संतुलन पहिया

File:Floating Balance Escapement.gif

Balance wheel in mantel clock. The spiral balance spring is visible at top.

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Balance wheel in a 1950s alarm clock, the Apollo, by Lux Mfg. Co. showing the balance spring (1) and regulator (2)

File:Chinese movement escapement and jewels.jpg

Modern balance wheel in a watch movement

संतुलन चक्र, या संतुलन, यांत्रिक घड़ियाँ और छोटी घड़ियों में इस्तेमाल होने वाला समयनिर्धारक उपकरण है, जो लोलक घड़ी में लोलक के अनुरूप है। यह एक भारित पहिया है जो आगे और पीछे घूमता है, यह सर्पिल मरोड़ वसंत द्वारा अपने केंद्र की स्थिति की ओर लौटाया जाता है, जिसे संतुलन वसंत या बालकमानी के रूप में जाना जाता है। यह पलायन द्वारा संचालित है, जो घड़ी गियर ट्रेन की घूर्णन गति को संतुलन पहिये को दिए गए आवेगों में बदल देता है। पहिया के प्रत्येक लोलक (जिसे टिक या बीट कहा जाता है) गियर ट्रेन को एक सेट राशि को आगे बढ़ाने की अनुमति देता है, हाथों को आगे बढ़ाता है। संतुलन पहिया और बालकमानी , हार्मोनिक ऑसिलेटर बनाते हैं, जो अनुनाद के कारण एक निश्चित दर पर अधिमानतः दोलन करता है, इसकी गुंजयमान आवृत्ति या बीट, और अन्य दरों पर दोलन का विरोध करता है। संतुलन पहिया के द्रव्यमान और वसंत की लोच का संयोजन प्रत्येक दोलन के बीच का समय रखता है या बहुत स्थिर टिक करता है, इसके लगभग सार्वभौमिक उपयोग के लिए लेखांकन के रूप में यांत्रिक घड़ियों में वर्तमान में समयपाल का उपयोग होता है। 14 वीं शताब्दी में अपने आविष्कार से जब तक कि स्वरित्र और स्फटिक आंदोलनों 1960 के दशक में उपलब्ध नहीं हो गए, तो लगभग हर सुवाहय समयनिर्धारक उपकरण ने संतुलन पहिया के कुछ रूप का उपयोग किया।

अवलोकन

1980 के दशक के संतुलन पहिया कालमापक, बैंक की तिजोरी समय के ताले, युद्ध सामग्री के लिए समय फ़्यूज़, अलार्म घड़ियों, किचन टाइमर और विराम घड़ी में इस्तेमाल होने वाली समयनिर्धारक तकनीक थे, लेकिन क्वार्ट्ज तकनीक ने इन अनुप्रयोगों को संभाल लिया है, और मुख्य शेष उपयोग गुणवत्ता यांत्रिक घड़ियों में है।।

आधुनिक (2007) घड़ी संतुलन पहिया आमतौर पर ग्लूसीडुर से बने होते हैं, बेरिलियम, कॉपर और आयरन का एक कम थर्मल विस्तार मिश्र धातु, जिसमें निवरॉक्स जैसे लोच मिश्र धातु के कम थर्मल गुणांक के वसंत होते हैं। दो मिश्र धातुओं का मिलान किया जाता है, इसलिए उनके अवशिष्ट तापमान प्रतिक्रियाएं रद्द कर देती हैं, जिसके परिणामस्वरूप तापमान में कम त्रुटि होती है। वायु घर्षण को कम करने के लिए पहियों को चिकना किया जाता है, और इन्ही को सटीक गहना बीयरिंग पर समर्थित किया जाता है। पुराने संतुलन पहिया ने कविता (संतुलन) को समायोजित करने के लिए रिम के चारों ओर वजन शिकंजा का उपयोग किया, लेकिन आधुनिक पहियों को कारखाने में कंप्यूटर पर खड़ा किया जाता है, लेजर का उपयोग करके रिम में सटीक गड्ढे को जलाने के लिए उन्हें संतुलित बनाने के लिए। संतुलन पहिया प्रत्येक वसंत के साथ लगभग 1½ मुड़ते हैं, अर्थात्, उनके केंद्र संतुलन की स्थिति के प्रत्येक पक्ष में लगभग 270 °। संतुलन पहिया की दर को नियामक के साथ समायोजित किया जाता है, अंत में एक संकीर्ण स्लिट के साथ एक लीवर जिसके माध्यम से संतुलन वसंत गुजरता है। यह स्लिट स्टेशनरी के पीछे वसंत का हिस्सा रखता है। लीवर को स्थानांतरित करने से संतुलन वसंत को ऊपर और नीचे स्लाइड किया जाता है, इसकी प्रभावी लंबाई को बदलते हुए, और इस प्रकार संतुलन की गुंजयमान कंपन दर से गुजरता है। चूंकि नियामक वसंत की कार्रवाई में हस्तक्षेप करता है, इसलिए कालमापक और कुछ सटीक घड़ियों में 'फ्री वसंत' संतुलन होता है, जिसमें कोई नियामक नहीं होता है, जैसे कि गायरोमैक्स।उनकी दर को संतुलन रिम पर वजन शिकंजा द्वारा समायोजित किया जाता है।

एक संतुलन की कंपन दर पारंपरिक रूप से प्रति घंटे बीट्स (टिक), या बीपीएच में मापा जाता है, हालांकि प्रति सेकंड और हर्ट्ज का उपयोग भी किया जाता है। बीट की लंबाई दिशा के उलटफेर के बीच संतुलन पहिया का एक स्विंग है, इसलिए एक पूर्ण चक्र में दो बीट हैं। सटीक घड़ियों में शेष राशि को तेजी से धड़कन के साथ डिज़ाइन किया गया है, क्योंकि वे कलाई के गतियों से कम प्रभावित होते हैं। अलार्म घड़ियों और रसोई के टाइमर में अक्सर प्रति सेकंड 4 बीट (14,400 बीपीएच) की दर होती है। 1970 के दशक से पहले की घड़ियों में आमतौर पर प्रति सेकंड 5 बीट (18,000 बीपीएच) की दर थी। वर्तमान घड़ियों में 6 (21,600 बीपीएच), 8 (28,800 बीपीएच) की दरें हैं और कुछ में 10 बीट प्रति सेकंड (36,000 बीपीएच) हैं।ऑडेमर्स पिगुइट वर्तमान में 12 बीट्स/एस (43,200 बीपीएच) की बहुत अधिक संतुलन कंपन दर के साथ एक घड़ी का उत्पादन करता है। (डब्लयू.डब्लयू.आई.आई) के दौरान, एल्गिन ने एक बहुत ही सटीक स्टॉपवॉच का उत्पादन किया जो प्रति सेकंड (144,000 बीपीएच) 40 बीट्स पर चला, इसे 'जिटरबग' उपनाम दिया। कलाई पर सबसे अच्छा संतुलन पहिया घड़ियों की सटीकता प्रति दिन कुछ सेकंड के आसपास है। सबसे सटीक संतुलन पहिया टाइमपीस मरीन समयमापक थे, जो कि देशांतरण के लिए जहाजों पर उपयोग किए गए थे, जो देशांतर को निर्धारित करने के लिए एक सटीक समय स्रोत के रूप में थे। (डब्लयू.डब्लयू.आई.आई) द्वारा उन्होंने प्रति दिन 0.1 सेकंड की सटीकता हासिल की थी।

दोलन की अवधि

सेकंड में एक बैलेंस व्हील की दोलन की अवधि, एक पूर्ण चक्र (दो बीट्स) के लिए आवश्यक समय, किलोग्राम-मीटर 2 में पहिया के जड़त्व के क्षण और न्यूटन में इसके संतुलन वसंत κ की कठोरता (वसंत स्थिरांक) द्वारा निर्धारित किया जाता है- रेडियन प्रति मीटर:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{\kappa }}}\,$

File:Verge and foliot from De Vick's clock.svg

डी विक घड़ी से फोलियट (वजन के साथ क्षैतिज बार), 1379, पेरिस निर्मित

इतिहास

बैलेंस व्हील 14 वीं शताब्दी के यूरोप में पहली यांत्रिक घड़ियों के साथ दिखाई दिया, लेकिन यह वास्तव में अज्ञात लगता है कि यह कब या कहां पहली बार उपयोग किया गया था। यह पत्ते, का एक बेहतर संस्करण है, एक प्रारंभिक जड़त्वीय टाइमकीपर जिसमें केंद्र में एक सीधी पट्टी होती है, जो छोरों पर वजन के साथ होती है, जो आगे और पीछे दोलन करती है। घड़ी की दर को समायोजित करने के लिए पर्ण वजन को बार में या बाहर खिसकाया जा सकता है। उत्तरी यूरोप में पहली घड़ियों ने पत्ते का इस्तेमाल किया, जबकि दक्षिणी यूरोप में उन लोगों ने संतुलन पहियों का इस्तेमाल किया। चूंकि घड़ियों को छोटी बनाई गई थी, पहले ब्रैकेट घड़ियों और लालटेन घड़ियों के रूप में और फिर 1500 के बाद पहली बड़ी घड़ियों के रूप में, संतुलन पहिया का उपयोग पत्ते के स्थान पर किया जाना शुरू हुआ। चूंकि इसका अधिक वजन अक्ष से दूर रिम पर स्थित है, इसलिए संतुलन पहिया एक ही आकार के फोलियट की तुलना में जड़ता का बड़ा क्षण हो सकता है, और बेहतर समय रखता है। पहिया के आकार में भी कम वायु प्रतिरोध था, और इसकी ज्यामिति आंशिक रूप से तापमान परिवर्तन के कारण थर्मल विस्तार त्रुटि के लिए मुआवजा दी गई थी।

संतुलन वसंत के अलावा

File:Balance Wheel in Early Watch Berthoud.png

18 वीं शताब्दी के फ्रेंच वॉच में वसंत के साथ शुरुआती बैलेंस व्हील

ये शुरुआती संतुलन पहिये कच्चे समयपाल थे क्योंकि उनके पास अन्य आवश्यक तत्व की कमी थी। संतुलन स्प्रिंग प्रारंभिक संतुलन पहियों को एक दिशा में भागने के द्वारा दिशा में धकेल दिया गया था जब तक कि कगार झंडा जो कि भागने वाले पहिया पर एक दांत के संपर्क में था, दांत की नोक पर फिसल गया (बच गया) और भागने की कार्रवाई उलट हो गई, जिससे पहिया को पीछे धकेल दिया मार्ग। इस तरह के एक जड़त्वीय पहिया में, त्वरण ड्राइव बल के लिए आनुपातिक है। एक घड़ी में या बिना संतुलन के वसंत के बिना, ड्राइव बल दोनों बल प्रदान करता है जो पहिया को तेज करता है और बल भी जो इसे धीमा कर देता है और इसे उलट देता है। यदि ड्राइव बल में वृद्धि होती है, तो त्वरण और मंदी दोनों में वृद्धि होती है, इसके परिणामस्वरूप पहिया तेजी से आगे और पीछे धकेल दिया जाता है। इसने समयनिर्धारक को पलायन द्वारा लागू बल पर दृढ़ता से निर्भर बना दिया। घड़ी में, मेन्सप्रिंग द्वारा प्रदान की गई ड्राइव बल, घड़ी की गियर ट्रेन के माध्यम से भागने के लिए लागू किया गया, वॉच के रनिंग अवधि के दौरान मुख्यवसंत अनचाहे के रूप में गिरावट आई। ड्राइव फोर्स को बराबरी करने के कुछ साधनों के बिना, घुमावदार के बीच चलने की अवधि के दौरान घड़ी धीमी गति से खो गई, जिससे यह समय खो गया। यही कारण है कि सभी प्री-संतुलन वसंत घड़ियों को फ्यूज (या कुछ मामलों में स्टैकफ्रीड्स में) की आवश्यकता होती है, जो कि भागने से बचने के लिए बल को बराबरी करने के लिए, यहां तक ​​कि न्यूनतम सटीकता प्राप्त करने के लिए। इन उपकरणों के साथ भी, संतुलन वसंत से पहले घड़ियां बहुत गलत थीं।

संतुलन वसंत का विचार उन टिप्पणियों से प्रेरित था जो वसंत (हॉग ब्रिसल कर्ब्स), पहिया के क्रमावर्तन को सीमित करने के लिए जोड़ा गया, इसकी सटीकता बढ़ गई। रॉबर्ट हुक ने पहली बार 1658 में संतुलन के लिए एक धातु वसंत लागू किया और (जीन डी हाउटेफ्यूइल) और (क्रिस्टियान ह्यूजेंस) ने 1674 में अपने वर्तमान सर्पिल रूप में सुधार किया। वसंत के अलावा ने संतुलन पहिया को एक लयबद्ध दोलक बना दिया, जो हर आधुनिक घड़ी का आधार था। इसका मतलब है कि पहिया एक प्राकृतिक गुंजयमान आवृत्ति या 'बीट' पर कंपन करता है और घर्षण या बदलते ड्राइव बल के कारण इसकी कंपन दर में परिवर्तन का विरोध करता है। इस महत्वपूर्ण नवाचार ने प्रति दिन कई घंटों से घड़ियों की सटीकता को बहुत बढ़ा दिया शायद प्रति दिन 10 मिनट, उन्हें महंगी सस्ता माल से उपयोगी समयपाल में बदल दिया।

तापमान त्रुटि

शेष वसंत को जोड़ा जाने के बाद, अशुद्धि का एक प्रमुख शेष स्रोत तापमान में बदलाव का प्रभाव था। शुरुआती घड़ियों में सादे स्टील और पीतल या स्टील के संतुलन से बने संतुलन वसंत थे, और इन पर तापमान के प्रभाव ने दर को प्रभावित किया।

तापमान में वृद्धि से संतुलन वसंत के आयाम और थर्मल विस्तार के कारण संतुलन बढ़ता है। वसंत की ताकत, एक विक्षेपण के जवाब में यह बहाल करने वाला बल, इसकी चौड़ाई और इसकी मोटाई के घन के लिए आनुपातिक है, और इसकी लंबाई के विपरीत आनुपातिक है। तापमान में वृद्धि वास्तव में वसंत को मजबूत बनाती है यदि यह केवल इसके भौतिक आयामों को प्रभावित करता है। हालांकि, सादे स्टील से बने संतुलन वसंत में बहुत बड़ा प्रभाव यह है कि तापमान बढ़ने पर वसंत की धातु की लोच काफी कम हो जाती है, शुद्ध प्रभाव यह है कि सादा स्टील स्प्रिंग बढ़ते तापमान के साथ कमजोर हो जाता है। तापमान में वृद्धि भी स्टील या पीतल संतुलन पहिया का व्यास बढ़ाती है, इसकी घूर्णी जड़ता को बढ़ाता है, इसकी जड़ता का क्षण, संतुलन वसंत के लिए तेज करने के लिए कठिन हो जाता है। वसंत के भौतिक आयामों और संतुलन पर बढ़ते तापमान के दो प्रभाव, संतुलन वसंत को मजबूत करने और संतुलन की घूर्णी जड़ता में वृद्धि, विरोधी प्रभाव और एक हद तक एक दूसरे को रद्द कर देते हैं। तापमान का प्रमुख प्रभाव जो घड़ी की दर को प्रभावित करता है, वह बढ़ते तापमान के साथ संतुलन वसंत का कमजोर होना है।

ऐसी घड़ी में जिसे तापमान के प्रभावों के लिए मुआवजा नहीं दिया जाता है, कमजोर वसंत को केंद्र की ओर वापस संतुलन पहिया को वापस करने में अधिक समय लगता है, इसलिए ’बीट’ धीमा हो जाता है और घड़ी समय खो देती है। (फर्डिनेंड बर्थौड) ने 1773 में पाया कि एक साधारण पीतल का संतुलन और स्टील हेयरस्प्रिंग, 60° F (33° C) तापमान में वृद्धि के अधीन, 393 सेकंड खो देता है (6+1⁄2 मिनट) प्रति दिन, जिनमें से 312 सेकंड वसंत लोच में कमी के कारण है।

तापमान-मुआवजा संतुलन पहियों

समुद्री यात्राओं के दौरान खगोलीय दिशाज्ञान के लिए सटीक घड़ी की आवश्यकता ने 18 वीं शताब्दी के ब्रिटेन और फ्रांस में संतुलन टेक्नोलॉजी में कई प्रगति की। यहां तक कि समुद्री ठीक घड़ी में प्रति दिन 1 सेकंड की त्रुटि 2 महीने की यात्रा के बाद जहाज की स्थिति में 17 मील की त्रुटि के परिणामस्वरूप हो सकती है। जॉन हैरिसन को पहली बार 1753 में एक संतुलन पहिये पर तापमान मुआवजे को लागू करने के लिए, वसंत पर एक द्विध्रुवीय 'मुआवजा अंकुश' का उपयोग करते हुए, पहले सफल समुद्री ठीक घड़ी, एच 4 और एच 5 में। इन्हें प्रति दिन एक दूसरे के अंश की सटीकता हासिल की, लेकिन इसकी जटिलता के कारण मुआवजे के अंकुश का उपयोग आगे नहीं किया गया था।

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1900 के दशक के शुरुआती पॉकेट वॉच से द्विध्रुवीय तापमान-मुआवजा बैलेंस व्हील।17 & nbsp; मिमी दीया।(1) हथियारों के छोरों के करीब वजन के विरोधी जोड़े को आगे बढ़ाने से तापमान मुआवजा बढ़ जाता है।(2) प्रवक्ता के पास वजन के जोड़े को अनसुना करने से दोलन दर धीमी हो जाती है।एक एकल वजन को समायोजित करने से कविता, या संतुलन बदल जाता है।

पियरे ले रॉय द्वारा 1765 के आसपास एक सरल समाधान तैयार किया गया था, और जॉन अर्नोल्ड, और थॉमस इर्नशॉ द्वारा सुधार किया गया था द इयरशॉव या संतुलन पहिये की भरपाई। कुंजी तापमान के साथ संतुलन पहिये चेंज आकार बनाने के लिए थी। यदि संतुलन को व्यास में सिकुड़ने के लिए बनाया जा सकता है क्योंकि यह गर्म हो गया है, तो जड़ता का छोटा क्षण संतुलन वसंत के कमजोर होने की भरपाई करेगा, जो दोलन की अवधि को समान बनाए रखता है।

इसे पूरा करने के लिए, संतुलन का बाहरी रिम दो धातुओं के 'सैंडविच' से बना था; अंदर की तरफ स्टील की परत बाहर की तरफ पीतल की परत से जुड़ी होती है। इस द्विध्रुवीय निर्माण के स्ट्रिप्स स्टील की ओर की ओर झुकते हैं जब वे गर्म होते हैं, क्योंकि पीतल का थर्मल विस्तार स्टील से अधिक होता है। रिम को पहिया के प्रवक्ता के बगल में दो अंकों पर खुला काट दिया गया था, इसलिए यह दो परिपत्र द्विध्रुवीय 'आर्म्स' के साथ एस-आकार (चित्र देखें) जैसा दिखता था। इन पहियों को कभी-कभी जेड़-संतुलन के रूप में संदर्भित किया जाता है। तापमान में वृद्धि भुजाओं को पहिया के केंद्र की ओर अंदर की ओर झुकती है, और द्रव्यमान के अंदर की ओर की पारी संतुलन की जड़ता के क्षण को कम करती है, जिस तरह से कताई आइस स्केटर उसकी बाहों में खींचकर जड़ता के क्षण को कम कर सकता है। जड़ता के क्षण में इस कमी ने कमजोर संतुलन वसंत द्वारा उत्पादित कम टोक़ के लिए मुआवजा दिया। मुआवजे की मात्रा को हथियारों पर जंगम भार द्वारा समायोजित किया जाता है। इस प्रकार के संतुलन वाले समुद्री ठीक घड़ी में एक विस्तृत तापमान सीमा पर प्रति दिन केवल 3-4 सेकंड की त्रुटियां थीं। 1870 के दशक तक मुआवजे की शेष राशि को घड़ियों में इस्तेमाल किया जाना शुरू हो गया।

मध्य तापमान त्रुटि

मध्य तापमान त्रुटि को कम करने के लिए विभिन्न 'सहायक मुआवजा' प्रणालियों के साथ, 1800 के दशक के मध्य से समुद्री क्रोनोमीटर बैलेंस व्हील्स

मानक अर्नशा मुआवजा संतुलन तापमान भिन्नता के कारण नाटकीय रूप से कम त्रुटि को कम कर दिया, लेकिन इसने इसे समाप्त नहीं किया। जैसा कि पहले (जे.जी उलरिच) द्वारा वर्णित किया गया है, मुआवजा दिया गया संतुलन जो किसी दिए गए कम और उच्च तापमान पर सही समय रखने के लिए समायोजित किया गया था, मध्यवर्ती तापमान पर प्रति दिन कुछ सेकंड में कुछ सेकंड होगा। कारण यह है कि संतुलन की जड़ता का क्षण मुआवजे के हथियारों के त्रिज्या के वर्ग के रूप में भिन्न होता है, और इस प्रकार तापमान के रूप में। लेकिन वसंत की लोच तापमान के साथ रैखिक रूप से भिन्न होती है।

इस समस्या को कम करने के लिए, ठीक घड़ी निर्माताओं ने विभिन्न 'सहायक मुआवजा' योजनाओं को अपनाया, जिससे प्रति दिन 1 सेकंड से नीचे त्रुटि कम हो गई। इस तरह की योजनाओं में संतुलन पहिये के अंदर से जुड़े छोटे द्विध्रुवीय हथियारों के उदाहरण के लिए शामिल थे। इस तरह के संपीड़क केवल एक दिशा में संतुलन पहिये के केंद्र की ओर झुक सकते हैं, लेकिन बाहर की ओर झुकने को पहिया द्वारा ही अवरुद्ध कर दिया जाएगा।अवरुद्ध आंदोलन गैर-रैखिक तापमान प्रतिक्रिया का कारण बनता है जो वसंत में लोच में थोड़ा बेहतर क्षतिपूर्ति कर सकता है।1850 और 1914 के बीच वार्षिक ग्रीनविच वेधशाला ट्रायल में पहली बार आने वाले अधिकांश ठीक घड़ी सहायक मुआवजे के डिजाइन थे। सहायक मुआवजे का उपयोग इसकी जटिलता के कारण घड़ियों में कभी नहीं किया गया था।

बेहतर सामग्री

1950 के दशक में बने एक बेनरस कंपनी वॉच से ईटीए 1280 आंदोलन में कम तापमान-कूफिशिएंट मिश्र धातु संतुलन और वसंत, एक ईटीए 1280 आंदोलन में

द्विधातु मुआवजा संतुलन पहिये को 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में धातुकर्म में अग्रिमों द्वारा अप्रचलित कर दिया गया था। (चार्ल्स इडयार्ड गिलियूम) ने 1896 के आविष्कार के लिए नोबेल पुरस्कार जीता, बहुत कम थर्मल विस्तार के साथ निकल स्टील मिश्र धातु, और एलिनवर ( लोचदार अवैध से) एक मिश्र धातु जिसका लोच विस्तृत तापमान सीमा पर अपरिवर्तित है, संतुलन वंसत के लिए।। एलिनवर के वसंत के साथ ठोस आक्रमण का संतुलन काफी हद तक तापमान से अप्रभावित था, इसलिए इसने मुश्किल-से-समायोजित द्विध्रुवीय संतुलन को बदल दिया। इसने संतुलन और वंसत के लिए कम तापमान गुणांक मिश्र धातुओं की श्रृंखला का नेतृत्व किया।

एलिनवार को विकसित करने से पहले, गिलियूम ने नकारात्मक द्विघात तापमान गुणांक के साथ इसे समाप्त करके द्विध्रुवीय शेष राशि में मध्य तापमान त्रुटि की भरपाई के लिए मिश्र धातु का भी आविष्कार किया। यह मिश्र धातु, जिसका नाम अनीबल है, इनवेर का मामूली बदलाव है। इसने स्टील के हेयरस्प्रिंग के तापमान प्रभाव को लगभग पूरी तरह से नकार दिया, लेकिन फिर भी एक द्विध्रुवीय मुआवजा संतुलन वसंत की आवश्यकता थी, जिसे गिलियूम संतुलन पहिये के रूप में जाना जाता है। यह डिज़ाइन बाद में एलिनवर वंसत के साथ सिंगल मेटल इनवेर संतुलन के पक्ष में उपयोग से बाहर हो गया। द्विघात गुणांक को सामग्री के विस्तार के समीकरण में इसके स्थान द्वारा परिभाषित किया गया है;

$\ell _{\theta }=\ell _{0}\left(1+\alpha \theta +\beta \theta ^{2}\right)\,$

कहाँ पे:

$\scriptstyle \ell _{0}$ कुछ संदर्भ तापमान पर नमूने की लंबाई है

$\scriptstyle \theta$ संदर्भ के ऊपर तापमान है

$\scriptstyle \ell _{\theta }$ तापमान पर नमूने की लंबाई है $\scriptstyle \theta$

$\scriptstyle \alpha$ विस्तार का रैखिक गुणांक है

$\scriptstyle \beta$ विस्तार का द्विघात गुणांक है