कोणीय वेग: Difference between revisions

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भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}}या{{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book

भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}} या {{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book

| last = Cummings

| first = Karen

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| pages = 449, 484, 485, 487

| url = https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC

| isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] ~~निरूपण~~ है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है) ।छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) ~~है ।कोणीय~~ वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता ~~है ।~~ <ref name= EM1>{{cite book

| isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] यह निरूपित करता है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)।छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य(ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है। <ref name= EM1>{{cite book

| last = Hibbeler

| first = Russell C.

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| isbn = 978-0-13-607791-6}}(EM1)</ref>

कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार ~~हैं ।~~

कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं।

* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर ।

* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों Oर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर ।

* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र ~~है ।~~

* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।

सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है) । कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता ~~है ।कोणीय~~ वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |~~ओमेगा~~({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता ~~है ।~~ परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] ~~है ।~~

सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)। कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |Oमेगा({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है। परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है।

उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है ।यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, <math>v = r\omega</math> ।पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है ।

उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है ।यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, <math>v = r\omega</math> ।पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की Oर यात्रा करता है ।

== एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय वेग ==

=== दो आयामों में कण ===

[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा । ]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है,और रैखिक वेग<math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math>है, जिससे <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math> ।

[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा । ]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों Oर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है, और रैखिक वेग<math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math> है, जिससे <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math> ।

तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता ~~है ।~~ आरेख स्थिति सदिश <math>\mathbf{r}</math> मूल से <math>O</math> एक कण ~~के लिए~~ <math>P</math> दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक ~~के साथ~~ <math>(r, \phi)</math> । (सभी चर समय <math>t</math> के फलन हैं) कण में रैखिक वेग<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math> के रूप में विभाजित होता है, ~~रेडियल~~ घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए ~~लंबवत ।~~ जब कोई ~~रेडियल~~ घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है;लेकिन जब कोई ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि ~~रेडियल~~ गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।

तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता है। आरेख स्थिति सदिश <math>\mathbf{r}</math> मूल <math>O</math> से एक कण <math>P</math> के लिए दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r, \phi)</math> के साथ। (सभी चर समय <math>t</math> के फलन हैं) कण में रैखिक वेग<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math> के रूप में विभाजित होता है, त्रिज्यीय घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत। जब कोई त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों Oर चलता है; लेकिन जब कोई अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि त्रिज्यीय गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।

कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ वेग से गणना की जा सकती है:

कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय वेग से गणना की जा सकती है:

: <math qid=Q240105>\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{v_\perp}{r}.</math>

यहाँ ~~क्रॉस~~-~~रेडियल~~ स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण है <math>\mathbf{v}_\perp</math>, काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ~~ऋणात्मक।रैखिक~~ वेग ~~के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लेना~~ <math>\mathbf{v}</math> ~~परिमाण देता है~~ <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, ~~ताकि~~

यहाँ अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण <math>\mathbf{v}_\perp</math>है , काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक होता है। रैखिक वेग <math>\mathbf{v}</math> के लिए ध्रुवीय निर्देशांक <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष परिमाण देता है ;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, इस प्रकार

: <math qid=Q161635>\omega = \frac{v\sin(\theta)}{r}.</math>

इन सूत्रों को ~~किया जा सकता है~~ <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>, हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य । फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें) । जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का ~~रेडियल~~ घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक ~~रेडियल~~ इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।

इन सूत्रों को <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>निष्पादित किया जा सकता है , हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य । फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें) । जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का त्रिज्यीय घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक त्रिज्यीय इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।

दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है । यदि RADIUS सदिश काउंटर-वामावर्त हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक हो जाता है। कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |छद्मसदिश]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत चिन्ह को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को प्रतिलोम करना या दो अक्षों को स्विच करना।

=== तीन आयामों में कण ===

[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है । इस मामले में (काउंटर-वामावर्त सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है । ]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक ~~स्यूडोसदिश~~ है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।

[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है । इस मामले में (काउंटर-वामावर्त सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है । ]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक छद्म सदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।

छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त ~~है जो ऊपर से दिख रही है~~ <math>\mathbf{u}</math>) । ध्रुवीय निर्देशांक ~~लेना~~ <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:

छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त <math>\mathbf{u}</math> है जो ऊपर से दिख रही है)। ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:

: <math>\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,</math>

जहां ~~and~~ 'r' और 'v' के बीच का कोण है। ~~क्रॉस उत्पाद~~ के संदर्भ में, यह है:

जहां ''θ'' 'r' और 'v' के बीच का कोण है। अनुप्रस्थ परिणाम के संदर्भ में, यह है:

: <math>\boldsymbol\omega

Line 78:

== एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग ==

तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर ~~स्केलर~~ त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।

तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर अदिश त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।

घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के ~~अलावा~~ भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके ~~अलावा कम्यूटेटिव~~ है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math> ।

सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के अतिरिक्त भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math>।

यूलर के घूर्णन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में घूर्णन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग सदिश की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।

यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> कठोर शरीर में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है

यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> कठोर शरीर में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है।

:<math> \dot {\boldsymbol r}= \dot {\boldsymbol R}+ {\boldsymbol\omega}\times({\boldsymbol r}-{\boldsymbol R})

Line 94:

=== बॉडी-फिक्स्ड फ्रेम के आधार सदिश से घटक ===

एक निश्चित बिंदु ओ के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें।शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश ~~के एक ऑर्थोनॉर्मल सेट शामिल हैं~~ <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> शरीर के लिए और ओ में उनके सामान्य मूल के ~~साथ ।ओ~~ के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है

एक निश्चित बिंदु O के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें।शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> के एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण सम्मुच्चय सम्मिलित हैं शरीर के लिए और O में उनके सामान्य मूल के साथ। O के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है

: <math>\boldsymbol\omega = \left(\dot \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3 + \left(\dot \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1 + \left(\dot \mathbf{e}_3\cdot\mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2,

</math>

~~कहाँ पे~~ <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश ~~के परिवर्तन की समय दर है~~ <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math> घूर्णन के कारण ।

जहाँ पर <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math> घूर्णन के कारण के परिवर्तन की समय दर है।

ध्यान दें कि यह सूत्र कक्षीय कोणीय वेग के लिए अभिव्यक्ति के साथ असंगत है

Line 103:

: <math>\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2},</math>

चूंकि यह सूत्र ओ के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता ~~है ।~~ एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार ~~है ।~~

चूंकि यह सूत्र O के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता है। एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।

=== यूलर कोण से घटक ===

Line 112:

* गतिमान फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक घूर्णन अक्ष)

यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग ~~स्यूडोसदिश~~ के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>

यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग छद्म सदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>

: <math>\boldsymbol\omega = \dot\alpha\mathbf u_1+\dot\beta\mathbf u_2+\dot\gamma \mathbf u_3</math>

यह आधार असामान्य नहीं है और इसका उपयोग करना कठिन है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या गतिमान फ्रेम में केवल आधारों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:

Line 120:

(\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j +

(\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k</math>

~~कहाँ पे~~ <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> गतिमान बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश ~~हैं ।~~ यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया ~~है ।~~ {{Citation needed|date=June 2020}}

जहाँ पर <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> गतिमान बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश हैं। यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है। {{Citation needed|date=June 2020}}

Line 135:

-\omega_y & \omega_x & 0 \\

\end{pmatrix}</math>

यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal घूर्णन आव्यूहों है । रैखिक मैपिंग ~~डब्ल्यू~~ के रूप में फलन करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:

यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal घूर्णन आव्यूहों है । रैखिक मैपिंग W के रूप में फलन करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:

: <math>\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = W \cdot\mathbf{r}. </math>

Line 145:

:<math>\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}</math>

एक फ्रेम के ~~ओरिएंटेशन~~ आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान ~~ऑर्थोनॉर्मल~~ कोऑर्डिनेट सदिश हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश ~~डब्ल्यू~~ (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:

एक फ्रेम के Oरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण कोऑर्डिनेट सदिश हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश W (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:

: <math>\frac {dA}{dt} = W \cdot A.</math>

Line 151:

: <math>W = \frac {dA} {dt} \cdot A^{-1} = \frac {dA} {dt} \cdot A^{\mathrm{T}},</math>

~~ऑर्थोगोनल~~ आव्यूह के व्युत्क्रम के बाद से <math>A</math> इसका ~~ट्रांसपोज़ है~~ <math>A^{\mathrm{T}}</math> ।

आयतीय आव्यूह के व्युत्क्रम के बाद से <math>A</math> इसका पक्षांतर <math>A^{\mathrm{T}}</math> है।

== गुण ==

सामान्य तौर पर, एन-~~डायमेंशनल~~ स्पेस में कोणीय वेग कोणीय विस्थापन प्रदिश का समय व्युत्पन्न होता है, जो एक दूसरी रैंक तिरछी-सममितीय प्रदिश ~~है ।~~

सामान्य तौर पर, ''n''-विमीय स्पेस में कोणीय वेग कोणीय विस्थापन प्रदिश का समय व्युत्पन्न होता है, जो एक दूसरी रैंक तिरछी-सममितीय प्रदिश है।

यह प्रदिश ~~डब्ल्यू~~ होगा {{nowrap|''n''(''n''−1)/2}} स्वतंत्र घटक, जो एक एन-~~डायमेंशनल इनर प्रोडक्ट स्पेस~~ के घूर्णन के [[ झूठ समूह |~~झूठ~~ समूह]] के [[ झूठ बीजगणित |~~झूठ~~ बीजगणित]] का आयाम है । <ref name="baez">[http://math.ucr.edu/home/baez/classical/galilei2.pdf Rotations and Angular Momentum] on the Classical Mechanics page of [http://math.ucr.edu/home/baez/README.html the website of John Baez], especially Questions 1 and 2.</ref>

यह प्रदिश W होगा {{nowrap|''n''(''n''−1)/2}} स्वतंत्र घटक, जो एक एन-विमीय आंतरिक उत्पाद स्थान के घूर्णन के [[ झूठ समूह |असत्य समूह]] के [[ झूठ बीजगणित |असत्य बीजगणित]] का आयाम है । <ref name="baez">[http://math.ucr.edu/home/baez/classical/galilei2.pdf Rotations and Angular Momentum] on the Classical Mechanics page of [http://math.ucr.edu/home/baez/README.html the website of John Baez], especially Questions 1 and 2.</ref>

=== वेग सदिश के संबंध में ~~द्वंद्व~~ ===

=== वेग सदिश के संबंध में द्विविधता ===

तीन आयामों में, कोणीय वेग को एक ~~स्यूडोसदिश~~ द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि दूसरे रैंक टेन्सर तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर्स के लिए दोहरे स्थान हैं । चूंकि कोणीय वेग प्रदिश w = w (t) एक तिरछा-सममित आव्यूह है:

तीन आयामों में, कोणीय वेग को एक छद्म सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि दूसरे रैंक टेन्सर तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर्स के लिए दोहरे स्थान हैं । चूंकि कोणीय वेग प्रदिश w = w (t) एक तिरछा-सममित आव्यूह है:

: <math>

Line 174:

इसका हॉज ड्यूल एक सदिश है, जो पिछले कोणीय वेग सदिश है <math>\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]</math> ।

=== ~~डब्ल्यू~~ === का घातांक

=== W === का घातांक

यदि हम एक प्रारंभिक फ्रेम ए (0) जानते हैं और हमें एक निरंतर कोणीय वेग प्रदिश ~~डब्ल्यू~~ दिया जाता है, तो हम किसी भी टी के लिए ए (टी) प्राप्त कर सकते हैं । आव्यूह अंतर समीकरण को याद करें:

यदि हम एक प्रारंभिक फ्रेम ए (0) जानते हैं और हमें एक निरंतर कोणीय वेग प्रदिश W दिया जाता है, तो हम किसी भी टी के लिए ए (टी) प्राप्त कर सकते हैं । आव्यूह अंतर समीकरण को याद करें:

: <math>\frac {dA} {dt} = W \cdot A .</math>

Line 182:

: <math>A(t) = e^{Wt}A(0) ,</math>

जो घूर्णन के ~~झूठ~~ समूह के साथ एक संबंध दिखाता है।

जो घूर्णन के असत्य समूह के साथ एक संबंध दिखाता है।

=== ~~डब्ल्यू~~ तिरछा-सममितीय है ===

=== W तिरछा-सममितीय है ===

हम साबित करते हैं कि कोणीय वेग प्रदिश तिरछा-सममित आव्यूह है, अर्थात् <math>W = \frac {dA(t)}{dt} \cdot A^\text{T} </math> संतुष्ट <math>W^\text{T} = -W</math> ।

एक घूर्णन आव्यूह ए ~~ऑर्थोगोनल~~ है, इसके ~~ट्रांसपोज़~~ के लिए उलटा है, इसलिए हमारे पास है <math>I=A\cdot A^\text{T}</math> । के लिए <math>A=A(t)</math> एक फ्रेम मैट्रिक्स, समीकरण का समय व्युत्पन्न देता है:

एक घूर्णन आव्यूह ए आयतीय है, इसके पक्षांतर के लिए उलटा है, इसलिए हमारे पास है <math>I=A\cdot A^\text{T}</math> । के लिए <math>A=A(t)</math> एक फ्रेम मैट्रिक्स, समीकरण का समय व्युत्पन्न देता है:

: <math>0=\frac{dA}{dt}A^\text{T}+A\frac{dA^\text{T}}{dt}</math>

Line 193:

: <math>0 = \frac{dA}{dt}A^\text{T}+\left(\frac{dA}{dt} A^\text{T}\right)^\text{T} = W + W^\text{T}</math>

इस प्रकार, ~~डब्ल्यू~~ इसके ~~ट्रांसपोज़~~ का ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित ~~है ।~~

इस प्रकार, W इसके पक्षांतर का ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित है।

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 }}
 {{Classical mechanics|rotational}}
-भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}}या{{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book
+भौतिक विज्ञान में, कोणीय वेग या घूर्णन वेग ({{math|ω}} या {{math|Ω}}), कोणीय आवृत्ति सदिश के रूप में भी जाना जाता है,<ref name="UP1">{{cite book
    | last = Cummings
    | first = Karen
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    | pages = 449, 484, 485, 487
    | url = https://books.google.com/books?id=rAfF_X9cE0EC
-   | isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] निरूपण है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है) ।छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य (ज्यामिति) है ।कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है । <ref name= EM1>{{cite book
+   | isbn =978-81-265-0882-2 }}(UP1)</ref> एक [[ स्यूडोवेटर |छद्म सदिश]] यह निरूपित करता है कि किसी वस्तु की [[ कोणीय स्थिति |कोणीय स्थिति]] या निर्देशन कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है(अर्थात् एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)।छद्म सदिश का परिमाण [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] का निरूपण करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या परिभ्रमण करती है, और इसकी दिशा [[ सामान्य (ज्यामिति) |सामान्य(ज्यामिति)]] घूर्णन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल के लिए सामान्य(ज्यामिति) है। कोणीय वेग का निर्देशन पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा दर्शाया जाता है। <ref name= EM1>{{cite book
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    | first = Russell C.
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    | isbn = 978-0-13-607791-6}}(EM1)</ref>
-कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं ।
+कोणीय [[ वेग |वेग]] के दो प्रकार हैं।
-* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर ।
+* '''कक्षीय कोणीय वेग''' एक निश्चित अक्ष के चारों Oर एक बिंदु वस्तु घूर्णन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् [[ मूल (गणित) |मूल(गणित)]] के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर ।
-* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है ।
+* '''झुकाव कोणीय वेग''' से तात्पर्य है कि घूर्णन के केंद्र के संबंध में एक कठोर शरीर कितनी तेजी से घूर्णन करता है और कक्षीय कोणीय वेग के तुलना, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।
-सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है) । कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है ।कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |ओमेगा({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है  । परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है ।
+सामान्यतः, कोणीय वेग में प्रति इकाई समय कोण(भौतिकी) का [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम(भौतिकी)]] होता है(कोण को सामान्यतः समय के साथ रैखिक वेग से [[ दूरी |दूरी]] की जगह लेता है)। कोणीय वेग की एसआई इकाई [[ प्रति सेकंड रेडियन |प्रति सेकंड रेडियन]] है,<ref>{{cite book |title=International System of Units (SI) |edition=revised 2008 |first1=Barry N. |last1=Taylor |publisher=DIANE Publishing |year=2009 |isbn=978-1-4379-1558-7 |page=27 |url=https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C}} [https://books.google.com/books?id=I-BlErBBeL8C&pg=PA27 Extract of page 27]</ref> [[ कांति |रेडियन]] एक [[ आयामहीन मात्रा |आयाम रहित मात्रा]] होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस-1 के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है। कोणीय वेग सामान्यतः प्रतीक [[ ओमेगा |Oमेगा({{math|ω}}, कभी-कभी{{math|Ω}})]] द्वारा दर्शाया जाता है। परंपरागत ढंग से, धनात्मक कोणीय वेग काउंटर-वामावर्त घूर्णन को इंगित करता है, जबकि ऋणात्मक [[ दक्षिणावर्त |दक्षिणावर्त]] है।
-उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है ।यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, <math>v = r\omega</math> ।पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की ओर यात्रा करता है ।
+उदाहरण के लिए, एक [[ जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट |भूस्थैतिक उपग्रह]] उपग्रह [[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]] के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग = (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है ।यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या गुना होता है, <math>v = r\omega</math> ।पृथ्वी के केंद्र से 42,000 किमी की कक्षीय त्रिज्या के साथ, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 किमी × 0.26/घंटा ≈ 11,000 किमी/घंटा है। कोणीय वेग धनात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन के साथ पूर्व (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से वामावर्त) की Oर यात्रा करता है ।
 == एक बिंदु कण का कक्षीय कोणीय वेग ==
 === दो आयामों में कण ===
-[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा । ]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों ओर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है,और रैखिक वेग<math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math>है, जिससे <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math> ।
+[[Image:Angular velocity1.svg|right| वेग सदिश 'वी' का अंगूठा । ]]<math>r</math> त्रिज्या पर वृत्तीय गति के सबसे सरल मामले में , कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ <math>\phi(t)</math> एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर: <math display="inline">\omega = \frac{d\phi}{dt}</math> है। यदि <math>\phi</math> रेडियन में मापा जाता है, वृत्त के चारों Oर धनात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण <math>\ell=r\phi</math> है, और रैखिक वेग<math display="inline">v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)</math> है, जिससे <math display="inline">\omega = \frac{v}{r}</math> ।
-तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता है । आरेख स्थिति सदिश <math>\mathbf{r}</math> मूल से <math>O</math> एक कण के लिए <math>P</math> दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक के साथ <math>(r, \phi)</math> । (सभी चर समय  <math>t</math> के फलन हैं) कण में रैखिक वेग<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math> के रूप में विभाजित होता है, रेडियल घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और क्रॉस-रेडियल (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत । जब कोई रेडियल घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है;लेकिन जब कोई क्रॉस-रेडियल घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि रेडियल गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का क्रॉस-रेडियल घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।
+तल में गतिमान एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति सदिश कोण "स्वीप आउट" कोण होता है। आरेख स्थिति सदिश <math>\mathbf{r}</math> मूल <math>O</math> से एक कण  <math>P</math> के लिए दिखाता है, इसके ध्रुवीय निर्देशांक  <math>(r, \phi)</math> के साथ। (सभी चर समय  <math>t</math> के फलन हैं) कण में रैखिक वेग<math>\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp</math> के रूप में विभाजित होता है, त्रिज्यीय घटक के साथ <math>\mathbf{v}_\|</math> त्रिज्या के समानांतर, और अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय (या स्पर्शरेखा) घटक <math>\mathbf{v}_\perp</math> त्रिज्या के लिए लंबवत। जब कोई त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों Oर चलता है; लेकिन जब कोई अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है। चूंकि त्रिज्यीय गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।
-कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे क्रॉस-रेडियल वेग से गणना की जा सकती है:
+कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय वेग से गणना की जा सकती है:
 : <math qid=Q240105>\omega = \frac{d\phi}{dt} = \frac{v_\perp}{r}.</math>
-यहाँ क्रॉस-रेडियल स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण है <math>\mathbf{v}_\perp</math>, काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक।रैखिक वेग के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लेना <math>\mathbf{v}</math> परिमाण देता है <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>, ताकि
+यहाँ अनुप्रस्थ-त्रिज्यीय स्पीड <math>v_\perp</math> का हस्ताक्षरित परिमाण <math>\mathbf{v}_\perp</math>है , काउंटर-वामावर्त गति के लिए धनात्मक, दक्षिणावर्त के लिए ऋणात्मक होता है। रैखिक वेग <math>\mathbf{v}</math> के लिए ध्रुवीय निर्देशांक <math>v</math> (रैखिक गति) और कोण <math>\theta</math> त्रिज्या सदिश के सापेक्ष परिमाण देता है ;इन शब्दों में, <math>v_\perp = v\sin(\theta)</math>,  इस प्रकार
 : <math qid=Q161635>\omega = \frac{v\sin(\theta)}{r}.</math>
-इन सूत्रों को किया जा सकता है <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>, हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य । फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें) । जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का रेडियल घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक रेडियल इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।
+इन सूत्रों को <math>\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))</math>निष्पादित किया जा सकता है , हो रहा <math>r</math> समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और <math>\varphi</math> सदिश और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य । फिर {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।}} विच आइस के साथ {{nowrap|<math>\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}</math>.}} (बेलनाकार निर्देशांक में [[ इकाई वेक्टर |इकाई सदिश]] देखें) । जानने {{nowrap|<math display="inline">\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} </math>,}} हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का त्रिज्यीय घटक द्वारा दिया गया है {{nowrap|<math>\dot{r}</math>,}} क्योंकि <math>\hat{r}</math> एक त्रिज्यीय इकाई सदिश है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है <math>r\dot{\varphi}</math> क्योंकि <math>\hat{\varphi}</math> एक लंबवत इकाई सदिश है।
 दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो निर्देशन का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है । यदि RADIUS सदिश काउंटर-वामावर्त हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो ऋणात्मक  हो जाता है। कोणीय वेग को तब एक [[ स्यूडोस्केलर |छद्मसदिश]] कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक [[ समता (भौतिकी) |समता (भौतिकी)]] के तहत चिन्ह को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को प्रतिलोम करना या दो अक्षों को स्विच करना।
 === तीन आयामों में कण ===
-[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है । इस मामले में (काउंटर-वामावर्त सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है । ]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक स्यूडोसदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर  r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।
+[[Image:Angular velocity.svg|thumb|250px|कक्षीय कोणीय वेग सदिश कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर, साथ ही कोणीय विस्थापन के तात्कालिक तल को एन्कोड करता है । इस मामले में (काउंटर-वामावर्त सर्कुलर मोशन) सदिश इंगित करता है । ]]त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, हमारे पास फिर से एक गतिमान कण की स्थिति सदिश r होता है। यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक  छद्म सदिश है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर  r कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक तल के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (अर्थात r और v द्वारा फैला हुआ समतल)। हालांकि, जैसा कि किसी भी तल के लिए लंबवत ''दो'' दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।
-छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त है जो ऊपर से दिख रही है <math>\mathbf{u}</math>) । ध्रुवीय निर्देशांक लेना <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:
+छद्म सदिश को चलो <math>\mathbf{u}</math> आर और वी द्वारा फैले हुए तल के लिए इकाई सदिश लंबवत बनें, जिससे दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (अर्थात् कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-वामावर्त <math>\mathbf{u}</math> है जो ऊपर से दिख रही है)। ध्रुवीय निर्देशांक <math>(r,\phi)</math> इस तल में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग सदिश को परिभाषित कर सकता है:
 : <math>\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,</math>
-जहां and 'r' और 'v' के बीच का कोण है। क्रॉस उत्पाद के संदर्भ में, यह है:
+जहां ''θ'' 'r' और 'v' के बीच का कोण है। अनुप्रस्थ परिणाम के संदर्भ में, यह है:
 : <math>\boldsymbol\omega
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 == एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का झुकाव कोणीय वेग ==
-तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर स्केलर त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।
+तीन इकाई समन्वय सदिश के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए। इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक सदिश को निरंतर अदिश त्रिज्या के साथ एक गतिमान कण के रूप में माना जा सकता है।
 घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: झुकाव कोणीय वेग को सदिश के रूप में या समकक्ष रूप से एक [[ टेन्सर |टेन्सर]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
-सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को  घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के अलावा भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और  घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या  घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अलावा कम्यूटेटिव है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math> ।
+सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के झुकाव कोणीय वेग को  घूर्णन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन सदिश (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है। फ्रेम के लिए कोणीय वेग सदिश के अतिरिक्त भी सामान्य सदिश जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और  घूर्णन को एक [[ गिम्बल |गिम्बल]] में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है। सदिश के सभी घटकों की गणना गतिमान फ्रेम (यूलर कोण या  घूर्णन आव्यूहों ) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय है: <math>\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1</math>।
 यूलर के  घूर्णन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में  घूर्णन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग सदिश की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।
-यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> कठोर शरीर में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है
+यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं <math>{\boldsymbol R}</math> कठोर शरीर में तय, वेग <math> \dot {\boldsymbol r}</math> शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है।
 :<math> \dot {\boldsymbol r}= \dot {\boldsymbol R}+ {\boldsymbol\omega}\times({\boldsymbol r}-{\boldsymbol R})
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 === बॉडी-फिक्स्ड फ्रेम के आधार सदिश से घटक ===
-एक निश्चित बिंदु ओ के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें।शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश के एक ऑर्थोनॉर्मल सेट शामिल हैं <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> शरीर के लिए और ओ में उनके सामान्य मूल के साथ ।ओ के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है
+एक निश्चित बिंदु O के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें।शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें सदिश <math>\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 </math> के एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण सम्मुच्चय सम्मिलित हैं शरीर के लिए और O में उनके सामान्य मूल के साथ। O के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के झुकाव कोणीय वेग सदिश तब है
 : <math>\boldsymbol\omega = \left(\dot \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3 + \left(\dot \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1 + \left(\dot \mathbf{e}_3\cdot\mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2,
 </math>
-कहाँ पे <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d  \mathbf{e}_i}{dt} </math> फ्रेम सदिश के परिवर्तन की समय दर है <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math>  घूर्णन के कारण ।
+जहाँ पर  <math> \dot \mathbf{e}_i= \frac{d  \mathbf{e}_i}{dt} </math>  फ्रेम सदिश <math> \mathbf{e}_i, i=1,2,3,</math>  घूर्णन के कारण के परिवर्तन की समय दर है।
 ध्यान दें कि यह सूत्र कक्षीय कोणीय वेग के लिए अभिव्यक्ति के साथ असंगत है
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 : <math>\boldsymbol\omega
 =\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2},</math>
-चूंकि यह सूत्र ओ के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता है । एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है ।
+चूंकि यह सूत्र O के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता है। एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल <math> \boldsymbol\omega</math> शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।
 === यूलर कोण से घटक ===
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 * गतिमान फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक  घूर्णन अक्ष)
-यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग स्यूडोसदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक  घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>
+यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग  छद्म सदिश के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक  घूर्णन को तीन तात्कालिक [[ यूलर रोटेशन |यूलर]] घूर्णन में विघटित करने के बराबर है)। इसलिए:<ref>[http://www.vti.mod.gov.rs/ntp/rad2007/3-07/hedr/hedr.pdf K.S.HEDRIH: Leonhard Euler (1707–1783) and rigid body dynamics]</ref>
 : <math>\boldsymbol\omega = \dot\alpha\mathbf u_1+\dot\beta\mathbf u_2+\dot\gamma \mathbf u_3</math>
 यह आधार असामान्य नहीं है और इसका उपयोग करना कठिन है, लेकिन अब वेग सदिश को निश्चित फ्रेम या गतिमान  फ्रेम में केवल आधारों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:
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 (\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j +
 (\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k</math>
-कहाँ पे <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> गतिमान  बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश हैं । यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है । {{Citation needed|date=June 2020}}
+जहाँ पर  <math>\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k</math> गतिमान  बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए इकाई सदिश हैं। यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है। {{Citation needed|date=June 2020}}
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 -\omega_y & \omega_x & 0 \\
 \end{pmatrix}</math>
-यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal  घूर्णन आव्यूहों  है । रैखिक मैपिंग डब्ल्यू के रूप में फलन करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:
+यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal  घूर्णन आव्यूहों  है । रैखिक मैपिंग W के रूप में फलन करता है <math>(\boldsymbol\omega \times)</math>:
 : <math>\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = W \cdot\mathbf{r}. </math>
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 :<math>\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}</math>
-एक फ्रेम के ओरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट सदिश हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश डब्ल्यू (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:
+एक फ्रेम के Oरिएंटेशन आव्यूह ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम गतिमान प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण कोऑर्डिनेट सदिश हैं <math>\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3</math>, हम इसके कोणीय वेग प्रदिश W (टी) प्राप्त कर सकते हैं। कोणीय वेग तीन सदिश के लिए समान होना चाहिए <math>\mathbf r = \mathbf e_i</math>, इसलिए एक आव्यूह के स्तंभों में तीन सदिश समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:
 : <math>\frac {dA}{dt} = W \cdot A.</math>
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 : <math>W = \frac {dA} {dt} \cdot A^{-1} = \frac {dA} {dt} \cdot A^{\mathrm{T}},</math>
-ऑर्थोगोनल आव्यूह के व्युत्क्रम के बाद से <math>A</math> इसका ट्रांसपोज़ है <math>A^{\mathrm{T}}</math> ।
+आयतीय आव्यूह के व्युत्क्रम के बाद से <math>A</math> इसका पक्षांतर <math>A^{\mathrm{T}}</math> है।
 == गुण ==
 {{See also|Infinitesimal rotation}}
-सामान्य तौर पर, एन-डायमेंशनल स्पेस में कोणीय वेग कोणीय विस्थापन प्रदिश का समय व्युत्पन्न होता है, जो एक दूसरी रैंक तिरछी-सममितीय प्रदिश है ।
+सामान्य तौर पर, ''n''-विमीय स्पेस में कोणीय वेग कोणीय विस्थापन प्रदिश का समय व्युत्पन्न होता है, जो एक दूसरी रैंक तिरछी-सममितीय प्रदिश है।
-यह प्रदिश डब्ल्यू होगा {{nowrap|''n''(''n''−1)/2}} स्वतंत्र घटक, जो एक एन-डायमेंशनल इनर प्रोडक्ट स्पेस के  घूर्णन के [[ झूठ समूह |झूठ समूह]] के [[ झूठ बीजगणित |झूठ बीजगणित]] का आयाम है । <ref name="baez">[http://math.ucr.edu/home/baez/classical/galilei2.pdf Rotations and Angular Momentum] on the Classical Mechanics page of [http://math.ucr.edu/home/baez/README.html the website of John Baez], especially Questions 1 and 2.</ref>
+यह प्रदिश W होगा {{nowrap|''n''(''n''−1)/2}} स्वतंत्र घटक, जो एक एन-विमीय आंतरिक उत्पाद स्थान के  घूर्णन के [[ झूठ समूह |असत्य समूह]] के [[ झूठ बीजगणित |असत्य बीजगणित]] का आयाम है । <ref name="baez">[http://math.ucr.edu/home/baez/classical/galilei2.pdf Rotations and Angular Momentum] on the Classical Mechanics page of [http://math.ucr.edu/home/baez/README.html the website of John Baez], especially Questions 1 and 2.</ref>
-=== वेग सदिश के संबंध में द्वंद्व ===
+=== वेग सदिश के संबंध में द्विविधता ===
-तीन आयामों में, कोणीय वेग को एक स्यूडोसदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि दूसरे रैंक टेन्सर तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर्स के लिए दोहरे स्थान हैं । चूंकि कोणीय वेग प्रदिश w = w (t) एक तिरछा-सममित आव्यूह है:
+तीन आयामों में, कोणीय वेग को एक  छद्म सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि दूसरे रैंक टेन्सर तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर्स के लिए दोहरे स्थान हैं । चूंकि कोणीय वेग प्रदिश w = w (t) एक तिरछा-सममित आव्यूह है:
 : <math>
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 इसका हॉज ड्यूल एक सदिश है, जो पिछले कोणीय वेग सदिश है <math>\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]</math> ।
-=== डब्ल्यू === का घातांक
+=== W === का घातांक
-यदि हम एक प्रारंभिक फ्रेम ए (0) जानते हैं और हमें एक निरंतर कोणीय वेग प्रदिश डब्ल्यू दिया जाता है, तो हम किसी भी टी के लिए ए (टी) प्राप्त कर सकते हैं । आव्यूह अंतर समीकरण को याद करें:
+यदि हम एक प्रारंभिक फ्रेम ए (0) जानते हैं और हमें एक निरंतर कोणीय वेग प्रदिश W दिया जाता है, तो हम किसी भी टी के लिए ए (टी) प्राप्त कर सकते हैं । आव्यूह अंतर समीकरण को याद करें:
 : <math>\frac {dA} {dt} = W \cdot A .</math>
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 : <math>A(t) = e^{Wt}A(0) ,</math>
-जो  घूर्णन के झूठ समूह के साथ एक संबंध दिखाता है।
+जो  घूर्णन के असत्य समूह के साथ एक संबंध दिखाता है।
-=== डब्ल्यू तिरछा-सममितीय है ===
+=== W तिरछा-सममितीय है ===
 हम साबित करते हैं कि कोणीय वेग प्रदिश तिरछा-सममित आव्यूह है, अर्थात् <math>W = \frac {dA(t)}{dt} \cdot A^\text{T} </math> संतुष्ट <math>W^\text{T} = -W</math> ।
-एक  घूर्णन आव्यूह ए ऑर्थोगोनल है, इसके ट्रांसपोज़ के लिए उलटा है, इसलिए हमारे पास है <math>I=A\cdot A^\text{T}</math> । के लिए <math>A=A(t)</math> एक फ्रेम मैट्रिक्स, समीकरण का समय व्युत्पन्न देता है:
+एक  घूर्णन आव्यूह ए आयतीय  है, इसके पक्षांतर के लिए उलटा है, इसलिए हमारे पास है <math>I=A\cdot A^\text{T}</math> । के लिए <math>A=A(t)</math> एक फ्रेम मैट्रिक्स, समीकरण का समय व्युत्पन्न देता है:
 : <math>0=\frac{dA}{dt}A^\text{T}+A\frac{dA^\text{T}}{dt}</math>
@@ Line 193: / Line 193: @@
 : <math>0 = \frac{dA}{dt}A^\text{T}+\left(\frac{dA}{dt} A^\text{T}\right)^\text{T} = W + W^\text{T}</math>
-इस प्रकार, डब्ल्यू इसके ट्रांसपोज़ का ऋणात्मक  है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित है ।
+इस प्रकार, W इसके पक्षांतर का ऋणात्मक  है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित है।