बहुपद

For less elementary aspects of the subject, see Polynomial ring.

गणित में, बहुपद एक ऐसा व्यंजक है जिसमें अनिश्चित ( चर भी कहा जाता है) और गुणांक होते हैं, जिसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा, और चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के संचालन सम्मिलित होते हैं। अनिश्चित x के बहुपद का एक उदाहरण: x² − 4x + 7 है। तीन चरों में एक उदाहरण : x³ + 2xyz² − yz + 1 है।

गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में बहुपद उपस्थित होता

हैं। उदाहरण के लिए, उनका उपयोग बहुपद समीकरण बनाने के लिए किया जाता है,िए किया जाता है,, जो प्राथमिक शब्द समस्याओं से लेकर जटिल वैज्ञानिक समस्याओं तक, समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को एन्कोड करते हैं;उनका उपयोग बहुपद कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, जो बुनियादी रसायन विज्ञान और भौतिकी से लेकर अर्थशास्त्र और सामाजिक विज्ञान तक की सेटिंग्स में दिखाई देते हैं;वे अन्य कार्यों को अनुमानित करने के लिए कैलकुलस और संख्यात्मक विश्लेषण में उपयोग किए जाते हैं।उन्नत गणित में, बहुपद का उपयोग बहुपद के छल्ले और बीजगणितीय किस्मों के निर्माण के लिए किया जाता है, जो बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में केंद्रीय अवधारणाएं हैं।

व्युत्पत्ति

शब्द बहुपद दो विविध जड़ों में शामिल होता है: ग्रीक पॉली, जिसका अर्थ है कई, और लैटिन नोमेन, या नाम।यह लैटिन रूट द्वि- को ग्रीक पॉली के साथ बदलकर द्विपद शब्द से लिया गया था।अर्थात्, इसका अर्थ है कई शब्दों (कई मोनोमियल) का योग।बहुपद शब्द का उपयोग पहली बार 17 वीं शताब्दी में किया गया था।

संकेतन और शब्दावली

अंगूठा एक बहुपद में होने वाले एक्स को आमतौर पर एक चर या अनिश्चित कहा जाता है। जब बहुपद को एक अभिव्यक्ति के रूप में माना जाता है, तो एक्स एक निश्चित प्रतीक है जिसका कोई मूल्य नहीं है (इसका मूल्य अनिश्चित है)। हालाँकि, जब कोई बहुपद द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन पर विचार करता है, तो X फ़ंक्शन के तर्क का प्रतिनिधित्व करता है, और इसलिए इसे एक चर कहा जाता है। कई लेखक इन दो शब्दों का परस्पर उपयोग करते हैं।

अनिश्चित X में एक बहुपद p को आमतौर पर या तो p या p (x) के रूप में दर्शाया जाता है। औपचारिक रूप से, बहुपद का नाम P (x) नहीं है, लेकिन कार्यात्मक संकेतन P (x) का उपयोग एक समय से है जब एक बहुपद और संबंधित फ़ंक्शन के बीच अंतर स्पष्ट नहीं था। इसके अलावा, कार्यात्मक संकेतन अक्सर निर्दिष्ट करने के लिए उपयोगी होता है, एक एकल वाक्यांश में, एक बहुपद और इसके अनिश्चित। उदाहरण के लिए, लेट पी (एक्स) एक बहुपद हो, लेट पी के लिए एक शॉर्टहैंड है जो अनिश्चित एक्स में एक बहुपद हो सकता है। दूसरी ओर, जब अनिश्चित के नाम पर जोर देना आवश्यक नहीं होता है, तो कई सूत्र बहुत सरल और पढ़ने में आसान होते हैं यदि अनिश्चित (ओं) का नाम (ओं) बहुपद की प्रत्येक घटना पर दिखाई नहीं देता है।

एक एकल गणितीय वस्तु के लिए दो नोटेशन होने की अस्पष्टता को औपचारिक रूप से बहुपद के लिए कार्यात्मक अंकन के सामान्य अर्थ पर विचार करके हल किया जा सकता है। यदि कोई एक संख्या, एक चर, एक अन्य बहुपद, या, अधिक आम तौर पर, किसी भी अभिव्यक्ति को दर्शाता है, तो पी (ए) अधिवक्ता द्वारा, कन्वेंशन द्वारा, पी में एक्स के लिए ए को प्रतिस्थापित करने का परिणाम है। इस प्रकार, बहुपद पी फ़ंक्शन को परिभाषित करता है

$a\mapsto P(a),$

जो कि बहुपद कार्य है जो पी से जुड़ा है। बार -बार, इस संकेतन का उपयोग करते समय, एक यह मानता है कि ए एक संख्या है।हालांकि, कोई इसे किसी भी डोमेन पर उपयोग कर सकता है जहां जोड़ और गुणन को परिभाषित किया जाता है (यानी, कोई भी अंगूठी)।विशेष रूप से, यदि A एक बहुपद है तो P (A) भी एक बहुपद है।

अधिक विशेष रूप से, जब A अनिश्चित X है, तो इस फ़ंक्शन द्वारा X की छवि बहुपद P ही है (X के लिए X को प्रतिस्थापित करना कुछ भी नहीं बदलता है)।दूसरे शब्दों में,

$P(x)=P,$

जो औपचारिक रूप से एक ही बहुपद के लिए दो सूचनाओं के अस्तित्व को सही ठहराता है।

परिभाषा

एक बहुपद अभिव्यक्ति एक अभिव्यक्ति है जिसे स्थिरांक और प्रतीकों से बनाया जा सकता है जिसे चर या अनिश्चितता के रूप में एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक शक्ति के लिए, गुणा और घातकता के माध्यम से अनिश्चितता कहा जा सकता है।स्थिरांक आम तौर पर संख्याएँ होती हैं, लेकिन कोई भी अभिव्यक्ति हो सकती है जिसमें अनिश्चितता शामिल नहीं होती है, और गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।दो बहुपद अभिव्यक्तियों को एक ही बहुपद को परिभाषित करने के रूप में माना जाता है यदि वे परिवर्तित हो सकते हैं, एक दूसरे में, कम्यूटेटिविटी, एसोसिएटिविटी और जोड़ और गुणा की वितरणता के सामान्य गुणों को लागू करके।उदाहरण के लिए $(x-1)(x-2)$ तथा $x^{2}-3x+2$ दो बहुपद अभिव्यक्तियाँ हैं जो एक ही बहुपद का प्रतिनिधित्व करती हैं;तो, एक लिखता है $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2.$ एक एकल अनिश्चित में एक बहुपद x हमेशा रूप में लिखा (या फिर से लिखा) किया जा सकता है

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$

कहाँ पे $a_{0},\ldots ,a_{n}$ ऐसे स्थिरांक हैं जिन्हें बहुपद के गुणांक कहा जाता है, और $x$ अनिश्चित है। शब्द अनिश्चित का अर्थ है कि $x$ कोई विशेष मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है, हालांकि इसके लिए किसी भी मूल्य को प्रतिस्थापित किया जा सकता है।मैपिंग जो इस प्रतिस्थापन के परिणाम को प्रतिस्थापित मान में जोड़ती है, एक फ़ंक्शन है, जिसे एक बहुपद कार्य कहा जाता है।

यह समन#कैपिटल-सिग्मा संकेतन का उपयोग करके अधिक संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है। संक्षेप अंकन:

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$

अर्थात्, एक बहुपद या तो शून्य हो सकता है या गैर-शून्य शब्दों की एक परिमित संख्या के योग के रूप में लिखा जा सकता है।प्रत्येक शब्द में एक संख्या का उत्पाद होता है – शब्द का गुणांक कहा जाता है – और गैर-नकारात्मक पूर्णांक शक्तियों के लिए उठाए गए अनिश्चितताओं की एक परिमित संख्या।

वर्गीकरण

Further information: Degree of a polynomial

एक शब्द में एक अनिश्चितता पर घातांक को उस शब्द में उस अनिश्चितता की डिग्री कहा जाता है;शब्द की डिग्री उस शब्द में अनिश्चितताओं की डिग्री का योग है, और एक बहुपद की डिग्री गैर -गुणांक के साथ किसी भी शब्द की सबसे बड़ी डिग्री है। क्योंकि x = x¹, एक लिखित प्रतिपादक के बिना एक अनिश्चित की डिग्री एक है।

बिना किसी अनिश्चितता के साथ एक शब्द और बिना किसी अनिश्चित के एक बहुपद को क्रमशः कहा जाता है, एक निरंतर शब्द और एक निरंतर बहुपद। एक निरंतर शब्द की डिग्री और एक नॉनज़ेरो निरंतर बहुपद की डिग्री 0. शून्य बहुपद 0 की डिग्री है (जिसमें कोई शब्द नहीं है) को आमतौर पर परिभाषित नहीं माना जाता है (लेकिन नीचे देखें)। उदाहरण के लिए:

$-5x^{2}y$

एक शब्द है।गुणांक है −5, अनिश्चित हैं x तथा y, की उपाधि x दो है, जबकि की डिग्री y एक है।पूरे शब्द की डिग्री इसमें प्रत्येक अनिश्चितता की डिग्री का योग है, इसलिए इस उदाहरण में डिग्री है 2 + 1 = 3।

कई शब्दों का योग बनाने से एक बहुपद पैदा होता है।उदाहरण के लिए, निम्नलिखित एक बहुपद है:

$\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.$

इसमें तीन शब्द होते हैं: पहला डिग्री दो है, दूसरा डिग्री एक है, और तीसरा डिग्री शून्य है।

छोटी डिग्री के बहुपद को विशिष्ट नाम दिए गए हैं।डिग्री शून्य का एक बहुपद एक निरंतर बहुपद है, या बस एक स्थिर है।डिग्री एक, दो या तीन के बहुपद क्रमशः रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद और क्यूबिक बहुपद हैं।उच्च डिग्री के लिए, विशिष्ट नामों का आमतौर पर उपयोग नहीं किया जाता है, हालांकि चतुर्थक बहुपद (डिग्री चार के लिए) और क्विंटिक बहुपद (डिग्री पांच के लिए) कभी -कभी उपयोग किए जाते हैं।डिग्री के नाम बहुपद या इसकी शर्तों पर लागू किए जा सकते हैं।उदाहरण के लिए, शब्द 2x में x² + 2x + 1 एक द्विघात बहुपद में एक रैखिक शब्द है।

बहुपद 0, जिसे कोई शर्त नहीं माना जा सकता है, को शून्य बहुपद कहा जाता है।अन्य निरंतर बहुपद के विपरीत, इसकी डिग्री शून्य नहीं है।बल्कि, शून्य बहुपद की डिग्री या तो स्पष्ट रूप से अपरिभाषित छोड़ दी जाती है, या नकारात्मक के रूप में परिभाषित की जाती है (या तो −1 या −−)। शून्य बहुपद भी अद्वितीय है कि यह एक अनिश्चित में एकमात्र बहुपद है जिसमें जड़ों की एक अनंत संख्या होती है।शून्य बहुपद का ग्राफ, f(x) = 0, एक्स-एक्सिस है।

एक से अधिक अनिश्चितता में बहुपद के मामले में, एक बहुपद को सजातीय कहा जाता है degree n यदि इसके सभी गैर-शून्य शर्तें हैं degree n।शून्य बहुपद सजातीय है, और, एक सजातीय बहुपद के रूप में, इसकी डिग्री अपरिभाषित है। उदाहरण के लिए, x³y² + 7x²y³ − 3x⁵ डिग्री 5 का सजातीय है। अधिक जानकारी के लिए, सजातीय बहुपद देखें।

इसके अतिरिक्त कानून का उपयोग किसी भी पसंदीदा आदेश में शर्तों को फिर से व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है।एक अनिश्चित के साथ बहुपद में, शर्तों को आमतौर पर डिग्री के अनुसार आदेश दिया जाता है, या तो अवरोही शक्तियों में x, पहले सबसे बड़ी डिग्री के कार्यकाल के साथ, या आरोही शक्तियों में x।बहुपद 3x² - 5x + 4 के अवरोही शक्तियों में लिखा गया है x।पहले कार्यकाल में गुणांक है 3, अनिश्चित x, और प्रतिपादक