घन फलन

Not to be confused with Cubic equation.

File:Polynomialdeg3.svg

एक फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - जहां y = 0)।दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं।यहाँ कार्य है f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4।

गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और $a\neq 0$। दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।

f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

जिनके हल फलन के रूट्स कहलाते हैं।

एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक रूट्स होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं); सभी विषम-डिग्री बहुपद का कम से कम एक वास्तविक रूट होता है।

घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफ़िन परिवर्तन तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।

घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।

इतिहास

Main article: घन समीकरण § इतिहास

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

File:Cubic graph special points.svg

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है। इस प्रकार घन फलन f के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है

f(x) = ax³ + bx² + cx + d,

x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न

$3ax^{2}+2bx+c=0$

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।

$x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.$

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि b² – 3ac = 0, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि b² – 3ac < 0, है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर b² – 3ac गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।

किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है। एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

$x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.$

वर्गीकरण

File:Cubic function (different c).svg

रूप के घन कार्य $y=x^{3}+cx.$
किसी भी क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह के वक्र के लिए समानता (ज्यामिति) है।

घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, हालांकि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।

यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फ़ंक्शन के लेखाचित्र के समान होता है

$y=x^{3}+px.$

इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (समान स्केलिंग), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-समान स्केलिंग लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है

${\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}$

इसका मतलब यह है कि अफ़िन परिवर्तन तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।

सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।

तब, चर x का परिवर्तन x = x₁ – b/3a प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है

$y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.$

यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।

चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है

$y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.$

चर $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ का परिवर्तन एक समान स्केलिंग से मेल खाता है, और ${\sqrt {a}},$ द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है

$y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},$

जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

फिर, यदि p ≠ 0, असमान स्केलिंग $\textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}$ देता है, $\textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},$ से विभाजन देने के बाद

$y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),$

जहां p के संकेत के आधार पर $\operatorname {sgn}(p)$ का मान 1 या -1 है। यदि कोई $\operatorname {sgn}(0)=0,$ परिभाषित करता है तो फलन के बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है $x_{2}=x_{3}$ तथा $y_{2}=y_{3}$)।

समरूपता

फॉर्म $y=x^{3}+px,$ के घन फलन के लिए विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है। जैसा कि ऐसा फलन एक विषम फलन है, इसका लेखाचित्र विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर आधे मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।

एक घन फलन का लेखाचित्र अपने विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधे मोड़ के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है।

समरैखिकता

File:Cubica colinear.png

बिंदु P₁, P₂, तथा P₃ (नीले रंग में) कोलेनियर हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं x³ + 3/2x² − 5/2x + 5/4।बिंदु T₁, T₂, तथा T₃ (लाल रंग में) ग्राफ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ के लिए (बिंदीदार) स्पर्शरेखा लाइनों के चौराहे हैं।वे कोलेनियर भी हैं।

तीन कोलिनियर बिंदुओं पर एक क्यूबिक फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा रेखाएं क्यूबिक को फिर से कोलीनियर बिंदुओं पर रोकती हैं। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

चूंकि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है

$f(x)=x^{3}+px.$

यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा f बिंदु पर (α, f(α)) लाइन है

{(x, f(α) + (x − α)f ′(α)) : x ∈ R}।

तो, इस लाइन और ग्राफ के बीच का चौराहा बिंदु f समीकरण को हल करने के लिए प्राप्त किया जा सकता है f(x) = f(α) + (x − α)f ′(α), वह है

$x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),$

जिसे फिर से लिखा जा सकता है

$x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,$

और के रूप में कारक

$(x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.$

तो, स्पर्शरेखा पर क्यूबिक को रोकता है

$(-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).$

तो, वह कार्य जो एक बिंदु को मैप करता है (x, y) ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को रोकती है

$(x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).$

यह एक affine परिवर्तन है जो कोलिनियर पॉइंट्स को Collinear बिंदुओं में बदल देता है।यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।

क्यूबिक प्रक्षेप

Main article: Spline interpolation

एक फ़ंक्शन के मूल्यों और दो बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन है जिसमें समान चार मान हैं, जिसे क्यूबिक हरमाइट स्पलाइन कहा जाता है।

इस तथ्य का उपयोग करने के लिए दो मानक तरीके हैं।सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फ़ंक्शन के मूल्यों और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, कोई भी फ़ंक्शन को निरंतर रूप से भिन्न कार्य के साथ प्रक्षेपित कर सकता है, जो एक टुकड़ाज क्यूबिक फ़ंक्शन है।

यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में फ़ंक्शन को लगातार अलग -अलग फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जाता है, जो कि टुकड़ा क्यूबिक है।एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि एंडपॉइंट पर डेरिवेटिव के मान, या एंडपॉइंट पर एक शून्य वक्रता ।

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• खंड अनुसार

बाहरी संबंध

• "Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.