ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन: Difference between revisions

Revision as of 21:12, 15 February 2023

अध्यादेश की संख्या का प्रतिनिधित्व

\omega ^{\omega }

सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है

\omega

पारपरिमित आगमन के लिए एक आधार स्थिति (0 के लिए उपयोग किया जाता है) को प्रमाणित करने की आवश्यकता होती है, एक अधीन स्थिति (उन क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जिनमें एक पूर्ववर्ती होता है), और एक सीमा स्थिति (ऑर्डिनल के लिए उपयोग किया जाता है जो एक पूर्ववर्ती नहीं होता है)।

पारपरिमित आगमन सुव्यवस्थित समुच्चयों के लिए गणितीय प्रवर्तन का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए क्रमिक संख्याओं या गणन संख्या नंबरों के समूह के लिए। इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की एक प्रमेय है।^[1]

स्थितियों द्वारा प्रेरण

मान लीजिए $P(\alpha )$ वर्गीय $\alpha$ के लिए परिभाषित गुण है। मान लीजिए कि जब भी $P(\beta )$ सभी $\beta <\alpha$ , तब $P(\alpha )$ सभी सत्य है।^[2] तब पारपरिमित आगमन हमें बताता है कि $P$ सभी क्रमसूचक के लिए सत्य है।

सामान्य रूप से प्रमाण तीन स्थितियों में टूट जाता है:

शून्य स्थिति: प्रमाणित करें कि $P(0)$ क्या सत्य है।
अधीन स्थिति: प्रमाणित करें कि किसी भी अधीन के लिए अध्यादेश $\alpha +1$ , $P(\alpha +1)$ से अनुसरण करता है $P(\alpha )$ (और, यदि आवश्यक हो, $P(\beta )$ सभी के लिए $\beta <\alpha$ )।
सीमा स्थिति: किसी भी सीमा के लिए प्रमाणित करें $\lambda$ , $P(\lambda )$ से अनुसरण करता है $P(\beta )$ सभी के लिए $\beta <\lambda$ ।

सभी तीन स्थिति समान हैं, जो कि क्रमिक के प्रकार को छोड़कर हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाणित सामान्य रूप से इतने अलग होते हैं कि अलग -अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही स्थिति में प्रमाणों में संशोधित किया जा सकता है।

पारपरिमित रिकर्सेशन

पारपरिमित रिकर्सेशन पारपरिमित आगमन के समान है; हालांकि, यह प्रमाणित करने के बजाय कि कुछ ऑर्डिनल नंबरों के लिए कुछ है, हम प्रत्येक ऑर्डिनल के लिए, वस्तुओं का एक अनुक्रम बनाते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, ए (संभवतः अनंत-आयामी) सदिश स्थल के लिए एक आधार (वेक्टर स्पेस) खाली समुच्चय के साथ शुरू करके और प्रत्येक ऑर्डिनल α> 0 के लिए बनाया जा सकता है। वैक्टर की $\{v_{\beta }\mid \beta <\alpha \}$ ।यह प्रक्रिया तब बंद हो जाती है जब कोई वेक्टर नहीं चुना जा सकता है।

अधिक औपचारिक रूप से, हम इस प्रकार हैं:

पारपरिमित रिकर्सेशन प्रमेय (संस्करण 1)। एक वर्ग फलन दिया^[3] G: V → V (जहां V सभी समुच्चय का वर्ग (निर्धारित सिद्धांत) है), एक अद्वितीय ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी क्रमसूचक का वर्ग है) मौजूद है

F(\alpha )=G(F\upharpoonright \alpha )

सभी क्रमसूचक α के लिए, जहां

\upharpoonright

एफ के डोमेन के प्रतिबंध को दर्शाता है < α।

जैसा कि प्रेरण के स्थिति में, हम विभिन्न प्रकार के अध्यादेशों का अलग -अलग संशोधित कर सकते हैं: ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति का एक और सूत्रीकरण निम्नलिखित है:

'पारपरिमित रिकर्सेशन प्रमेय (संस्करण 2)'। एक समुच्चय जी दिया₁, और वर्ग कार्य जी₂, जी₃, एक अद्वितीय फ़ंक्शन F: ord → V ऐसे मौजूद हैं

एफ (0) = जी₁;
F (a + 1) = g₂(F (a)), सभी एक and ord के लिए,
$F(\lambda )=G_{3}(F\upharpoonright \lambda )$ , सभी सीमा के लिए λ ≠ 0।

ध्यान दें कि हमें G के डोमेन की आवश्यकता है₂, जी₃ उपरोक्त गुणों को सार्थक बनाने के लिए पर्याप्त व्यापक होना। इन गुणों को संतुष्ट करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को पारपरिमित आगमन का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।

अधिक आम तौर पर, कोई भी अच्छी तरह से स्थापित संबंध आर पर पारपरिमित पुनरावृत्ति द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है। संबंध; यानी किसी भी x के लिए, सभी y का संग्रह जैसे कि yrx एक समुच्चय है।)

पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध

इंडक्शन और रिकर्स का उपयोग करने वाले प्रमाणित या निर्माण अक्सर एक अच्छी तरह से आदेशित संबंध का उत्पादन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे पारपरिमित आगमन द्वारा संशोधित किया जा सकता है। हालांकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, तो कोई भी अक्सर पसंद के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना पारपरिमित आगमन का उपयोग कर सकता है।^[4] उदाहरण के लिए, बोरल समुच्चय के बारे में कई परिणाम समुच्चय के क्रमिक रैंक पर पारपरिमित आगमन द्वारा प्रमाणित होते हैं; ये रैंकों को पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, इसलिए पसंद के स्वयंसिद्ध को उन्हें अच्छी तरह से आदेश देने की आवश्यकता नहीं है।

विताली समुच्चय का निम्नलिखित निर्माण एक तरीका दिखाता है कि पसंद के स्वयंसिद्ध को पारपरिमित आगमन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:

सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं को अच्छी तरह से आदेश दें (यह वह जगह है जहां पसंद का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम देता है

\langle r_{\alpha }|\alpha <\beta \rangle

, जहां & बीटा;सातत्य के कार्डिनलिटी के साथ एक अध्यादेश है। चलो v₀ बराबर आर₀। फिर v को चलो₁ बराबर आर_α₁, जहां α₁ कम से कम ऐसा है कि आर_α₁ & nbsp; & minus; & nbsp; v₀ एक तर्कसंगत संख्या नहीं है। जारी रखना;प्रत्येक चरण में आर अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें, जिसमें किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं होता है, इस प्रकार अब तक वी अनुक्रम में निर्मित होता है।तब तक जारी रखें जब तक कि आर अनुक्रम में सभी वास्तविक थक नहीं जाते। अंतिम वी अनुक्रम विटालि समुच्चय की गणना करेगा।

उपरोक्त तर्क रियल को अच्छी तरह से ऑर्डर करने के लिए, शुरुआत में एक आवश्यक तरीके से पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है।उस कदम के बाद, पसंद के स्वयंसिद्ध को फिर से उपयोग नहीं किया जाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म हैं। उदाहरण के लिए, ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति द्वारा एक निर्माण अक्सर एक के लिए एक अद्वितीय मूल्य निर्दिष्ट नहीं करेगा_α+1, α तक अनुक्रम को देखते हुए, लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि ए_α+1 संतुष्ट होना चाहिए, और तर्क देना चाहिए कि इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले कम से कम एक समुच्चय है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के एक समुच्चय के एक अनूठे उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में एक ऐसे व्यक्ति का चयन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को आमंत्रित करना आवश्यक हो सकता है। गणना योग्य समुच्चय लंबाई के प्रेरण और पुनरावृत्ति के लिए, आश्रित विकल्प का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है। क्योंकि सिद्धांतकारों को समुच्चय करने के लिए ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल हैं जो निर्भर पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं, लेकिन पसंद का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण को केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।

यह भी देखें

गणितीय प्रेरण
एप्सिलॉन-इंडक्शन |-इंडक्शन
पारपरिमित संख्या
अच्छी तरह से स्थापित संबंध#प्रेरण और पुनरावृत्ति | अच्छी तरह से स्थापित प्रेरण
ज़ोर्न का लेम्मा

↑ J. Schlöder, Ordinal Arithmetic. Accessed 2022-03-24.
↑ It is not necessary here to assume separately that $P(0)$ is true. As there is no $\beta$ less than 0, it is vacuously true that for all $\beta <0$ , $P(\beta )$ is true.
↑ A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a function because its domain and codomain are not sets.
↑ In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation R is set-like: for any x, the collection of all y such that y R x must be a set.

संदर्भ

Suppes, Patrick (1972), "Section 7.1", Axiomatic set theory, Dover Publications, ISBN 0-486-61630-4

बाहरी संबंध

Emerson, Jonathan; Lezama, Mark & Weisstein, Eric W. "Transfinite Induction". MathWorld.

[1] J. Schlöder, Ordinal Arithmetic. Accessed 2022-03-24.

[2] It is not necessary here to assume separately that $P(0)$ is true. As there is no $\beta$ less than 0, it is vacuously true that for all $\beta <0$ , $P(\beta )$ is true.

[3] A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a function because its domain and codomain are not sets.

[4] In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation R is set-like: for any x, the collection of all y such that y R x must be a set.

[1]

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 {{Short description|Mathematical concept}}
-[[File:omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|अध्यादेश की संख्या का प्रतिनिधित्व <math>\omega^{\omega}</math>।सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है <math>\omega</math>।ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन के लिए एक बेस केस (0 के लिए उपयोग किया जाता है) को साबित करने की आवश्यकता होती है, एक उत्तराधिकारी मामला (उन ऑर्डिनल्स के लिए उपयोग किया जाता है जिनमें एक पूर्ववर्ती होता है), और एक सीमा मामला (ऑर्डिनल के लिए उपयोग किया जाता है जो एक पूर्ववर्ती नहीं होता है)।]]ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन, अच्छी तरह से ऑर्डर करने के लिए [[गणितीय प्रेरण]] का एक विस्तार है। अच्छी तरह से ऑर्डर किए गए सेट, उदाहरण के लिए [[क्रमसूचक संख्या]] या [[बुनियादी संख्या]]ों के सेट के लिए।इसकी शुद्धता Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत का एक प्रमेय है।<ref>J. Schlöder, [https://jjsch.github.io/output/oa.pdf Ordinal Arithmetic]. Accessed 2022-03-24.</ref>
+[[File:omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|300px|अध्यादेश की संख्या का प्रतिनिधित्व <math>\omega^{\omega}</math> सर्पिल का प्रत्येक मोड़ एक शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है <math>\omega</math> पारपरिमित आगमन के लिए एक आधार स्थिति (0 के लिए उपयोग किया जाता है) को प्रमाणित करने की आवश्यकता होती है, एक अधीन स्थिति (उन  क्रमसूचक के लिए उपयोग किया जाता है जिनमें एक पूर्ववर्ती होता है), और एक सीमा स्थिति (ऑर्डिनल के लिए उपयोग किया जाता है जो एक पूर्ववर्ती नहीं होता है)।]]पारपरिमित आगमन सुव्यवस्थित समुच्चयों के लिए गणितीय प्रवर्तन का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए क्रमिक संख्याओं या  गणन संख्या नंबरों के समूह के लिए। इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की एक प्रमेय है।<ref>J. Schlöder, [https://jjsch.github.io/output/oa.pdf Ordinal Arithmetic]. Accessed 2022-03-24.</ref>
-== मामलों द्वारा प्रेरण ==
+== स्थितियों द्वारा प्रेरण ==
-होने देना <math>P(\alpha)</math> एक संपत्ति (दर्शन) बनें <math>\alpha</math>।मान लीजिए कि जब भी <math>P(\beta)</math> सभी के लिए सच है  <math>\beta < \alpha</math>, तब <math>P(\alpha)</math> भी सच है।<ref>It is not necessary here to assume separately that <math>P(0)</math> is true.  As there is no <math>\beta</math> less than 0, it is [[vacuously true]] that for all <math>\beta<0</math>, <math>P(\beta)</math> is true.</ref> तब ट्रांसफिनाइट इंडक्शन हमें बताता है कि <math>P</math> सभी ऑर्डिनल्स के लिए सच है।
+मान लीजिए <math>P(\alpha)</math> वर्गीय <math>\alpha</math> के लिए परिभाषित गुण है। मान लीजिए कि जब भी <math>P(\beta)</math> सभी  <math>\beta < \alpha</math>, तब <math>P(\alpha)</math> सभी  सत्य है।<ref>It is not necessary here to assume separately that <math>P(0)</math> is true.  As there is no <math>\beta</math> less than 0, it is [[vacuously true]] that for all <math>\beta<0</math>, <math>P(\beta)</math> is true.</ref> तब पारपरिमित आगमन हमें बताता है कि <math>P</math> सभी  क्रमसूचक के लिए सत्य है।
-आमतौर पर प्रमाण तीन मामलों में टूट जाता है:
+सामान्य रूप से प्रमाण तीन स्थितियों में टूट जाता है:
-* शून्य मामला: साबित करें कि <math>P(0)</math> क्या सच है।
+* शून्य स्थिति: प्रमाणित करें कि <math>P(0)</math> क्या सत्य है।
-* [[उत्तराधिकारी]] मामला: साबित करें कि किसी भी उत्तराधिकारी के लिए अध्यादेश <math>\alpha+1</math>, <math>P(\alpha+1)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\alpha)</math> (और, यदि आवश्यक हो, <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \alpha</math>)।
+* [[उत्तराधिकारी|अधीन]] स्थिति: प्रमाणित करें कि किसी भी अधीन के लिए अध्यादेश <math>\alpha+1</math>, <math>P(\alpha+1)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\alpha)</math> (और, यदि आवश्यक हो, <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \alpha</math>)।
-* सीमा केस: किसी भी सीमा के लिए साबित करें <math>\lambda</math>, <math>P(\lambda)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \lambda</math>।
+* सीमा स्थिति: किसी भी सीमा के लिए प्रमाणित करें <math>\lambda</math>, <math>P(\lambda)</math> से अनुसरण करता है <math>P(\beta)</math> सभी के लिए <math>\beta < \lambda</math>।
-सभी तीन मामले समान हैं, जो कि क्रमिक के प्रकार को छोड़कर हैं।उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में सबूत आमतौर पर इतने अलग होते हैं कि अलग -अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है।शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही मामले में प्रमाणों में इलाज किया जा सकता है।
+सभी तीन स्थिति समान हैं, जो कि क्रमिक के प्रकार को छोड़कर हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाणित सामान्य रूप से इतने अलग होते हैं कि अलग -अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही स्थिति में प्रमाणों में संशोधित किया जा सकता है।
-== ट्रांसफिनाइट रिकर्सेशन ==
+== पारपरिमित रिकर्सेशन ==
-ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन के समान है;हालांकि, यह साबित करने के बजाय कि कुछ ऑर्डिनल नंबरों के लिए कुछ है, हम प्रत्येक ऑर्डिनल के लिए, वस्तुओं का एक अनुक्रम बनाते हैं।
+पारपरिमित रिकर्सेशन पारपरिमित आगमन के समान है; हालांकि, यह प्रमाणित करने के बजाय कि कुछ ऑर्डिनल नंबरों के लिए कुछ है, हम प्रत्येक ऑर्डिनल के लिए, वस्तुओं का एक अनुक्रम बनाते हैं।
-एक उदाहरण के रूप में, ए (संभवतः अनंत-आयामी) [[सदिश स्थल]] के लिए एक आधार (वेक्टर स्पेस) खाली सेट के साथ शुरू करके और प्रत्येक ऑर्डिनल '' α> 0 '' के लिए बनाया जा सकता है।वैक्टर की <math>\{v_{\beta}\mid\beta<\alpha\}</math>।यह प्रक्रिया तब बंद हो जाती है जब कोई वेक्टर नहीं चुना जा सकता है।
+एक उदाहरण के रूप में, ए (संभवतः अनंत-आयामी) [[सदिश स्थल]] के लिए एक आधार (वेक्टर स्पेस) खाली समुच्चय के साथ शुरू करके और प्रत्येक ऑर्डिनल '' α> 0 '' के लिए बनाया जा सकता है। वैक्टर की <math>\{v_{\beta}\mid\beta<\alpha\}</math>।यह प्रक्रिया तब बंद हो जाती है जब कोई वेक्टर नहीं चुना जा सकता है।
 अधिक औपचारिक रूप से, हम इस प्रकार हैं:
-ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन प्रमेय (संस्करण 1)।एक वर्ग समारोह दिया<ref>A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a [[function (mathematics)|function]] because its domain and codomain are not sets.</ref> G: V → V (जहां V सभी सेटों का [[वर्ग (निर्धारित सिद्धांत)]] है), एक अद्वितीय ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी ऑर्डिनल्स का वर्ग है) मौजूद है
+पारपरिमित रिकर्सेशन प्रमेय (संस्करण 1)। एक वर्ग फलन दिया<ref>A class function is a rule (specifically, a logical formula) assigning each element in the lefthand class to an element in the righthand class. It is not a [[function (mathematics)|function]] because its domain and codomain are not sets.</ref> G: V → V (जहां V सभी समुच्चय का [[वर्ग (निर्धारित सिद्धांत)]] है), एक अद्वितीय ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी  क्रमसूचक का वर्ग है) मौजूद है
-:<math>F(\alpha) = G(F \upharpoonright \alpha)</math> सभी ऑर्डिनल्स α के लिए, जहां <math>\upharpoonright</math> एफ के डोमेन के प्रतिबंध को दर्शाता है <{{Hair space}}α।
+:<math>F(\alpha) = G(F \upharpoonright \alpha)</math> सभी  क्रमसूचक α के लिए, जहां <math>\upharpoonright</math> एफ के डोमेन के प्रतिबंध को दर्शाता है <{{Hair space}}α।
-जैसा कि प्रेरण के मामले में, हम विभिन्न प्रकार के अध्यादेशों का अलग -अलग इलाज कर सकते हैं: ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति का एक और सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
+जैसा कि प्रेरण के स्थिति में, हम विभिन्न प्रकार के अध्यादेशों का अलग -अलग संशोधित कर सकते हैं: ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति का एक और सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
-'ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन प्रमेय (संस्करण 2)'।एक सेट जी दिया<sub>1</sub>, और वर्ग कार्य जी<sub>2</sub>, जी<sub>3</sub>, एक अद्वितीय फ़ंक्शन F: ord → V ऐसे मौजूद हैं
+'पारपरिमित रिकर्सेशन प्रमेय (संस्करण 2)'। एक समुच्चय जी दिया<sub>1</sub>, और वर्ग कार्य जी<sub>2</sub>, जी<sub>3</sub>, एक अद्वितीय फ़ंक्शन F: ord → V ऐसे मौजूद हैं
 * एफ (0) = जी<sub>1</sub>;
 * F (a + 1) = g<sub>2</sub>(F (a)), सभी एक and ord के लिए,
 * <math>F(\lambda) = G_3(F \upharpoonright \lambda)</math>, सभी सीमा के लिए λ ≠ 0।
-ध्यान दें कि हमें G के डोमेन की आवश्यकता है<sub>2</sub>, जी<sub>3</sub> उपरोक्त गुणों को सार्थक बनाने के लिए पर्याप्त व्यापक होना।इन गुणों को संतुष्ट करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन का उपयोग करके साबित किया जा सकता है।
+ध्यान दें कि हमें G के डोमेन की आवश्यकता है<sub>2</sub>, जी<sub>3</sub> उपरोक्त गुणों को सार्थक बनाने के लिए पर्याप्त व्यापक होना। इन गुणों को संतुष्ट करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को पारपरिमित आगमन का उपयोग करके प्रमाणित किया जा सकता है।
-अधिक आम तौर पर, कोई भी [[अच्छी तरह से स्थापित संबंध]] आर पर ट्रांसफिनाइट पुनरावृत्ति द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है।संबंध; यानी किसी भी x के लिए, सभी y का संग्रह जैसे कि yrx एक सेट है।)
+अधिक आम तौर पर, कोई भी [[अच्छी तरह से स्थापित संबंध]] आर पर पारपरिमित पुनरावृत्ति द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है। संबंध; यानी किसी भी x के लिए, सभी y का संग्रह जैसे कि yrx एक समुच्चय है।)
 == पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध ==
-इंडक्शन और रिकर्स का उपयोग करने वाले सबूत या निर्माण अक्सर एक अच्छी तरह से आदेशित संबंध का उत्पादन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन द्वारा इलाज किया जा सकता है।हालांकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, तो कोई भी अक्सर पसंद के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन का उपयोग कर सकता है।<ref>In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation ''R'' is set-like: for any ''x'', the collection of all ''y'' such that ''y''&nbsp;''R''&nbsp;''x'' must be a set.</ref> उदाहरण के लिए, [[बोरल सेट]] के बारे में कई परिणाम सेट के क्रमिक रैंक पर ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन द्वारा साबित होते हैं;ये रैंकों को पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, इसलिए पसंद के स्वयंसिद्ध को उन्हें अच्छी तरह से आदेश देने की आवश्यकता नहीं है।
+इंडक्शन और रिकर्स का उपयोग करने वाले प्रमाणित या निर्माण अक्सर एक अच्छी तरह से आदेशित संबंध का उत्पादन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे पारपरिमित आगमन द्वारा संशोधित किया जा सकता है। हालांकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, तो कोई भी अक्सर पसंद के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना पारपरिमित आगमन का उपयोग कर सकता है।<ref>In fact, the domain of the relation does not even need to be a set. It can be a proper class, provided that the relation ''R'' is set-like: for any ''x'', the collection of all ''y'' such that ''y''&nbsp;''R''&nbsp;''x'' must be a set.</ref> उदाहरण के लिए, [[बोरल सेट|बोरल समुच्चय]] के बारे में कई परिणाम समुच्चय के क्रमिक रैंक पर पारपरिमित आगमन द्वारा प्रमाणित होते हैं; ये रैंकों को पहले से ही अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, इसलिए पसंद के स्वयंसिद्ध को उन्हें अच्छी तरह से आदेश देने की आवश्यकता नहीं है।
-[[विताली सेट]] का निम्नलिखित निर्माण एक तरीका दिखाता है कि पसंद के स्वयंसिद्ध को ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:
+[[विताली सेट|विताली समुच्चय]] का निम्नलिखित निर्माण एक तरीका दिखाता है कि पसंद के स्वयंसिद्ध को पारपरिमित आगमन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:
-: सबसे पहले, [[वास्तविक संख्या]]ओं को अच्छी तरह से आदेश दें (यह वह जगह है जहां पसंद का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम देता है <math> \langle r_{\alpha} | \alpha < \beta \rangle </math>, जहां & बीटा;सातत्य के कार्डिनलिटी के साथ एक अध्यादेश है।चलो v<sub>0</sub> बराबर आर<sub>0</sub>।फिर v को चलो<sub>1</sub> बराबर आर<sub>''α''<sub>1</sub></sub>, जहां α<sub>1</sub> कम से कम ऐसा है कि आर<sub>''α''<sub>1</sub></sub> & nbsp; & minus; & nbsp; v<sub>0</sub> एक [[तर्कसंगत संख्या]] नहीं है।जारी रखना;प्रत्येक चरण में आर अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें, जिसमें किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं होता है, इस प्रकार अब तक वी अनुक्रम में निर्मित होता है।तब तक जारी रखें जब तक कि आर अनुक्रम में सभी वास्तविक थक नहीं जाते।अंतिम वी अनुक्रम विटालि सेट की गणना करेगा।
+: सबसे पहले, [[वास्तविक संख्या]]ओं को अच्छी तरह से आदेश दें (यह वह जगह है जहां पसंद का स्वयंसिद्ध अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम देता है <math> \langle r_{\alpha} | \alpha < \beta \rangle </math>, जहां & बीटा;सातत्य के कार्डिनलिटी के साथ एक अध्यादेश है। चलो v<sub>0</sub> बराबर आर<sub>0</sub>। फिर v को चलो<sub>1</sub> बराबर आर<sub>''α''<sub>1</sub></sub>, जहां α<sub>1</sub> कम से कम ऐसा है कि आर<sub>''α''<sub>1</sub></sub> & nbsp; & minus; & nbsp; v<sub>0</sub> एक [[तर्कसंगत संख्या]] नहीं है। जारी रखना;प्रत्येक चरण में आर अनुक्रम से कम से कम वास्तविक का उपयोग करें, जिसमें किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं होता है, इस प्रकार अब तक वी अनुक्रम में निर्मित होता है।तब तक जारी रखें जब तक कि आर अनुक्रम में सभी वास्तविक थक नहीं जाते। अंतिम वी अनुक्रम विटालि समुच्चय की गणना करेगा।
 उपरोक्त तर्क रियल को अच्छी तरह से ऑर्डर करने के लिए, शुरुआत में एक आवश्यक तरीके से पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है।उस कदम के बाद, पसंद के स्वयंसिद्ध को फिर से उपयोग नहीं किया जाता है।
-पसंद के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म हैं।उदाहरण के लिए, ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति द्वारा एक निर्माण अक्सर एक के लिए एक अद्वितीय मूल्य निर्दिष्ट नहीं करेगा<sub>''α''+1</sub>, α तक अनुक्रम को देखते हुए, लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि ए<sub>''α''+1</sub> संतुष्ट होना चाहिए, और तर्क देना चाहिए कि इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले कम से कम एक सेट है।यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के एक सेट के एक अनूठे उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में एक ऐसे व्यक्ति का चयन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को आमंत्रित करना आवश्यक हो सकता है।गणना योग्य सेट लंबाई के प्रेरण और पुनरावृत्ति के लिए, आश्रित विकल्प का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है।क्योंकि सिद्धांतकारों को सेट करने के लिए ज़रमेलो -फ्रेनकेल सेट सिद्धांत के मॉडल हैं जो निर्भर पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं, लेकिन पसंद का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण को केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।
+पसंद के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म हैं। उदाहरण के लिए, ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति द्वारा एक निर्माण अक्सर एक के लिए एक अद्वितीय मूल्य निर्दिष्ट नहीं करेगा<sub>''α''+1</sub>, α तक अनुक्रम को देखते हुए, लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि ए<sub>''α''+1</sub> संतुष्ट होना चाहिए, और तर्क देना चाहिए कि इस स्थिति को संतुष्ट करने वाले कम से कम एक समुच्चय है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के एक समुच्चय के एक अनूठे उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में एक ऐसे व्यक्ति का चयन करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को आमंत्रित करना आवश्यक हो सकता है। गणना योग्य समुच्चय लंबाई के प्रेरण और पुनरावृत्ति के लिए, आश्रित विकल्प का कमजोर स्वयंसिद्ध पर्याप्त है। क्योंकि सिद्धांतकारों को समुच्चय करने के लिए ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल हैं जो निर्भर पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं, लेकिन पसंद का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान कि एक विशेष प्रमाण को केवल निर्भर विकल्प की आवश्यकता होती है, उपयोगी हो सकता है।
 == यह भी देखें ==
 * गणितीय प्रेरण
 * एप्सिलॉन-इंडक्शन |-इंडक्शन
-* [[ट्रांसफ़िनाइट संख्या]]
+* [[ट्रांसफ़िनाइट संख्या|पारपरिमित संख्या]]
 * अच्छी तरह से स्थापित संबंध#प्रेरण और पुनरावृत्ति | अच्छी तरह से स्थापित प्रेरण
 * ज़ोर्न का लेम्मा

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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