बहुपद एसओएस

This article is about representing a non-negative polynomial as sum of squares of polynomials. For representing polynomial as a sum of squares of rational functions, see Hilbert's seventeenth problem. For the sum of squares of consecutive integers, see square pyramidal number. For representing an integer as a sum of squares of integers, see Lagrange's four-square theorem.

गणित में, एक सजातीय बहुपद (अर्थात एक सजातीय बहुपद) h(x) एक बहुपद की डिग्री 2m वास्तविक संख्या n-आयामी सदिश x में रूपों (SOS) के वर्गों का योग होता है यदि और केवल यदि रूप उपस्थित हों $g_{1}(x),\ldots ,g_{k}(x)$ डिग्री एम की ऐसी है कि

$$h(x)=\sum _{i=1}^{k}g_{i}(x)^{2}.$$

एसओएस का हर रूप भी एक सकारात्मक बहुपद है, और चूंकि विलोम (तर्क) हमेशा सत्य नहीं होता है, हिल्बर्ट ने सिद्ध किया कि एन = 2, 2 एम = 2 या एन = 3 और 2 एम = 4 के लिए एक फॉर्म एसओएस है यदि और केवल यदि यह सकारात्मक है। सकारात्मक सममित रूपों पर एनालॉग समस्या के लिए भी यही मान्य है। चूंकि प्रत्येक फॉर्म को एसओएस के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, एसओएस होने के लिए एक फॉर्म के लिए स्पष्ट पर्याप्त शर्तें पाई गई हैं। इसके अतिरिक्त , हर वास्तविक गैर-नकारात्मक रूप को वांछित के रूप में निकटता से अनुमानित किया जा सकता है ( $l_{1}$इसके गुणांक वेक्टर का मानदंड) रूपों के अनुक्रम द्वारा $\{f_{\epsilon }\}$ वह एसओएस हैं।

स्क्वायर मैट्रिकियल प्रतिनिधित्व (एसएमआर)

यह स्थापित करने के लिए कि क्या एक फॉर्म h(x) उत्तल अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एसओएस राशि है। वास्तव में, कोई h(x) के रूप में लिखा जा सकता है

$$h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$$

कहाँ $x^{\{m\}}$ एक वेक्टर है जिसमें एक्स में डिग्री एम के रूपों के लिए आधार होता है (जैसे एक्स में डिग्री एम के सभी एकपद ), प्राइम 'खिसकाना ़ को दर्शाता है, एच कोई भी सममित मैट्रिक्स संतोषजनक है

$$h(x)=x^{\left\{m\right\}'}Hx^{\{m\}}$$

और $L(\alpha )$ सदिश स्थान का एक रैखिक पैरामीटरकरण है

$${\mathcal {L}}=\left\{L=L':~x^{\{m\}'}Lx^{\{m\}}=0\right\}.$$

वेक्टर का आयाम $x^{\{m\}}$ द्वारा दिया गया है

$$\sigma (n,m)={\binom {n+m-1}{m}},$$

जबकि वेक्टर का आयाम $\alpha$ द्वारा दिया गया है

$$\omega (n,2m)={\frac {1}{2}}\sigma (n,m)\left(1+\sigma (n,m)\right)-\sigma (n,2m).$$

तब, h(x) एसओएस है यदि और केवल यदि कोई वेक्टर उपस्थित है $\alpha$ ऐसा है कि

$$H+L(\alpha )\geq 0,$$

मतलब कि मैट्रिक्स (गणित) $H+L(\alpha )$ धनात्मक-अर्द्धपरिमित मैट्रिक्स है|सकारात्मक-अर्द्धपरिमित। यह एक रैखिक मैट्रिक्स असमानता (एलएमआई) व्यवहार्यता परीक्षण है, जो एक उत्तल अनुकूलन समस्या है। इजहार $h(x)=x^{\{m\}'}\left(H+L(\alpha )\right)x^{\{m\}}$ में प्रस्तुत किया गया था एक एलएमआई के माध्यम से एक फॉर्म एसओएस है या नहीं यह स्थापित करने के लिए स्क्वायर मैट्रिकियल प्रतिनिधित्व (एसएमआर) नाम के साथ। इस प्रतिनिधित्व को ग्राम मैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है।

उदाहरण

• दो चरों में घात 4 के रूप पर विचार करें $h(x)=x_{1}^{4}-x_{1}^{2}x_{2}^{2}+x_{2}^{4}$. अपने पास
  $$m=2,x^{\{m\}}=$$