एरलांग वितरण

Erlang

Probability density function Probability density plots of Erlang distributions
Cumulative distribution function
Parameters	$k\in \{1,2,3,\ldots \},$ shape $\lambda \in (0,\infty ),$ rate alt.: $\beta =1/\lambda ,$ scale
Support	$x\in [0,\infty )$
PDF	${\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!}}$
CDF	$P(k,\lambda x)={\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}{\frac {1}{n!}}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}$
Mean	${\frac {k}{\lambda }}$
Median	No simple closed form
Mode	${\frac {1}{\lambda }}(k-1)$
Variance	${\frac {k}{\lambda ^{2}}}$
Skewness	${\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Ex. kurtosis	${\frac {6}{k}}$
Entropy	$(1-k)\psi (k)+\ln \left[{\frac {\Gamma (k)}{\lambda }}\right]+k$
MGF	$\left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-k}$ for $t<\lambda$
CF	$\left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-k}$

एरलांग वितरण समर्थन $x\in [0,\infty )$ के साथ सतत प्रायिकता वितरण के दो-पैरामीटर वर्ग है। दो पैरामीटर इस प्रकार हैं:

• एक धनात्मक पूर्णांक $k,$ ''आकार'', और
• एक धनात्मक वास्तविक संख्या $\lambda ,$ ''दर'' और "मापक", $\beta ,$ दर का पारस्परिक, कभी-कभी इसके बदले प्रयोग किया जाता है।

एरलांग वितरण प्रत्येक $1/\lambda$ माध्य के साथ $k$ स्वतंत्र घातीय चर के योग का वितरण है। समतुल्य रूप से, यह $\lambda$ की दर के साथ प्वाइजन प्रक्रिया की kवीं घटना तक के समय का वितरण है। एरलांग और प्वाइजन वितरण पूरक हैं, जबकि प्वाइजन वितरण निश्चित समय में होने वाली घटनाओं की संख्या की गणना करते है, एरलांग वितरण घटनाओं की एक निश्चित संख्या के होने तक समय की मात्रा की गणना करते है। जब $k=1$, वितरण घातीय वितरण के लिए सरल हो जाता है। एरलांग वितरण गामा वितरण का एक विशेष प्रकरण है जिसमें वितरण का आकार भिन्न होता है।

एरलांग वितरण को A. K. एरलांग द्वारा विकसित किया गया था ताकि स्विचिंग स्टेशनों के संचालक को एक ही समय में किए जाने वाले टेलीफोन कॉल की संख्या की जांच की जा सके। सामान्यतः क़तार प्रणाली में प्रतीक्षा समय पर विचार करने के लिए टेलीफोन ट्रैफ़िक अभियांत्रिकी पर यह काम विस्तृत किया गया है। वितरण का उपयोग प्रसंभाव्य प्रक्रियाओं के क्षेत्र में भी किया जाता है।

विशेषता

प्रायिकता घनत्व फलन

एरलांग वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन है

$f(x;k,\lambda )={\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x} \over (k-1)!}\quad {\mbox{for }}x,\lambda \geq 0,$

पैरामीटर k को आकार पैरामीटर कहा जाता है और पैरामीटर $\lambda$ को दर पैरामीटर कहा जाता है।

एक वैकल्पिक, लेकिन समतुल्य, प्राचलीकरण मापक पैरामीटर $\beta$ का उपयोग करता है, जो दर पैरामीटर का पारस्परिक है (अर्थात, $\beta =1/\lambda$):