कतरनी तनाव

अपरूपण तनाव
सामान्य प्रतीक	τ
Si   इकाई	pascal
अन्य मात्राओं से व्युत्पत्तियां	τ = F/A

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आयत के शीर्ष पर कर्तन बल लगाया जाता है, जबकि तल को स्थान पर रखा जाता है। परिणामी कतरनी तनाव, τ, आयत को समांतर चतुर्भुज में बदल देता है। इसमें सम्मिलित क्षेत्र समांतर चतुर्भुज का शीर्ष होगा।

कतरनी तनाव (अधिकांशतः τ (ग्रीक: ताऊ) द्वारा निरूपित) सामग्री पार अनुभाग के साथ तनाव (भौतिकी) समतलीय का घटक है। यह कतरनी बल से उत्पन्न होता है, सामग्री अनुप्रस्थ काट के समानांतर (ज्यामिति) बल वेक्टर का घटक। दूसरी ओर, 'सामान्य तनाव', बल सदिश घटक से उत्पन्न होता है, जो सामग्री के अनुप्रस्थ काट पर लंबवत होता है, जिस पर यह कार्य करता है।

सामान्य कतरनी तनाव

औसत कतरनी तनाव की गणना करने का सूत्र प्रति इकाई क्षेत्र पर बल है।

$\tau ={F \over A},$

जहाँँ:

τ = कतरनी तनाव;

F = लगाया गया बल;

A = प्रयुक्त बल वेक्टर के समानांतर क्षेत्र के साथ सामग्री का क्रॉस-आंशिक क्षेत्र।

अन्य रूप

दीवार कतरनी तनाव

दीवार कतरनी तनाव दीवार के बगल में बहने वाले द्रव की परतों में दीवार से मंदक बल (प्रति इकाई क्षेत्र) को व्यक्त करता है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\tau _{w}:=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)_{y=0}$

जहाँँ $\mu$ गतिशील श्यानता, $u$ प्रवाह वेग और $y$ दीवार से दूरी है।

इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, धमनी रक्त प्रवाह के विवरण में किया जाता है, जिसमें प्रमाण है कि यह मेदार्बुदजनक प्रक्रिया को प्रभावित करता है।

शुद्ध

शुद्ध अपरूपण प्रतिबल शुद्ध अपरूपण विकृति से संबंधित है, जिसे γ निरूपित किया गया है, निम्नलिखित समीकरण द्वारा:

$\tau =\gamma G\,$

जहाँँ G समदैशिक या पदार्थ विज्ञान सामग्री का अपरूपण मापांक है, जिसके द्वारा दिया गया है

$G={\frac {E}{2(1+\nu )}}.$

यहाँ E यंग का मापांक है और ν प्वासों का अनुपात है।

बीम कतरनी

बीम कतरनी को बीम पर लगाए गए कतरनी बल के कारण बीम के आंतरिक कतरनी तनाव के रूप में परिभाषित किया गया है।

$\tau :={fQ \over Ib},$

जहाँँ

f = विचाराधीन स्थान पर कुल अपरूपण बल;

Q = क्षेत्रफल का प्रथम आघूर्ण या क्षेत्रफल का स्थैतिक आघूर्ण;

b = मोटाई (चौड़ाई) कतरनी के लंबवत सामग्री में;

I = पूरे क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के क्षेत्रफल का दूसरा क्षण।

दिमित्री इवानोविच ज़ुरावस्की के बाद बीम कतरनी सूत्र को ज़ुरावस्की कतरनी तनाव सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, जिसने इसे 1855 में प्राप्त किया था।

अर्ध-मोनोकोक कतरनी

Further information: अपरुपण प्रवाह

अर्ध-मोनोकोक संरचना के अंदर कतरनी तनाव की गणना संरचना के क्रॉस-सेक्शन को स्ट्रिंगर्स (केवल अक्षीय भार ले जाने वाले) और जाले (केवल कतरनी प्रवाह को ले जाने) में आदर्श बनाकर की जा सकती है। अर्ध-मोनोकोक संरचना के दिए गए हिस्से की मोटाई से कतरनी प्रवाह को विभाजित करने से कतरनी तनाव उत्पन्न होता है। इस प्रकार, अधिकतम कतरनी तनाव या तो अधिकतम कतरनी प्रवाह या न्यूनतम मोटाई के वेब में होगा

कतरनी के कारण मिट्टी में निर्माण भी विफल हो सकता है; उदाहरण के लिए, मिट्टी से भरे बांध या डाइक का वजन छोटे से भूस्खलन की तरह, अवभूमि के ढहने का कारण बन सकता है।

प्रभाव कतरनी

प्रभाव के अधीन ठोस गोल पट्टी में निर्मित अधिकतम कतरनी तनाव समीकरण द्वारा दिया गया है:

$\tau ={\sqrt {2UG \over V}},$

जहाँँ

U = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन;

G = कतरनी मापांक;

V = छड़ का आयतन;

और

U = U_rotating + U_applied;

U_rotating = 1/2Iω²;

U_applied = Tθ_displaced;

I = जड़त्व का द्रव्यमान क्षण;

ω = कोणीय गति।

तरल पदार्थ में कतरनी तनाव

See also: श्यानता, कौएट प्रवाह, हेगन-पॉइज़्यूइल समीकरण, गहराई-ढलान उत्पाद, and साधारण कतरनी

ठोस सीमा के साथ चलने वाले किसी भी वास्तविक तरल पदार्थ (तरल पदार्थ और गैस सम्मिलित ) उस सीमा पर कतरनी तनाव उत्पन्न करेंगे। नो-स्लिप स्थिति निर्धारित करता है कि सीमा पर द्रव की गति (सीमा के सापेक्ष) शून्य है; चूँकि सीमा से कुछ ऊँचाई पर प्रवाह की गति द्रव के बराबर होनी चाहिए। इन दो बिंदुओं के बीच के क्षेत्र को सीमा परत जहाँ जाता है। लैमिनार प्रवाह में सभी न्यूटोनियन द्रव पदार्थों के लिए, कतरनी तनाव तरल पदार्थ में तनाव दर के समानुपाती होता है, जहां श्यानता आनुपातिकता का स्थिरांक होता है। गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थों के लिए श्यानता स्थिर नहीं है। वेग के इस हानि के परिणामस्वरूप कतरनी का तनाव सीमा पर लगाया जाता है।

न्यूटोनियन तरल पदार्थ के लिए, बिंदु y पर फ्लैट प्लेट के समानांतर सतह तत्व पर कतरनी तनाव निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\tau (y)=\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}$

जहाँँ

μ प्रवाह की गतिशील श्यानता है;

u सीमा के साथ प्रवाह वेग है;

y सीमा से ऊपर की ऊंचाई है।

विशेष रूप से, दीवार कतरनी तनाव को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\tau _{\mathrm {w} }:=\tau (y=0)=\mu \left.{\frac {\partial u}{\partial y}}\right|_{y=0}~~.$

किसी भी सामान्य ज्यामिति (उपर्युक्त फ्लैट प्लेट सहित) के लिए न्यूटन का संवैधानिक नियम बताता है कि कतरनी टेन्सर ( दूसरे क्रम का टेंसर) प्रवाह वेग ढाल के समानुपाती होता है (वेग वेक्टर है, इसलिए इसका ग्रेडियेंट दूसरा क्रम है) टेन्सर):

${\overset {\leftrightarrow }{\tau }}({\vec {u}})=\mu {\vec {\nabla }}{\vec {u}}$

और आनुपातिकता के स्थिरांक को गतिशील श्यानता कहा जाता है। आइसोट्रोपिक न्यूटोनियन प्रवाह के लिए यह अदिश राशि है, जबकि अनिसोट्रोपिक न्यूटोनियन प्रवाह के लिए यह दूसरे क्रम का टेंसर भी हो सकता है। मौलिक पहलू यह है कि न्यूटोनियन द्रव के लिए गतिशील श्यानता प्रवाह वेग पर स्वतंत्र है (अर्थात, कतरनी तनाव संवैधानिक नियम रैखिक है), जबकि गैर-न्यूटोनियन प्रवाह यह सच नहीं है, और किसी को संशोधन की अनुमति देनी चाहिए:

${\overset {\leftrightarrow }{\tau }}({\vec {u}})=\mu ({\vec {u}}){\vec {\nabla }}{\vec {u}}$

यह अब न्यूटन का नियम नहीं है, किंतु सामान्य तन्यता पहचान है: प्रवाह वेग के कार्य के रूप में कतरनी तनाव की किसी भी अभिव्यक्ति को प्रवाह वेग के कार्य के रूप में सदैव श्यानता की अभिव्यक्ति मिल सकती है। दूसरी ओर, प्रवाह वेग के कार्य के रूप में कतरनी तनाव दिया जाता है, यह न्यूटनियन प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, यदि इसे प्रवाह वेग के ढाल के लिए स्थिर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस स्थितियों में जो स्थिर पाया जाता है वह प्रवाह की गतिशील श्यानता है।

उदाहरण

कार्तीय निर्देशांक (x, y) में 2D स्थान को ध्यान में रखते हुए (प्रवाह वेग घटक क्रमशः (u, v) हैं), फिर कतरनी तनाव आव्युह द्वारा दिया गया:

${\begin{pmatrix}\tau _{xx}&\tau _{xy}\\\tau _{yx}&\tau _{yy}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x{\frac {\partial u}{\partial x}}&0\\0&-t{\frac {\partial v}{\partial y}}\end{pmatrix}}$

न्यूटोनियन प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है, वास्तव में इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$(\begin{array}{cc}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xx}& {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{xy}\\ {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_{yx}& {\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_y\end{array}$