बल (गणित): Difference between revisions
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[[समुच्चय सिद्धान्त]] के गणितीय अनुशासन में, | [[समुच्चय सिद्धान्त]] के गणितीय अनुशासन में, शक्तिशालीी स्थिरता और [[स्वतंत्रता ([[गणितीय तर्क]])]] परिणाम सिद्ध करने के लिए विधि है। यह पहली बार 1963 में [[पॉल कोहेन (गणितज्ञ)]] द्वारा पसंद के स्वयंसिद्ध की स्वतंत्रता और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सिद्धांत सिद्धांत से सातत्य परिकल्पना को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया गया था। | ||
बाद के वर्षों में फ़ोर्सिंग पर काफ़ी हद तक फिर से | बाद के वर्षों में फ़ोर्सिंग पर काफ़ी हद तक फिर से कार्य किया गया और इसे सरल बनाया गया, और तब से सिद्धांत थ्योरी और गणितीय तर्क जैसे रिकर्सन थ्योरी दोनों में शक्तिशाली विधि के रूप में कार्य किया है। वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत [[पुनरावर्तन सिद्धांत]] और समुच्चय सिद्धांत दोनों से बल प्रयोग की धारणाओं का उपयोग करता है। [[मॉडल सिद्धांत|प्रारूप सिद्धांत]] में भी फोर्सिंग का उपयोग किया गया है, किन्तु प्रारूप थ्योरी में यह सामान्य है कि बिना फोर्सिंग का उल्लेख किए सीधे [[सामान्य फ़िल्टर]] को परिभाषित किया जाए। | ||
== अंतर्ज्ञान == | == अंतर्ज्ञान == | ||
सहज रूप से, बल में | सहज रूप से, बल में सिद्धांत सैद्धांतिक [[ब्रह्मांड (गणित)]] का विस्तार होता है <math> V </math> बड़े ब्रह्मांड के लिए <math> V^{*} </math>. इस बड़े ब्रह्मांड में, उदाहरण के लिए, सिद्धांत के [[सबसेट|सबसिद्धांत]] के साथ पहचाने जाने वाले कई नए वास्तविक नंबर हो सकते हैं <math>\mathbb{N}</math> प्राकृतिक संख्याएँ, जो पुराने ब्रह्मांड में नहीं थीं, और इस प्रकार सातत्य परिकल्पना का उल्लंघन करती हैं। | ||
जबकि [[परिमित सेट]] [[सेट (गणित)]] के साथ व्यवहार करना असंभव है, यह अनंत के बारे में कैंटर के विरोधाभास का सिर्फ | जबकि [[परिमित सेट|परिमित सिद्धांत]] [[सेट (गणित)|सिद्धांत (गणित)]] के साथ व्यवहार करना असंभव है, यह अनंत के बारे में कैंटर के विरोधाभास का सिर्फ और संस्करण है। सिद्धांत रूप में, कोई विचार कर सकता है: | ||
:<math> V^{*} = V \times \{ 0,1 \}, </math> | :<math> V^{*} = V \times \{ 0,1 \}, </math> | ||
पहचान करना <math> x \in V </math> साथ <math> (x,0) </math>, और फिर | पहचान करना <math> x \in V </math> साथ <math> (x,0) </math>, और फिर विस्तारित सदस्यता संबंध प्रस्तुत करें जिसमें प्रपत्र के नए सिद्धांत सम्मलित हों <math> (x,1) </math>. जबरदस्ती इस विचार का अधिक विस्तृत संस्करण है, नए सिद्धांत के अस्तित्व के विस्तार को कम करता है, और विस्तारित ब्रह्मांड के गुणों पर ठीक नियंत्रण की अनुमति देता है। | ||
कोहेन की मूल | कोहेन की मूल विधि, जिसे अब [[शाखा मजबूर]] कहा जाता है, यहां बताए गए असम्बद्ध फोर्सिंग से थोड़ा अलग है। फोर्सिंग भी [[बूलियन-मूल्यवान मॉडल|बूलियन-मूल्यवान प्रारूप]] की विधि के बराबर है, जो कुछ लोगों को वैचारिक रूप से अधिक स्वाभाविक और सहज लगता है, किन्तु सामान्यतः इसे लागू करना अधिक कठिन होता है। | ||
== जबरदस्ती पोसेट्स == | == जबरदस्ती पोसेट्स == | ||
एक मजबूर पोसेट | एक मजबूर पोसेट आदेशित ट्रिपल है, <math> (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) </math>, कहाँ <math> \leq </math> पर अग्रिम आदेश है <math> \mathbb{P} </math> वह एटम (आदेश सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है: | ||
*प्रत्येक के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>, वहाँ हैं <math> q,r \in \mathbb{P} </math> ऐसा है कि <math> q,r \leq p </math>, कोई साथ <math> s \in \mathbb{P} </math> ऐसा है कि <math> s \leq q,r </math>. का सबसे बड़ा तत्व है <math> \mathbb{P} </math> है <math> \mathbf{1} </math>, वह है, <math> p \leq \mathbf{1} </math> सभी के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>. | *प्रत्येक के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>, वहाँ हैं <math> q,r \in \mathbb{P} </math> ऐसा है कि <math> q,r \leq p </math>, कोई साथ <math> s \in \mathbb{P} </math> ऐसा है कि <math> s \leq q,r </math>. का सबसे बड़ा तत्व है <math> \mathbb{P} </math> है <math> \mathbf{1} </math>, वह है, <math> p \leq \mathbf{1} </math> सभी के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>. | ||
के सदस्यों <math> \mathbb{P} </math> मजबूर करने की स्थिति या सिर्फ स्थिति कहा जाता है। | के सदस्यों <math> \mathbb{P} </math> मजबूर करने की स्थिति या सिर्फ स्थिति कहा जाता है। पढ़ता है <math> p \leq q </math> जैसा<math> p </math> से ज्यादा शक्तिशाली है <math> q </math>. सहज रूप से, छोटी स्थिति अधिक जानकारी प्रदान करती है, जैसे कि छोटा अंतराल <math> [3.1415926,3.1415927] </math> Pi| संख्या के बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता है{{pi}}अंतराल की तुलना में <math> [3.1,3.2] </math> करता है। | ||
उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है <math> \leq </math> प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, | उपयोग में विभिन्न सम्मेलन हैं। कुछ लेखकों की आवश्यकता होती है <math> \leq </math> प्रतिसममित संबंध भी होना चाहिए, जिससे कि संबंध आंशिक क्रम हो। कुछ वैसे भी [[आंशिक आदेश]] शब्द का उपयोग करते हैं, जो मानक शब्दावली के साथ परस्पर विरोधी हैं, जबकि कुछ शब्द प्रीऑर्डर का उपयोग करते हैं। सबसे बड़े तत्व के साथ तिरस्कृत किया जा सकता है। रिवर्स ऑर्डरिंग का भी उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[सहारों शेलाह]] और उनके सह-लेखकों द्वारा। | ||
=== पी-नाम === | === पी-नाम === | ||
एक मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध <math> \mathbb{P} </math> वर्ग है ( | एक मजबूर पोसेट के साथ संबद्ध <math> \mathbb{P} </math> वर्ग है (सिद्धांत सिद्धांत) <math> V^{(\mathbb{P})} </math> का <math> \mathbb{P} </math>-नाम। ए <math> \mathbb{P} </math>-नाम सिद्धांत है <math> A </math> फार्म का | ||
:<math> A \subseteq \{ (u,p) \mid u ~ \text{is a} ~ \mathbb{P} \text{-name and} ~ p \in \mathbb{P} \}. </math> | :<math> A \subseteq \{ (u,p) \mid u ~ \text{is a} ~ \mathbb{P} \text{-name and} ~ p \in \mathbb{P} \}. </math> | ||
यह वास्तव में [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा परिभाषा है। साथ <math>\varnothing</math> खाली | यह वास्तव में [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा परिभाषा है। साथ <math>\varnothing</math> खाली सिद्धांत, <math>\alpha + 1</math> क्रमसूचक का उत्तराधिकारी <math>\alpha</math>, <math>\mathcal{P}</math> [[सत्ता स्थापित]] | पावर-सिद्धांत ऑपरेटर, और <math>\lambda</math> सीमा क्रमसूचक, निम्नलिखित पदानुक्रम को परिभाषित करें: | ||
: <math> \begin{align} | : <math> \begin{align} | ||
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:<math> V^{(\mathbb{P})} = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) ~|~ \alpha ~ \text{is an ordinal} \}. </math> | :<math> V^{(\mathbb{P})} = \bigcup \{ \operatorname{Name}(\alpha) ~|~ \alpha ~ \text{is an ordinal} \}. </math> | ||
<math> \mathbb{P} </math>वें>-नाम, वास्तव में, वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का विस्तार हैं। दिया गया <math> x \in V </math>, | <math> \mathbb{P} </math>वें>-नाम, वास्तव में, वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड का विस्तार हैं। दिया गया <math> x \in V </math>, परिभाषित करता है <math> \check{x} </math> होना के लिए <math> \mathbb{P} </math>-नाम | ||
:<math> \check{x} = \{ (\check{y},\mathbf{1}) \mid y \in x \}. </math> | :<math> \check{x} = \{ (\check{y},\mathbf{1}) \mid y \in x \}. </math> | ||
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:<math> \operatorname{val}(u,G) = \{ \operatorname{val}(v,G) \mid \exists p \in G: ~ (v,p) \in u \}. </math> | :<math> \operatorname{val}(u,G) = \{ \operatorname{val}(v,G) \mid \exists p \in G: ~ (v,p) \in u \}. </math> | ||
यह फिर से ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है। ध्यान दें कि | यह फिर से ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषा है। ध्यान दें कि यदि <math> \mathbf{1} \in G </math>, तब <math> \operatorname{val}(\check{x},G) = x </math>. तो परिभाषित करता है | ||
:<math> \underline{G} = \{ (\check{p},p) \mid p \in G \} </math> | :<math> \underline{G} = \{ (\check{p},p) \mid p \in G \} </math> | ||
जिससे कि <math> \operatorname{val}(\underline{G},G) = \{\operatorname{val}(\check p, G) \mid p \in G\} = G </math>. | |||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
फोर्सिंग पोसेट का | फोर्सिंग पोसेट का अच्छा उदाहरण है <math> (\operatorname{Bor}(I),\subseteq,I) </math>, कहाँ <math> I = [0,1] </math> और <math> \operatorname{Bor}(I) </math> के बोरेल उपसमूहों का संग्रह है <math> I </math> गैर-शून्य Lebesgue माप होना। इस स्थिति में, परिस्थितियों के बारे में संभावनाओं के रूप में बात की जा सकती है, और ए <math> \operatorname{Bor}(I) </math>-नाम संभाव्य अर्थ में सदस्यता प्रदान करता है। तैयार अंतर्ज्ञान के कारण यह उदाहरण प्रदान कर सकता है, संभाव्य भाषा का प्रयोग कभी-कभी अन्य अलग-अलग मजबूर पॉसिद्धांत्स के साथ किया जाता है। | ||
== गणनीय सकर्मक | == गणनीय सकर्मक प्रारूप और सामान्य फ़िल्टर == | ||
बाध्य करने में मुख्य चरण दिया गया है a <math> \mathsf{ZFC} </math> ब्रह्मांड <math> V </math>, | बाध्य करने में मुख्य चरण दिया गया है a <math> \mathsf{ZFC} </math> ब्रह्मांड <math> V </math>, उपयुक्त वस्तु खोजने के लिए <math> G </math> अंदर नही <math> V </math>. की सभी व्याख्याओं का परिणामी वर्ग <math> \mathbb{P} </math>-नाम का प्रारूप होगा <math> \mathsf{ZFC} </math> जो मूल रूप से मूल का विस्तार करता है <math> V </math> (तब से <math> G \notin V </math>). | ||
के साथ | के साथ कार्य करने के अतिरिक्त <math> V </math>, गणनीय सकर्मक प्रारूप पर विचार करना उपयोगी है <math> M </math> साथ <math> (\mathbb{P},\leq,\mathbf{1}) \in M </math>. प्रारूप सिद्धांत थ्योरी के प्रारूप को संदर्भित करता है, या तो सभी में से <math> \mathsf{ZFC} </math>, या बड़े किन्तु परिमित उपसमुच्चय का प्रारूप <math> \mathsf{ZFC} </math>, या उसका कोई संस्करण। सकर्मकता का अर्थ है कि यदि <math> x \in y \in M </math>, तब <math> x \in M </math>. [[मोस्टोव्स्की पतन लेमो]] में कहा गया है कि सदस्यता संबंध अच्छी प्रकार से स्थापित होने पर यह माना जा सकता है। सकर्मकता का प्रभाव यह है कि सदस्यता और अन्य प्राथमिक धारणाओं को सहजता से नियंत्रित किया जा सकता है। प्रारूप की गणना लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय पर निर्भर करती है। | ||
जैसा <math> M </math> | जैसा <math> M </math> सिद्धांत है, इसमें सिद्धांत नहीं हैं <math> M </math> - यह रसेल के विरोधाभास से आता है। उपयुक्त सिद्धांत <math> G </math> चुनना और जोड़ना <math> M </math> सामान्य फ़िल्टर चालू है <math> \mathbb{P} </math>. फ़िल्टर स्थिति का अर्थ है कि: | ||
* <math> G \subseteq \mathbb{P}; </math> | * <math> G \subseteq \mathbb{P}; </math> | ||
* <math> \mathbf{1} \in G; </math> | * <math> \mathbf{1} \in G; </math> | ||
* | * यदि <math> p \geq q \in G </math>, तब <math> p \in G; </math> | ||
* | * यदि <math> p,q \in G </math>, तो वहाँ सम्मलित है <math> r \in G </math> ऐसा है कि <math> r \leq p,q. </math> | ||
के लिए <math> G </math> सामान्य होने का अर्थ है: | के लिए <math> G </math> सामान्य होने का अर्थ है: | ||
* | * यदि <math> D \in M </math> का सघन उपसमुच्चय है <math> \mathbb{P} </math> (अर्ताथ, प्रत्येक के लिए <math> p \in \mathbb{P} </math>, वहाँ सम्मलित है <math> q \in D </math> ऐसा है कि <math> q \leq p </math>), तब <math> G \cap D \neq \varnothing </math>. | ||
एक सामान्य फ़िल्टर का अस्तित्व <math> G </math> रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा से आता है। वास्तव में, थोड़ा और सत्य है: | एक सामान्य फ़िल्टर का अस्तित्व <math> G </math> रसिओवा-सिकोर्स्की लेम्मा से आता है। वास्तव में, थोड़ा और सत्य है: शर्त दी गई है <math> p \in \mathbb{P} </math>, कोई सामान्य फ़िल्टर पा सकता है <math> G </math> ऐसा है कि <math> p \in G </math>. बंटवारे की स्थिति के कारण <math>\mathbb{P}</math> (ऊपर 'एटमलेस' कहा जा रहा है), यदि <math> G </math> फिल्टर है, फिर <math> \mathbb{P} \setminus G </math> घना है। यदि <math> G \in M </math>, तब <math> \mathbb{P} \setminus G \in M </math> क्योंकि <math> M </math> का प्रारूप है <math> \mathsf{ZFC} </math>. इस कारण से, सामान्य फ़िल्टर कभी नहीं होता है <math> M </math>. | ||
== जबरदस्ती == | == जबरदस्ती == | ||
एक सामान्य फ़िल्टर दिया गया <math> G \subseteq \mathbb{P}</math>, | एक सामान्य फ़िल्टर दिया गया <math> G \subseteq \mathbb{P}</math>, निम्नानुसार आगे बढ़ता है। का उपवर्ग <math> \mathbb{P} </math>-नामों में <math> M </math> निरूपित किया जाता है <math> M^{(\mathbb{P})} </math>. होने देना | ||
:<math> M[G] = \left\{ \operatorname{val}(u,G) ~ \Big| ~ u \in M^{(\mathbb{P})} \right\}.</math> | :<math> M[G] = \left\{ \operatorname{val}(u,G) ~ \Big| ~ u \in M^{(\mathbb{P})} \right\}.</math> | ||
के | के सिद्धांत सिद्धांत के अध्ययन को कम करने के लिए <math> M[G] </math> उसके वहां के लिए <math> M </math>, जबरदस्ती भाषा के साथ कार्य करता है, जो बाइनरी रिलेशन के रूप में सदस्यता के साथ सामान्य प्रथम-क्रम तर्क की प्रकार निर्मित होता है और सभी <math> \mathbb{P} </math>-नाम स्थिरांक के रूप में। | ||
परिभाषित करना <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math> (के रूप में पढ़ने के लिए<math>p</math> ताकतों <math> \varphi </math> | परिभाषित करना <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math> (के रूप में पढ़ने के लिए<math>p</math> ताकतों <math> \varphi </math> प्रारूप में <math> M </math> पोसेट के साथ <math> \mathbb{P} </math>), कहाँ <math> p </math> शर्त है, <math> \varphi </math> जबरदस्ती भाषा में सूत्र है, और <math> u_{i} </math>के हैं <math> \mathbb{P} </math>-नाम, इसका अर्थ है कि यदि <math> G </math> सामान्य फ़िल्टर युक्त है <math> p </math>, तब <math> M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_{n},G)) </math>. विशेष स्थिति <math> \mathbf{1} \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math> प्रायः के रूप में लिखा जाता है<math> \mathbb{P} \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math>या केवल<math> \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math>. में ऐसे कथन सत्य हैं <math> M[G] </math>, कोई बात नहीं क्या <math> G </math> है। | ||
महत्वपूर्ण बात यह है कि यह जबरदस्ती संबंध की बाहरी परिभाषा है <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math> भीतर | महत्वपूर्ण बात यह है कि यह जबरदस्ती संबंध की बाहरी परिभाषा है <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi </math> भीतर आंतरिक परिभाषा के बराबर है <math> M </math>, पार परिमित प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है <math> \mathbb{P} </math>-नाम के उदाहरणों पर <math> u \in v </math> और <math> u = v </math>, और फिर सूत्रों की जटिलता पर साधारण प्रेरण द्वारा। इसका प्रभाव यह है कि के सभी गुण <math> M[G] </math> के गुण हैं <math> M </math>, और का सत्यापन <math> \mathsf{ZFC} </math> में <math> M[G] </math> सीधा हो जाता है। इसे सामान्यतः निम्नलिखित तीन प्रमुख गुणों के रूप में संक्षेपित किया जाता है: | ||
*सच: <math> M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_n,G)) </math> [[अगर और केवल अगर]] इसके द्वारा मजबूर किया जाता है <math> G </math> | *सच: <math> M[G] \models \varphi(\operatorname{val}(u_1,G),\ldots,\operatorname{val}(u_n,G)) </math> [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] इसके द्वारा मजबूर किया जाता है <math> G </math>अर्ताथ कुछ शर्तों के लिए <math> p \in G </math>, अपने पास <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math>. | ||
* निश्चितता: कथन<math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math>में निश्चित है <math> M </math>. | * निश्चितता: कथन<math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math>में निश्चित है <math> M </math>. | ||
*सुसंगतता: <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) \land q \leq p \implies q \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math>. | *सुसंगतता: <math> p \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) \land q \leq p \implies q \Vdash_{M,\mathbb{P}} \varphi(u_1,\ldots,u_n) </math>. | ||
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हम जबरदस्ती संबंध को परिभाषित करते हैं <math> \Vdash_{M,\mathbb{P}} </math> में <math> M </math> सूत्रों की जटिलता पर प्रेरण द्वारा, जिसमें हम पहले परमाणु सूत्रों के संबंध को परिभाषित करते हैं <math> \in </math>-इंडक्शन और फिर इसे मनमाने फॉर्मूलों के लिए उनकी जटिलता पर इंडक्शन द्वारा परिभाषित करें। | हम जबरदस्ती संबंध को परिभाषित करते हैं <math> \Vdash_{M,\mathbb{P}} </math> में <math> M </math> सूत्रों की जटिलता पर प्रेरण द्वारा, जिसमें हम पहले परमाणु सूत्रों के संबंध को परिभाषित करते हैं <math> \in </math>-इंडक्शन और फिर इसे मनमाने फॉर्मूलों के लिए उनकी जटिलता पर इंडक्शन द्वारा परिभाषित करें। | ||
हम पहले परमाणु सूत्रों पर बल संबंध को परिभाषित करते हैं, ऐसा दोनों प्रकार के सूत्रों के लिए करते हैं, <math>x\in y</math> और <math>x=y</math>, इसके साथ ही। इसका | हम पहले परमाणु सूत्रों पर बल संबंध को परिभाषित करते हैं, ऐसा दोनों प्रकार के सूत्रों के लिए करते हैं, <math>x\in y</math> और <math>x=y</math>, इसके साथ ही। इसका अर्थ है कि हम संबंध को परिभाषित करते हैं <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> कहाँ <math>t</math> सूत्र के प्रकार को निम्नानुसार दर्शाता है: | ||
# <math>R(p,a,b,0,\mathbb{P})</math> साधन <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}a\in b</math>. | # <math>R(p,a,b,0,\mathbb{P})</math> साधन <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}a\in b</math>. | ||
# <math>R(p,a,b,1,\mathbb{P})</math> साधन <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}a=b</math>. | # <math>R(p,a,b,1,\mathbb{P})</math> साधन <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}a=b</math>. | ||
# <math>R(p,a,b,2,\mathbb{P})</math> साधन <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}a\subseteq b</math>. | # <math>R(p,a,b,2,\mathbb{P})</math> साधन <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}a\subseteq b</math>. | ||
यहाँ <math>p</math> | यहाँ <math>p</math> शर्त है और <math>a</math> और <math>b</math> हैं <math>\mathbb{P}</math>-नाम। होने देना <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> द्वारा परिभाषित सूत्र हो <math>\in</math>-प्रवेश: | ||
आर 1। <math>R(p,a,b,0,\mathbb{P})</math> | आर 1। <math>R(p,a,b,0,\mathbb{P})</math> यदि और केवल यदि <math>(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(\exists(c,s)\in b)(r\leq s\,\land\,R(r,a,c,1,\mathbb{P}))</math>. | ||
देखना। <math>R(p,a,b,1,\mathbb{P})</math> | देखना। <math>R(p,a,b,1,\mathbb{P})</math> यदि और केवल यदि <math>R(r,a,b,2,\mathbb{P})\,\land\,R(r,b,a,2,\mathbb{P})</math>पी 3 <math>R(p,a,b,2,\mathbb{P})</math> यदि और केवल यदि <math>(\forall(c,s)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow\,R(r,c,b,0,\mathbb{P}))</math>. | ||
अधिक औपचारिक रूप से, हम निम्नलिखित द्विआधारी संबंध का उपयोग करते हैं <math>\mathbb{P}</math>-नाम: चलो <math>S(a,b)</math> नामों के लिए रखता है <math>a</math> और <math>b</math> | अधिक औपचारिक रूप से, हम निम्नलिखित द्विआधारी संबंध का उपयोग करते हैं <math>\mathbb{P}</math>-नाम: चलो <math>S(a,b)</math> नामों के लिए रखता है <math>a</math> और <math>b</math> यदि और केवल यदि <math>(a,p)\in b</math> कम से कम शर्त के लिए <math>p</math>. यह संबंध अच्छी प्रकार से स्थापित है, जिसका अर्थ है कि किसी भी नाम के लिए <math>a</math> सभी नामों का वर्ग <math>b</math>, ऐसा है कि <math>S(a,b)</math> धारण करता है, समुच्चय है और कोई फलन नहीं है <math>f:\omega\longrightarrow \text{Names}</math> ऐसा है कि <math>(\forall n\in\omega)S(f(n+1),f(n))</math>. | ||
सामान्य तौर पर | सामान्य तौर पर अच्छी प्रकार से स्थापित संबंध पूर्व-आदेश नहीं है, क्योंकि यह सकर्मक नहीं हो सकता है। किन्तु, यदि हम इसे क्रम के रूप में मानते हैं, तो यह अनंत घटते क्रम के बिना संबंध है और जहां किसी भी तत्व के लिए उसके नीचे के तत्वों का वर्ग सिद्धांत है। | ||
ट्रांज़िटिविटी के लिए किसी भी बाइनरी रिलेशन को बंद करना | ट्रांज़िटिविटी के लिए किसी भी बाइनरी रिलेशन को बंद करना सरल है। नामों के लिए <math>a</math> और <math>b</math>, <math>a<b</math> धारण करता है यदि कम से कम परिमित अनुक्रम है | ||
<math>c_0,\dots,c_n</math> (डोमेन के साथ मानचित्र के रूप में <math>\{0,\dots,n\}</math>) कुछ के लिए <math>n>0</math> ऐसा है कि <math>c_0=a</math>, <math>c_n=b</math> और किसी के लिए <math>i<n</math>, <math>S(c_{i-1},c_i)</math> रखती है। इस | <math>c_0,\dots,c_n</math> (डोमेन के साथ मानचित्र के रूप में <math>\{0,\dots,n\}</math>) कुछ के लिए <math>n>0</math> ऐसा है कि <math>c_0=a</math>, <math>c_n=b</math> और किसी के लिए <math>i<n</math>, <math>S(c_{i-1},c_i)</math> रखती है। इस प्रकार का आदेश भी अच्छी प्रकार से स्थापित है। | ||
हम नामों के जोड़े पर निम्नलिखित सुपरिभाषित क्रम को परिभाषित करते हैं: <math>T((a,b),(c,d))</math> यदि निम्न में से कोई | हम नामों के जोड़े पर निम्नलिखित सुपरिभाषित क्रम को परिभाषित करते हैं: <math>T((a,b),(c,d))</math> यदि निम्न में से कोई धारण करता है: | ||
# <math>\max\{a,b\}<\max\{c,d\},</math> | # <math>\max\{a,b\}<\max\{c,d\},</math> | ||
# <math>\max\{a,b\}=\max\{c,d\}</math> और <math>\min\{a,b\}<\min\{c,d\},</math> | # <math>\max\{a,b\}=\max\{c,d\}</math> और <math>\min\{a,b\}<\min\{c,d\},</math> | ||
# <math>\max\{a,b\}=\max\{c,d\}</math> और <math>\min\{a,b\}=\min\{c,d\}</math> और <math>a<c.</math> | # <math>\max\{a,b\}=\max\{c,d\}</math> और <math>\min\{a,b\}=\min\{c,d\}</math> और <math>a<c.</math> | ||
रिश्ता <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> जोड़े पर रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है <math>(a,b)</math> नामों का। किसी भी जोड़ी के लिए यह सरल जोड़े पर समान संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। दरअसल, पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा | रिश्ता <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> जोड़े पर रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है <math>(a,b)</math> नामों का। किसी भी जोड़ी के लिए यह सरल जोड़े पर समान संबंध द्वारा परिभाषित किया गया है। दरअसल, पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा सूत्र है <math>R(p,a,b,t,\mathbb{P})</math> जैसे कि R1, R2 और R3 प्रमेय हैं क्योंकि किसी बिंदु पर इसका सत्य मान इसके सत्य मानों द्वारा छोटे बिंदुओं में परिभाषित किया जाता है, जो कि कुछ अच्छी प्रकार से स्थापित संबंधों के सापेक्ष होता है, जो आदेश के रूप में उपयोग किया जाता है। अब, हम बल संबंध को परिभाषित करने के लिए तैयार हैं: | ||
# <math>p\Vdash_{\mathbb P}a\in b</math> साधन <math>a,b\in \text{Name}\,\land\,R(p,a,b,0,\mathbb{P}).</math> | # <math>p\Vdash_{\mathbb P}a\in b</math> साधन <math>a,b\in \text{Name}\,\land\,R(p,a,b,0,\mathbb{P}).</math> | ||
# <math>p\Vdash_{\mathbb P}a=b</math> साधन <math>a,b\in \text{Name}\,\land\,R(p,a,b,1,\mathbb{P}).</math> | # <math>p\Vdash_{\mathbb P}a=b</math> साधन <math>a,b\in \text{Name}\,\land\,R(p,a,b,1,\mathbb{P}).</math> | ||
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# <math>p\Vdash_{\mathbb P}(f(a_1,\dots,a_n)\land g(a_1,\dots,a_n))</math> साधन <math>a_1,\dots,a_n\in \text{Name} \,\land\,(p\Vdash_{\mathbb P}f(a_1,\dots,a_n))\land(p\Vdash_{\mathbb P}g(a_1,\dots,a_n)).</math> | # <math>p\Vdash_{\mathbb P}(f(a_1,\dots,a_n)\land g(a_1,\dots,a_n))</math> साधन <math>a_1,\dots,a_n\in \text{Name} \,\land\,(p\Vdash_{\mathbb P}f(a_1,\dots,a_n))\land(p\Vdash_{\mathbb P}g(a_1,\dots,a_n)).</math> | ||
# <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}(\forall x)f(a_1,\dots,a_n,x)</math> साधन <math>a_1,\dots,a_n\in \text{Name} \,\land\,(\forall b \in \text{Names})p\Vdash_{\mathbb{P}}f(a_1,\dots,a_n,b).</math> | # <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}(\forall x)f(a_1,\dots,a_n,x)</math> साधन <math>a_1,\dots,a_n\in \text{Name} \,\land\,(\forall b \in \text{Names})p\Vdash_{\mathbb{P}}f(a_1,\dots,a_n,b).</math> | ||
दरअसल, यह | दरअसल, यह मनमाने फार्मूले का रूपांतरण है <math>f(x_1,\dots,x_n)</math> सूत्र के लिए <math>p\Vdash_{\mathbb{P}}f(x_1,\dots,x_n)</math> कहाँ <math>p</math> और <math>\mathbb{P}</math> अतिरिक्त चर हैं। यह ब्रह्मांड में जबरदस्ती संबंध की परिभाषा है <math>V</math> किसी भी गणनीय सकर्मक प्रारूप की परवाह किए बिना सभी समुच्चयों की। चूंकि, बल के इस वाक्यात्मक सूत्रीकरण और कुछ गणनीय सकर्मक प्रारूप पर बल के शब्दार्थ सूत्रीकरण के बीच संबंध है <math>M</math>. | ||
# किसी भी सूत्र के लिए <math>f(x_1,\dots,x_n)</math> | |||