घन फलन: Difference between revisions

Revision as of 18:08, 9 February 2023

एक फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - जहां

y = 0

)।दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं।यहाँ कार्य है

f (x) = (x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8)/4

।

गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और $a\neq 0$ । दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।

f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,

जिनके हल फलन के रूट्स कहलाते हैं।

एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक रूट्स होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं);^[1] सभी विषम-डिग्री बहुपद का कम से कम एक वास्तविक रूट होता है।

घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफ़िन परिवर्तन तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।

घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।

इतिहास

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

File:Cubic graph special points.svg

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है।^[2] इस प्रकार घन फलन f के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है

f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d

,

x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न

3ax^{2}+2bx+c=0

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।

x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि $b 2 - 3 ac = 0$ , फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि $b 2 - 3 ac < 0$ , है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर $b 2 - 3 ac$ गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।

किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है।^[3] एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.

वर्गीकरण

File:Cubic function (different c).svg

रूप के घन कार्य

y=x^{3}+cx.

किसी भी क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह के वक्र के लिए समानता (ज्यामिति) है।

घन फलन का लेखाचित्र एक घन वक्र है, हालांकि कई घन वक्र फलन के लेखाचित्र नहीं हैं।

यद्यपि घन फलन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके लेखाचित्र में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं। वास्तव में, एक घन फलन का लेखाचित्र हमेशा प्रपत्र के फ़ंक्शन के लेखाचित्र के समान होता है

y=x^{3}+px.

इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवादों की रचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक समरूपता (समान स्केलिंग), और, संभवतः, y-अक्ष के संबंध में एक प्रतिबिंब (दर्पण छवि)। एक और गैर-समान स्केलिंग लेखाचित्र को तीन घन फलन में से एक के लेखाचित्र में बदल सकती है

{\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}

इसका मतलब यह है कि अफ़िन परिवर्तन तक घन फलन के केवल तीन लेखाचित्र हैं।

सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है

 $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।

तब, चर x का परिवर्तन $x = x1 – .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/3a$ प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है

y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.

यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।

चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है

y_{1} =

[1]

[2]

[3]

@@ Line 49: / Line 49: @@
 सामान्य घन फलन से शुरू होने पर उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तनों को निम्न तरीके से बनाया जा सकता है
   <math>y=ax^3+bx^2+cx+d.</math>
-'''सबसे पहले, अगर {{math|''a'' < 0}}, [[ चर का परिवर्तन | चर का परिवर्तन]] {{math|''x'' → –''x''}} दमन करने की अनुमति देता है {{math|''a'' > 0}}।चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले एक की दर्पण छवि है, के संबंध में {{mvar|y}}-एक्सिस।'''
+सबसे पहले, यदि कोई < 0 है, तो चर x →-x का परिवर्तन एक > 0 मान लेने की अनुमति देता है। चर के इस परिवर्तन के बाद, नया लेखाचित्र y-अक्ष के संबंध में पिछले वाले की दर्पण छवि है।
-फिर, चर का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} फॉर्म का एक कार्य प्रदान करता है
+तब, चर x का परिवर्तन {{math|1=''x'' = ''x''{{sub|1}} – {{sfrac|''b''|3''a''}}}} प्रपत्र का एक कार्य प्रदान करता है
 :<math>y=ax_1^3+px_1+q.</math>
-यह एक अनुवाद के समानांतर से मेल खाता है {{mvar|x}}-एक्सिस।
+यह x-अक्ष के समानांतर अनुवाद के अनुरूप है।
-चर का परिवर्तन {{math|1=''y'' = ''y''{{sub|1}} + ''q''}} के संबंध में एक अनुवाद से मेल खाती है {{mvar|y}}-एक्सिस, और फॉर्म का एक कार्य देता है
+चर y = y1 + q का परिवर्तन y-अक्ष के संबंध में अनुवाद के अनुरूप है, और प्रपत्र का एक फलन देता है
 :<math>y_1=ax_1^3+px_1.</math>
-चर का परिवर्तन <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> एक समान स्केलिंग से मेल खाती है, और द्वारा गुणन के बाद देता है <math>\sqrt a,</math> प्रपत्र का एक कार्य
+चर <math>\textstyle x_1=\frac {x_2}\sqrt a, y_1=\frac {y_2}\sqrt a</math> का परिवर्तन एक समान स्केलिंग से मेल खाता है, और <math>\sqrt a,</math> द्वारा गुणन के बाद प्रपत्र का एक फलन देता है
 :<math>y_2=x_2^3+px_2,</math>
-जो सबसे सरल रूप है जिसे एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
+जो सरलतम रूप है जो एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
-तो अगर {{math|''p'' ≠ 0}}, गैर-समान स्केलिंग <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> द्वारा विभाजन के बाद देता है <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math>
+फिर, यदि p ≠ 0, असमान स्केलिंग <math>\textstyle x_2=x_3\sqrt{|p|},\quad y_2=y_3\sqrt{|p|^3}</math> देता है, <math>\textstyle \sqrt{|p|^3},</math> से विभाजन देने के बाद
 :<math>y_3 =x_3^3 + x_3\sgn(p),</math>
-कहाँ पे <math>\sgn(p)</math> के संकेत के आधार पर मूल्य 1 या -1 है {{mvar|p}}।यदि कोई परिभाषित करता है <math>\sgn(0)=0,</math> फ़ंक्शन का उत्तरार्द्ध का रूप सभी मामलों पर लागू होता है) <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>)।
+जहां p के संकेत के आधार पर <math>\sgn(p)</math> का मान 1 या -1 है। यदि कोई <math>\sgn(0)=0,</math> परिभाषित करता है तो फलन के बाद वाला रूप सभी मामलों पर लागू होता है <math>x_2 = x_3</math> तथा <math>y_2 = y_3</math>)।
 == समरूपता ==
-प्रपत्र के एक घन समारोह के लिए <math>y=x^3+px,</math> विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है।जैसा कि एक फ़ंक्शन एक विषम कार्य है, इसका ग्राफ विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सभी क्यूबिक कार्यों के लिए निम्नलिखित सही है।
+'''प्रपत्र के एक घन समारोह के लिए <math>y=x^3+px,</math> विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है।जैसा कि एक फ़ंक्शन एक विषम कार्य है, इसका ग्राफ''' विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सभी क्यूबिक कार्यों के लिए निम्नलिखित सही है।
 एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।

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