प्रस्तावक कलन: Difference between revisions

Revision as of 10:25, 23 February 2023

प्रस्तावपरक कलन तर्क की शाखा है। इसे प्रस्तावपरक तर्क, स्टेटमेंट तर्क, सेंटेंशियल कैलकुलस, सेंटेंशियल तर्क या कभी-कभी ज़ीरोथ ऑर्डर तर्क भी कहा जाता है। इन प्रस्तावों (जो सही या असत्य हो सकता है) और प्रस्तावों के बीच संबंधों से यह संबंधित होते है, जिसमें इनके आधार पर तर्कों का निर्माण भी सम्मलित होता हैं। इस प्रकार यौगिक तर्कवाक्यों का निर्माण तर्कवाक्यों के तार्किक संयोजकों द्वारा जोड़कर किया जाता है। वे तर्कवाक्य जिनमें कोई तार्किक संयोजक नहीं होते, परमाण्विक तर्कवाक्य कहलाते हैं।

प्रथम-क्रम तर्क के विपरीत, प्रस्तावपरक तर्क गैर-तार्किक वस्तुओं से निपटता नहीं है, उनके बारे या परिमाणक (तर्क) में भविष्यवाणी करता है। चूंकि, प्रस्तावपरक तर्क की सभी मशीनरी प्रथम-क्रम तर्क और उच्च-क्रम तर्क में सम्मलित है। इस अर्थ में, प्रस्तावात्मक तर्क प्रथम-क्रम तर्क और उच्च-क्रम तर्क की नींव होती हैं।

स्पष्टीकरण

तार्किक संयोजक प्राकृतिक भाषाओं में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए अंग्रेजी में, कुछ उदाहरण हैं और (तार्किक संयोजन), या (तार्किक संयोजन), नहीं (निषेध) और यदि (किन्तु केवल जब भौतिक सशर्त को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है)।

निम्नलिखित प्रस्तावपरक तर्क की सीमा में बहुत ही सरल अनुमान का उदाहरण है:

परिसर 1: यदि बारिश हो रही है तो बादल छाए हुए हैं।

परिसर 2: बारिश हो रही है।

निष्कर्ष: बादल छाए हुए हैं।

इस प्रकार परिसर और निष्कर्ष दोनों प्रस्तावित होते हैं। इस परिसर को प्रदान किया जाता है, और मूड समुच्चय करना (एक अनुमान नियम) के आवेदन के साथ, निष्कर्ष निम्नानुसार है।

जैसा कि प्रस्तावात्मक तर्क उस बिंदु से परे प्रस्तावों की संरचना से संबंधित नहीं है जहां उन्हें तार्किक संयोजकों द्वारा और अधिक विघटित नहीं किया जा सकता है, इस अनुमान को उन परमाणु बयानों को बयान पत्रों के साथ परिवर्तित कर पृथिकृत किया जा सकता है, जिनकी मतानुसार प्रतिनिधित्व करने वाले चर के रूप में व्याख्या की जाती है:

परिसर 1:

P\to Q

परिसर 2:

P

निष्कर्ष:

Q

उसी को संक्षेप में निम्न प्रकार से कहा जाता है:

{\frac {P\to Q,P}{Q}}

जब $P$ यह बारिश हो रही है और $Q$ के रूप में व्याख्या की जाती है, जैसा कि इंगित किया गया है, इस प्रकार उपरोक्त प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों को प्राकृतिक भाषा में मूल अभिव्यक्ति के साथ त्रुटिहीन रूप से मेल खाते देखा जा सकता है। इतना ही नहीं, वे इस रूप के किसी अन्य अनुमान के अनुरूप भी होंगे, जो उसी आधार पर मान्य होगा जिस आधार पर यह अनुमान है।

प्रस्तावात्मक तर्क का अध्ययन औपचारिक प्रणाली के माध्यम से किया जा सकता है जिसमें प्रस्तावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए औपचारिक भाषा का सुव्यवस्थित सूत्र व्याख्या (तर्क) हो सकता है। स्वयंसिद्ध की निगमनात्मक प्रणाली और अनुमान का नियम कुछ सूत्रों को व्युत्पन्न करने की अनुमति देता है। इन व्युत्पन्न सूत्रों को प्रमेय कहा जाता है और इन्हें सही तर्कवाक्य के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है। ऐसे सूत्रों के निर्मित अनुक्रम को औपचारिक प्रमाण या प्रमाण के रूप में जाना जाता है और अनुक्रम का अंतिम सूत्र प्रमेय है। व्युत्पत्ति की व्याख्या प्रमेय द्वारा प्रस्तुत प्रस्ताव के प्रमाण के रूप में की जा सकती है।

जब औपचारिक तर्क का प्रतिनिधित्व करने के लिए औपचारिक प्रणाली का उपयोग किया जाता है, तो केवल कथन पत्र (सामान्यतः कैपिटल रोमन अक्षर जैसे $P$ , $Q$ और $R$ ) सीधे प्रतिनिधित्व कर रहे हैं। जब उनकी व्याख्या की जाती है तो उत्पन्न होने वाली प्राकृतिक भाषा के प्रस्ताव प्रणाली की सीमा से बाहर होते हैं, और औपचारिक प्रणाली और इसकी व्याख्या के बीच का संबंध औपचारिक प्रणाली के बाहर भी होता है।

मौलिक सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक तर्क में, सूत्रों की व्याख्या दो संभावित सत्य मानों में से सत्य का सत्य मान या असत्य का सत्य मान के रूप में की जाती हैॉ।^[1] द्विसंयोजकता के सिद्धांत और अपवर्जित मध्य के नियम को निरंतर रखा गया है। ट्रुथ-फंक्शनल प्रस्तावपरक तर्क को इस तरह परिभाषित किया गया है और इसके लिए प्रणाली समाकृतिकता को ज़ीरोथ-ऑर्डर तर्क माना जाता है। चूंकि, वैकल्पिक प्रस्तावपरक तर्क भी संभव हैं। अधिक जानकारी के लिए, प्रस्ताविक कलन वैकल्पिक कलन नीचे देखें।

इतिहास

यद्यपि प्रस्तावपरक तर्क (जो प्रस्तावपरक कलन के साथ विनिमेय है) को पहले के दार्शनिकों द्वारा संकेत दिया गया था, इसे तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में क्रिसिपस द्वारा औपचारिक तर्क (स्टोइक तर्क) में विकसित किया गया था।^[2] और उनके उत्तराधिकारी स्टोइक्स द्वारा विस्तारित किया गया। तर्क प्रस्तावों पर केंद्रित था। यह उन्नति पारंपरिक न्यायवाक्य से भिन्न थी, जो कि न्यायवाक्य में न्यायवाक्य शर्तों पर केंद्रित था। चूंकि, अधिकांश मूल लेखन खो गए थे^[3] और स्टोइक्स द्वारा विकसित प्रस्तावपरक तर्क अब पुरातनता में बाद में समझ में नहीं आया। परिणाम स्वरुप , 12 वीं शताब्दी में pटर एबेलार्ड द्वारा प्रणाली को अनिवार्य रूप से पुनर्निर्मित किया गया था।^[4]

सांकेतिक तर्क का उपयोग करते हुए अंतत: प्रस्तावात्मक तर्क को परिष्कृत किया गया। 17वीं/18वीं सदी के गणितज्ञ गॉटफ्रीड लीबनिज को गणना कैलकुलेटर के साथ अपने कार्य के लिए प्रतीकात्मक तर्क के संस्थापक होने का श्रेय दिया जाता है। चूंकि उनका कार्य अपनी तरह का पहला था, यह बड़े तार्किक समुदाय के लिए अज्ञात था। परिणाम स्वरुप , लीबनिज द्वारा प्राप्त की गई कई प्रगतियों को जॉर्ज बूले और ऑगस्टस डी मॉर्गन जैसे तर्कशास्त्रियों द्वारा फिर से बनाया गया था - लाइबनिज से पूरी तरह से स्वतंत्र हैं।^[5]

जिस तरह प्रस्तावात्मक तर्क को पहले के न्यायवाक्य तर्क से उन्नति माना जा सकता है, गोटलॉब फ्रेज या लेखक विधेय तर्क का वर्णन करता है, जो कि न्यायसंगत तर्क और प्रस्तावपरक तर्क की विशिष्ट विशेषताओं के संयोजन के रूप में है।^[6] परिणाम स्वरुप, विधेय तर्क इनके तर्क के इतिहास में नए युग की प्रारंभ की हैं, चूंकि, प्राकृतिक परिणाम, विश्लेषणात्मक झांकी की विधि और सत्य-तालिका सहित, प्रस्तावपरक तर्क में प्रगति अभी भी फ्रीज के पश्चात की गई थी। प्राकृतिक निगमन का आविष्कार गेरहार्ड जेंटजन और जान लुकासिविक्ज़ ने किया था। ट्रुथ ट्री का आविष्कार एवर्ट विलेम बेथ ने किया था।^[7] चूंकि, सत्य तालिकाओं का आविष्कार अनिश्चित rोपण का है।

अंदर कार्य करता है फ्रीज द्वारा^[8] और बर्ट्रेंड रसेल,^[9] सत्य तालिकाओं के आविष्कार के लिए प्रभावशाली विचार हैं। वास्तविक सारणीबद्ध संरचना (एक तालिका के रूप में स्वरूपित किया जा रहा है), सामान्यतः लुडविग विट्गेन्स्टाइन या एमिल पोस्ट (या दोनों, स्वतंत्र रूप से) को श्रेय दिया जाता है।^[8]फ्रीज और रसेल के अतिरिक्त, अन्य लोगों को सत्य सारणी से पहले के विचार रखने का श्रेय दिया जाता है जिनमें फिलो, बोले, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, सम्मलित हैं।^[10] और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) या अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया हैं। सारणीबद्ध संरचना का श्रेय अन्य लोगों को दिया जाता है, जिनमें जन लुकासिविक्ज़, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड, विलियम स्टेनली जेवन्स, जॉन वेन और क्लेरेंस इरविंग लुईस सम्मलित हैं।^[9]अंत में, जॉन शोस्की के जैसे कुछ लोगों ने निष्कर्ष निकाला है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किसी व्यक्ति को सत्य-सारणियों के 'आविष्कारक' की उपाधि दी जानी चाहिए।^[9]

शब्दावली

सामान्य शब्दों में, कैलकुलस औपचारिक प्रणाली है जिसमें वाक्यात्मक अभिव्यक्तियों (अच्छी तरह से निर्मित सूत्र) का समुच्चय होता है, इन अभिव्यक्तियों (स्वयंसिद्धों) का विशिष्ट उपसमुच्चय, साथ ही औपचारिक नियमों का समुच्चय होता है जो विशिष्ट द्विआधारी संबंध को परिभाषित करता है, जिसका उद्देश्य अभिव्यक्ति के स्थान पर तार्किक तुल्यता के रूप में व्याख्या की जाए।

जब औपचारिक प्रणाली तार्किक प्रणाली होने का मत रखती है, तो अभिव्यक्तियों को बयानों के रूप में व्याख्या करने के लिए होता है, और नियम, जिन्हें अनुमान नियम कहा जाता है, सामान्यतः सत्य-संरक्षण के लिए अभिप्रेत हैं। इस समुच्चयिंग में, नियम, जिसमें अभिगृहीत सम्मलित हो सकते हैं, का उपयोग सत्य कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले सूत्रों को प्राप्त करने (अनुमान) करने के लिए किया जा सकता है—सत्य कथनों का प्रतिनिधित्व करने वाले दिए गए सूत्रों से की जा सकती हैं।

स्वयंसिद्धों का समुच्चय खाली हो सकता है, गैर-खाली परिमित समुच्चय, या गणनीय रूप से अनंत समुच्चय (स्वयंसिद्ध स्कीमा देखें)। औपचारिक व्याकरण औपचारिक भाषा के भावों और सुगठित सूत्रों को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित करता है। इसके अतिरिक्त शब्दार्थ दिया जा सकता है जो सत्य और मानांकन (तर्क) (या व्याख्या (तर्क)) को परिभाषित करता है।

प्रस्तावपरक कलन की औपचारिक भाषा में सम्मलित हैं

प्रतीकों का समुच्चय, जिसे विभिन्न रूप से परमाणु सूत्र, प्लेसहोल्डर, प्रस्ताव पत्र या चर के रूप में संदर्भित किया जाता है, और
ऑपरेटर प्रतीकों का समुच्चय, विभिन्न रूप से तार्किक ऑपरेटरों या तार्किक संयोजकों के रूप में व्याख्या की जाती है।

एक सुव्यवस्थित सूत्र कोई परमाणु सूत्र है, या कोई भी सूत्र जो व्याकरण के नियमों के अनुसार ऑपरेटर प्रतीकों के माध्यम से परमाणु सूत्रों से बनाया जा सकता है।

गणितज्ञ कभी-कभी प्रस्तावात्मक स्थिरांक, प्रस्तावात्मक चर और स्कीमाटा के बीच अंतर करते हैं। प्रस्तावनात्मक स्थिरांक कुछ विशेष प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि प्रस्तावनात्मक चर सभी परमाणु प्रस्तावों के समुच्चय पर होते हैं। स्कीमाटा, चूंकि, सभी प्रस्तावों की श्रेणी में से है। द्वारा प्रस्तावनीय स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करना आम है $A$ , $B$ , और $C$ , प्रस्ताव चर द्वारा $P$ , $Q$ , और $R$ , और योजनाबद्ध अक्षर अधिकांशतः ग्रीक अक्षर में सबसे अधिक बार $φ$ , $ψ$ , और $χ$ होते हैं।

बुनियादी अवधारणाएँ

निम्नलिखित मानक प्रस्तावपरक कलन की रूपरेखा देता है। कई अलग-अलग फॉर्मूलेशन सम्मलित हैं जो कमोबेश सभी समकक्ष हैं, किन्तु विवरण में भिन्न हैं:

उनकी भाषा (अर्थात, प्रतीकों और ऑपरेटर प्रतीकों का विशेष संग्रह),
स्वयंसिद्धों का समूह, या विशिष्ट सूत्र, और
अनुमान नियमों का समुच्चय।

किसी दिए गए तर्कवाक्य को अक्षर से प्रदर्शित किया जा सकता है जिसे 'तर्कसंगत स्थिरांक' कहा जाता है, जो गणित में अक्षर द्वारा किसी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के समान है (उदाहरण के लिए, $a = 5$ ). सभी प्रस्तावों को दो सत्य-मानों में से की आवश्यकता होती है: सत्य या असत्य। उदाहरण के लिए, चलो $P$ प्रस्ताव हो कि बाहर बारिश हो रही है। यह सत्य होगा ( $P$ ) और असत्य अन्यथा ( $\neg P$ ) यदि बाहर बारिश हो रही है ।

फिर हम सत्य-कार्यात्मक संचालकों को परिभाषित करते हैं, जो निषेध से प्रारंभ होते हैं। $\neg P$ के निषेध का प्रतिनिधित्व $P$ करता है , जिसे इनकार के रूप में माना जा सकता है $P$ . उपरोक्त उदाहरण में, $\neg P$ व्यक्त करता है कि बाहर बारिश नहीं हो रही है, या अधिक मानक पढ़ने से: ऐसा नहीं है कि बाहर बारिश हो रही है। कब $P$ क्या सत्य है, $\neg P$ असत्य है, और जब $P$ असत्य है $\neg P$ क्या सत्य है। परिणाम स्वरुप , $\neg \neg P$ सदैव ही $P$ सत्य-मान होता है।
संयोजन सत्य-कार्यात्मक संयोजक है जो दो सरल तर्कवाक्यों में से प्रस्ताव बनाता है, उदाहरण के लिए, P और Q. का योग P और Q लिखा है P ∧ Q, और व्यक्त करता है कि प्रत्येक सत्य है। हम पढ़ते है P ∧ Q जैसाP और Q. किसी भी दो प्रस्तावों के लिए, सत्य मानों के चार संभावित कार्य हैं:
1. $P$ सत्य है और $Q$ क्या सत्य है
2. $P$ सत्य है और $Q$ असत्य है
3. $P$ असत्य है और $Q$ क्या सत्य है
4. $P$ असत्य है और $Q$ असत्य है

का योग

P

और

Q

1 के स्थिति में सत्य है, और अन्यथा असत्य है। जहाँ

P

प्रस्ताव है कि बाहर बारिश हो रही है और

Q

यह प्रस्ताव है कि कंसास के ऊपर शीत-मोर्चा है,

P \land Q

सत्य है जब बाहर बारिश हो रही है और कंसास के ऊपर ठंडा-मोर्चा है। यदि बाहर बारिश नहीं हो रही है, तो

P \land Q

असत्य है, और यदि कंसास के ऊपर कोई कोल्ड-फ्रंट नहीं है, तो

P \land Q

भी असत्य है।

डिसजंक्शन संयुग्मन जैसा दिखता है कि यह दो सरल प्रस्तावों में से प्रस्ताव बनाता है। हम इसे लिखते हैं $P \lor Q$ , और इसे पढ़ा जाता है $P$ या $Q$ . यह या तो व्यक्त करता है $P$ या $Q$ क्या सत्य है। इस प्रकार, ऊपर सूचीबद्ध स्थितियों में, का विच्छेदन $P$ साथ $Q$ सभी स्थितियों में सत्य है—केस 4 को छोड़कर। ऊपर दिए गए उदाहरण का उपयोग करते हुएअनन्य संयोजन व्यक्त करता है कि या तो बाहर बारिश हो रही है, या कंसास के ऊपर ठंडा मोर्चा है। (ध्यान दें, संयोजन का यह प्रयोग अंग्रेजी शब्द या के उपयोग के समान माना जाता है। चूंकि, यह अंग्रेजी समावेशी संयोजन या की तरह है, जिसका उपयोग कम से कम दो प्रस्तावों में से की सत्य्चाई को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। यह नहीं है जैसे अंग्रेजी समावेशी विच्छेदन या, जो दो प्रस्तावों में से की सत्य्चाई को व्यक्त करता है। दूसरे शब्दों में, एक्सक्लूसिव या असत्य है जब दोनों $P$ और $Q$ सत्य हैं (स्थिति 1), और समान रूप से असत्य है जब दोनों $P$ और $Q$ असत्य हैं। अनन्य या का उदाहरण है: आपके पास बैगल या पेस्ट्री हो सकती है, किन्तु दोनों नहीं हो सकते। प्राय: प्राकृतिक भाषा में, उचित संदर्भ दिए जाने पर, परिशिष्ट किन्तु दोनों को छोड़ा नहीं जाता है - किन्तु निहित है। गणित में, तथापि, या सदैव समावेशी होता है या, यदि अनन्य या इसका मतलब है तो यह संभवतः xor द्वारा निर्दिष्ट किया जाएगा।)
भौतिक सशर्त भी दो सरल प्रस्तावों में सम्मलित होता है, और हम लिखते हैं $P \to Q$ , जो यदि पढ़ा जाता है $P$ तब $Q$ . तीर के बाईं ओर के प्रस्ताव को पूर्ववर्ती कहा जाता है, और दाईं ओर के प्रस्ताव को परिणामी कहा जाता है। (संयोजन या संयोजन के लिए ऐसा कोई पदनाम नहीं है, क्योंकि वे क्रमविनिमेय संपत्ति संचालन हैं।) यह व्यक्त करता है $Q$ सत्य है जब भी $P$ क्या सत्य है। इस प्रकार $P \to Q$ स्थिति 2 को छोड़कर ऊपर दिए गए प्रत्येक स्थिति में सत्य है, क्योंकि यह एकमात्र स्थिति है जब $P$ सत्य है किन्तु $Q$ क्या नहीं है। उदाहरण का उपयोग करते हुए, यदि $P$ तब $Q$ व्यक्त करता है कि यदि बाहर बारिश हो रही है, तो कंसास के ऊपर ठंडा-मोर्चा है। भौतिक सशर्त अधिकांशतः भौतिक कार्य-कारण के साथ भ्रमित होता है। चूंकि, भौतिक सशर्त, केवल दो प्रस्तावों को उनके सत्य-मानों से संबंधित करता है - जो कि कारण और प्रभाव का संबंध नहीं है। यह साहित्य में विवादास्पद है कि भौतिक निहितार्थ तार्किक कारण का प्रतिनिधित्व करता है या नहीं।
द्विशर्त दो सरल तर्कवाक्यों को जोड़ता है, और हम लिखते हैं $P \leftrightarrow Q$ , जिसे पढ़ा जाता है $P$ यदि और केवल यदि $Q$ . यह व्यक्त करता है $P$ और $Q$ समान सत्य-मान है, और स्थितियों 1 और 4 में।' $P$ सत्य है यदि और केवल यदि $Q$ ' सत्य है, अन्यथा असत्य है।

इन विभिन्न ऑपरेटरों के साथ-साथ विश्लेषणात्मक की विधि के लिए सत्य तालिकाओं को देखना बहुत सहायक है।

संचालन के अनुसार बंद

सत्य-कार्यात्मक संयोजकों के अंतर्गत प्रस्तावात्मक तर्क समापन (गणित) है। अर्थात किसी प्रस्ताव के लिए $φ$ , $\neg φ$ भी प्रस्ताव है। इसी तरह, किसी भी प्रस्ताव के लिए $φ$ और $ψ$ , $φ \land ψ$ प्रस्ताव है, और इसी तरह संयोजन, सशर्त और द्विप्रतिबंध के लिए। इसका तात्पर्य है कि, उदाहरण के लिए, $φ \land ψ$ प्रस्ताव है, और इसलिए इसे दूसरे प्रस्ताव के साथ जोड़ा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए, हमें यह इंगित करने के लिए कोष्ठकों का उपयोग करने की आवश्यकता है कि कौन सा प्रस्ताव किसके साथ जुड़ा हुआ है। उदाहरण के लिए, $P \land Q \land R$ सुनिर्मित सूत्र नहीं है, क्योंकि हम नहीं जानते कि क्या हम जुड़ रहे हैं $P \land Q$ साथ $R$ या यदि हम जुड़ रहे हैं $P$ साथ $Q \land <$

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