चर परिवर्तन

गणित में, चरों का परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका प्रयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चरों के कार्यों (गणित) से बदल दिया जाता है। तो समस्या हल हो सकती है, यह बेहतर समझी जाने वाली प्रक्रिया है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। जबकि ये अलग-अलग क्षेत्र में हैं, जैसा कि श्रृंखला नियम को अलग-अलग प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण है।जो छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में बदल दिया जाता है।

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

मूल परिवर्तनवादी में छठी-डिग्री के बहुपद समीकरणों को हल करना सामान्यतः असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। जबकि यह विशेष समीकरण है।

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

यह बहुपद अपघटन की एक साधारण स्थित है। जो एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है। $u=x^{3}$ द्वारा एक्स को प्रतिस्थापित करके ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में बदल जाता है।

$u^{2}-9u+8=0,$

दो निराकरणों के साथ एक द्विघात समीकरण होती है।

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में एक्स को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है। जो बैक इन फॉर यू देता है।

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

जबकि वास्तविक समस्या निराकरण पर बल देती है।

वास्तविक संख्या निराकरण में रुचि रखता है, यह मूल समीकरण है।

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें-

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

जहां एक्स और वाई धनात्मक पूर्णांक हैं। एक्स>वाई

(स्रोत: 1991 अमेरिकी साधारणंत्रण गणित परीक्षा)

इसे सामान्य रूप से हल करना बहुत कठिन नहीं है, यह थोड़ा कठिन हो सकता है। जबकि, हम दूसरे समीकरण को फिर से लिख सकते हैं।$xy(x+y)=880$. प्रतिस्थापन बनाना $s=x+y$ और $t=xy$ प्रणाली को कम कर देता है तथा $s+t=71,st=880$. इसका समाधान देता है, $(s,t)=(16,55)$ और $(s,t)=(55,16)$. पहले क्रमित युग्म का पिछला-प्रतिस्थापन हमें देता है। $x+y=16,xy=55,x>y$, जो समाधान देता है $(x,y)=(11,5).$ दूसरी ओर जोड़ी को पिछला-प्रतिस्थापन करना होता है $x+y=55,xy=16,x>y$, जिसका कोई निराकरण नहीं है। इसलिए प्रणाली को हल करने वाला निराकरण है $(x,y)=(11,5)$.

औपचारिक परिचय

ए, बी कई गुना है थीटा:ए>बी के बीच भिन्नता है।थीटा एक आर निरंतर अवकलनीय, विशेषण मानचित्र से ए को बी के साथ आर बार लगातार अवकलनीय प्रतिलोम में ए या बी तथाआर भी प्राकृतिक संख्या (या शून्य) हो सकती है, सिग्मा या ओमेगा (विश्लेषणात्मक कार्य) है।

नक्शा थीटा एक नियमित समन्वय या नियमित चर प्रतिस्थापन कहा जाता है, जहां नियमित रूप से हल है कि $C^{r}$ को थीटा सामान्यतः लिखा जा सकता है। $x=\Phi (y)$ चर के प्रतिस्थापन को इंगित करने के लिए एक्स चर द्वारा वाई के मान को प्रतिस्थापित करके थीटा में वाई की हर घटना के लिए एक्स मान्य हो सकता है।

अन्य उदाहरण

समन्वय परिवर्तन

ध्रुवीय निर्देशांक को बदलने पर कुछ प्रणालियों को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए समीकरण पर विचार करें कि

$U(x,y):=(x^{2}+y^{2}){\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}}=0.$

यह किसी समस्या के संभावित ऊर्जा का फलन हो सकता है। यदि किसी को तुरंत निराकरण नहीं दिखता है, तो वह प्रतिस्थापन का प्रयास कर सकता है।

जबकि यह वैज्ञानिकों $(x,y)=\mathrm{\Phi <!--\; \Phi \; -->}(r,\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}$