समता (भौतिकी): Difference between revisions

Revision as of 13:20, 11 January 2023

भौतिक विज्ञान में, एक समानता परिवर्तन (जिसे समता व्युत्क्रमण भी कहा जाता है) एक त्रिविम -आयामी अंतरिक्ष समन्वय के संकेत में घुमाव है। तीन आयामों में, यह तीनों स्थानिक निर्देशांक (एक बिंदु प्रतिबिंब) के संकेत में एक साथ घुमाव का भी उल्लेख कर सकता है:

\mathbf {P} :{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix}}.

इसे एक भौतिक घटना के चिरायता (भौतिकी) के लिए एक परीक्षण के रूप में भी सोचा जा सकता है, जिसमें एक समता व्युत्क्रम एक घटना को अपनी दर्पण प्रतिबिम्ब में बदल देता है। मन्द अंतःक्रिया के अपवाद के साथ, प्राथमिक कणों की सभी मौलिक अंतःक्रिया समता के अंतर्गत होती हैं। मन्द अंतःक्रिया चिराल है और इस प्रकार भौतिक विज्ञान में चिरायता की परीक्षण के लिए एक साधन प्रदान किया जाता है। पारस्परिक क्रियाओं में जो समता के अंतर्गत हैं, जैसे कि परमाणु और आणविक भौतिक विज्ञान में विद्युत चुंबकत्व, समानता एक प्रभावशाली नियंत्रण सिद्धांत अंतर्निहित क्वांटम पारगमन के रूप में कार्य करता है।

P का एक आव्यूह निरूपण (किसी भी आयामों की संख्या में) निर्धारक 1 के समान होता है, और इसलिए एक घूर्णन से भिन्न होता है, जिसमें एक निर्धारक 1 के समान होता है। दो-आयामी विमान में, चिन्ह में सभी निर्देशांक का एक साथ घुमाव एक समता परिवर्तन नहीं है; यह 180° घुमाव के समान है।

क्वांटम यांत्रिकी में, एक समता परिवर्तन द्वारा अपरिवर्तित तरंग कार्यों को सम और विषम फलनों के कार्यों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि जो एक समता परिवर्तन के अंतर्गत चिन्ह बदलते हैं वे विषम फलन हैं।

सरल समरूपता संबंध

घूर्णन के अंतर्गत, पारम्परिक ज्यामितीय वस्तुओं को अदिश (भौतिकी), यूक्लिडियन सदिश और उच्च श्रेणी के टेंसर में वर्गीकृत किया जा सकता है। पारम्परिक भौतिक विज्ञान में, भौतिक विन्यास को प्रत्येक समरूपता समूह के अभ्यावेदन के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता होती है।

क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणी है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष में अवस्थाओं को घूर्णन के समूह (गणित) के निरूपण के अंतर्गत बदलने की जरूरत नहीं है, लेकिन यह केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत होता है। प्रक्षेपीय शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि यदि कोई प्रत्येक अवस्था के चरण का प्रक्षेपण करता है, वहाँ हम याद रखते हैं कि क्वांटम अवस्था का संपूर्ण चरण अवलोकन योग्य नहीं है, तो एक प्रक्षेपीय अभ्यावेदन सामान्य अभ्यावेदन में कम हो जाता है। सभी अभ्यावेदन भी प्रक्षेपी अभ्यावेदन हैं, लेकिन इसके विपरीत सत्य नहीं है, इसलिए क्वांटम अवस्थाओं पर प्रक्षेप्य निरूपण की स्थिति पारम्परिक अवस्थाओं पर निरूपण की स्थिति से मन्द है।

किसी भी समूह का प्रक्षेप्य निरूपण समूह विस्तार समूह के केंद्रीय विस्तार के सामान्य निरूपण के लिए समरूप है। उदाहरण के लिए, 3-आयामी घूर्णन समूह के प्रक्षेपी निरूपण, जो कि विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3) है, विशेष एकात्मक समूह SU(2) के सामान्य निरूपण हैं। घूर्णन समूह के प्रक्षेपी अभ्यावेदन जो अभ्यावेदन नहीं हैं उन्हें स्पाइनर कहा जाता है और इसलिए क्वांटम अवस्था न केवल टेन्सर के रूप में बल्कि स्पिनर्स के रूप में भी परिवर्तित हो सकते हैं।

यदि कोई इसमें समता द्वारा वर्गीकरण जोड़ता है, तो इन्हें विस्तारित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, धारणाओं में

अदिश (P = +1) और छद्म अदिश(भौतिकी) भौतिकी) (P = −1) जो घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय हैं।
सदिश (P = −1) और अक्षीय सदिश (जिसे छद्म सदिश क्षेत्र भी कहा जाता है) (P = +1) जो दोनों घूर्णन के अंतर्गत सदिश के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं।

कोई प्रतिबिंब को परिभाषित कर सकता है जैसे

V_{x}:{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-x\\y\\z\end{pmatrix}},

जिसका नकारात्मक निर्धारक भी है और एक वैध समता परिवर्तन बनाता है। फिर, उन्हें घूर्णन (या क्रमिक रूप से एक्स-, वाई-, और जेड-प्रतिबिंबों का संपादन) के साथ जोड़कर पहले से परिभाषित विशेष समता परिवर्तन को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। दिया गया पहला समता परिवर्तन आयामों की एक समान संख्या में काम नहीं करता है, हालाँकि, इसका परिणाम एक सकारात्मक निर्धारक में होता है। सम आयामों में समता परिवर्तन (या निर्देशांक की विषम संख्या का कोई भी प्रतिबिंब) का केवल बाद वाला उदाहरण प्रयोग किया जा सकता है।

समानता ${\hat {\mathcal {P}}}^{2}={\hat {1}}$ संबंध के कारण.एबेलियन समूह $\mathbb {Z} _{2}$ बनाती है| सभी एबेलियन समूहों के पास $\mathbb {Z} _{2}$ के लिए केवल एक आयामी अलघुकरणीय निरूपण है। दो अलघुकरणीय अभ्यावेदन हैं: एक समता के अंतर्गत ${\hat {\mathcal {P}}}\phi =+\phi$ भी है, दूसरा विषम ${\hat {\mathcal {P}}}\phi =-\phi$ है| ये क्वांटम यांत्रिकी में उपयोगी हैं। हालाँकि, जैसा कि नीचे विस्तृत किया गया है, क्वांटम यांत्रिकी में अवस्थाओं को समानता के वास्तविक निरूपण के अंतर्गत बदलने की आवश्यकता नहीं है, बल्कि केवल प्रक्षेपीय अभ्यावेदन के अंतर्गत और इसलिए सिद्धांत रूप में एक समानता परिवर्तन किसी भी चरण (तरंगों) द्वारा अवस्था को घुमा सकता है।

ओ (3) का निरूपण

अदिशों, छद्म अदिश, सदिश और स्यूडोसदिश के उपरोक्त वर्गीकरण को लिखने का एक वैकल्पिक तरीका अभ्यावेदन स्थान के संदर्भ में है जिसमें प्रत्येक वस्तु रूपांतरित होती है। यह समूह समरूपता $\rho$ के संदर्भ में दिया जा सकता है, जो अभ्यावेदन को परिभाषित करता है। एक आव्यूह $R\in {\text{O}}(3),$ के लिए,

अदिशों : $\rho (R)=1$ , तुच्छ निरूपण
स्यूडोस्कालर: $\rho (R)=\det(R)$
सदिश : $\rho (R)=R$ , मौलिक निरूपण
स्यूडो सदिश : $\rho (R)=\det(R)R.$

जब तक अभ्यावेदन ${\text{SO}}(3)$ प्रतिबंधित है, अदिश और स्यूडोअदिश समान रूप से रूपांतरित होते हैं, जैसा कि सदिश और स्यूडोसदिश करते हैं।

पारम्परिक यांत्रिकी

न्यूटन का गति का समीकरण $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$ (यदि द्रव्यमान स्थिर है) दो सदिशों के समान है, और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। गुरुत्व के नियम में भी केवल सदिश सम्मिलित होते हैं और इसलिए समता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय भी है।

हालाँकि, कोणीय गति $\mathbf {L}$ एक अक्षीय सदिश है,

\begin{aligned} L & = r \times p \\ \hat{P} (L) & = (- \end{aligned}

@@ Line 98: / Line 98: @@
 }} <!-- end "content=" -->
-<u><big>क्वांटम यांत्रिकी</big></u>
+== <big>क्वांटम यांत्रिकी</big> ==
 === संभावित आइगेनवैल्यू ===
@@ Line 113: / Line 114: @@
 कणों की समता के संरक्षण के नियम में कहा गया है कि, यदि कणों के एक पृथक समूह में एक निश्चित समता है, तो समुच्चय के विकास की प्रक्रिया में समता अपरिवर्तित रहती है। हालांकि यह नाभिक के [[ बीटा क्षय |बीटा क्षय]] के लिए सही नहीं है) जो मन्द अंतःक्रिया समरूपता के उल्लंघन के कारण है।<ref>{{cite arXiv|title= नाभिक के β-क्षय में समता गैर-संरक्षण: पचास साल बाद प्रयोग और सिद्धांत पर फिर से विचार करना। चतुर्थ। समता तोड़ने वाले मॉडल|author= Mladen Georgiev |date= November 20, 2008 |page=26 |eprint= 0811.3403|class= physics.hist-ph }}</ref> एक गोलाकार रूप से बाहरी क्षेत्र में गतिमान एक कण की अवस्थाओं की समता कोणीय संवेग संचालक द्वारा निर्धारित की जाती है,  कुल ऊर्जा, कोणीय संवेग और कोणीय संवेग का प्रक्षेपण और कण अवस्था को तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा परिभाषित किया जाता है।<ref name="Andrew, chapter 2" />
-'''समता समरूपता के परिणाम'''
-जब समानता एबेलियन समूह ℤ उत्पन्न करती है<sub>2</sub>, कोई सदैव क्वांटम अवस्थाओं के रैखिक संयोजन ले सकता है जैसे कि वे समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम हैं (चित्र देखें)। इस प्रकार ऐसे अवस्थाओं की समता ±1 है। बहुकण अवस्था की समानता प्रत्येक अवस्था की समानता का उत्पाद है; दूसरे शब्दों में समता एक गुणक क्वांटम संख्या है।
+'''<big>समता समरूपता के परिणाम</big>'''
+जब समानता एबेलियन समूह ℤ<sub>2</sub> उत्पन्न करती है, कोई सदैव क्वांटम अवस्थाओं के रैखिक संयोजन ले सकता है जैसे कि वे समता के अंतर्गत या तो विषम या विषम हैं (चित्र देखें)। इस प्रकार ऐसे अवस्थाओं की समता ±1 है। बहुकण अवस्था की समानता प्रत्येक अवस्था की समानता का उत्पाद है; दूसरे शब्दों में समता एक गुणक क्वांटम संख्या है।
 क्वांटम यांत्रिकी में, [[ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) |हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] एक समता परिवर्तन के अंतर्गत [[ अपरिवर्तनीय (भौतिकी) |अपरिवर्तनीय (भौतिकी)]] (सममित) हैं यदि <math>\hat{\mathcal{P}}</math> हैमिल्टन के साथ [[ कम्यूटेटर |रूपान्तरित]] करते हैं। गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, यह किसी भी अदिश क्षमता के लिए होता है, अर्थात, <math> V = V{\left(r\right)}</math>, इसलिए क्षमता गोलाकार रूप से है। निम्नलिखित तथ्यों को आसानी से सिद्ध किया जा सकता है:
@@ Line 136: / Line 138: @@
 :<math>\hat{\mathcal{P}}^2\left| \psi \right\rangle = c\,\hat{\mathcal{P}}\left| \psi \right\rangle.</math>
-'''<u>बहु-कण प्रणालियाँ: परमाणु, अणु, नाभिक</u>'''
+'''<big>बहु-कण प्रणालियाँ: परमाणु, अणु, नाभिक</big>'''
 बहु-कण प्रणाली की समग्र समानता एक-कण अवस्थाओं की समानता का उत्पाद है। यह -1 है यदि विषम संख्या में कण विषम-समता अवस्था में हैं, और +1 अन्यथा। नाभिक, परमाणु और अणुओं की समानता को निरूपित करने के लिए विभिन्न संकेतन उपयोग में हैं।
@@ Line 155: / Line 158: @@
 परमाणु नाभिक में, प्रत्येक न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन या न्यूट्रॉन) की स्थिति सम या विषम समता होती है, और परमाणु विन्यास का अनुमान परमाणु शेल मॉडल का उपयोग करके लगाया जा सकता है। परमाणुओं में इलेक्ट्रॉनों के लिए, न्यूक्लियॉन अवस्था में विषम समग्र समता होती है यदि और केवल विषम-समता वाले अवस्थाओं में न्यूक्लियंस की संख्या विषम होती है। समता को साधारणतः परमाणु स्पिन मान के बाद + (सम) या - (विषम) के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, [[ ऑक्सीजन के समस्थानिक |ऑक्सीजन के समस्थानिक]] ों में सम्मिलित हैं <sup>17</sup>O(5/2+), जिसका अर्थ है कि घुमाव 5/2 है और समता सम है। शेल मॉडल इसे समझाता है क्योंकि पहले 16 न्यूक्लियॉन जोड़े जाते हैं ताकि प्रत्येक जोड़ी में स्पिन शून्य और समता हो, और अंतिम न्यूक्लियॉन 1d में हो<sub>5/2</sub> खोल, जिसमें d कक्षक के लिए ℓ = 2 के बाद से समता है।<ref>{{cite book |last1=Cottingham |first1=W.N. |last2=Greenwood |first2=D.A. |date=1986 |title=परमाणु भौतिकी का परिचय|publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-31960-9 |page=[https://archive.org/details/introductiontonu0000cott/page/57 57] |url=https://archive.org/details/introductiontonu0000cott/page/57 }}</ref>
-'''<u>क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत</u>'''
+== '''क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत''' ==
 : इस खंड में आंतरिक समता असाइनमेंट सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी के साथ-साथ क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए सही हैं।

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