सजातीय समूह

गणित में, एक क्षेत्र (गणित) पर किसी भी संबधित स्थान का सजातीय समूह या सामान्य सजातीय समूह K आधार से अपने आप में सभी उल्टे संबंध परिवर्तनों का समूह (गणित) है।

यह एक लाइ समूह है यदि K वास्तविक या जटिल क्षेत्र या चतुष्कोण है।

सामान्य रैखिक समूह से संबंध

सामान्य रेखीय समूह से निर्माण

ठोस रूप से, एक सदिश स्थान V दिया गया है, इसमें एक अंतर्निहित संबंध स्थान A है, जो मूल को "भूल" कर प्राप्त किया गया है, जिसमें V अनुवाद द्वारा अभिनय करता है, और A के सजातीय समूह को GL(V) द्वारा V के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में ठोस रूप से वर्णित किया जा सकता है। V के सामान्य रैखिक समूह:

$\operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)$

V पर GL(V) की क्रिया प्राकृतिक है (रैखिक परिवर्तन स्वसमाकृतिकता हैं), इसलिए यह एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद को परिभाषित करता है।

आव्यूह के संदर्भ में, कोई लिखता है:

$\operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)$

जहां Kⁿ पर GL(n, K) की प्राकृतिक क्रिया सदिश का आव्यूह गुणन है।

एक बिंदु का स्थिरक

एक सजातीय स्थल A के सजातीय समूह को देखते हुए,एक बिंदु p का स्थिरक समान आयाम के सामान्य रैखिक समूह के लिए समरूपी है इसलिए Aff(2, R) में एक बिंदु का स्थिरक GL(2, R) के लिए समरूपी है। औपचारिक रूप से, यह सदिश स्थान (A, p) का सामान्य रैखिक समूह है : याद रखें कि यदि कोई एक बिंदु को ठीक करता है, तो एक सजातीय स्थान एक सदिश स्थान बन जाता है।

ये सभी उपसमूह संयुग्मी हैं, जहाँ से p को q अनुवाद द्वारा संयुग्मन दिया जाता है (जो विशिष्ट रूप से परिभाषित है), हालांकि, कोई विशेष उपसमूह एक प्राकृतिक विकल्प नहीं है, क्योंकि कोई बिंदु विशेष नहीं है - यह अनुप्रस्थ उपसमूह के कई विकल्पों से मेल खाता है, या निम्नलिखित लघु सटीक अनुक्रम का विभाजन से मेल खाता है

$1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,$

इस स्तिथि में कि सजातीय समूह का निर्माण एक सदिश स्थान से प्रारम्भ करके किया गया था, वह उपसमूह जो उद्य (सदिश स्थान का) को स्थिर करता है, GL(V) मूल है।

आव्यूह प्रतिनिधित्व

GL(V) द्वारा V के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में सजातीय समूह का प्रतिनिधित्व किया जाता है, फिर अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद और समूह समरूपता, तत्व (v, M) जोड़े जाते हैं, जहाँ v में एक सदिश है V और M में एक रैखिक परिवर्तन GL(V) है, और गुणन द्वारा निम्न दिया जाता है

$(v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.$

इसे (n + 1) × (n + 1) विभाग आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है

$\left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)$

जहाँ M, K पर एक n × n आव्यूह है, v एक n × 1 स्तंभ सदिश है, 0 शून्य की 1 × n पंक्ति है, और 1 1 × 1 सर्वसमिका विभाग आव्यूह है।

औपचारिक रूप से, Aff(V) के एक उपसमूह GL(V ⊕ K) के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपी है, V के साथ सजातीय तल के रूप में {(v, 1) | v ∈ V} सन्निहित है, अर्थात् इस सजातीय तल का स्थिरक; उपरोक्त आव्यूह निरूपण इस (स्थानांतरण) की प्राप्ति है, इसके साथ n × n और 1 × 1) प्रत्यक्ष योग अपघटन के अनुरूप विभाग V ⊕ K है।

एक आव्यूह समानता प्रतिनिधित्व कोई भी (n + 1) × (n + 1) आव्यूह है जिसमें प्रत्येक पंक्ति में प्रविष्टियों का योग 1 होता है। उपरोक्त प्रकार से इस तरह से गुजरने के लिए समानता P (n + 1) × (n + 1) तत्समक आव्यूह है जिसमें नीचे की पंक्ति को सभी की एक पंक्ति से बदल दिया गया है।

आव्यूह के इन दो वर्गों में से प्रत्येक आव्यूह गुणन के अंतर्गत बंद है।

सबसे सरल प्रतिमान अच्छी तरह से स्तिथि n = 1 हो सकती है, यानी ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 आव्यूह एक आयाम में सजातीय समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह एक दो-मापदण्ड गैर-एबेलियन लाइ समूह है, इसलिए केवल दो जनित्र (लाई बीजगणित तत्व) के साथ, A और B, इस प्रकार हैं कि [A, B] = B, जहाँ

$A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,$

ताकि

$e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.$

Aff(F_p) की स्वरूप तालिका

Aff(Fp) का क्रम p(p − 1 है। तब से

${\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,$

हम जानते हैं Aff(F_p) संयुग्मन वर्ग p है, अर्थात्

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatr$