बेल बहुपद

For बहुपदों का एक अलग परिवार B_n(x) जिसे कभी-कभी बेल बहुपद कहा जाता है, see टचर्ड बहुपद.

साहचर्य गणित में, एरिक टेम्पल बेल के सम्मान में नामित बेल बहुपद का उपयोग सेट विभाजन के अध्ययन में किया जाता है। वे स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर से संबंधित हैं। वे कई अनुप्रयोगों में भी होते हैं, जैसे कि फा डि ब्रूनो के सूत्र में।

परिभाषाएँ

घातीय बेल बहुपद

आंशिक या अपूर्ण घातीय बेल बहुपद बहुपदों की एक त्रिकोणीय सरणी द्वारा दिए गए हैं

$B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})=\sum {n! \over j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_{1} \over 1!}\right)^{j_{1}}\left({x_{2} \over 2!}\right)^{j_{2}}\cdots \left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$

जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के सभी अनुक्रम j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 पर योग लिया जाता है, जैसे कि ये दो शर्तें पूरी होती हैं:

$j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,$ :$j_{1}+2j_{2}+3j_{3}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$

योग

$B_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n-k+1})$

nवां पूर्ण चरघातांकी बेल बहुपद कहलाता है।

साधारण बेल बहुपद

इसी प्रकार, आंशिक साधारण बेल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है

${\hat {B}}_{n,k}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-k+1})=\sum {\frac {k!}{j_{1}!j_{2}!\cdots j_{n-k+1}!}}x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},$

जहां योग गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के सभी अनुक्रम j₁, j₂, j₃, ..., j_n−k+1 पर चलता है जैसे कि

$j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{n-k+1}=k,$

$j_{1}+2j_{2}+\cdots +(n-k+1)j_{n-k+1}=n.$

साधारण बेल बहुपदों को घातीय बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: