बूलियन परिपथ

[[/index.php?title=Special:MathShowImage&hash=b6252c47c600d72b4b0f484c229f580d&mode=mathml|thumb|right|उदाहरण बूलियन सर्किट। $\wedge$ h> नोड AND गेट्स हैं, द $\vee$ नोड या द्वार हैं, और $\neg$ गेट नहीं नहीं हैं|link=|alt={\displaystyle \wedge }]]कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत और सर्किट जटिलता में, बूलियन सर्किट संयोजन तर्क डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स के लिए गणना कावास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानगणितीय मॉडल है। बूलियन सर्किट केवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानपरिवार द्वारावास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानऔपचारिक भाषा तय की जा सकती है, प्रत्येक संभावित इनपुट लंबाई के लिएवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसर्किट।

बूलियन सर्किट को उनके पास उपस्थित तर्क द्वार्स के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए,वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसर्किट में बाइनरी फ़ंक्शन AND और OR गेट्स और एकात्मक ऑपरेशन NOT गेट्स हो सकते हैं, या पूरी तरह से बाइनरी NAND गेट्स द्वारा वर्णित हो सकते हैं। प्रत्येक गेट कुछ बूलियन समारोह से मेल खाता है जो इनपुट के रूप में अंश्स कीवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थाननिश्चित संख्या लेता है औरवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानबिट को आउटपुट करता है।

बूलियन सर्किट कंप्यूटर इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाने वाले कई डिजिटल घटकों के लिएवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानमॉडल प्रदान करते हैं, जिसमें बहुसंकेतक्स, योजक (इलेक्ट्रॉनिक्स) और अंकगणितीय तर्क इकाइयां सम्मिलित हैं, किन्तु वे अनुक्रमिक तर्क को बाहर करते हैं। वेवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानअमूर्त हैं जो वास्तविक डिजिटल लॉजिक सर्किट को डिजाइन करने के लिए प्रासंगिक कई पहलुओं को छोड़ देते हैं, जैसे कि मेटास्टेबिलिटी (इलेक्ट्रॉनिक्स), प्रशंसक बाहर, खतरा (तर्क), शक्ति अनुकूलन (EDA)ईडीए), और प्रसार विलंब परिवर्तनशीलता।

औपचारिक परिभाषा

बूलियन सर्किट कीवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानऔपचारिक परिभाषा देने में, हर्बर्ट वोल्मर सर्किट मॉडल में स्वीकार्य गेट्स के अनुरूप बूलियन फ़ंक्शंस के सेट बी के रूप मेंवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानआधार को परिभाषित करके प्रारंभिकू करते हैं। आधार बी परवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानबूलियन सर्किट, एन इनपुट और एम आउटपुट के साथ, फिरवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानपरिमित निर्देशित चक्रीय ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रत्येक वर्टेक्स या तो आधार फ़ंक्शन या इनपुट में सेवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसे मेल खाता है, और बिल्कुल एम नोड्स कावास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसेट होता है जिसे आउटपुट के रूप में लेबल किया जाता है।वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानही बूलियन फ़ंक्शन के विभिन्न तर्कों के बीच अंतर करने के लिए किनारों में कुछ ऑर्डरिंग भी होनी चाहिए।

एक विशेष स्थितियोंे के रूप में,वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानप्रस्तावक सूत्र या बूलियन अभिव्यक्तिवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानएकल आउटपुट नोड वाला बूलियन सर्किट है जिसमें हर दूसरे नोड का प्रशंसक बाहर 1 होता है। .

बूलियन सर्किट के लिएवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसामान्य आधार सेट {AND गेट, OR गेट, नॉट गेट} है, जो कार्यात्मक पूर्णता है, i। इ। जिससे अन्य सभी बूलियन कार्यों का निर्माण किया जा सकता है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता

पृष्ठभूमि

एक विशेष सर्किट निश्चित आकार के इनपुट पर ही कार्य करता है। यद्यपि, औपचारिक भाषाएँ (स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) | निर्णय समस्याओं के स्ट्रिंग-आधारित प्रतिनिधित्व) में विभिन्न लंबाई के तार होते हैं, इसलिए भाषाओं कोवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसर्किट द्वारा पूरी तरह से कैप्चर नहीं किया जा सकता है (ट्यूरिंग मशीन मॉडल के विपरीत, जिसमेंवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानभाषा है पूरी तरह सेवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानट्यूरिंग मशीन द्वारा वर्णित)। के अतिरिक्त वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसर्किट परिवार द्वारावास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानभाषा का प्रतिनिधित्व किया जाता है।वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसर्किट परिवार सर्किट की अनंत सूची है $(C_{0},C_{1},C_{2},...)$, कहाँ $C_{n}$ है $n$ इनपुट चर। कहा जाता है किवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानसर्किट परिवारवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानभाषा तय करता है $L$ यदि, हर स्ट्रिंग के लिए $w$, $w$ भाषा में है $L$ यदि और केवल यदि $C_{n}(w)=1$, कहाँ $n$ की लम्बाई है $w$. दूसरे शब्दों में,वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानभाषा तारों का समूह है, जो सर्किट पर प्रयुक्त होने पर उनकी लंबाई के अनुरूप होती है, जो 1 का मूल्यांकन करती है।

जटिलता उपाय

See also: Circuit complexity

कई महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत को बूलियन सर्किट पर परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें सर्किट की गहराई, सर्किट का आकार और AND गेट्स और OR गेट्स के बीच विकल्पों की संख्या सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, बूलियन सर्किट की आकार जटिलता सर्किट में फाटकों की संख्या है।

सर्किट के आकार की जटिलता और समय की जटिलता के बीचवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानस्वाभाविक संबंध है। सहज रूप से, कम समय की जटिलता वाली भाषा (अर्थात, ट्यूरिंग मशीन पर अपेक्षाकृत कुछ अनुक्रमिक संचालन की आवश्यकता होती है), इसमेंवास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानछोटी सर्किट जटिलता भी होती है (अर्थात, अपेक्षाकृत कुछ बूलियन संचालन की आवश्यकता होती है)। औपचारिक रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि यदि कोई भाषा में है ${\mathsf {TIME}}(t(n))$, कहाँ $t$वास्तु प्रौद्योगिकी के चार्टर्ड संस्थानकार्य है $t:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$, तो इसमें सर्किट जटिलता है $O(t^{2}(n))$.

जटिलता वर्ग

Main article: Complexity classes § Boolean circuits

बूलियन सर्किट के संदर्भ में कई महत्वपूर्ण जटिलता वर्गों को परिभाषित किया गया है। इनमें से सबसे सामान्य है पी/पॉली, भाषाओं का वह समूह जो बहुपद-आकार के सर्किट परिवारों द्वारा तय किया जा सकता है। यह सीधे इस तथ्य से अनुसरण करता है कि भाषाओं में ${\mathsf {TIME}}(t(n))$ सर्किट जटिलता है $O(t^{2}(n))$ वह पी (जटिलता)$\subseteq$पी/पॉली। दूसरे शब्दों में, नियतात्मक ट्यूरिंग मशीन द्वारा बहुपद समय में गणना की जा सकने वाली किसी भी समस्या की गणना बहुपद-आकार के सर्किट परिवार द्वारा भी की जा सकती है। आगे यह स्थितिया ा है कि समावेशन उचित है (अर्थात पी$\subsetneq$पी/पॉली) क्योंकि ऐसी अनिर्णीत समस्याएं हैं जो पी/पॉली में हैं। पी/पॉली में कई गुण हैं जो इसे जटिलता वर्गों के बीच संबंधों के अध्ययन में अत्यधिक उपयोगी बनाते हैं। विशेष रूप से, यह P बनाम NP से संबंधित समस्याओं की जाँच करने में सहायक है। उदाहरण के लिए, यदि एनपी में कोई ऐसी भाषा है जो पी/पॉली में नहीं है तो पी$\neq$ई.जी. P/poly बहुपद पदानुक्रम के गुणों की जांच करने में भी सहायता करता है। उदाहरण के लिए, यदि एनपी (जटिलता) ⊆ पी/पॉली, तो पीएच गिर जाता है ${\mathrm{\Sigma <!--\; \Sigma \; -->}}_{}^{}$