रम्ब रेखा

Not to be confused with रूम्ब संजाल.

For चित्र संग्रह, see रूम्ब रेखा. For पट्ट खेल, see रूम्ब लाइन (पट्ट खेल).

File:Loxodrome.png

लॉक्सोड्रोम, या रम्ब रेखा की छवि, जो उत्तरी ध्रुव की ओर बढ़ती है

मार्गदर्शन में, एक रूम्ब रेखा, रूम्ब (/rʌm/), या लॉक्सोड्रोम एक चाप (ज्यामिति) है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी मेरिडियन (भूगोल) को पार करता है, अर्थात, वास्तविक उत्तर के सापेक्ष मापा गया निरंतर दिक्कोण (नेविगेशन) वाला पथ।

परिचय

एक ग्लोब की सतह पर एक रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर प्रथम बार 1537 में पुर्तगाली लोग गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्री लेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

एक रूम्ब रेखा की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो एक गोले की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का मार्ग है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। अगर किसी को एक बृहत् वृत के साथ एक कार चलाना होता है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु एक रूम्ब रेखा का पालन करने के लिए चक्र को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे ध्रुव पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य जियोडेसिक वक्रता के साथ स्थानीय रूप से सीधा होता है, जबकि एक रूम्ब रेखा में गैर-शून्य जियोडेसिक वक्रता होती है।

देशांतर के मेरिडियन और अक्षांश के समानांतर रूम्ब रेखा के विशेष मामले प्रदान करते हैं, जहां उनके चौराहे के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। एक उत्तर-दक्षिण मार्ग पर रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम एक महान वृत्त के साथ मेल खाता है, जैसा कि यह भूमध्य रेखा के साथ पूर्व-पश्चिम मार्ग पर होता है।

मर्केटर प्रोजेक्शन मैप पर, कोई भी रूम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस तरह के नक्शे पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना नक्शे के किनारे से हटे एक रूम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एक लॉक्सोड्रोम नक्शे के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी ढलान के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि नक्शा बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को कवर करता है)।

तिरछी कोणों पर मध्याह्न रेखाओं को काटने वाली रूंब लाइनें लॉक्सोड्रोमिक वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर सर्पिल होती हैं।मर्केटर प्रोजेक्शन पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी नहीं दिखाया जाता है। हालांकि असीमित उच्च मानचित्र पर पूर्ण लॉक्सोड्रोम में दो किनारों के मध्य असीम रूप से कई रेखा खंड शामिल होंगे। स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन मैप पर, एक लॉक्सोड्रोम एक समकोणीय सर्पिल है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी लॉक्सोड्रोम एक भौगोलिक ध्रुव से दूसरे तक सर्पिल होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लॉगरिदमिक सर्पिल होने के करीब हैं (जो कि वे एक त्रिविम प्रक्षेपण पर हैं, नीचे देखें), इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एक लॉक्सोड्रोम की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) मेरिडियन (भूगोल) की लंबाई है जो वास्तविक उत्तर से दूर दिक्कोण के कोज्या से विभाजित होती है। लॉक्सोड्रोम को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

<गैलरी कैप्शन = पोल-टू-पोल लॉक्सोड्रोम चौड़ाई के तीन दृश्य = 250 पीएक्स ऊंचाई = 250 पीएक्स पेरो = 3 > File:Loxodrome-1.gif File:Loxodrome-2.gif File:Loxodrome-3.gif</गैलरी>

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण

लॉक्सोड्रोम शब्द प्राचीन ग्रीक भाषा λοξός loxos से आया है: तिरछा + δρόμος ड्रमोस: चल रहा है (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए)। रूंब शब्द स्पेनिश भाषा या पुर्तगाली भाषा रूंबो/रुमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और ग्रीक समचतुर्भुज | ῥόμβος rhómbos, से आया है। रेम्बिन से।

द ग्लोब एनसाइक्लोपीडिया ऑफ यूनिवर्सल इंफॉर्मेशन के 1878 संस्करण में लॉक्सोड्रोम रेखा का वर्णन इस प्रकार है:

लोक्सोड्रोमिक रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक सदस्य को एक ही कोण पर काटती है। कम्पास के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला जहाज एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रोजेक्शन (q.v.) में लॉक्सोड्रोमिक रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।</ब्लॉककोट>

एक गलतफहमी उत्पन्न हो सकती है क्योंकि जब यह शब्द प्रयोग में आया तो इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह इन्द्रोंसे रेखा के लिए समान रूप से अच्छी तरह से लागू होता है क्योंकि यह लॉक्सोड्रोम के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से लागू होता है और इसका मतलब केवल वही होता है जो एक नाविक ने निरंतर दिक्कोण (नेविगेशन) के साथ पालने के लिए किया था, जो कि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, जब पोर्टोलन उपयोग में थे, तो रूम्ब पोर्टोलन्स पर सीधी रेखाओं पर लागू होता था, साथ ही मर्केटर चार्ट पर हमेशा सीधी रेखाओं के लिए भी लागू होता था। छोटी दूरी के लिए पोर्टोलन रूम्ब्स मर्केटर रूम्ब्स से सार्थक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, परन्तु इन दिनों रूम्ब गणितीय रूप से सटीक लॉक्सोड्रोम का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से पर्यायवाची बना दिया गया है।

जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं: शब्द ('रंबलाइन') इस अवधि के समुद्र-चार्ट पर गलत तरीके से लागू किया गया है, क्योंकि एक लॉक्सोड्रोम एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब चार्ट एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। कार्टोमेट्रिक जांच से पता चला है कि शुरुआती चार्ट में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पोर्टोलन' नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण

त्रिज्या 1 के गोले के लिए, अज़ीमुथल कोण λ, ध्रुवीय कोण −π/2 ≤ φ ≤ π/2 (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित), और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली # मानक आधार में एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करना i, j, और k का उपयोग त्रिज्या वेक्टर लिखने के लिए किया जा सकता है r जैसा

$\mathbf {r} (\lambda ,\varphi )=(\cos {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {i} +(\sin {\lambda }\cdot \cos {\varphi })\mathbf {j} +(\sin {\varphi })\mathbf {k} \,.$

ओर्थोगोनैलिटी#यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान दिगंशीय और गोले के ध्रुवीय दिशाओं में लिखा जा सकता है

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {\lambda }}}(\lambda ,\varphi )&=\sec {\varphi }{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \lambda }}=(-\sin {\lambda })\mathbf {i} +(\cos {\lambda })\mathbf {j} \,,\\[8pt]{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}(\lambda ,\varphi )&={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}=(-\cos {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {i} +(-\sin {\lambda }\cdot \sin {\varphi })\mathbf {j} +(\cos {\varphi })\mathbf {k} \,,\end{aligned}}$

जिसकी डॉट उत्पाद#ज्यामितीय परिभाषा है

${\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}={\boldsymbol {\hat {\lambda }}}\cdot \mathbf {r} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\cdot \mathbf {r} =0\,.$

λ̂ निरंतर के लिए φ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि φ̂ निरंतर के लिए λ देशांतर के एक याम्योत्तर का पता लगाता है, और साथ में वे गोले के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।

यूनिट वेक्टर

$\mathbf {\boldsymbol {\hat {\beta }}} (\lambda ,\varphi )=(\sin {\beta }){\boldsymbol {\hat {\lambda }}}+(\cos {\beta }){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$

एक स्थिर कोण है β इकाई वेक्टर के साथ φ̂ किसी के लिए λ और φ, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है

${\boldsymbol {\hat {\beta }}}\cdot {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=\cos {\beta }\,.$

एक लॉक्सोड्रोम को गोले पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक स्थिर कोण होता है β देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ, और इसलिए इकाई वेक्टर के समानांतर होना चाहिए β̂. नतीजतन, एक अंतर लंबाई ds लॉक्सोड्रोम के साथ एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा

$\operatorname {gd}$