अनंत: Difference between revisions
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[[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब [[अनंत दर्पण]] के कारण, ऐसा लगता है कि उनके अंदर असीमित स्थान और पुनरावृत्ति है।]]अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे | [[File:Reflections 1090029.jpg|thumb|upright=1.5|right|निरंतर प्रकाश प्रतिबिंब [[अनंत दर्पण]] के कारण, ऐसा लगता है कि उनके अंदर असीमित स्थान और पुनरावृत्ति है।]]अनंत वह है जो असीम, अंतहीन या किसी भी [[प्राकृतिक संख्या]] से बड़ा है। इसे प्रायः अनंत प्रतीक {{char|<math>\infty</math>}} द्वारा निरूपित किया जाता है। | ||
[[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | [[ग्रीक गणित|प्राचीन यूनानियों]] के समय से अनंत की दार्शनिक प्रकृति दार्शनिकों के बीच कई चर्चाओं का विषय रही है। 17वीं शताब्दी में, अनंत प्रतीक<ref name=":1">{{Cite web |last=Allen |first=Donald |date=2003 |title=The History of Infinity |url=https://www.math.tamu.edu/~dallen/masters/infinity/infinity.pdf |access-date=Nov 15, 2019 |website=Texas A&M Mathematics}}</ref> और [[अतिसूक्ष्म कलन|अतिसूक्ष्म गणना]] के प्रारम्भ के साथ, गणितज्ञों ने [[अनंत श्रृंखला]] के साथ काम करना प्रारम्भ किया और जिसे कुछ गणितज्ञों (एल'हॉपिटल और बर्नौली सहित)<ref name="Jesseph" /> ने असीम रूप से छोटी मात्रा के रूप में माना लेकिन अनंत को अंतहीन प्रक्रियाओं से जोड़ा जाता रहा। जैसा कि गणितज्ञ गणना की नींव के साथ संघर्ष कर रहे थे, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या अनंत को एक संख्या या परिमाण के रूप में माना जा सकता है और यदि ऐसा है तो यह कैसे किया जा सकता है।<ref name=":1" /> 19वीं शताब्दी के अंत में, [[जॉर्ज कैंटर]] ने [[अनंत सेट|अनंत समुच्चयों]] और अनंत संख्याओं का अध्ययन करके अनंत के गणितीय अध्ययन को विस्तृत किया, यह दिखाते हुए कि वे विभिन्न आकारों के हो सकते हैं।<ref name=":1" /><ref>{{Cite book |last1=Gowers |first1=Timothy |url=https://www.worldcat.org/oclc/659590835 |title=The Princeton companion to mathematics |last2=Barrow-Green |first2=June |publisher=Princeton University Press |others=Imre Leader, Princeton University |year=2008 |isbn=978-1-4008-3039-8 |location=Princeton |language=en |oclc=659590835}}</ref> उदाहरण के लिए, यदि किसी रेखा को उसके सभी बिंदुओं के समुच्चय के रूप में देखा जाता है, तो उनकी अनंत संख्या (अर्थात् रेखा की [[प्रमुखता|प्रधानता]]) [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] की संख्या से बड़ी होती है।<ref>{{harvnb|Maddox|2002|loc=pp. 113–117}}</ref> इस प्रयोग में, अनंत एक गणितीय अवधारणा है, और अनंत गणितीय वस्तुओं का अध्ययन किया जा सकता है, हेरफेर किया जा सकता है और किसी अन्य [[गणितीय वस्तु]] की तरह ही उपयोग किया जा सकता है। | ||
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=== प्रारंभिक यूनानी === | === प्रारंभिक यूनानी === | ||
ग्रीस में | ग्रीस में अनंतता का सबसे पहला रिकॉर्ड किया गया विचार [[Anaximander|एक यूनानी वैज्ञानिक]] (सी.-610 - सी.-546 ईसा पूर्व) का हो सकता है जो एक पूर्व-ईश्वरीय यूनानी दार्शनिक था। उन्होंने एपिरॉन शब्द का प्रयोग किया, जिसका अर्थ है "असीमित", "अनिश्चित", और शायद इसका अनुवाद "अनंत" के रूप में किया जा सकता है।<ref name=":1" /><ref>{{harvnb|Wallace|2004|p=44}}</ref> | ||
अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को [[वास्तविक अनंत]] से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता था।<ref>{{cite book |author=Aristotle |url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html |translator-last1=Hardie|translator-first1=R. P. |translator-last2=Gaye|translator-first2=R. K. |at=Book 3, Chapters 5–8|title=भौतिक विज्ञान|publisher=The Internet Classics Archive}}</ref> यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, [[हेलेनिस्टिक]] यूनानियों | |||
अरस्तू (350 ईसा पूर्व) संभावित अनंत को [[वास्तविक अनंत]] से अलग करता है, जिसे वह विभिन्न विरोधाभासों के कारण असंभव मानता था जो इसे उत्पन्न करता प्रतीत होता था।<ref>{{cite book |author=Aristotle |url=http://classics.mit.edu/Aristotle/physics.3.iii.html |translator-last1=Hardie|translator-first1=R. P. |translator-last2=Gaye|translator-first2=R. K. |at=Book 3, Chapters 5–8|title=भौतिक विज्ञान|publisher=The Internet Classics Archive}}</ref> यह तर्क दिया गया है कि, इस दृष्टिकोण के अनुरूप, [[हेलेनिस्टिक]] यूनानियों में अनंत का आतंक था,<ref>{{cite journal |author=Goodman |first=Nicolas D. |year=1981 |editor1-last=Richman |editor1-first=F. |title=Reflections on Bishop's philosophy of mathematics |journal=Constructive Mathematics. Lecture Notes in Mathematics |series=Lecture Notes in Mathematics |publisher=Springer |volume=873|pages=135–145 |doi=10.1007/BFb0090732 |isbn=978-3-540-10850-4 }}</ref><ref>Maor, p. 3</ref> जो, उदाहरण के लिए, समझाएगा कि क्यों [[यूक्लिड]] (सी। 300 ईसा पूर्व) ने यह नहीं कहा कि अभाज्य संख्याओं की अनंतता है, बल्कि "प्राइम" संख्याएँ अभाज्य संख्याओं की किसी भी निर्दिष्ट भीड़ से अधिक हैं।"<ref>{{Cite journal |last=Sarton |first=George |date=March 1928 |title=''The Thirteen Books of Euclid's Elements''. Thomas L. Heath , Heiberg |url=https://www.journals.uchicago.edu/doi/10.1086/346308 |journal=Isis |volume=10 |issue=1 |pages=60–62 |doi=10.1086/346308 |issn=0021-1753 |via=The University of Chicago Press Journals}}</ref> यह भी कायम रखा गया है, कि, [[अभाज्य संख्याओं की अनंतता]] को साबित करने में, यूक्लिड "अनंत के आतंक पर काबू पाने वाला पहला व्यक्ति था"।<ref>{{Cite book |last=Hutten |first=Ernest Hirschlaff |url=https://archive.org/details/originsofscience0000hutt_n9u7 |title=The origins of science; an inquiry into the foundations of Western thought |date=1962 |publisher=London, Allen and Unwin |others=Internet Archive |isbn=978-0-04-946007-2 |pages=1–241 |language=en |access-date=2020-01-09}}</ref> यूक्लिड की [[समानांतर अभिधारणा]] से संबंधित एक समान विवाद है, जिसका कभी-कभी अनुवाद किया जाता है- | |||
{{quote|If a straight line falling across two [other] straight lines makes internal angles on the same side [of itself whose sum is] less than two right angles, then the two [other] straight lines, being produced to infinity, meet on that side [of the original straight line] that the [sum of the internal angles] is less than two right angles.<ref>{{cite book|author=Euclid |orig-year=c. 300 BC|translator-last1=Fitzpatrick |translator-first1=Richard |title=Euclid's Elements of Geometry |url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf|year=2008 |isbn=978-0-6151-7984-1 |page=6 (Book I, Postulate 5)}}</ref>}} | {{quote|If a straight line falling across two [other] straight lines makes internal angles on the same side [of itself whose sum is] less than two right angles, then the two [other] straight lines, being produced to infinity, meet on that side [of the original straight line] that the [sum of the internal angles] is less than two right angles.<ref>{{cite book|author=Euclid |orig-year=c. 300 BC|translator-last1=Fitzpatrick |translator-first1=Richard |title=Euclid's Elements of Geometry |url=http://farside.ph.utexas.edu/Books/Euclid/Elements.pdf|year=2008 |isbn=978-0-6151-7984-1 |page=6 (Book I, Postulate 5)}}</ref>}} | ||
हालांकि, अन्य अनुवादक अनुवाद को | हालांकि, अन्य अनुवादक अनुवाद को पसंद करते हैं "दो सीधी रेखाएं, यदि अनिश्चित रूप से उत्पन्न होती हैं ...",<ref>{{cite book|last1=Heath|first1=Sir Thomas Little|last2=Heiberg|first2=Johan Ludvig|author-link1=Thomas Heath (classicist)|title=The Thirteen Books of Euclid's Elements|volume=v. 1|publisher=The University Press|year=1908|url=https://books.google.com/books?id=dkk6AQAAMAAJ&q=right+angles+infinite&pg=PR8|page=212}}</ref> इस प्रकार इस निहितार्थ से बचते हुए कि यूक्लिड अनंत की धारणा के साथ सहज था। अंत में, यह बनाए रखा गया है कि अनंत पर एक प्रतिबिंब, "अनंत के आतंक" से दूर, प्रारंभिक ग्रीक दर्शन के सभी आधारों को रेखांकित करता है और यह कि अरस्तू की "संभावित अनंतता" इस अवधि की सामान्य प्रवृत्ति से एक विपथन है।<ref>{{cite book|last=Drozdek|first=Adam|title=''In the Beginning Was the'' Apeiron'': Infinity in Greek Philosophy''|year=2008|isbn=978-3-515-09258-6|publisher=Franz Steiner Verlag|location=Stuttgart, Germany}} | ||
</ref> | </ref> | ||
=== ज़ेनो: दुखती और कछुआ === | |||
{{Main|ज़ेनो के विरोधाभास § एच्लीस और कछुआ}} | |||
[[एलिया का ज़ेनो|एलिया के ज़ेनो]] (सी.-495 - सी.-430 ई.पू.) ने अनंत के विषय में किसी भी दृष्टिकोण को आगे नहीं बढ़ाया। फिर भी, उनके विरोधाभास,<ref name="Zeno's paradoxes">{{cite web|url=https://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ |title=Zeno's Paradoxes |date=October 15, 2010 |website=Stanford University |access-date=April 3, 2017}}</ref> विशेष रूप से "एच्लीस और कछुआ", इसमें महत्वपूर्ण योगदान थे कि उन्होंने लोकप्रिय अवधारणाओं की अपर्याप्तता को स्पष्ट किया। विरोधाभासों को [[बर्ट्रेंड रसेल]] द्वारा "बेहद सूक्ष्म और गहरा" के रूप में वर्णित किया गया था।<ref>{{harvnb|Russell|1996|p=347}}</ref> | |||
[[Achilles|एच्लीस]] एक कछुआ दौड़, उत्तरार्द्ध एक प्रमुख शुरुआत देता है। | |||
*चरण #1- कछुआ के शुरुआती बिंदु पर अकिलिस दौड़ता है जबकि कछुआ आगे बढ़ता है। | |||
*चरण #2- Achilles आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण # 1 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। | |||
*चरण #3- Achilles आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण # 2 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। | |||
*चरण #4- Achilles आगे बढ़ता है जहां कछुआ चरण # 3 के अंत में था जबकि कछुआ अभी और आगे जाता है। आदि। | |||
जाहिरा तौर पर, अकिलिस कभी भी कछुए से आगे नहीं निकलता है, क्योंकि वह कितने भी कदम पूरे कर लेता है, कछुआ उसके आगे रहता है। | |||
ज़ेनो अनंतता के बारे में बात करने का प्रयास नहीं कर रहा था। [[एलीटिक|एलीटिक्स]] स्कूल के एक सदस्य के रूप में, जो गति को एक भ्रम मानता था, उसने यह मान लेना एक गलती के रूप में देखा कि अकिलिस दौड़ सकता है। बाद के विचारकों ने, इस समाधान को अस्वीकार्य पाते हुए, तर्क में अन्य कमजोरियों को खोजने के लिए दो सहस्राब्दी से अधिक समय तक संघर्ष किया। | |||
अंत में, 1821 में, [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने सीमा की संतोषजनक परिभाषा और प्रमाण दोनों प्रदान किए कि, 0 <x <1 के लिए,<ref>{{cite book|last=Cauchy|first=Augustin-Louis|author-link=Augustin-Louis Cauchy|access-date=October 12, 2019|title=Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique|year=1821|publisher=Libraires du Roi & de la Bibliothèque du Roi|url=https://books.google.com/books?id=UrT0KsbDmDwC&pg=PA1|page=124}}</ref><math display="block">a+ax+ax^2+ax^3+ax^4+ax^5+\cdots=\frac{a}{1-x}.</math>मान लीजिए कि अकिलिस 10 मीटर प्रति सेकंड की गति से दौड़ रहा है, कछुआ 0.1 मीटर प्रति सेकंड की गति से चल रहा है, और बाद में 100 मीटर की हेड स्टार्ट है। पीछा करने की अवधि कॉची के पैटर्न में a = 10 सेकंड और x = 0.01 के साथ फिट बैठती है। Achilles कछुआ से आगे निकल जाता है; यह उसे लेता है | |||
<math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | <math display="block">10+0.1+0.001+0.00001+\cdots=\frac {10}{1-.01}= \frac {10}{0.99}=10.10101\ldots\text{ seconds}.</math> | ||
===प्रारंभिक भारतीय === | ===प्रारंभिक भारतीय === | ||
[[भारतीय गणित]] | [[भारतीय गणित|जैन गणितीय]] ग्रंथ सूर्य प्रज्ञापति (सी. चौथी-तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) सभी संख्याओं को तीन सेटों में वर्गीकृत करता है- गणना योग्य, असंख्य और अनंत। इनमें से प्रत्येक को आगे तीन आदेशों में उपविभाजित किया गया था-<ref>{{cite book|author=Ian Stewart|title=Infinity: a Very Short Introduction|url=https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|year=2017|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-875523-4|page=117|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20170403200429/https://books.google.com/books?id=iewwDgAAQBAJ&pg=PA117|archive-date=April 3, 2017}}</ref> | ||
* गणनीय | * गणनीय- निम्नतम, मध्यवर्ती और उच्चतम | ||
* असंख्य | *असंख्य- लगभग असंख्य, वास्तव में असंख्य, और असंख्य असंख्य | ||
* अनंत | *अनंत- लगभग अनंत, वास्तव में अनंत, असीम रूप से अनंत | ||
=== 17वीं शताब्दी === | === 17वीं शताब्दी === | ||
17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने एक व्यवस्थित तरीके से अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का उपयोग करना शुरू किया। 1655 में, [[जॉन वालिस]] ने पहली बार | 17वीं शताब्दी में, यूरोपीय गणितज्ञों ने एक व्यवस्थित तरीके से अनंत संख्याओं और अनंत व्यंजकों का उपयोग करना शुरू किया। 1655 में, [[जॉन वालिस]] ने पहली बार अपने डी सेक्शनिबस कॉनिसिस में इस तरह की संख्या के लिए <ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&q=infinity|title=A History of Mathematical Notations|last=Cajori|first=Florian|publisher=Cosimo, Inc.|year=2007|isbn=9781602066854|volume=1|pages=214|language=en}}</ref> नोटेशन इन्फ्टी का इस्तेमाल किया और 1/∞ के क्रम में क्षेत्र को चौड़ाई के अत्यल्प स्ट्रिप्स में विभाजित करके क्षेत्र गणना में इसका उपयोग किया।<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 421, Vol. II, p. 44}}</ref> लेकिन अरिथमेटिका इन्फिनिटोरम (1655 में भी) में, वह कुछ शर्तों या कारकों को लिखकर और फिर जोड़ कर अनंत श्रृंखला, अनंत उत्पादों और अनंत निरंतर अंशों को इंगित करता है। जैसा कि "1, 6, 12, 18, 24, और सी।"<ref>{{harvnb|Cajori|1993|loc=Sec. 435, Vol. II, p. 58}}</ref> | ||
1699 में, [[आइजैक न्यूटन|आइज़ैक न्यूटन]] ने अपने कार्य डी एनालिसिस पर एक्यूवेशन न्यूमेरो टर्मिनोरम इनफिनिटास में अनंत पदों वाले समीकरणों के बारे में लिखा।<ref>{{cite book |title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640-1940 |first1=Ivor |last1=Grattan-Guinness |publisher=Elsevier |year=2005 |isbn=978-0-08-045744-4 |page=62 |url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160603085825/https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC |archive-date=2016-06-03 }} [https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC&pg=PA62 Extract of p. 62]</ref> | |||
== गणित == | == गणित == | ||
[[हरमन वेइल]] ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक | [[हरमन वेइल]] ने 1930 में दिए गए एक गणितीय-दार्शनिक भाषण की शुरुआत की-<ref>{{citation|first=Hermann|last=Weyl|title=Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy|editor=Peter Pesic|year=2012|publisher=Dover|isbn=978-0-486-48903-2|page=17}}</ref> | ||
{{blockquote|text=गणित अनंत का विज्ञान है।}} | |||
=== प्रतीक === | === प्रतीक === | ||
{{Main| | {{Main|अनंत प्रतीक}} | ||
अनंत | |||
अनंत प्रतीक <math>\infty</math> (जिसे कभी-कभी [[limniscate|लेम्निस्केट]] कहा जाता है,) एक गणितीय प्रतीक है जो अनंत की अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतीक [[यूनिकोड]] में U+221E ∞ INFINITY (&infin;)<ref>{{Cite web|url=https://www.compart.com/en/unicode/U+221E|title=Unicode Character "∞" (U+221E)|last=AG|first=Compart|website=Compart.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> और [[LaTeX]] में \infty<code>\infty</code> <ref>{{Cite web|url=https://oeis.org/wiki/List_of_LaTeX_mathematical_symbols|title=List of LaTeX mathematical symbols - OeisWiki|website=oeis.org|access-date=2019-11-15}}</ref>के रूप में एन्कोड किया गया है। | |||
यह जॉन वालिस द्वारा 1655 में पेश किया गया था,<ref>{{citation | |||
| last = Scott | | last = Scott | ||
| first = Joseph Frederick | | first = Joseph Frederick | ||
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| title = COLOG-88 (Tallinn, 1988) | | title = COLOG-88 (Tallinn, 1988) | ||
| volume = 417 | | volume = 417 | ||
| year = 1990| isbn = 978-3-540-52335-2 }}</ref> और इसकी शुरूआत के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद | | year = 1990| isbn = 978-3-540-52335-2 }}</ref> और इसकी शुरूआत के बाद से, आधुनिक रहस्यवाद और साहित्यिक प्रतीकवाद<ref>{{citation|title=Nabokov: The Mystery of Literary Structures|first=Leona|last=Toker|publisher=Cornell University Press|year=1989|isbn=978-0-8014-2211-9|page=159|url=https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160509095701/https://books.google.com/books?id=Jud1q_NrqpcC&pg=PA159|archive-date=2016-05-09}}</ref> में गणित के बाहर भी इसका उपयोग किया गया है।<ref>{{citation|title=Dreams, Illusion, and Other Realities|first=Wendy Doniger|last=O'Flaherty|publisher=University of Chicago Press|year=1986|isbn=978-0-226-61855-5|page=243|url=https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160629143323/https://books.google.com/books?id=vhNNrX3bmo4C&pg=PA243|archive-date=2016-06-29}}</ref> | ||
=== गणना === | |||
इन्फिनिटिमल कैलकुस के सह-आविष्कारकों में से एक [[Gottfried Wilhelm Leibniz|गॉटफ्राइड लीबनिज]] ने अनंत संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में व्यापक रूप से अनुमान लगाया। लीबनिज के लिए, दोनों अपरिमेय और अनंत मात्राएं आदर्श संस्थाएं थीं, प्रशंसनीय मात्राओं के समान प्रकृति की नहीं, लेकिन निरंतरता के कानून के अनुसार समान गुणों का आनंद ले रहे थे।<ref>{{cite SEP |url-id=continuity |title=Continuity and Infinitesimals |last=Bell |first=John Lane |author-link=John Lane Bell}}</ref><ref name="Jesseph">{{cite journal |last=Jesseph |first=Douglas Michael |date=Spring–Summer 1998 |year=1998 |title=Leibniz on the Foundations of the Calculus: The Question of the Reality of Infinitesimal Magnitudes |url=http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html |url-status=dead |journal=[[Perspectives on Science]] |volume=6 |issue=1&2 |pages=6–40 |doi=10.1162/posc_a_00543 |s2cid=118227996 |issn=1063-6145 |oclc=42413222 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120111102635/http://muse.jhu.edu/journals/perspectives_on_science/v006/6.1jesseph.html |archive-date=11 January 2012 |access-date=1 November 2019 |via=Project MUSE}}</ref> | |||
=== | ==== [[वास्तविक विश्लेषण]] ==== | ||
[[ | वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक ∞ जिसे "अनंत" कहा जाता है, का उपयोग असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है।<ref>{{harvnb|Taylor|1955|loc=p. 63}}</ref> अंकन →∞x का अर्थ है कि x बिना किसी सीमा के बढ़ता है | ||
वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक <math>\infty</math>, जिसे अनंत कहा जाता है, का उपयोग किसी फ़ंक्शन की असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। अंकन <math>x \rightarrow \infty</math> मतलब कि<math>x</math>बिना किसी सीमा के बढ़ता है, और <math>x \to -\infty</math> मतलब कि<math>x</math>बिना सीमा के घटता है। उदाहरण के लिए, अगर <math>f(t)\ge 0</math> हर एक के लिए<math>t</math>, तब<ref>These uses of infinity for integrals and series can be found in any standard calculus text, such as, {{harvnb|Swokowski|1983|pp=468–510}}</ref> | |||
वास्तविक विश्लेषण में, प्रतीक <math>\infty</math>, जिसे अनंत कहा जाता है, का उपयोग किसी फ़ंक्शन की असीमित सीमा को दर्शाने के लिए किया जाता है। | |||
* <math>\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty</math> मतलब कि <math>f(t)</math> से परिमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है <math>a</math> को <math>b.</math> | * <math>\int_{a}^{b} f(t)\, dt = \infty</math> मतलब कि <math>f(t)</math> से परिमित क्षेत्र को बाध्य नहीं करता है <math>a</math> को <math>b.</math> | ||
* <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty</math> का अर्थ है कि इसके अंतर्गत क्षेत्र <math>f(t)</math> अनंत है। | * <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\, dt = \infty</math> का अर्थ है कि इसके अंतर्गत क्षेत्र <math>f(t)</math> अनंत है। | ||
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==== जटिल विश्लेषण ==== | ==== जटिल विश्लेषण ==== | ||
[[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, जटिल विमान को एक गोले पर लपेटा जा सकता है, जिसमें अनंत के अनुरूप गोले का शीर्ष बिंदु होता है। इसे [[रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है।]][[जटिल विश्लेषण]] में प्रतीक <math>\infty</math> | [[File:Riemann sphere1.svg|thumb|right|250px|[[त्रिविम प्रक्षेपण]] द्वारा, जटिल विमान को एक गोले पर लपेटा जा सकता है, जिसमें अनंत के अनुरूप गोले का शीर्ष बिंदु होता है। इसे [[रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है।]][[जटिल विश्लेषण]] में प्रतीक ∞<math>\infty</math> को "अनन्त" कहा जाता है, जो एक अहस्ताक्षरित अनंत [[सीमा (गणित)|सीमा]] को दर्शाता है। →∞x <math>x \rightarrow \infty</math> का अर्थ है परिमाण |x| x <math>|x|</math><math>x</math>का मान किसी निर्धारित मान से अधिक हो जाता है। ∞ <math>\infty</math> लेबल वाले एक बिंदु को जटिल विमान में एक स्थलीय स्थान के रूप में जोड़ा जा सकता है, जिससे जटिल विमान का एक-बिंदु संघनन होता है।<ref>{{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/ExtendedComplexPlane.html|title=Extended Complex Plane|last=Weisstein|first=Eric W.|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2019-11-15}}</ref> जब यह किया जाता है, तो परिणामी स्थान एक आयामी जटिल मैनिफोल्ड या रीमैन सतह होता है, जिसे विस्तारित जटिल विमान या [[रीमैन सतह|रीमैन क्षेत्र]] कहा जाता है। विस्तारित वास्तविक संख्याओं के लिए ऊपर दिए गए समान अंकगणितीय संक्रियाओं को भी परिभाषित किया जा सकता है, हालांकि संकेतों में कोई अंतर नहीं है (जो एक अपवाद की ओर जाता है कि अनंत को स्वयं में नहीं जोड़ा जा सकता है)। दूसरी ओर, इस प्रकार की अनंतता शून्य से विभाजन को सक्षम करती है, अर्थात् किसी गैर शून्य जटिल संख्या z <math>z</math> के लिए 0=∞। <math>z/0 = \infty</math> इस संदर्भ में, ध्रुवों पर ∞ <math>\infty</math> का मान लेते हुए रीमैन क्षेत्र में नक्शे के रूप में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक कार्यों]] पर विचार करना अक्सर उपयोगी होता है। अनंत पर बिंदु को शामिल करने के लिए एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन के डोमेन को भी बढ़ाया जा सकता है। ऐसे कार्यों का एक महत्वपूर्ण उदाहरण मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन का समूह है (मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन § ओवरव्यू देखें)। | ||
=== | === गैर-मानक विश्लेषण === | ||
[[File:Números hiperreales.png|450px|thumb|अतिवास्तविक संख्या रेखा (1/ε = ω/1) पर अनंतिम (ε) और अनंत (ω)]] | |||