात्मक फलनों के लिए सर्वसमिका प्रमेय दर्शाती हैं: दिए गए फलन f और g विश्लेषणात्मक एक प्रक्षेत्र (गणितीय विश्लेषण) D पर ( $\mathbb {R}$ के विवृत और जुड़े हुए उपसमुच्चय या $\mathbb {C}$), यदि कुछ $S\subseteq D$ पर f = g है,जहां $S$ का संचयन बिंदु है, तो D पर f = g है।

इस प्रकार एक विश्लेषणात्मक फलन पूरी तरह से में एक विवृत प्रतिवेश, या यहां तक ​​​​कि D के एक गणनीय उपसमुच्चय पर इसके मानो द्वारा निर्धारित किया जाता है परंतु इसमें एक अभिसरण अनुक्रम सम्मिलित हो। यह सामान्य रूप से वास्तविक-अवकल फलनों के लिए सही नहीं है, यहां तक कि अनंत रूप से वास्तविक-अवकल फलनों के लिए भी सही नहीं है। इसकी तुलना में, विश्लेषणात्मक फलन बहुत अधिक कठिन धारणा हैं। अनौपचारिक रूप से, कभी-कभी यह कहकर प्रमेय को सारांशित करता है कि विश्लेषणात्मक फलन कठिन हैं जैसा कि कहते हैं, सतत फलन जो अस्पष्ट हैं।

जिस आधारभूत तथ्य से प्रमेय स्थापित किया गया है वह टेलर श्रृंखला में एक पूर्णसममितिक फलन की विस्तार क्षमता है।

प्रक्षेत्र D पर संबद्धता की धारणा आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि D में दो असंयुक्त विकृत समुच्चय होते हैं, और $f$ विकृत समुच्चय पर $0$ और दूसरे पर $1$ हो सकता है, जबकि $g$ पर $0$ और दूसरे पर 2 हो सकता है।

लेम्मा

यदि प्रक्षेत्र $f$ पर दो पूर्णसममितिक फलन $g$ और $c$ एक समुच्चय $D$ पर सहमत होते हैं जिसमें $f=g$ में एक संचय बिंदु $D$ होता है, तो में एक चक्र पर $c$ पर केंद्रित होता है।

इसे प्रमाणित करने के लिए $f^{(n)}(c)=g^{(n)}(c)$ सभी $n\geq 0$ के लिए दिखाना अधिकतम है।

यदि यह स्थिति नहीं है, तो $m$ को $f^{(m)}(c)\neq g^{(m)}(c)$ के साथ सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक मान ले। समरूपता द्वारा, हमारे पास $c$ के कुछ विवृत प्रतिवेश U में निम्नलिखित टेलर श्रृंखला प्रतिनिधित्व है::

${\begin{aligned}(f-g)(z)&{}=(z-c)^{m}\cdot \left[{\frac {(f-g)^{(m)}(c)}{m!}}+{\frac {(z-c)\cdot (f-g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!}}+\cdots \right]\\[6pt]&{}=(z-c)^{m}\cdot h(z).\end{aligned}}$

निरंतरता से $h$ के आसपास कुछ छोटी विवृत चक्र $B$ में $c$ शून्य नहीं है। परन्तु फिर $f-g\neq 0$ विद्ध समुच्चय पर $B-\{c\}$ होता है। यह इस धारणा का खंडन करता है कि $c$ का $\{f=g\}$ संचयन बिन्दु है।

यह लेम्मा दिखाता है कि एक सम्मिश्र संख्या $a\in \mathbb {C}$ के लिए सूत्र (गणित) $f^{-1}(a)$ एक असतत (और इसलिए गणनीय) समुच्चय है, जब तक $f\equiv a$ होता है।

प्रमाण

उस समुच्चय को परिभाषित करें जिस पर $f$ और $g$ समान टेलर विस्तार है:

$$S=\left\{z\in D\mid f^{(k)}(z)=g^{(k)}(z){\text{ for all }}k\geq 0\right\}=\bigcap _{k=0}^{\infty }\left\{z\in D\mid \left(f^{(k)}-g^{(k)}\right)(z)=0\right\}.$$

हम दिखाएंगे कि $S$ गैर-रिक्त, विवृत और संवृत है। फिर $D$ के जुड़ाव से, $S$ को सभी ${\displaystyle }$