अनंत: Difference between revisions
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
{{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}} | {{Further|अनंत (दर्शनशास्त्र)}} | ||
प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके | प्राचीन संस्कृतियों में अनंत की प्रकृति के बारे में विभिन्न विचार थे। [[वैदिक काल|प्राचीन भारतीयों]] और [[प्राचीन ग्रीस|यूनानियों]] ने सटीक औपचारिकता में अनंत को परिभाषित नहीं किया जैसा कि आधुनिक गणित करता है और इसके स्थान पर एक दार्शनिक अवधारणा के रूप में अनंत तक पहुंच गया। | ||
=== प्रारंभिक यूनानी === | === प्रारंभिक यूनानी === | ||
ग्रीस में | ग्रीस में अनंत का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने अपरिमित शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और संभवतः इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref> | ||
अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को [[वास्तविक अनंत]] से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था।<ref>{{cite book |author=Aristotle |url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html |translator-last1=Hardie|translator-first1=R. P. |translator-last2=Gaye|translator-first2=R. K. |at=Book 3, Chapters 5–8|title=भौतिक विज्ञान|publisher=The Internet Classics Archive}}</ref> यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, [[हेलेनिस्टिक]] यूनानियों में अनंत का आतंक था,<ref>{{cite journal |author=Goodman |first=Nicolas D. |year=1981 |editor1-last=Richman |editor1-first=F. |title=Reflections on Bishop's philosophy of mathematics |journal=Constructive Mathematics. Lecture Notes in Mathematics |series=Lecture Notes in Mathematics |publisher=Springer |volume=873|pages=135–145 |doi=10.1007/BFb0090732 |isbn=978-3-540-10850-4 }}</ref><ref>Maor, p. 3</ref> जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों [[यूक्लिड]] ( | अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को [[वास्तविक अनंत]] से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था।<ref>{{cite book |author=Aristotle |url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html |translator-last1=Hardie|translator-first1=R. P. |translator-last2=Gaye|translator-first2=R. K. |at=Book 3, Chapters 5–8|title=भौतिक विज्ञान|publisher=The Internet Classics Archive}}</ref> यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, [[हेलेनिस्टिक]] यूनानियों में अनंत का आतंक था,<ref>{{cite journal |author=Goodman |first=Nicolas D. |year=1981 |editor1-last=Richman |editor1-first=F. |title=Reflections on Bishop's philosophy of mathematics |journal=Constructive Mathematics. Lecture Notes in Mathematics |series=Lecture Notes in Mathematics |publisher=Springer |volume=873|pages=135–145 |doi=10.1007/BFb0090732 |isbn=978-3-540-10850-4 }}</ref><ref>Maor, p. 3</ref> जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों [[यूक्लिड]] (सी. 300 ई.पू.) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं, बल्कि "अभाज्य संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्धारित बहुसंख्यक संख्या से अधिक हैं।"<ref>{{Cite journal |last=Sarton |first=George |date=March 1928 |title=''The Thirteen Books of Euclid's Elements''. Thomas L. Heath , Heiberg |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/346308 |journal=Isis |volume=10 |issue=1 |pages=60–62 |doi=10.1086/346308 |issn=0021-1753 |via=The University of Chicago Press Journals}}</ref> यह भी कहा गया है कि [[अभाज्य संख्याओं की अनंतता]] को साबित करने में यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाले पहले व्यक्ति थे"।<ref>{{Cite book |last=Hutten |first=Ernest Hirschlaff |url=https://archive.org/details/originsofscience0000hutt_n9u7 |title=The origins of science; an inquiry into the foundations of Western thought |date=1962 |publisher=London, Allen and Unwin |others=Internet Archive |isbn=978-0-04-946007-2 |pages=1–241 |language=en |access-date=2020-01-09}}</ref> यूक्लिड की [[समानांतर अभिधारणा]] से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है- | ||
{{quote| | {{quote|यदि एक सीधी रेखा दो [अन्य] सीधी रेखाओं के बीच गिरती हुई अपने एक ही ओर आंतरिक कोण बनाती है [जिसका योग] दो समकोणों से कम होता है तो दो [अन्य] सीधी रेखाएँ अनंत तक बढ़ाई जा रही हैं जो [मूल सीधी रेखा के] उस ओर मिलती हैं जिसका [आंतरिक कोणों का योग] दो समकोणों से कम होता है।<ref>{{cite book|author=Euclid |orig-year=c. 300 BC|translator-last1=Fitzpatrick |translator-first1=Richard |title=Euclid's Elements of Geometry |url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf|year=2008 |isbn=978-0-6151-7984-1 |page=6 (Book I, Postulate 5)}}</ref>}} | ||
हालाँकि, अन्य अनुवादक इस अनुवाद को प्राथमिकता देते हैं कि यदि "दो सीधी रेखाएँ, अनिश्चित काल तक बनाई जाती है...",<ref>{{cite book|last1=Heath|first1=Sir Thomas Little|last2=Heiberg|first2=Johan Ludvig|author-link1=Thomas Heath (classicist)|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements|volume=v. 1|publisher=The University Press|year=1908|url=https://books.google.com/books?id=dkk6AQAAMAAJ&q=right+angles+infinite&pg=PR8|page=212}}</ref> तो इस निहितार्थ से बचा जा सकता है कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत के आतंक" से दूर, प्रारंभिक ग्रीक दर्शन के सभी आधारों को रेखांकित करता है और यह कि अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।<ref>{{cite book|last=Drozdek|first=Adam|title=''In the Beginning Was the'' Apeiron'': Infinity in Greek Philosophy''|year=2008|isbn=978-3-515-09258-6|publisher=Franz Steiner Verlag|location=Stuttgart, Germany}} | |||
</ref> | </ref> | ||
=== ज़ेनो | === ज़ेनो- अकिलिस और कछुआ === | ||
{{Main|ज़ेनो के विरोधाभास § | {{Main|ज़ेनो के विरोधाभास § अकिलिस और कछुआ}} | ||
[[एलिया का ज़ेनो|एलिया के ज़ेनो]] (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास,<ref name="Zeno's paradoxes">{{cite web|url=https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ |title=Zeno's Paradoxes |date=October 15, 2010 |website=Stanford University |access-date=April 3, 2017}}</ref> विशेष रूप से " | [[एलिया का ज़ेनो|एलिया के ज़ेनो]] (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास,<ref name="Zeno's paradoxes">{{cite web|url=https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ |title=Zeno's Paradoxes |date=October 15, 2010 |website=Stanford University |access-date=April 3, 2017}}</ref> विशेष रूप से "अकिलिस और कछुआ", का इसमें महत्वपूर्ण योगदान था जिसमें उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को [[बर्ट्रेंड रसेल]] द्वारा "अथाह सूक्ष्म और गहन" के रूप में वर्णित किया गया था।<ref>{{harvnb|Russell|1996|p=347}}</ref> | ||
[[Achilles|अकिलिस]] कछुआ दौड़ता है जो बाद वाले को एक प्रमुख प्रारम्भ देता है। | |||
*चरण 1- कछुआ के प्रारम्भिक बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है। | |||
*चरण 2- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। | |||
*चरण 3- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। | |||
*चरण 4- अकिलिस आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि। | |||
स्पष्ट रूप से, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है। | |||
ज़ेनो अनंत के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। [[एलीटिक|एलीटिक्स]] स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष किया। | |||
<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | अंत में, 1821 में, [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 < ''x'' < 1 के लिए,<ref>{{cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref><math display="block">a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.</math>मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की प्रारम्भिक बढ़त है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में ''a'' = 10 सेकंड और ''x'' = 0.01 के साथ उपयुक्त बैठती है। अकिलिस कछुआ से आगे निकल जाता है, यह उसे ले जाता है<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | ||
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[[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | [[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | ||
* गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम | * गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम | ||
*असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य | *असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य रूप से अनगिनत | ||
*अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत | *अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत | ||
=== 17वीं शताब्दी === | === 17वीं शताब्दी === | ||
17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने | 17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का व्यवस्थित ढंग से प्रयोग करना शुरू किया। 1655 में, [[जॉन वालिस]] ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&q=infinity|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|isbn=9781602066854|volume=1|pages=214|language=en}}</ref> अंकन {{char|<math>\infty</math>}} का उपयोग किया और <math>{1\over \infty} | ||
1699 में, [[आइजैक न्यूटन|आइज़ैक न्यूटन]] ने अपने कार्य | </math> के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यंत सूक्ष्म पट्टियों में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> लेकिन अंकगणितीय इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर "&c" जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और &c।"<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref> | ||
1699 में, [[आइजैक न्यूटन|आइज़ैक न्यूटन]] ने अपने कार्य समीकरणों का विश्लेषण अनंत काल तक में अनंत पदों वाले समीकरणों के बारे में लिखा था।<ref>{{cite book |title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 |first1=Ivor |last1=Grattan-Guinness |publisher=Elsevier |year=2005 |isbn=978-0-08-045744-4 |page=62 |url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160603085825/https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC |archive-date=2016-06-03 }} [https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA62 Extract of p. 62]</ref> | |||
== गणित == | == गणित == | ||
[[हरमन वेइल]] ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक | [[हरमन वेइल]] ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक संबोधन का प्रारम्भ किया-<ref>{{citation|first=Hermann|last=Weyl|title=Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy|editor=Peter Pesic|year=2012|publisher=Dover|isbn=978-0-486-48903-2|page=17}}</ref> | ||
{{blockquote|text=गणित अनंत का विज्ञान है।}} | {{blockquote|text=गणित अनंत का विज्ञान है।}} | ||
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{{Main|अनंत प्रतीक}} | {{Main|अनंत प्रतीक}} | ||
अनंत प्रतीक <math>\infty</math> (जिसे कभी-कभी [[limniscate| | अनंत प्रतीक <math>\infty</math> (जिसे कभी-कभी [[limniscate|द्विपाशी]] कहा जाता है,) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक [[यूनिकोड|एकल कोड]] में U+221E <math>\infty</math> अनंत (&अनंत)<ref>{{Cite web|url=https://www.compart.com/en/unicode/U+221E|title=Unicode Character "∞" (U+221E)|last=AG|first=Compart|website=Compart.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> और [[LaTeX|लाटेक्स (LaTeX)]] में<code>\infty</code><ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols|title=List of LaTeX mathematical symbols - OeisWiki|website=oeis.org|access-date=2019-11-15}}</ref>के रूप में एन्कोड किया गया है। | ||
यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था,<ref>{{citation | यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था,<ref>{{citation | ||
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| title = COLOG-88 (Tallinn, 1988) | | title = COLOG-88 (Tallinn, 1988) | ||
| volume = 417 | | volume = 417 | ||
| year = 1990| isbn = 978-3-540-52335-2 }}</ref> और | | year = 1990| isbn = 978-3-540-52335-2 }}</ref> और इसके प्रारम्भ के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीकवाद<ref>{{citation|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures|first=Leona|last=Toker|publisher=Cornell University Press|year=1989|isbn=978-0-8014-2211-9|page=159|url=https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160509095701/https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|archive-date=2016-05-09}}</ref> में गणित के बाहर भी इसका उपयोग किया गया है।<ref>{{citation|title=Dreams, Illusion, and Other Realities|first=Wendy Doniger|last=O'Flaherty|publisher=University of Chicago Press|year=1986|isbn=978-0-226-61855-5|page=243|url=https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160629143323/https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|archive-date=2016-06-29}}</ref> | ||
=== गणना === | === गणना === | ||
अत्यंत सूक्ष्म गणना के सह-आविष्कारकों में से एक [[Gottfried Wilhelm Leibniz|गॉटफ्रीड लीबनिज]] ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लीबनिज के लिए, दोनों अतिसूक्ष्म और अनंत मात्राएं आदर्श संस्थाएं थीं, जो सराहनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं थी, लेकिन निरंतरता के नियम के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रही थी।<ref>{{cite SEP |url-id=continuity |title=Continuity and Infinitesimals |last=Bell |first=John Lane |author-link=John Lane Bell}}</ref><ref name="Jesseph">{{cite journal |last=Jesseph |first=Douglas Michael |date=Spring–Summer 1998 |year=1998 |title=Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes |url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html |url-status=dead |journal=[[Perspectives on Science]] |volume=6 |issue=1&2 |pages=6–40 |doi=10.1162/posc_a_00543 |s2cid=118227996 |issn=1063-6145 |oclc=42413222 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120111102635/http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html |archive-date=11 January 2012 |access-date=1 November 2019 |via=Project MUSE}}</ref> | |||
==== [[वास्तविक विश्लेषण]] ==== | ==== [[वास्तविक विश्लेषण]] ==== | ||
वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक | वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक <math>\infty</math> जिसे "अनंत" कहा जाता है, का उपयोग असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>{{harvnb|Taylor|1955|loc=p. 63}}</ref> अंकन <math>x \rightarrow \infty</math> का अर्थ है कि <math>x</math> बिना किसी सीमा के बढ़ता है और <math>x \to -\infty</math> का अर्थ है कि <math>x</math> बिना किसी सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक <math>t</math> के लिए <math>f(t)\ge 0</math>, तो<ref>These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, {{harvnb|Swokowski|1983|pp=468–510}}</ref> | ||
* <math>\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty</math> का अर्थ है कि <math>f(t)</math> <math>a</math> से <math>b</math> तक परिमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है। | |||
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty</math> का अर्थ है कि <math>f(t)</math> के अंतर्गत क्षेत्र अनंत है। | |||
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = a</math> का अर्थ है कि <math>f(t)</math> के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल परिमित है, और <math>a</math> के बराबर है। | |||
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty</math> का अर्थ है कि | अनंत का उपयोग अनंत श्रृंखला का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है, निम्नानुसार- | ||
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = a</math> का अर्थ है कि | * <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = a</math> का अर्थ है कि [[अभिसरण श्रृंखला|अनंत श्रृंखला]] का योग किसी वास्तविक मान <math>a | ||
</math> में परिवर्तित हो जाता है। | |||
* <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = a</math> | * <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = \infty</math> का अर्थ है कि [[भिन्न श्रृंखला|अनंत श्रृंखला]] का योग उचित रूप से अनंत में बदल जाता है, इस अर्थ में कि आंशिक योग बिना किसी सीमा के बढ़ता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathonline.wikidot.com/properly-divergent-sequences|title=Properly Divergent Sequences - Mathonline|website=mathonline.wikidot.com|access-date=2019-11-15}}</ref> | ||
</math> | सीमा को परिभाषित करने के अलावा, विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली में अनंत का उपयोग मान के रूप में भी किया जा सकता है। <math>+\infty</math> और <math>-\infty</math> लेबल किए गए बिंदुओं को वास्तविक संख्याओं के [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक स्थान]] में जोड़ा जा सकता है, जिससे वास्तविक संख्याओं का दो-बिंदु [[संघनन (गणित)|संघनन]] उत्पन्न होता है। इसमें बीजगणितीय गुणों को जोड़ने से हमें [[विस्तारित वास्तविक संख्या|विस्तृत वास्तविक संख्याएँ]] प्राप्त होती हैं।<ref>{{citation | ||
* <math>\sum_{i=0}^{\infty} f(i) = \infty</math> | |||
| last1 = Aliprantis | | last1 = Aliprantis | ||
| first1 = Charalambos D. | | first1 = Charalambos D. | ||
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| archive-url = https://web.archive.org/web/20150515120230/https://books.google.com/books?id=m40ivUwAonUC&pg=PA29 | | archive-url = https://web.archive.org/web/20150515120230/https://books.google.com/books?id=m40ivUwAonUC&pg=PA29 | ||
| archive-date = 2015-05-15 | | archive-date = 2015-05-15 | ||
}}</ref> हम | }}</ref> हम <math>+\infty</math> और <math>-\infty</math> को भी समान मान सकते हैं, जिससे वास्तविक संख्याओं का [[एक-बिंदु संघनन]] हो जाता है, जो कि वास्तविक प्रक्षेपण रेखा है।<ref>{{harvnb|Gemignani|1990|loc=p. 177}}</ref> [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] समतल ज्यामिति में अनंत पर रेखा, त्रि-आयामी स्थान में अनंत पर समतल, और सामान्य [[आयाम (गणित और भौतिकी)|आयामों]] के लिए अनंत पर अधिसमतल को भी संदर्भित करता है, प्रत्येक में अनंत पर बिंदु होते हैं।<ref>{{citation|first1=Albrecht|last1=Beutelspacher|first2=Ute|last2=Rosenbaum|title=Projective Geometry / from foundations to applications|year=1998|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-48364-3|page=27}}</ref> | ||
==== सम्मिश्र विश्लेषण ==== | |||
[[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, जटिल विमान को एक गोले पर लपेटा जा सकता है, जिसमें अनंत के अनुरूप गोले का शीर्ष बिंदु होता है। इसे [[रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है।]][[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] में प्रतीक <math>\infty</math>, जिसे "अनंत" कहा जाता है, एक अहस्ताक्षरित अनंत [[सीमा (गणित)|सीमा]] को दर्शाता है। <math>x \rightarrow \infty</math> का अर्थ है कि <math>|x|</math> का परिमाण <math>x</math> किसी भी निर्दिष्ट मान से अधिक हो जाता है। <math>\infty</math> लेबल वाले एक बिंदु को सम्मिश्र में एक स्थलीय स्थान के रूप में जोड़ा जा सकता है, जिससे सम्मिश्र स्थान का एक-बिंदु संघनन होता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExtendedComplexPlane.html|title=Extended Complex Plane|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> | |||
जब यह किया जाता है, तो परिणामी स्थान एक आयामी जटिल मैनिफोल्ड या रीमैन सतह होता है, जिसे विस्तारित जटिल विमान या [[रीमैन सतह|रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है। विस्तारित वास्तविक संख्याओं के लिए ऊपर दिए गए समान अंकगणितीय संक्रियाओं को भी परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि संकेतों में कोई अंतर नहीं है (जो एक अपवाद की ओर जाता है कि अनंत को स्वयं में नहीं जोड़ा जा सकता है)। दूसरी ओर, इस प्रकार की अनंतता शून्य से विभाजन को सक्षम करती है, अर्थात् किसी गैर शून्य जटिल संख्या z <math>z</math> के लिए 0=∞। <math>z/0 = \infty</math> इस संदर्भ में, ध्रुवों पर ∞ <math>\infty</math> का मान लेते हुए रीमैन क्षेत्र में नक्शे के रूप में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक कार्यों]] पर विचार करना अक्सर उपयोगी होता है। अनंत पर बिंदु को शामिल करने के लिए एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन के डोमेन को भी बढ़ाया जा सकता है। ऐसे कार्यों का एक महत्वपूर्ण उदाहरण मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन का समूह है (मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन § ओवरव्यू देखें)। | |||
=== गैर-मानक विश्लेषण === | === गैर-मानक विश्लेषण === | ||
Revision as of 14:00, 9 February 2023
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निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब अनंत दर्पण के कारण, ऐसा लगता है कि उनके अंदर असीमित स्थान और पुनरावृत्ति है।
अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी प्राकृतिक संख्या से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक