आधार (टोपोलॉजी)

गणित में, टोपोलॉजी (संरचना) के लिए आधार (या आधार) τ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का (X, τ) समुच्चयों का परिवार है ${\mathcal {B}}$ के खुले समुच्चयों का X ऐसा है कि टोपोलॉजी का हर खुला समुच्चय कुछ उप समुच्चय के संघ स्थापित करें के बराबर है | उप-परिवार ${\mathcal {B}}$. उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या रेखा में सभी खुले अंतरालों का समुच्चय $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी का आधार है $\mathbb {R}$ क्योंकि प्रत्येक विवृत्त अंतराल एक विवृत्त समुच्चय होता है, और प्रत्येक विवृत्त उपसमुच्चय भी $\mathbb {R}$ खुले अंतराल के कुछ परिवार के संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

आधार पूरे टोपोलॉजी में सर्वव्यापी हैं। एक टोपोलॉजी के लिए बेस में समुच्चय, जो कहलाते हैं मूलभूत खुले समुच्चय, मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों की तुलना में प्रायः वर्णन करना और उपयोग करना आसान होता है। निरंतर कार्य और अभिसरण (टोपोलॉजी) जैसी कई महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जांच मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों के बजाय केवल मूल खुले समुच्चयों का उपयोग करके की जा सकती है। कुछ टोपोलॉजी में विशिष्ट उपयोगी गुणों के साथ खुले समुच्चय का आधार होता है जो ऐसी टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जाँच को आसान बना सकता है।

समुच्चय के उप समुच्चय के सभी परिवार नहीं $X$ एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार तैयार करें $X$. नीचे दी गई कुछ शर्तों के तहत, उप समुच्चय का परिवार एक (अद्वितीय) टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएगा $X$, सबफैमिली के सभी संभावित यूनियनों को लेकर प्राप्त किया गया। टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए समुच्चय के ऐसे परिवारों का प्रायः उपयोग किया जाता है। आधारों से संबंधित एक कमजोर धारणा एक टोपोलॉजी के लिए उप-आधार की है। टोपोलॉजी के आधार भी पड़ोस के ठिकानों से निकटता से संबंधित हैं।

परिभाषा और मूलभूत गुण

टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $(X,\tau )$, आधार (या आधार) टोपोलॉजी (संरचना) के लिए $\tau$ (के लिए एक आधार भी कहा जाता है $X$ यदि टोपोलॉजी को समझा जाए) समुच्चयों का परिवार है ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ खुले समुच्चयों का ऐसा कि टोपोलॉजी के हर खुले समुच्चय को कुछ उपपरिवारों के मिलन के रूप में दर्शाया जा सकता है ${\mathcal {B}}$. के तत्व ${\mathcal {B}}$ बेसिक ओपन समुच्चय कहलाते हैं।

समान रूप से, एक परिवार ${\mathcal {B}}$ के उप समुच्चय का $X$ टोपोलॉजी का आधार है $\tau$ यदि और केवल यदि ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ और हर खुले समुच्चय के लिए $U$ में $X$ और बिंदु $x\in U$ कुछ मूलभूत खुला समुच्चय है $B\in {\mathcal {B}}$ ऐसा है कि $x\in B\subseteq U$.

उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा में सभी खुले अंतरालों का संग्रह वास्तविक संख्याओं पर मानक टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है। अधिक सामान्यतः एक मीट्रिक स्थान में $M$ के अंक के बारे में सभी खुली गेंदों का संग्रह $M$ टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है।

सामान्य तौर पर, एक सामयिक स्थान $(X,\tau )$ अनेक आधार हो सकते हैं। संपूर्ण टोपोलॉजी $\tau$ हमेशा अपने लिए एक आधार होता है (अर्थात, $\tau$ का आधार है $\tau$). वास्तविक रेखा के लिए, सभी खुले अंतरालों का संग्रह टोपोलॉजी का आधार है। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत अंतराल के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह, या तर्कहीन अंत बिंदुओं के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह। ध्यान दें कि दो अलग-अलग आधारों के लिए सामान्य रूप से मूलभूत खुला समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। अंतरिक्ष के सामयिक गुणों में से एक $X$ इसकी टोपोलॉजी के लिए आधार की न्यूनतम प्रमुखता है, जिसे वजन कहा जाता है $X$ और निरूपित $w(X)$. उपरोक्त उदाहरणों से, वास्तविक रेखा में गणनीय भार होता है।

यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी का आधार है $\tau$ एक स्थान का $X$, यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है::(बी1) के तत्व ${\mathcal {B}}$ आवरण (टोपोलॉजी) $X$, यानी, हर बिंदु $x\in X$ के किसी तत्व से संबंधित है ${\mathcal {B}}$.

(B2) प्रत्येक के लिए $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$ और हर बिंदु $x\in B_{1}\cap B_{2}$, कुछ मौजूद है $B_{3}\in {\mathcal {B}}$ ऐसा है कि $x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$.

संपत्ति (B1) इस तथ्य से मेल खाती है कि $X$ एक खुला समुच्चय है; संपत्ति (B2) इस तथ्य से मेल खाती है कि $B_{1}\cap B_{2}$ एक खुला समुच्चय है।

इसके विपरीत मान लीजिए $X$ बिना किसी टोपोलॉजी के सिर्फ एक समुच्चय है और ${\mathcal {B}}$ के उपसमुच्चय का परिवार है $X$ संतोषजनक गुण (B1) और (B2) है। तब ${\mathcal {B}}$ यह उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी के लिए एक आधार है। अधिक सटीक, चलो $\tau$ के सभी उपसमूहों का परिवार हो $X$ जो कि उप-परिवारों के संघ हैं ${\mathcal {B}}.$ तब $\tau$ पर एक टोपोलॉजी है $X$ और ${\mathcal {B}}$ का आधार है $\tau$.

(स्केच: $\tau$ एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है क्योंकि यह निर्माण द्वारा मनमाना संघों के तहत स्थिर है, यह परिमित चौराहों के तहत स्थिर है (B2), इसमें शामिल है $X$ द्वारा (B1), और इसमें खाली उपपरिवार के मिलन के रूप में खाली समुच्चय शामिल है ${\mathcal {B}}$. परिवार ${\mathcal {B}}$ तब के लिए एक आधार है $\tau$ निर्माण द्वारा है। समुच्चय के ऐसे परिवार एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।

सामान्य तौर पर, यदि $X$ एक समुच्चय है और ${\mathcal {B}}$ के उप समुच्चय का मनमाना संग्रह है $X$, एक (अद्वितीय) सबसे छोटी टोपोलॉजी है $\tau$ पर $X$ युक्त ${\mathcal {B}}$. (यह टोपोलॉजी सभी टोपोलॉजी का प्रतिच्छेदन (समुच्चय थ्योरी) है $X$ युक्त ${\mathcal {B}}$।) टोपोलॉजी $\tau$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी कहलाती है