बहुरेखीय रूप

अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप $V$ क्षेत्र पर (गणित) $K$ मानचित्र (गणित) है

$f\colon V^{k}\to K$

जो अपने प्रत्येक $k$ तर्कों में अलग से $K$-रैखिक है। अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।

$\mathbb {R}$ पर $V$ पर एक बहुरेखीय $k$-रूप को (सहसंयोजक) ${\boldsymbol {k}}$-टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर निरूपित किया जाता है ${\mathcal {T}}^{k}(V)$ या ${\mathcal {L}}^{k}(V)$.

टेंसर उत्पाद

दिए गए $k$-टेंसर $f\in {\mathcal {T}}^{k}(V)$ और एक $\ell$-टेंसर $g\in {\mathcal {T}}^{\ell }(V)$, एक उत्पाद $f\otimes g\in {\mathcal {T}}^{k+\ell }(V)$, टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$(f\otimes g)(v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell })=f(v_{1},\ldots ,v_{k})g(v_{k+1},\ldots ,v_{k+\ell }),$

सभी $v_{1},\ldots ,v_{k+\ell }\in V$ के लिए। बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है:

$f\otimes (ag_{1}+bg_{2})=a(f\otimes g_{1})+b(f\otimes g_{2})$, $(af_{1}+bf_{2})\otimes g=a(f_{1}\otimes g)+b(f_{2}\otimes g),$

और

$(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h).$

यदि $(v_{1},\ldots ,v_{n})$ एक $n$-आयामी सदिश स्थान $V$ के लिए एक आधार बनाता है और $(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{n})$ दोहरे स्थान $V^{*}={\mathcal {T}}^{1}(V)$,के लिए संगत दोहरा आधार है, तो $1\leq i_{1},\ldots ,i_{k}\leq n$ के साथ उत्पाद $\phi ^{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \phi ^{i_{k}}$ के लिए एक आधार बनाते हैं। परिणामस्वरूप, ${\mathcal{T}}^k$