पैरेटो फ्रंट: Difference between revisions

Revision as of 00:37, 16 February 2023

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है।^[1] इसे व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।^[2]^{: 111–148} यह प्रारूपो को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस समुच्चय के अंदर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।^[3]^: 63–65^[4]^{: 399–412}

पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।

उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।

परिभाषा

पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें $f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ , जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक कॉम्पैक्ट जगह है $\mathbb {R} ^{n}$ , और Y में कसौटी वैक्टर का व्यवहार्य समुच्चय है $\mathbb {R} ^{m}$ , ऐसा है कि $Y=\{y\in \mathbb {R} ^{m}:\;y=f(x),x\in X\;\}$ .

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु $y^{\prime \prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है $y^{\prime }\in \mathbb {R} ^{m}$ , के रूप में लिखा गया है $y^{\prime \prime }\succ y^{\prime }$ . पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:

P(Y)=\{y^{\prime }\in Y:\;\{y^{\prime \prime }\in Y:\;y^{\prime \prime }\succ y^{\prime },y^{\prime }\neq y^{\prime \prime }\;\}=\emptyset \}.

प्रतिस्थापन की सीमांत दर

अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि पारेतो-कुशल आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है।^[5] एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता समारोह के रूप में विचार करके एक औपचारिक बयान प्राप्त किया जा सकता है $z_{i}=f^{i}(x^{i})$ कहाँ $x^{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\ldots ,x_{n}^{i})$ माल का सदिश है, सभी के लिए i. व्यवहार्यता बाधा है $\sum _{i=1}^{m}x_{j}^{i}=b_{j}$ के लिए $j=1,\ldots ,n$ . पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी को अधिकतम करते हैं:

L_{i} ({(x_{j}^{k})}_{k, j}, {(λ_{k})}_{k}, {(μ_{j})}_{j}) = f^{i} (x^{i}) + \sum_{k = 2}^{m} λ_{}

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 {{Short description|Set of all Pareto efficient situations}}
-[[बहुउद्देश्यीय अनुकूलन]] में, पैरेटो फ्रंट (जिसे पेरेटो फ्रंटियर या पारेतो वक्र भी कहा जाता है) सभी पारेटो कुशल समाधानों का सेट है।<ref>{{Cite web|last=proximedia|title=Pareto Front|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|access-date=2018-10-08|website=www.cenaero.be}}</ref> अवधारणा का व्यापक रूप से [[अभियांत्रिकी]] में उपयोग किया जाता है।<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>{{rp|111–148}} यह डिज़ाइनर को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के बजाय कुशल विकल्पों के सेट पर ध्यान केंद्रित करने और इस सेट के भीतर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>{{rp|63–65}}<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>{{rp|399–412}}
+[[बहुउद्देश्यीय अनुकूलन]] में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है।<ref>{{Cite web|last=proximedia|title=Pareto Front|url=http://www.cenaero.be/Page.asp?docid=27103&|access-date=2018-10-08|website=www.cenaero.be}}</ref> इसे व्यापक रूप से [[अभियांत्रिकी]] में उपयोग किया जाता है।<ref>Goodarzi, E., Ziaei, M., & Hosseinipour, E. Z., ''Introduction to Optimization Analysis in Hydrosystem Engineering'' ([[Berlin]]/[[Heidelberg]]: [[Springer Science+Business Media|Springer]], 2014), [https://books.google.com/books?id=WjS8BAAAQBAJ&pg=PT111 pp. 111–148].</ref>{{rp|111–148}} यह प्रारूपो  को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के  समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस  समुच्चय के अंदर व्यापार-बंद करने की अनुमति देता है।<ref>Jahan, A., Edwards, K. L., & Bahraminasab, M., ''Multi-criteria Decision Analysis'', 2nd ed. ([[Amsterdam]]: [[Elsevier]], 2013), [https://books.google.com/books?id=3mreBgAAQBAJ&pg=PA63 pp. 63–65].</ref>{{rp|63–65}}<ref>Costa, N. R., & Lourenço, J. A., "Exploring Pareto Frontiers in the Response Surface Methodology", in G.-C. Yang, S.-I. Ao, & L. Gelman, eds., ''Transactions on Engineering Technologies: World Congress on Engineering 2014'' (Berlin/Heidelberg: Springer, 2015), [https://books.google.com/books?id=eMElCQAAQBAJ&pg=PA398 pp. 399–412].</ref>{{rp|399–412}}
 [[File:Front_pareto.svg|thumb|300x300px|पैरेटो फ्रंटियर का उदाहरण। बॉक्सिंग बिंदु व्यवहार्य विकल्पों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और छोटे मूल्यों को बड़े लोगों के लिए पसंद किया जाता है। बिंदु C पेरेटो सीमा पर नहीं है क्योंकि यह बिंदु A और बिंदु B दोनों का प्रभुत्व है। बिंदु A और B पर किसी अन्य का सख्ती से प्रभुत्व नहीं है, और इसलिए यह सीमा पर स्थित है।]]
-[[File:Pareto_Efficient_Frontier_1024x1024.png|thumb|256x256px|उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत सेट है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।]]
+[[File:Pareto_Efficient_Frontier_1024x1024.png|thumb|256x256px|उत्पादन-संभावना की सीमा। लाल रेखा पारेटो-कुशल फ्रंटियर का एक उदाहरण है, जहां सीमांत और उसके नीचे का क्षेत्र विकल्पों का एक सतत  समुच्चय है। सीमांत पर लाल बिंदु उत्पादन के पारेटो-इष्टतम विकल्पों के उदाहरण हैं। सीमा से दूर के बिंदु, जैसे कि N और K, पारेतो-प्रभावी नहीं हैं, क्योंकि सीमांत पर ऐसे बिंदु मौजूद हैं जो उन पर पारेटो-प्रभुत्व रखते हैं।]]
 == परिभाषा ==
-पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}^m</math>, जहाँ X [[मीट्रिक स्थान]] में व्यवहार्य निर्णयों का एक [[कॉम्पैक्ट जगह]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, और Y में कसौटी वैक्टर का व्यवहार्य सेट है <math>\mathbb{R}^m</math>, ऐसा है कि <math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>.
+पेरेटो फ्रंटियर, पी (वाई), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। कार्य के साथ एक प्रणाली पर विचार करें <math>f: X \rightarrow \mathbb{R}^m</math>, जहाँ X [[मीट्रिक स्थान]] में व्यवहार्य निर्णयों का एक [[कॉम्पैक्ट जगह]] है <math>\mathbb{R}^n</math>, और Y में कसौटी वैक्टर का व्यवहार्य  समुच्चय है <math>\mathbb{R}^m</math>, ऐसा है कि <math>Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}</math>.
 हम मानते हैं कि मापदंड मानों की पसंदीदा दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु <math>y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m</math> एक और बिंदु के लिए (सख्ती से हावी) पसंद किया जाता है <math>y^{\prime} \in \mathbb{R}^m</math>, के रूप में लिखा गया है <math>y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}</math>. पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:
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 == गणना ==
-[[कंप्यूटर विज्ञान]] और पावर इंजीनियरिंग में विकल्पों के एक सीमित सेट के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए [[कलन विधि]] का अध्ययन किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Tomoiagă|first1=Bogdan|last2=Chindriş|first2=Mircea|last3=Sumper|first3=Andreas|last4=Sudria-Andreu|first4=Antoni|last5=Villafafila-Robles|first5=Roberto|year=2013|title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II|journal=Energies|volume=6|issue=3|pages=1439–55|doi=10.3390/en6031439|doi-access=free}}</ref> वे सम्मिलित करते हैं:
+[[कंप्यूटर विज्ञान]] और पावर इंजीनियरिंग में विकल्पों के एक सीमित  समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए [[कलन विधि]] का अध्ययन किया गया है।<ref>{{cite journal|last1=Tomoiagă|first1=Bogdan|last2=Chindriş|first2=Mircea|last3=Sumper|first3=Andreas|last4=Sudria-Andreu|first4=Antoni|last5=Villafafila-Robles|first5=Roberto|year=2013|title=Pareto Optimal Reconfiguration of Power Distribution Systems Using a Genetic Algorithm Based on NSGA-II|journal=Energies|volume=6|issue=3|pages=1439–55|doi=10.3390/en6031439|doi-access=free}}</ref> वे सम्मिलित करते हैं:
 * अधिकतम वेक्टर समस्या या [[स्काईलाइन ऑपरेटर]]।<ref>{{cite journal|last1=Nielsen|first1=Frank|year=1996|title=Output-sensitive peeling of convex and maximal layers|journal=Information Processing Letters|volume=59|issue=5|pages=255–9|citeseerx=10.1.1.259.1042|doi=10.1016/0020-0190(96)00116-0}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kung|first1=H. T.|last2=Luccio|first2=F.|last3=Preparata|first3=F.P.|year=1975|title=On finding the maxima of a set of vectors|journal=Journal of the ACM|volume=22|issue=4|pages=469–76|doi=10.1145/321906.321910|s2cid=2698043}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Godfrey|first1=P.|last2=Shipley|first2=R.|last3=Gryz|first3=J.|year=2006|title=Algorithms and Analyses for Maximal Vector Computation|journal=VLDB Journal|volume=16|pages=5–28|citeseerx=10.1.1.73.6344|doi=10.1007/s00778-006-0029-7|s2cid=7374749}}</ref>
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 चूंकि पूरे पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए एल्गोरिदम होते हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल।<ref>{{Cite journal|last1=Legriel|first1=Julien|last2=Le Guernic|first2=Colas|last3=Cotton|first3=Scott|last4=Maler|first4=Oded|date=2010|editor-last=Esparza|editor-first=Javier|editor2-last=Majumdar|editor2-first=Rupak|title=Approximating the Pareto Front of Multi-criteria Optimization Problems|journal=Tools and Algorithms for the Construction and Analysis of Systems|series=Lecture Notes in Computer Science|volume=6015 |language=en|location=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|pages=69–83|doi=10.1007/978-3-642-12002-2_6|isbn=978-3-642-12002-2|doi-access=free}}</ref> एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' कहते हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। वे देखते हैं कि d आयामों में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε) का उपयोग करके पाया जा सकता है।<sup>d</sup> प्रश्न।
-Zitzler, नोल्स और थिएले<ref>{{Citation|last1=Zitzler|first1=Eckart|title=Quality Assessment of Pareto Set Approximations|date=2008|url=https://doi.org/10.1007/978-3-540-88908-3_14|work=Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches|pages=373–404|editor-last=Branke|editor-first=Jürgen|series=Lecture Notes in Computer Science|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-3-540-88908-3_14|isbn=978-3-540-88908-3|access-date=2021-10-08|last2=Knowles|first2=Joshua|last3=Thiele|first3=Lothar|editor2-last=Deb|editor2-first=Kalyanmoy|editor3-last=Miettinen|editor3-first=Kaisa|editor4-last=Słowiński|editor4-first=Roman}}</ref> विभिन्न मानदंडों पर पारेटो-सेट सन्निकटन के लिए कई एल्गोरिदम की तुलना करें, जैसे स्केलिंग, मोनोटोनिसिटी और कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए व्युत्क्रम।
+Zitzler, नोल्स और थिएले<ref>{{Citation|last1=Zitzler|first1=Eckart|title=Quality Assessment of Pareto Set Approximations|date=2008|url=https://doi.org/10.1007/978-3-540-88908-3_14|work=Multiobjective Optimization: Interactive and Evolutionary Approaches|pages=373–404|editor-last=Branke|editor-first=Jürgen|series=Lecture Notes in Computer Science|place=Berlin, Heidelberg|publisher=Springer|language=en|doi=10.1007/978-3-540-88908-3_14|isbn=978-3-540-88908-3|access-date=2021-10-08|last2=Knowles|first2=Joshua|last3=Thiele|first3=Lothar|editor2-last=Deb|editor2-first=Kalyanmoy|editor3-last=Miettinen|editor3-first=Kaisa|editor4-last=Słowiński|editor4-first=Roman}}</ref> विभिन्न मानदंडों पर पारेटो- समुच्चय सन्निकटन के लिए कई एल्गोरिदम की तुलना करें, जैसे स्केलिंग, मोनोटोनिसिटी और कम्प्यूटेशनल जटिलता के लिए व्युत्क्रम।
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