परिमाणीकरण

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सिग्नल को मात्रात्मक करने का सबसे सरल तरीका मूल एनालॉग आयाम के सबसे करीब डिजिटल आयाम मूल्य का चयन करना है।यह उदाहरण मूल एनालॉग सिग्नल (हरा), मात्राबद्ध सिग्नल (ब्लैक डॉट्स) को दर्शाता है, सिग्नल को मात्राबद्ध सिग्नल (पीला) से पुनर्निर्माण और मूल सिग्नल और पुनर्निर्मित सिग्नल (लाल) के बीच का अंतर।मूल सिग्नल और पुनर्निर्मित सिग्नल के बीच का अंतर परिमाणीकरण त्रुटि है और, इस सरल परिमाणीकरण योजना में, इनपुट सिग्नल का एक नियतात्मक कार्य है।

गणित और अंकीय संकेत प्रसंस्करण में परिमाणीकरण, एक बड़े समुच्चय (अक्सर एक सतत समुच्चय) से निविष्ट मानों को उत्पादित मानों के एक (गणनीय) छोटे समुच्चय में प्रतिचित्रण करने की प्रक्रिया है, अक्सर तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ। पूर्णांकन और खंडन परिमाणीकरण प्रक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण हैं। परिमाणीकरण लगभग सभी अंकीय संकेत प्रक्रिया में कुछ हद तक शामिल है, क्योंकि अंकीय रूप में संकेत का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया में आमतौर पर पूर्णांकन करना शामिल होता है। परिमाणीकरण अनिवार्य रूप से सभी हानिपूर्ण संपीड़न कलन विधि का मूल है।

निविष्ट मान और उसके परिमाणित मान (जैसे पूर्णांक त्रुटि) के बीच के अंतर को परिमाणीकरण त्रुटि कहा जाता है। एक उपकरण या कलन विधि समीकरण जो परिमाणीकरण करता है उसे परमारीकरण कहा जाता है। एक अनुरूप अंकीय परिवर्तक संपरिवर्तित्र परिमारीकरण का एक उदाहरण है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, एक वास्तविक संख्या $x$ को निकटतम पूर्णांक मान में निकटतम पूर्णांक मान पूर्णांकन करने से एक मूल प्रकार का परिमाणक बनाता है - एक समान। कुछ मूल्यों को $\Delta$ (डेल्टा) के बराबर परिमाणीकरण चरण आकार के साथ एक विशिष्ट (मध्य-चलने वाले) समान परिमाणीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$Q(x)=\Delta \cdot \left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$,

जहां अंकन $\lfloor \ \rfloor$ फ्लोर फंक्शन (floor function) को दर्शाता है।

परिमाणक की आवश्यक संपत्ति में संभावित उत्पादन मूल्य सदस्यों के एक गणनीय समुच्चय होते हैं जो संभावित निविष्ट मानों के समुच्चय से छोटे होते हैं। उत्पादन मूल्य के समुच्चय के सदस्य पूर्णांक, परिमेय या वास्तविक मान हो सकते हैं। निकटतम पूर्णांक के लिए सरल पूर्णांकन के लिए, चरण आकार $\Delta$, 1 के बराबर है। $\Delta =1$ या $\Delta$ किसी भी अन्य पूर्णांक मान के बराबर है, इस परिमाणक में वास्तविक-मूल्यवान निविष्ट और पूर्णांक-मूल्यवान उत्पादन (आउटपुट) होता है।

जब परिमाणीकरण चरण का आकार (Δ) संकेत में भिन्नता के सापेक्ष छोटा होता है, तो यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल होता है कि इस तरह के पूर्णांकन संचालन द्वारा उत्पादित माध्य वर्ग त्रुटि लगभग $\Delta ^{2}/12$ होगी। माध्य वर्ग त्रुटि को परिमाणीकरण नॉइज़ पावर भी कहा जाता है। परिमाणक में एक बिट जोड़ने से $\Delta$ का मान आधा हो जाता है, जो कारक द्वारा नॉइज़ पावर कम कर देता है। डेसिबल के संदर्भ में, नॉइज़ पावर परिवर्तन $\scriptstyle 10\cdot \log _{10}(1/4)\ \approx \ -6\ \mathrm {dB} .$ है। चूंकि परिमाणक के संभावित उत्पादित मानों का समुच्चय गणनीय है, किसी भी परिमाणक को दो अलग-अलग चरणों में विघटित किया जा सकता है, जिसे वर्गीकरण चरण (या आगे परिमारीकरण चरण) और पुनर्निर्माण चरण (या उलटा परिमारीकरण चरण) के रूप में जाना जाता है, जहां वर्गीकरण चरण निविष्ट को एक पूर्णांक परिमाणीकरण सूचकांक $k$ और पुनर्निर्माण चरण सूचकांक को मैप करता है $k$ और पुनर्निर्माण चरण अनुक्रमणिका $y_{k}$ यह निविष्ट मान का उत्पादित सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए ऊपर वर्णित एकसमान परिमाणक, एक अन्य परिमाणीकरण चरण, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$k=\left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor$,

और इस उदाहरण के लिए पुनर्निर्माण चरण केवल परिमाणक है

$y_{k}=k\cdot \Delta$।

यह अपघटन परिमाणीकरण व्यवहार के संरचना और विश्लेषण के लिए उपयोगी है, और यह दर्शाता है कि संचार चैनल पर परिमाणित डेटा को कैसे संप्रेषित किया जा सकता है - एक स्रोत एनकोडर आगे की मात्राकरण चरण का प्रदर्शन कर सकता है और एक संचार चैनल और एक डिकोडर के माध्यम से सूचकांक की जानकारी भेज सकता है। मूल निविष्ट डेटा के उत्पादित सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए पुनर्निर्माण चरण कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, आगे परिमाणीकरण चरण किसी भी समीकरण का उपयोग कर सकता है जो निविष्ट डेटा को परिमाणीकरण सूचकांक डेटा के पूर्णांक स्थान पर मैप करता है, और उलटा परिमाणीकरण चरण प्रत्येक परिमाणीकरण अनुक्रमणिका को मैप करने के लिए अवधारणात्मक (या शाब्दिक रूप से) एक सारणी अवलोकन संचालन हो सकता है। इसी पुनर्निर्माण मूल्य, यह दो-चरण अपघटन वेक्टर के साथ-साथ अदिश परिमाणक पर भी समान रूप से लागू होता है।

गणितीय गुण

चूंकि परिमाणीकरण कई-से-कुछ मानचित्रण है, यह एक स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक और अपरिवर्तनीय प्रक्रिया है (यानी, क्योंकि एक ही उत्पादित मान एकाधिक निविष्ट मानों द्वारा साझा किया जाता है, सामान्य रूप से सटीक निविष्ट मान को पुनर्प्राप्त करना असंभव है जब केवल उत्पादित मान दिया गया)।

संभावित निविष्ट मानों का समुच्चय असीम रूप से बड़ा हो सकता है, और संभवतः निरंतर और बेशुमार हो सकता है (जैसे कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय , या कुछ सीमित सीमा के भीतर सभी वास्तविक संख्याएं)। संभावित उत्पादित मानों का समुच्चय परिमित या अनगिनत अनंत हो सकता है। परिमाणीकरण में शामिल इनपुट और आउटपुट सेट को सामान्य रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर क्वांटिज़ेशन बहु-आयामी (वेक्टर-मूल्यवान) निविष्ट डेटा के लिए प्रमाणीकरण का अनुप्रयोग है।

प्रकार

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एनालॉग की तुलना में मात्राकरण के चार स्तरों के साथ 2-बिट रिज़ॉल्यूशन।

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आठ स्तरों के साथ 3-बिट रिज़ॉल्यूशन।

अनुरूप से अंकीय रूपांतरण

एक अनुरूप से अंकीय रूपांतरण (एडीसी) को दो प्रक्रियाओं के रूप में तैयार किया जा सकता है:प्रतिदर्श एक समय-भिन्न वोल्टेज संकेत को असतत-समय संकेत, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम में परिवर्तित करता है। परिमाणीकरण प्रत्येक वास्तविक संख्या को असतत मूल्यों के एक परिमित समुच्चय से सन्निकटन के साथ बदल देता है। आमतौर पर, इन असतत मूल्यों को निश्चित-बिंदु शर्तों के रूप में दर्शाया जाता है। हालांकि परिमाणीकरण स्तरों की कोई भी संख्या संभव है, सामान्य शब्द लंबाई 8-बिट (256 स्तर), 16-बिट (65,536 स्तर) और 24-बिट (16.8 मिलियन स्तर) हैं। संख्याओं के अनुक्रम को परिमाणित करने से परिमाणीकरण त्रुटियों का एक क्रम उत्पन्न होता है जिसे कभी-कभी इसके स्टोकेस्टिक व्यवहार के कारण परिमाणीकरण नॉइज़ नामक एक योज्य यादृच्छिक संकेत के रूप में तैयार किया जाता है। एक परिमाणक जितने अधिक स्तरों का उपयोग करता है, उसकी परिमाणीकरण नॉइज़ पावर उतनी ही कम होती है।

दर–विरूपण अनुकूलन

क्षतिपूर्ण सांख्यकी संपीड़न कलन विधि के लिए स्रोत कूटलेखन (source coding) में दर-विरूपण अनुकूलित परिमाणीकरण का सामना करना पड़ता है, जहां उद्देश्य संचार चैनल या भंडारण माध्यम द्वारा समर्थित बिट (bit) दर की सीमा के भीतर विकृति का प्रबंधन करना है। इस संदर्भ में परिमाणीकरण के विश्लेषण में सांख्यकी की मात्रा का अध्ययन करना शामिल है (आमतौर पर अंकों या बिट्स या बिट दरों में मापा जाता है) जिसका उपयोग परिमाणक के उत्पादित और प्रमाणीकरण प्रक्रिया द्वारा शुरू की गई सटीकता का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। (अर्थात विकृति) के नुकसान का अध्ययन करता है।

मिड-राइजर और मिड-ट्रेड समरूप परिमाणक

हस्ताक्षरित निविष्ट सांखियकी के लिए अधिकांश समान परिमाणकों को दो प्रकारों में से एक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: मिड-राइजर और मिड-ट्रेड।शब्दावली इस बात पर आधारित है कि मान 0 के आसपास क्या होता है और परिमाणक के इनपुट-आउटपुट फ़ंक्शन को सीढ़ी के रूप में देखने के सादृश्य का उपयोग करता है।मिड-ट्रेड परिमाणक में शून्य-मूल्यवान पुनर्निर्माण स्तर (सीढ़ी चलने के अनुरूप) होता है, जबकि मिड-राइज परिमाणक में शून्य-मूल्यवान वर्गीकरण सीमा होती है (एक सीढ़ी वृद्धि के अनुरूप)। मध्य-चलने वाले प्रमाणीकरण में पूर्णांकन शामिल है। मध्य-व्यापार वर्दी परिमाणीकरण के लिए सूत्र पिछले अनुभाग में प्रदान किए गए हैं।

मिड-राइजर परिमाणीकरण में ट्रंकेशन शामिल है। मिड-ट्रेड समरूप परमणीकरण के लिए सूत्र पिछले अनुभाग में प्रदान किए गए हैं।

$Q(x)=\Delta \cdot \left(\left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}\right\rfloor +{\frac {1}{2}}\right)$,

जहां वर्गीकरण नियम द्वारा दिया गया है

$k=\left\lfloor {\frac {x}{\Delta }}\right\rfloor$

और पुनर्निर्माण नियम है

$y_{k}=\Delta \cdot \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)$।

ध्यान दें कि मिड-राइजर वर्दी क्वांटाइज़र में शून्य आउटपुट मान नहीं है-उनका न्यूनतम आउटपुट परिमाण आधा चरण आकार है।इसके विपरीत, मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र में शून्य आउटपुट स्तर होता है।कुछ अनुप्रयोगों के लिए, एक शून्य आउटपुट सिग्नल प्रतिनिधित्व होना एक आवश्यकता हो सकती है।

सामान्य तौर पर, एक मिड-राइजर या मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र वास्तव में एक समान क्वांटाइज़र नहीं हो सकता है-यानी, क्वांटाइज़र के वर्गीकरण अंतराल का आकार सभी समान नहीं हो सकता है, या इसके संभावित आउटपुट मूल्यों के बीच रिक्ति सभी समान नहीं हो सकती है।एक मिड-राइजर क्वांटाइज़र की विशिष्ट विशेषता यह है कि इसमें एक वर्गीकरण थ्रेशोल्ड वैल्यू है जो बिल्कुल शून्य है, और मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र की विशिष्ट विशेषता यह है कि इसका पुनर्निर्माण मूल्य है जो बिल्कुल शून्य है।

डेड-ज़ोन क्वांटाइज़र

एक डेड-ज़ोन क्वांटाइज़र एक प्रकार का मध्य-व्यापार क्वांटाइज़र है जिसमें सममित व्यवहार है। इस तरह के क्वांटाइज़र के शून्य आउटपुट मान के आसपास के क्षेत्र को डेड ज़ोन या डेडबैंड के रूप में जाना जाता है।डेड ज़ोन कभी -कभी शोर गेट या स्क्वैच फ़ंक्शन के समान उद्देश्य की सेवा कर सकता है।विशेष रूप से संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए, मृत-क्षेत्र को अन्य चरणों के लिए एक अलग चौड़ाई दी जा सकती है।अन्यथा-समान क्वांटाइज़र के लिए, मृत-क्षेत्र की चौड़ाई किसी भी मूल्य पर सेट की जा सकती है$w$ आगे की परिमाणीकरण नियम का उपयोग करके

$k=\operatorname {sgn}(x)\cdot \max \left(0,\left\lfloor {\frac {\left|x\right|-w/2}{\Delta }}+1\right\rfloor \right)$,

जहां समारोह $\operatorname {sgn}$( ) साइन फ़ंक्शन है (जिसे साइनम फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है)।इस तरह के एक मृत-ज़ोन क्वांटाइज़र के लिए सामान्य पुनर्निर्माण नियम द्वारा दिया गया है

$y_{k}=\operatorname {sgn}(k)\cdot \left({\frac {w}{2}}+\Delta \cdot (|k|-1+r_{k})\right)$,

कहाँ पे $r_{k}$ चरण आकार के एक अंश के रूप में 0 से 1 की सीमा में एक पुनर्निर्माण ऑफसेट मान है।आमतौर पर, $0\leq r_{k}\leq {\tfrac {1}{2}}$ जब एक विशिष्ट संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) के साथ इनपुट डेटा की मात्रा निर्धारित करते हैं जो शून्य के आसपास सममित होता है और शून्य (जैसे कि गॉसियन, लाप्लासियन, या सामान्यीकृत गौसियन पीडीएफ) पर इसके शिखर मूल्य तक पहुंचता है।यद्यपि $r_{k}$ पर निर्भर हो सकता है $k$