इकाई वेक्टर

Not to be confused with Vector of ones.

गणित में, एक आदर्श सदिश स्थान में एक इकाई सदिश एक सदिश_(गणित_और_भौतिकी) (अक्सर एक सदिश (ज्यामिति)) होता है, जो सामान्य (गणित) 1 होता है। में ${\hat {\mathbf {v} }}$ (उच्चारण वी-हैट)।

'दिशा वेक्टर' शब्द, जिसे आमतौर पर डी के रूप में दर्शाया जाता है, का उपयोग एक इकाई वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जिसका उपयोग स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। 2डी स्थानिक दिशाएं संख्यात्मक रूप से यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के बराबर होती हैं और 3डी में स्थानिक दिशाएं इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के बराबर हैं।

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Examples of two 2D direction vectors

File:3D Direction Vectors.tiff

Examples of two 3D direction vectors

गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में इकाई वेक्टर है, यानी,

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "ज" found.in 2:1"): {\displaystyle \mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{|\mathbf{u}|}</ math> जहां |यू| यू का सामान्य (गणित) (या लंबाई) है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=यूनिट वैक्टर {{!}} शानदार गणित और विज्ञान विकी|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी-कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है। यूनिट वैक्टर को अक्सर वेक्टर स्पेस के [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाने के लिए चुना जाता है, और स्पेस में प्रत्येक वेक्टर को यूनिट वैक्टर के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में लिखा जा सकता है। == ऑर्थोगोनल निर्देशांक == === कार्तीय निर्देशांक === {{Main|Standard basis}} यूनिट वैक्टर का उपयोग [[कार्तीय समन्वय प्रणाली]] के अक्षों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z अक्षों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं :<math alt= i-hat 3 बटा 1 मैट्रिक्स 1,0,0 के बराबर है; जे-हैट 3 बटा 1 मैट्रिक्स 0,1,0 के बराबर है; के-हैट 3 बटा 1 मैट्रिक्स 0,0,1 > के बराबर है \mathbf{\hat{i}} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{j}} = \begin{bmatrix}0\\ 1\\0\end{bmatrix}, \,\, \mathbf{\hat{k}} = \begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे आमतौर पर रैखिक बीजगणित में मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

उन्हें अक्सर सामान्य सदिश संकेतन (जैसे, 'i' या गणित alt= वेक्टर i >\vec{\imath}</math>) मानक इकाई वेक्टर नोटेशन के बजाय (उदा., $\mathbf {\hat {\imath }}$). अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि i, j, और k, (or ${\vec {\imath }},$ ${\vec {\jmath }},$ तथा ${\vec {k}}$) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के छंद हैं। अंकन Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "उ" found.in 1:97"): {\displaystyle (\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})< /math>, <math alt= x-hat उप 1, x-hat उप 2, x-hat उप 3 >(\mathbf{\hat{x}}_1, \mathbf{\hat{x}}_2, \ mathbf{\hat{x}}_3)} , $(\mathbf {\hat {e}} _{x},\ mathbf{\hat {e}}_{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})$, या $(\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})$, Circumflex#Mathematics के साथ या उसके बिना भी उपयोग किया जाता है,विशेष रूप से ऐसे संदर्भों में जहां i, j, k अन्य मात्रा के साथ भ्रम पैदा कर सकता है (उदाहरण के लिए अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों जैसे i, j, k, जो किसी तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किए जाते हैं एक सेट या सरणी या चर के अनुक्रम)।

जब अंतरिक्ष में एक इकाई वेक्टर को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है # i, j, k के रैखिक संयोजन के रूप में कार्टेशियन नोटेशन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करते हुए, इसके तीन स्केलर घटकों को दिशा कोसाइन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। प्रत्येक घटक का मान यूनिट वेक्टर द्वारा संबंधित आधार वेक्टर के साथ गठित कोण के कोसाइन के बराबर है। यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष के खंड (वेक्टर (ज्यामिति)) के अभिविन्यास (गणित) (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है।

बेलनाकार निर्देशांक

See also: Jacobian matrix

बेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त तीन ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं:

• ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ (जिसे $\mathbf {\hat {e}}$ या ${\boldsymbol {\hat {s}}}$), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ सममिति के अक्ष से बिंदु की दूरी मापी जाती है;
• ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, उस गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसे देखा जाएगा यदि बिंदु समरूपता अक्ष के बारे में वामावर्त घूम रहा हो;
• $\mathbf {\hat {z}}$, सममिति अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है;

वे कार्तीय आधार से संबंधित हैं ${\hat {x}}$, ${\hat {y}}$, ${\hat {z}}$ द्वारा:

${\boldsymbol {\hat {\rho }}}=\cos(\varphi )\mathbf {\ ^{x}} +\sin(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin(\varphi )\mathbf {\hat {x}} +\cos(\varphi )\mathbf {\hat {y}}$

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सदिश ${\boldsymbol {\hat {\rho }}}$ और ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ के कार्य हैं गणित alt= निर्देशांक phi >\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं हैं। बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकरण करते समय, इन यूनिट वैक्टरों को स्वयं भी संचालित किया जाना चाहिए। डेरिवेटिव के संबंध में गणित> \varphi</math> हैं:

<math alt= phi के संबंध में rho-hat का आंशिक व्युत्पन्न x-hat दिशा में phi की ऋण ज्या के बराबर है और y-hat दिशा में phi की कोसाइन बराबर phi-hat >\frac{\partial \boldsymbol{\ Hat{\rho}}} {\आंशिक \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi }</math>

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गोलाकार निर्देशांक

गोलीय सममिति के लिए उपयुक्त इकाई सदिश हैं: $\mathbf {\hat {r}}$, वह दिशा जिसमें मूल से त्रिज्यीय दूरी बढ़ती है; ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$, वह दिशा जिसमें x-y समतल में धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त कोण बढ़ रहा है; और ${\boldsymbol {\hat {\theta }}}$, वह दिशा जिसमें धनात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है। अभ्यावेदन के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण $\theta$ आमतौर पर शून्य और 180 डिग्री के बीच ले जाया जाता है। ${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}$ और Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Expected "-", "[", "\\", "\\begin", "\\begin{", "]", "^", "_", "{", "}", [ \t\n\r], [%$], [().], [,:;?!'], [/|], [0-9], [><~], [\-+*=], or [a-zA-Z] but "क" found.in 1:17"): {\displaystyle की भूमिकाओं के रूप में [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी आदेशित त्रिक के संदर्भ पर ध्यान देना विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। \boldsymbol{\hat \theta}} अक्सर उलटे होते हैं। यहाँ, अमेरिकी भौतिकी सम्मेलन प्रयोग किया जाता है। यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है $\varphi$ बेलनाकार निर्देशांक के समान ही परिभाषित किया गया है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:

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${\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}}$

गोलाकार इकाई वैक्टर दोनों पर निर्भर करते हैं गणित alt= phi >\varphi</math> और गणित alt= थीटा > \theta</math>, और इसलिए 5 गैर-शून्य डेरिवेटिव संभव हैं। अधिक संपूर्ण विवरण के लिए, जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक देखें। गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \ballsymbolin 1:166"): {\displaystyle \frac{\partial\mathbf{\hat{r}}} {\partial\varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\ballsymbol{\hat \varphi}}

Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \ballin 1:184"): {\displaystyle \frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x }} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \ball Symbol{\hat \theta}}

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Failed to parse (Conversion error. Server ("cli") reported: "SyntaxError: Illegal TeX function Found \ballin 1:31"): {\displaystyle \frac{\partial \ball Symbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x } } - \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}}}

<गणित alt= फाई के संबंध में फाई-हैट का आंशिक व्युत्पन्न एक्स-हैट दिशा में फाई की माइनस कोसाइन के बराबर है वाई-हैट दिशा में फाई की साइन माइनस आर-हैट दिशा में थीटा की माइनस कोसाइन थीटा की कोसाइन थीटा-हैट दिशा में >\frac{\partial \ballsymbol{\hat{\varphi}}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi \ मैथबीएफ {\ हैट {वाई}} = - \ पाप \ थीटा \ गणित बीएफ {\ हैट {आर}} - \ कॉस \ थीटा \ बॉलसिंबल {\ हैट {\ थीटा} </ गणित>

सामान्य इकाई वैक्टर

Main article: Orthogonal coordinates

यूनिट वैक्टर के सामान्य विषय भौतिकी और ज्यामिति में पाए जाते हैं:

Unit vector	Nomenclature	Diagram
Tangent vector to a curve/flux line	$\mathbf {\hat {t}}$	"200px" "200px" A normal vector $\mathbf {\hat {n}}$ to the plane containing and defined by the radial position vector $r\mathbf {\hat {r}}$ and angular tangential direction of rotation $\theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}$ is necessary so that the vector equations of angular motion hold.
Normal to a surface tangent plane/plane containing radial position component and angular tangential component	$\stackrel{}{\mathbf{n}}$