इकाई वेक्टर

Not to be confused with सदिश एक आधार है.

गणित में, सामान्यतया सदिश समष्टि में इकाई सदिश की लंबाई 1 होती है। इकाई सदिश को प्रायः लोअरकेस अक्षर द्वारा सरकमफ्लेक्स या "हैट" के रूप में दर्शाया जाता है, जैसा कि

उच्चारण ${\hat {\mathbf {v} }}$-हैट के रूप में दर्शाया जाता है।

शब्द दिशा सदिश , जिसे सामान्यतः डी के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाई सदिश का वर्णन करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएँ संख्यात्मक रूप से इकाई वृत्त पर बिंदुओं के समतुल्य होते है और 3डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के के बराबर होते है।

एक गैर-शून्य सदिश यू का सामान्यीकृत सदिश यू की दिशा में यूनिट सदिश के रूप में होता है जैसे ,

$\mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}$

जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है। सामान्यीकृत सदिश शब्द को कभी -कभी यूनिट सदिश के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

यूनिट वैक्टर को अधिकांशतः सदिश स्पेस के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक सदिश को यूनिट वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: Standard basis

Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं

$\mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}$

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे सामान्यतः रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अधिकांशतः सामान्य सदिश संकेतन (जैसे, i या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं ${\vec {\imath }}$) मानक इकाई सदिश संकेतन के अतिरिक्त (जैसे, $\mathbf {\hat {\imath }}$)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ और ${\vec {k}}$) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोटिस $(\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )$, $(\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})$, $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, के साथ या उसके बिना#गणित, का भी उपयोग किया जाता है,विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम उत्पन्न कर सकता है (उदाहरण के लिए, I , J , k जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।

जब अंतरिक्ष में एक यूनिट सदिश कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक सदिश का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार सदिश के साथ यूनिट सदिश द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (सदिश (ज्यामिति) के खंड) के अभिविन्यास (गणित) (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: Jacobian matrix

The three orthogonal unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (भी नामित $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करना जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु समरूपता अक्ष के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
• $\mathbf {\hat {z}}$, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करना;

वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ द्वारा:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

$\mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .$

वैक्टर ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य हैं $\varphi ,$ और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव $\varphi$ हैं:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{\mathbf{^<!--\; ^\; -->}}{\mathit{\rho <!--\; \rho \; -->}}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}}=-<!--\; -\; -->$