स्वतुल्य संबंध: Difference between revisions

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गणित में, एक [[सेट (गणित)|समुच्चय(गणित)]] x पर एक [[द्विआधारी संबंध]] r 'प्रतिवर्त' होता है यदि यह x के प्रत्येक तत्व को स्वयं से संबंधित करता है।<ref>Levy 1979:74</ref><ref>Relational Mathematics, 2010</ref> [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय पर स्वतुल्य संबंध का एक उदाहरण "के बराबर है" क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है। कहा जाता है कि एक प्रतिवर्ती सम्बन्ध में प्रतिवर्ती गुण या रिफ्लेक्सिविटी होती है। [[सममित संबंध|समरूपता]] और संक्रामकता के साथ-साथ रिफ्लेक्सीविटी तुल्यता संबंधों को परिभाषित करने वाले तीन गुणों में से एक है।
गणित में, एक [[सेट (गणित)|समुच्चय(गणित)]] x पर एक [[द्विआधारी संबंध]] r 'प्रतिवर्त' होता है यदि यह x के प्रत्येक तत्व को स्वयं से संबंधित करता है।<ref>Levy 1979:74</ref><ref>Relational Mathematics, 2010</ref> [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय पर स्वतुल्य संबंध का एक उदाहरण "के बराबर है" क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है। कहा जाता है कि एक प्रतिवर्ती सम्बन्ध में प्रतिवर्ती गुण या रिफ्लेक्सिविटी होती है। [[सममित संबंध|समरूपता]] और संक्रामकता के साथ-साथ रिफ्लेक्सीविटी तुल्यता संबंधों को परिभाषित करने वाले तीन गुणों में से एक है।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==


माना कि <math>R</math>  एक समूह <math>X,</math> पर एक द्विआधारी संबंध है, जो परिभाषा के अनुसार <math>X \times X.</math> का एक उपसमुच्चय है। किसी के लिए <math>x, y \in X,</math> अंकन <math>x R y</math> मतलब कि <math>(x, y) \in R</math> जबकि नहीं <math>x R y</math>मतलब कि <math>(x, y) \not\in R.</math> सम्बन्ध <math>R</math> कहा जाता है {{em|reflexive}} अगर <math>x R x</math> हरएक के लिए <math>x \in X</math> या समतुल्य रूप से, अगर <math>\operatorname{I}_X \subseteq R</math> कहाँ पे <math>\operatorname{I}_X := \{ (x, x) ~:~ x \in X \}</math> पर पहचान के संबंध को दर्शाता है <math>X.</math>  
माना कि <math>R</math>  एक समूह <math>X,</math> पर एक द्विआधारी संबंध है, जो परिभाषा के अनुसार <math>X \times X.</math> का एक उपसमुच्चय है। किसी के लिए <math>x, y \in X,</math> अंकन <math>x R y</math> मतलब कि <math>(x, y) \in R</math> जबकि नहीं <math>x R y</math>मतलब कि <math>(x, y) \not\in R.</math> सम्बन्ध <math>R</math> कहा जाता है {{em|reflexive}} अगर <math>x R x</math> हरएक के लिए <math>x \in X</math> या समतुल्य रूप से, अगर <math>\operatorname{I}_X \subseteq R</math> कहाँ पे <math>\operatorname{I}_X := \{ (x, x) ~:~ x \in X \}</math> पर पहचान के संबंध को दर्शाता है <math>X.</math>
<math>R</math> का {{em|[[स्वतुल्य संवरक]]}} <math>R \cup \operatorname{I}_X,</math> संघ है जिसे समतुल्य रूप से  (<math>\subseteq</math> के संबंध में) <math>X</math> में सबसे छोटे स्वतुल्य संबंध जो <math>R</math> के [[बगुला|अधिसमुच्चय]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संबंध <math>R.</math> स्वतुल्य तभी है अगर यह केवल अपने स्वतुल्य संवरक के समान है। <math>R</math> का स्वतुल्य घटाव या अपरिवर्तनीय कर्नल <math>X</math> में सबसे छोटा (संबंध के साथ <math>\subseteq</math>)संबंध है जिसका <math>R.</math> के रूप में स्वतुल्य संवरक है। जो  बराबर है <math>R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}.</math> की अकाट्य कर्नेल एक अर्थ में <math>R</math>, का अप्रासंगिक कर्नेल, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो <math>R.</math> के प्रतिवर्ती समापन होने के "विपरीत" है। उदाहरण के लिए, वास्तविक <math>\mathbb{R}</math> पर विहित सख्त असमानता <math> < </math> का प्रतिवर्ती समापन  है <math>\leq</math> जबकि रिफ्लेक्टिव कमी <math>\leq</math> है <math><.</math>  
 
<math>R</math> का {{em|[[स्वतुल्य संवरक]]}} <math>R \cup \operatorname{I}_X,</math> संघ है जिसे समतुल्य रूप से  (<math>\subseteq</math> के संबंध में) <math>X</math> में सबसे छोटे स्वतुल्य संबंध जो <math>R</math> के [[बगुला|अधिसमुच्चय]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संबंध <math>R.</math> स्वतुल्य तभी है अगर यह केवल अपने स्वतुल्य संवरक के समान है। <math>R</math> का स्वतुल्य घटाव या अपरिवर्तनीय कर्नल <math>X</math> में सबसे छोटा (संबंध के साथ <math>\subseteq</math>)संबंध है जिसका <math>R.</math> के रूप में स्वतुल्य संवरक है। जो  बराबर है <math>R \setminus \operatorname{I}_X = \{ (x, y) \in R ~:~ x \neq y \}.</math> की अकाट्य कर्नेल एक अर्थ में <math>R</math>, का अप्रासंगिक कर्नेल, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो <math>R.</math> के प्रतिवर्ती समापन होने के "विपरीत" है। उदाहरण के लिए, वास्तविक <math>\mathbb{R}</math> पर विहित सख्त असमानता <math> < </math> का प्रतिवर्ती समापन  है <math>\leq</math> जबकि रिफ्लेक्टिव कमी <math>\leq</math> है <math><.</math>  


=== संबंधित परिभाषाएँ ===
=== संबंधित परिभाषाएँ ===
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प्रतिवर्ती गुण से संबंधित अनेक परिभाषाएँ हैं। सम्बन्ध <math>R</math> कहा जाता है:
प्रतिवर्ती गुण से संबंधित अनेक परिभाषाएँ हैं। सम्बन्ध <math>R</math> कहा जाता है:


;{{visible anchor|अकाट्य|असंवेदनशीलता|अविचलित संबंध}},{{visible anchor|एंटी-रिफ्लेक्सिव|Anti-reflexivity|Anti-reflexive relation}} या {{visible anchor|अन्योन्याश्रित}}<ref>This term is due to [[C S Peirce]], see {{cite book | url=https://people.umass.edu/klement/imp/imp-ebk.pdf | isbn= | author=Bertrand Russell | author-link=Bertrand Russell | title=Introduction to Mathematical Philosophy | location=London | publisher=George Allen & Unwin, Ltd. | edition=2nd | date=Apr 1920 }}  (Online corrected edition, Feb 2010). Here: p. 32. Russel also introduces two equivalent terms ''to be contained in'' or ''imply diversity''.</ref>: यदि यह किसी भी तत्व को अपने आप से संबंधित नहीं करता है, तो प्रत्येक <math>x \in X.</math> के लिए  <math>x R x</math> नहीं है। एक संबंध अपरिवर्तनीय है यदि और केवल अगर  <math>X \times X</math> में इसका पूरक प्रतिवर्ती है। एक [[असममित संबंध]] आवश्यक रूप से अपरिवर्तनीय है। एक सकर्मक और अप्रतिवर्ती संबंध आवश्यक रूप से असममित होता है।
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;{{visible anchor|वाम अर्ध-प्रतिवर्त|Left quasi-reflexivity}}: यदि जब भी <math>x, y \in X</math> ऐसा हो कि <math>x R y,</math> तो अनिवार्य रूप से <math>x R x.</math> होगा।<ref name="Britannica">The [https://www.britannica.com/topic/formal-logic/Logical-manipulations-in-LPC#ref534730 Encyclopedia Britannica] calls this property quasi-reflexivity.</ref>
;{{visible anchor|वाम अर्ध-प्रतिवर्त|Left quasi-reflexivity}}: यदि जब भी <math>x, y \in X</math> ऐसा हो कि <math>x R y,</math> तो अनिवार्य रूप से <math>x R x.</math> होगा।<ref name="Britannica">The [https://www.britannica.com/topic/formal-logic/Logical-manipulations-in-LPC#ref534730 Encyclopedia Britannica] calls this property quasi-reflexivity.</ref>
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'''{{visible anchor|सहप्रतिवर्ती|Coreflexivity|Coreflexive relation}}:''' यदि जब भी  <math>x, y \in X</math> ऐसा हो कि <math>x R y,</math> तो अनिवार्य रूप से <math>x = y.</math><ref>Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).</ref>होगा। एक संबंध <math>R</math> सहप्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर इसकी सममित बंद विरोधी-सममित है।
'''{{visible anchor|सहप्रतिवर्ती|Coreflexivity|Coreflexive relation}}:''' यदि जब भी  <math>x, y \in X</math> ऐसा हो कि <math>x R y,</math> तो अनिवार्य रूप से <math>x = y.</math><ref>Fonseca de Oliveira, J. N., & Pereira Cunha Rodrigues, C. D. J. (2004). Transposing Relations: From Maybe Functions to Hash Tables. In Mathematics of Program Construction (p. 337).</ref>होगा। एक संबंध <math>R</math> सहप्रतिवर्ती है अगर और केवल अगर इसकी सममित बंद विरोधी-सममित है।


एक अरिक्त समूह <math>X</math> पर एक प्रतिवर्ती संबंध न तो अपरिवर्तनीय हो सकता है, और न ही असममित (<math>R</math> को असममित कहा जाता है यदि  <math>x R y</math> का तात्पर्य <math>y R x</math> नहीं है ), और न ही प्रतिसंक्रमणीय (<math>R</math>  प्रतिसंक्रमणीय है यदि  <math>x R y \text{ and } y R z</math> का अर्थ <math>x R z</math> नहीं है )।
अरिक्त समूह <math>X</math> पर एक प्रतिवर्ती संबंध न तो अपरिवर्तनीय हो सकता है, और न ही असममित (<math>R</math> को असममित कहा जाता है यदि  <math>x R y</math> का तात्पर्य <math>y R x</math> नहीं है ), और न ही प्रतिसंक्रमणीय (<math>R</math>  प्रतिसंक्रमणीय है यदि  <math>x R y \text{ and } y R z</math> का अर्थ <math>x R z</math> नहीं है )।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
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{{clear}}
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एक अपरिवर्तनीय संबंध का एक उदाहरण जिसका अर्थ है कि यह किसी भी तत्व को स्वयं से संबंधित नहीं करता है, वास्तविक संख्याओं पर "से बड़ा" संबंध (<math>x > y</math>) है। प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्ती नहीं, अप्रतिवर्ती है, ऐसे संबंधों को परिभाषित करना संभव है जहां कुछ तत्व स्वयं से संबंधित हैं, लेकिन अन्य नहीं हैं (अर्थात, न तो सभी और न ही कोई भी)। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संबंध <math>x</math> और <math>y</math> का गुणनफल सम है" विषम संख्याओं के समुच्चय पर सम संख्याओं के समुच्चय पर अपवर्तक है, और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर न तो प्रतिवर्ती है और न ही अप्रतिवर्ती है।
अपरिवर्तनीय संबंध का एक उदाहरण जिसका अर्थ है कि यह किसी भी तत्व को स्वयं से संबंधित नहीं करता है, वास्तविक संख्याओं पर "से बड़ा" संबंध (<math>x > y</math>) है। प्रत्येक संबंध जो प्रतिवर्ती नहीं, अप्रतिवर्ती है, ऐसे संबंधों को परिभाषित करना संभव है जहां कुछ तत्व स्वयं से संबंधित हैं, लेकिन अन्य नहीं हैं (अर्थात, न तो सभी और न ही कोई भी)। उदाहरण के लिए, द्विआधारी संबंध <math>x</math> और <math>y</math> का गुणनफल सम है" विषम संख्याओं के समुच्चय पर सम संख्याओं के समुच्चय पर अपवर्तक है, और प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर न तो प्रतिवर्ती है और न ही अप्रतिवर्ती है।


अर्ध-प्रतिवर्त संबंध <math>R</math> का एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट पर "समान सीमा है": प्रत्येक अनुक्रम की सीमा नहीं होती है और इस प्रकार संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता है, लेकिन यदि किसी अनुक्रम की सीमा कुछ के समान होती है, तो इसकी वही सीमा है जो स्वयं अनुक्रम की सीमा है। एक बाएं अर्ध-पुनर्विचार संबंध का एक उदाहरण एक बाएं [[यूक्लिडियन संबंध]] है, जो हमेशा अर्ध-प्रतिवर्त होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि सही अर्ध-प्रतिवर्त हो और इस प्रकार जरूरी नहीं कि अर्ध-प्रतिवर्त हो।
अर्ध-प्रतिवर्त संबंध <math>R</math> का एक उदाहरण वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट पर "समान सीमा है": प्रत्येक अनुक्रम की सीमा नहीं होती है और इस प्रकार संबंध प्रतिवर्ती नहीं होता है, लेकिन यदि किसी अनुक्रम की सीमा कुछ के समान होती है, तो इसकी वही सीमा है जो स्वयं अनुक्रम की सीमा है। एक बाएं अर्ध-पुनर्विचार संबंध का एक उदाहरण एक बाएं [[यूक्लिडियन संबंध]] है, जो हमेशा अर्ध-प्रतिवर्त होता है, लेकिन जरूरी नहीं कि सही अर्ध-प्रतिवर्त हो और इस प्रकार जरूरी नहीं कि अर्ध-प्रतिवर्त हो।


एक सहप्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण [[पूर्णांक]] पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित होती है और कोई अन्य संबंध नहीं होता है। समानता संबंध एक प्रतिवर्ती और सहप्रतिवर्ती संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी सहप्रतिवर्ती सम्बंधित पहचान का एक समूह है। एक सकर्मक संबंध और एक ही समूह पर एक सकर्मक संबंध का मिलन हमेशा सकर्मक होता है।
सहप्रतिवर्ती संबंध का एक उदाहरण [[पूर्णांक]] पर संबंध है जिसमें प्रत्येक विषम संख्या स्वयं से संबंधित होती है और कोई अन्य संबंध नहीं होता है। समानता संबंध एक प्रतिवर्ती और सहप्रतिवर्ती संबंध दोनों का एकमात्र उदाहरण है, और कोई भी सहप्रतिवर्ती सम्बंधित पहचान का एक समूह है। एक सकर्मक संबंध और एक ही समूह पर एक सकर्मक संबंध का मिलन हमेशा सकर्मक होता है।


== रिफ्लेक्टिव संबंधों की संख्या ==
== रिफ्लेक्टिव संबंधों की संख्या ==

Revision as of 13:26, 14 February 2023

गणित में, एक समुच्चय(गणित) x पर एक द्विआधारी संबंध r 'प्रतिवर्त' होता है यदि यह x के प्रत्येक तत्व को स्वयं से संबंधित करता है।[1][2] वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर स्वतुल्य संबंध का एक उदाहरण "के बराबर है" क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या स्वयं के बराबर होती है। कहा जाता है कि एक प्रतिवर्ती सम्बन्ध में प्रतिवर्ती गुण या रिफ्लेक्सिविटी होती है। समरूपता और संक्रामकता के साथ-साथ रिफ्लेक्सीविटी तुल्यता संबंधों को परिभाषित करने वाले तीन गुणों में से एक है।

परिभाषाएँ

माना कि एक समूह पर एक द्विआधारी संबंध है, जो परिभाषा के अनुसार का एक उपसमुच्चय है। किसी के लिए अंकन मतलब कि जबकि नहीं मतलब कि सम्बन्ध कहा जाता है reflexive अगर हरएक के लिए या समतुल्य रूप से, अगर कहाँ पे पर पहचान के संबंध को दर्शाता है

का स्वतुल्य संवरक संघ है जिसे समतुल्य रूप से ( के संबंध में) में सबसे छोटे स्वतुल्य संबंध जो के अधिसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संबंध स्वतुल्य तभी है अगर यह केवल अपने स्वतुल्य संवरक के समान है। का स्वतुल्य घटाव या अपरिवर्तनीय कर्नल में सबसे छोटा (संबंध के साथ )संबंध है जिसका के रूप में स्वतुल्य संवरक है। जो बराबर है की अकाट्य कर्नेल एक अर्थ में , का अप्रासंगिक कर्नेल, एक निर्माण के रूप में देखा जा सकता है जो के प्रतिवर्ती समापन होने के "विपरीत" है। उदाहरण के लिए, वास्तविक पर विहित सख्त असमानता का प्रतिवर्ती समापन है जबकि रिफ्लेक्टिव कमी है

संबंधित परिभाषाएँ

प्रतिवर्ती गुण से संबंधित अनेक परिभाषाएँ हैं। सम्बन्ध कहा जाता है:

अकाट्य,एंटी-रिफ्लेक्सिव या अन्योन्याश्रित[3]
यदि यह किसी भी तत्व को अपने आप से संबंधित नहीं करता है, तो प्रत्येक के लिए नहीं है। एक संबंध अपरिवर्तनीय है यदि और केवल अगर में इसका पूरक प्रतिवर्ती है।