संकारक (गणित): Difference between revisions

Revision as of 22:39, 14 February 2023

गणित में, संकारक समान्यतः एक मानचित्रण (गणित) या फलन (गणित) होता है जो किसी स्थान (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है ताकि किसी अन्य स्थान के तत्वों का उत्पादन किया जा सके (संभवतः और कभी-कभी एक ही स्थान होने की आवश्यकता होती है)। संकारक की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन इस शब्द का प्रयोग प्रायः फलन के स्थान पर किया जाता है, जब किसी फलन का डोमेन या अन्य संरचित वस्तुओं का एक समूह होता है। इसके अलावा, एक ऑपरेटर के डोमेन को स्पष्ट रूप से चित्रित करना प्रायः मुश्किल होता है (उदाहरण के लिए एक अभिन्न संकारक के मामले में), और संबंधित वस्तुओं तक बढ़ाया जा सकता है (एक संकारक जो कार्यों पर कार्य करता है, अंतर समीकरणों पर भी कार्य कर सकता है जिसका समाधान फलन हैं जो समीकरण को संतुष्ट करता है)। अन्य उदाहरणों के लिए संकारक (भौतिकी) देखें।

सबसे बुनियादी संकारक रैखिक मानचित्र हैं, जो सदिश समष्टि पर कार्य करते हैं। रेखीय संचालिकाएँ ऐसे रेखीय मानचित्रों को संदर्भित करती हैं जिनके डोमेन और श्रेणी समान स्थान पर हैं, उदाहरण के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ को $\mathbb {R} ^{n}$ ।^[1] ^[2]ऐसे संकारक अक्सर निरंतरता जैसे गुणों को संरक्षित करते हैं। उदाहरण के लिए, अवकलन (गणित) और अनिश्चित समाकलन रैखिक संकारक हैं, संकारक जो उनसे निर्मित होते हैं, उन्हें अंतर संकारक, समाकलन संकारक या समाकल अवकल संकारक कहा जाता है।

संकारक का उपयोग गणितीय संक्रियाओं के प्रतीक को दर्शाने के लिए भी किया जाता है। यह कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में संचालक के अर्थ से संबंधित है, संचालक (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) देखें।

रैखिक संकारक

सबसे आम प्रकार के संकारक का सामना रैखिक संकारकों से होता है। माना U और V क्षेत्र (गणित) K पर सदिश समष्टियाँ है। मानचित्रण (गणित) A: U → V रैखिक है यदि-

A(\alpha \mathbf {x} +\beta \mathbf {y} )=\alpha A\mathbf {x} +\beta A\mathbf {y}

सभी x, y के लिए U में और सभी

\alpha

तथा

\beta

लिए K में। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक संकारक सदिश समष्टियों कि संक्रियाओं को संरक्षित करता है, इस अर्थ में कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप रैखिक संकारक को गुणन की संक्रिया और अदिश गुणन के पहले या बाद में लागू करते हैं या नहीं। अधिक तकनीकी शब्दों में, रैखिक संकारक सदिश समष्टि के बीच मॉर्फिज्म(आकारिता) हैं।

परिमित-आयामी मामले में रैखिक संकारकों को निम्नलिखित तरीके से आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। मान लें कि $K$ एक क्षेत्र है और $U$ तथा $V$ , $K$ पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि हैं। आइए एक आधार चुनें $U$ में $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}$ तथा $V$ में $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{m}$ । तब माना $\mathbf {x} =x^{i}\mathbf {u} _{i}$ , $U$ में एक यादृच्छिक सदिश है (आइंस्टीन कान्वेंशन मानते हुए), और $A:U\to V$ एक रैखिक संकारक है। तब-

A\mathbf {x} =x^{i}A\mathbf {u} _{i}=x^{i}(A\mathbf {u} _{i})^{j}\mathbf {v} _{j}.

तब

a_{i}^{j}:=(A\mathbf {u} _{i})^{j}\in K

निश्चित आधारों में संकारक

A

का आव्यूह है ।

a_{i}^{j}

,

x

की पसंद पर निर्भर नहीं करता है तथा

A\mathbf {x} =\mathbf {y}

अगर

a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}

। इस प्रकार निश्चित आधारों में एन-बाय-एम आव्यूह

U

से

V

तक रैखिक संकारकों के लिए द्विभाजित सामंजस्य में हैं।

परिमित-आयामी सदिश समष्टि के बीच संकारकों से सीधे संबंधित महत्वपूर्ण अवधारणाएं आव्यूह रैंक, निर्धारक, व्युत्क्रम संकारक और अभिलक्षणिक समष्टि हैं।

रेखीय संकारक भी अनंत-आयामी मामले में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। रैंक और निर्धारक की अवधारणाओं को अनंत-आयामी आव्यूह तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। यही कारण है कि अनंत-आयामी मामले में रैखिक संकारकों (और सामान्य रूप से संकारकों) का अध्ययन करते समय बहुत अलग तकनीकें नियोजित होती हैं। अनंत-आयामी मामले में रैखिक संकारकों के अध्ययन को कार्यात्मक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है (इसलिए कहा जाता है क्योंकि कार्यों के विभिन्न वर्ग अनंत-आयामी सदिश समष्टि के महत्वपूर्ण उदाहरण बनाते हैं)।

वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का स्थान या अधिक सामान्यतः किसी सदिश समष्टि में सदिशों के अनुक्रम, स्वयं एक अनंत-आयामी सदिश समष्टि बनाते हैं। सबसे महत्वपूर्ण मामले वास्तविक या जटिल संख्याओं के अनुक्रम हैं और ये स्थान, रैखिक उप-स्थानों के साथ, अनुक्रम समष्टि के रूप में जाने जाते हैं। इन स्थानों पर संकारकों को अनुक्रम परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

मानक संकारक मानदंड के संबंध में बनच समष्टि पर परिबद्ध रैखिक संकारक एक बनच बीजगणित बनाते हैं। बनच बीजगणित का सिद्धांत स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) की एक बहुत ही सामान्य अवधारणा विकसित करता है जो अभिलक्षणिक समष्टि के सिद्धांत को सामान्य रूप से सामान्यीकृत करता है।

परिबद्ध संकारक

माना U और V एक ही क्रमित क्षेत्र पर दो सदिश समष्टि हैं (उदाहरण के लिए $\mathbb {R}$ ), और वे मानदंड (गणित) से युक्त हैं। तब U से V तक एक रैखिक संकारक को परिबद्ध कहा जाता है यदि वहाँ C > 0 ऐसा मौजूद हो

{‖ A x ‖}_{V} \leq C

[1]

[2]

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 {{Short description|Function acting on function spaces}}
 {{About}}
-{{distinguish}}
 गणित में, संकारक समान्यतः एक मानचित्रण (गणित) या फलन (गणित) होता है जो किसी स्थान (गणित) के तत्वों पर कार्य करता है ताकि किसी अन्य स्थान के तत्वों का उत्पादन किया जा सके (संभवतः और कभी-कभी एक ही स्थान होने की आवश्यकता होती है)। संकारक की कोई सामान्य परिभाषा नहीं है, लेकिन इस शब्द का प्रयोग प्रायः फलन के स्थान पर किया जाता है, जब [[किसी फ़ंक्शन का डोमेन|किसी फलन का डोमेन]] या अन्य संरचित वस्तुओं का एक समूह होता है। इसके अलावा, एक ऑपरेटर के डोमेन को स्पष्ट रूप से चित्रित करना प्रायः मुश्किल होता है (उदाहरण के लिए एक अभिन्न संकारक के मामले में), और संबंधित वस्तुओं तक बढ़ाया जा सकता है (एक संकारक जो कार्यों पर कार्य करता है, [[अंतर समीकरण]]ों पर भी कार्य कर सकता है जिसका समाधान फलन हैं जो समीकरण को संतुष्ट करता है)। अन्य उदाहरणों के लिए [[ऑपरेटर (भौतिकी)|संकारक (भौतिकी)]] देखें।
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 == परिबद्ध संकारक ==
-{{main|Bounded operator|Operator norm|Banach algebra}}
+{{main|परिबद्ध संकारक|संकारक मानदंड|बनच बीजगणित }}
 माना U और V एक ही क्रमित क्षेत्र पर दो सदिश समष्टि हैं (उदाहरण के लिए <math>\R</math>), और वे [[मानदंड (गणित)]] से युक्त हैं। तब U से V तक एक रैखिक संकारक को परिबद्ध कहा जाता है यदि वहाँ C > 0 ऐसा मौजूद हो
 <math display="block">\|A\mathbf{x}\|_V \leq C\|\mathbf{x}\|_U</math>
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 === ज्यामिति ===
-{{Main|General linear group|Isometry}}
+{{Main|सामान्य रैखिक समूह |समदूरीकता}}
 [[ज्यामिति]] में, सदिश समष्टि पर अतिरिक्त संरचनाओं का कभी-कभी अध्ययन किया जाता है। संचालक जो इस तरह के सदिश समष्टि में  स्वयं को विशेष रूप से मानचित्रित करते हैं, इन अध्ययनों में बहुत उपयोगी होते हैं, वे स्वाभाविक रूप से संरचना द्वारा [[समूह (गणित)]] बनाते हैं।
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 === प्रायिकता सिद्धांत ===
-{{Main|Probability theory}}
+{{Main|प्रायिकता सिद्धांत}}
 प्रायिकता सिद्धांत में संकारक भी सम्मिलित हैं, जैसे [[अपेक्षित मूल्य]], भिन्नता और [[सहप्रसरण]]। दरअसल, हर सहप्रसरण मूल रूप से एक [[डॉट उत्पाद]] है, प्रत्येक विचरण स्वयं के साथ सदिश का एक डॉट उत्पाद है, और इस प्रकार एक द्विघात मानदंड है, प्रत्येक मानक विचलन एक मानदंड है (द्विघात मानदंड का वर्गमूल), इस डॉट उत्पाद के अनुरूप कोज्या [[पियर्सन सहसंबंध गुणांक]] है, अपेक्षित मान मूल रूप से एक अभिन्न संकारक है (अंतरिक्ष में भारित आकृतियों को मापने के लिए उपयोग किया जाता है)।
 === कलन ===
-{{Main|Differential operator|Integral operator}}
+{{Main|अवकल संकारक |समाकल संकारक}}
 कार्यात्मक विश्लेषण के दृष्टिकोण से, कलन दो रैखिक संकारकों का अध्ययन है: अवकल संकारक <math>\frac{d}{dt}</math>, और [[वोल्टेरा ऑपरेटर|वोल्टेरा संकारक]] <math>\int_0^t</math>.
 ==== फूरियर श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण ====
-{{Main|Fourier series|Fourier transform}}
+{{Main|फूरियर श्रृंखला | फूरियर रूपांतरण}}
 फूरियर रूपांतरण गणित, विशेष रूप से भौतिकी और संकेत संसाधन में उपयोगी है। यह एक और समाकल संकारक है, यह मुख्य रूप से उपयोगी है क्योंकि यह एक (अस्थायी) डोमेन पर फलन को दूसरे (आवृत्ती) डोमेन पर फलन में परिवर्तित करता है, एक तरह से प्रभावी रूप से उलटा कार्य करता है। कोई सूचना कि हानि नहीं होती है, क्योंकि एक व्युत्क्रम परिवर्तन संकारक है। आवधिक कार्यों के सरल मामले में, इसका परिणाम प्रमेय पर आधारित होता है कि किसी निरंतर आवधिक कार्य को [[साइन लहर|ज्या तरंगों]]  और कोज्या तरंगों की श्रृंखला के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है-
 <math display="block">f(t) = {a_0 \over 2} + \sum_{n=1}^{\infty}{ a_n \cos ( \omega n t ) + b_n \sin ( \omega n t ) } </math>

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