ठोस कोण: Difference between revisions

Solid angle
Solid angle
सामान्य प्रतीक	Ω
Si इकाई	steradian
अन्य इकाइयां	Square degree
SI आधार इकाइयाँ में	m2/m2
संरक्षित?	No
अन्य मात्राओं से ; व्युत्पत्तियां
आयाम	Script error: The module returned a nil value. It is supposed to return an export table.

Revision as of 11:21, 17 January 2023

ज्यामिति में, ठोस कोण (प्रतीक: $Ω$ )किसी विशेष बिंदु से दृष्टि क्षेत्र की मात्रा का माप है जो किसी दिए गए वस्तु को कवर करता है। अर्थात्, यह एक उपाय है कि उस बिंदु से देखने वाले पर्यवेक्षक को वस्तु कितनी बड़ी दिखाई देती है। जिस बिंदु से वस्तु को देखा जाता है उसे ठोस कोण का शीर्ष कहा जाता है, और कहा जाता है कि वस्तु उस बिंदु पर अपना ठोस कोण बनाती है।

अन्तरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली(एसआई) में, एक ठोस कोण को विमाहीन संख्या इकाई में व्यक्त किया जाता है जिसे स्टेरेडियन (प्रतीक: sr) कहा जाता है। स्टेरेडियन शीर्ष के चारों ओर इकाई क्षेत्र पर इकाई वृत्त से मेल खाता है, इसलिए वस्तु जो शीर्ष से सभी अर्धरखा को अवरुद्ध करती है, इकाई क्षेत्र के कुल सतह क्षेत्र $4\pi$ के बराबर स्टेरेडियन की संख्या को कवर करेगी। ठोस कोणों को डिग्री, मिनट और सेकंड जैसे कोणीय उपायों के वर्गों में भी मापा जा सकता है।

पास की छोटी वस्तु दूर की बड़ी वस्तु के समान ठोस कोण अंतरित कर सकती है। उदाहरण के लिए, हालाँकि चंद्रमा सूर्य से बहुत छोटा है, यह पृथ्वी के बहुत करीब भी है। दरअसल, जैसा कि पृथ्वी पर किसी भी बिंदु से देखा जाता है, दोनों वस्तुओं में लगभग समान ठोस कोण और स्पष्ट आकार होता है। यह सूर्य ग्रहण के दौरान स्पष्ट होता है।

परिभाषा और गुण

स्टेरेडियन में वस्तु का ठोस कोण इकाई क्षेत्र के खंड के क्षेत्रफल के बराबर होता है, जो शीर्ष पर केंद्रित होता है, जो कि वस्तु को कवर करता है। स्टेरेडियन में इकाई क्षेत्र के खंड का क्षेत्रफल देना रेडियन में इकाई वृत्त के चाप की लंबाई देने के समान है। जिस प्रकार रेडियन में समतलीय कोण एक चाप की लंबाई और उसकी त्रिज्या का अनुपात होता है, उसी तरह स्टेरेडियन में ठोस कोण किसी वस्तु द्वारा किसी गोले पर आच्छादित क्षेत्रफल का अनुपात उक्त त्रिज्या के वर्ग वृत्त द्वारा दिए गए क्षेत्रफल से होता है। सूत्र है

\Omega ={\frac {A}{r^{2}}},

जहाँ A गोलाकार सतह क्षेत्र है और r विचारित गोले की त्रिज्या है।

ठोस कोण अक्सर खगोल शास्त्र, भौतिकी और विशेष रूप से खगोल भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। किसी वस्तु का ठोस कोण जो बहुत दूर है, क्षेत्रफल से वर्ग दूरी के अनुपात के अनुपात में होता है। यहाँ क्षेत्र का अर्थ वस्तु का वह क्षेत्र है जब उसे देखने की दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है।

एक गोले पर कोई भी क्षेत्र जो इसके त्रिज्या के वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है, जब इसके केंद्र से देखा जाता है, तो ठीक एक स्टेरेडियन अंतरित होता है।

एक गोले का ठोस कोण इसके आंतरिक भाग में किसी भी बिंदु 4π sr से मापा जाता है, और घन के केंद्र पर उसके फलक द्वारा अंतरित ठोस कोण उसका एक-छठा है, या 2 $π$ /3 sr है। ठोस कोणों को वर्ग डिग्री में भी मापा जा सकता है (1 sr = (180/ $π$ )² वर्ग डिग्री), वर्ग मिनट और वर्ग सेकंड में, या गोले के अंशों में (1 sr = 1/4 $π$ आंशिक क्षेत्र), जिसे स्पैट (इकाई) (1 sp = 4π sr) के रूप में भी जाना जाता है।

गोलीय निर्देशांक में अवकल के लिए एक सूत्र है,

d\Omega =\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

कहां

θ

अक्षांश (उत्तरी ध्रुव से कोण) है और

φ

देशांतर है।

एक यादृच्छिक उन्मुख सतह $S$ के लिए एक बिंदु $P$ पर अंतरित ठोस कोण सतह $S$ के केंद्र $P$ , के साथ इकाई क्षेत्र के प्रक्षेपण के ठोस कोण के बराबर है, जिसकी गणना सतह अभिन्न के रूप में की जा सकती है:

\Omega =\iint _{S}{\frac {{\hat {r}}\cdot {\hat {n}}}{r^{2}}}\,dS\ =\iint _{S}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ,

जहां

{\hat {r}}={\vec {r}}/r

के अनुरूप इकाई सदिश है

r

@@ Line 122: / Line 122: @@
 ===पिरामिड===
-शीर्ष कोण{{mvar|a}} और {{mvar|b}}के साथ चार भुजाओं वाले सम आयताकार [[ पिरामिड (ज्यामिति) ]] का ठोस कोण  और  (पिरामिड के विपरीत दिशा के चेहरों को मापा जाने वाला डायहेड्रल कोण) है
+शीर्ष कोण{{mvar|a}} और {{mvar|b}} (पिरामिड के विपरीत दिशा के चेहरों को मापा गया डायहेड्रल कोण) के साथ चार-तरफा समकोणीय [[ पिरामिड (ज्यामिति) |पिरामिड (ज्यामिति)]]का ठोस कोण है
 <math display=block>\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \left({a \over 2}\right) \sin \left({b \over 2}\right) \right). </math>
-यदि दोनों पक्षों की लंबाई ({{math|''α''}} और {{math|''β''}}) पिरामिड के आधार और दूरी ({{math|''d''}}) आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष तक (गोले का केंद्र) जाना जाता है, तो उपरोक्त समीकरण को देने के लिए हेरफेर किया जा सकता है
+यदि पिरामिड के आधार की दोनों ओर की लंबाई ({{math|''α''}} और {{math|''β''}})और आधार आयत के केंद्र से पिरामिड के शीर्ष (गोले का केंद्र) तक की दूरी({{math|''d''}}) ज्ञात हो, तो उपरोक्त समीकरण हो सकता है देने के लिए हेरफेर किया जाना
 <math display=block>\Omega = 4 \arctan \frac {\alpha\beta} {2d\sqrt{4d^2 + \alpha^2 + \beta^2}}. </math>
-दाएं का ठोस कोण {{mvar|n}}-गोनल पिरामिड, जहां पिरामिड का आधार नियमित होता है {{mvar|n}}परित्रिज्या का -भुजा बहुभुज {{mvar|r}}, के साथ
+समकोण {{mvar|n}}-गोनल पिरामिड का ठोस कोण, जहाँ पिरामिड का आधार परिवृत्त{{mvar|r}} का एक नियमित {{mvar|n}}पक्षीय बहुभुज है, एक पिरामिड ऊँचाई {{mvar|h}} के साथ है
-पिरामिड ऊंचाई {{mvar|h}} है
 <math display=block>\Omega = 2\pi - 2n \arctan\left(\frac {\tan \left({\pi\over n}\right)}{\sqrt{1 + {r^2 \over h^2}}} \right). </math>
-एक के साथ एक यादृच्छिक पिरामिड का ठोस कोण {{math|''n''}}किनारों का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वैक्टर के अनुक्रम द्वारा परिभाषित -पक्षीय आधार {{math|{''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>}, ... ''s''<sub>''n''</sub>}} कुशलता से गणना की जा सकती है:<ref name ="Mazonka"/>
+किनारों {{math|{''s''<sub>1</sub>, ''s''<sub>2</sub>}, ... ''s''<sub>''n''</sub>}} का प्रतिनिधित्व करने वाले इकाई वैक्टर के अनुक्रम द्वारा परिभाषित {{math|''n''}} पक्षीय आधार के साथ एक मनमाना पिरामिड का ठोस कोण कुशलता से गणना की जा सकती है:<ref name ="Mazonka"/>
 <math display=block> \Omega = 2\pi - \arg \prod_{j=1}^{n} \left(
@@ Line 139: / Line 138: @@
    \right).
 </math>
-जहाँ कोष्ठक (* *) एक अदिश गुणनफल है और वर्ग कोष्ठक [* * *] एक अदिश गुणनफल है, और {{mvar|i}} एक [[ काल्पनिक इकाई ]] है। सूचकांक चक्रित हैं: {{math|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}. जटिल उत्पाद बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। हालाँकि, का एक गुणक
+जहाँ कोष्ठक (* *) एक अदिश गुणनफल है और वर्गाकार कोष्ठक [* * *] त्रिगुणात्मक गुणनफल है, और {{mvar|i}} एक [[ काल्पनिक इकाई ]] है। सूचकांकों का चक्रण किया जाता है: {{math|''s''<sub>0</sub> {{=}} ''s''<sub>''n''</sub>}} और {{math|''s''<sub>1</sub> {{=}} ''s''<sub>''n'' + 1</sub>}}। जटिल उत्पाद बहुभुज के प्रत्येक शीर्ष कोण से जुड़े चरण को जोड़ते हैं। हालांकि,<math>2\pi</math> का एक गुणक <math>\arg</math> के ब्रांच कट में खो गया है और इसे अलग से ट्रैक किया जाना चाहिए। इसके अलावा, जटिल चरणों के चलने वाले उत्पाद को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अंडरफ्लो से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।
-<math>2\pi</math> की शाखा कटने में खो जाता है <math>\arg</math> और अलग से ट्रैक किया जाना चाहिए। इसके अलावा, जटिल चरणों के चलने वाले उत्पाद को लगभग समांतर खंडों की सीमा में अंडरफ्लो से बचने के लिए कभी-कभी बढ़ाया जाना चाहिए।
 === अक्षांश-देशांतर आयत ===
-[[ ग्लोब ]] पर एक अक्षांश-देशांतर आयत का ठोस कोण होता है
+[[ ग्लोब | ग्लोब]] पर एक अक्षांश-देशांतर आयत का ठोस कोण होता है
 <math display=block>\left ( \sin \phi_\mathrm{N} - \sin \phi_\mathrm{S} \right ) \left ( \theta_\mathrm{E} - \theta_\mathrm{W} \,\! \right)\;\mathrm{sr},</math>
-कहां {{math|''φ''<sub>N</sub>}} और {{math|''φ''<sub>S</sub>}} [[ अक्षांश ]] की उत्तर और दक्षिण रेखाएँ हैं (उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ [[ कांति ]] में [[ भूमध्य रेखा ]] से मापा जाता है), और {{math|''θ''<sub>E</sub>}} और {{math|''θ''<sub>W</sub>}} देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ हैं (जहाँ रेडियन में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)।<ref>{{cite journal| year = 2003| title = Area of a Latitude-Longitude Rectangle| journal = The Math Forum @ Drexel| url = http://mathforum.org/library/drmath/view/63767.html}}</ref> गणितीय रूप से, यह कोण के चाप का प्रतिनिधित्व करता है {{math|''ϕ''<sub>N</sub> − ''ϕ''<sub>S</sub>}} द्वारा एक गोले के चारों ओर घुमाया गया {{math|''θ''<sub>E</sub> − ''θ''<sub>W</sub>}} रेडियन। जब देशांतर फैलता है 2{{pi}} रेडियन और अक्षांश विस्तार {{pi}} रेडियन, ठोस कोण एक गोले का है।
+जहाँ {{math|''φ''<sub>N</sub>}} और {{math|''φ''<sub>S</sub>}} [[ अक्षांश | अक्षांश]]उत्तर और दक्षिण रेखाएँ हैं ([[ भूमध्य रेखा |भूमध्य रेखा]]से रेडियन में उत्तर की ओर बढ़ते कोण के साथ मापा जाता है), और {{math|''θ''<sub>E</sub>}} और {{math|''θ''<sub>W</sub>}} देशांतर की पूर्व और पश्चिम रेखाएँ हैं (जहाँ रेडियन में कोण पूर्व की ओर बढ़ता है)।<ref>{{cite journal| year = 2003| title = Area of a Latitude-Longitude Rectangle| journal = The Math Forum @ Drexel| url = http://mathforum.org/library/drmath/view/63767.html}}</ref> गणितीय रूप से, यह कोण {{math|''ϕ''<sub>N</sub> − ''ϕ''<sub>S</sub>}} के एक चाप का प्रतिनिधित्व करता है जो {{math|''θ''<sub>E</sub> − ''θ''<sub>W</sub>}}रेडियन द्वारा एक गोले के चारों ओर घूमता है। जब देशांतर 2{{pi}} रेडियन तक फैला होता है और अक्षांश {{pi}} रेडियन तक फैला होता है, तो ठोस कोण एक गोले का होता है।
 अक्षांश-देशांतर आयत को आयताकार पिरामिड के ठोस कोण से भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक आयताकार पिरामिड के सभी चार पक्ष बड़े वृत्त चाप में गोले की सतह को काटते हैं। अक्षांश-देशांतर आयत के साथ, देशांतर की केवल रेखाएँ ही वृहत वृत्त चाप होती हैं; अक्षांश रेखाएँ नहीं हैं।
 === आकाशीय पिंड ===
-[[ कोणीय व्यास ]] की परिभाषा का उपयोग करके, आकाशीय वस्तु के ठोस कोण के सूत्र को वस्तु की त्रिज्या के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, <math display="inline">R</math>, और प्रेक्षक से वस्तु की दूरी, <math>d</math>:
+[[ कोणीय व्यास | कोणीय व्यास]]की परिभाषा का उपयोग करके, आकाशीय वस्तु के ठोस कोण के सूत्र को वस्तु की त्रिज्या, <math display="inline">R</math>, और प्रेक्षक से वस्तु की दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।, <math>d</math>:
-<math display=block>\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.</math> सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण होता है {{val|6.794|e=-5}} स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण है {{val|6.418|e=-5}} steradians. कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं {{val|0.0005406}}% ({{val|5.406|u=[[part per million|ppm]]}}) और {{val|0.0005107}}% ({{val|5.107|u=ppm}}), क्रमश। चूंकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार सूर्य ग्रहण दोनों का कारण बन सकता है।
+<math display=block>\Omega = 2 \pi \left (1 - \frac{\sqrt{d^2 - R^2}}{d} \right ) : d \geq R.</math> सूर्य और चंद्रमा (पृथ्वी के संबंध में) के लिए उपयुक्त औसत मान डालने पर, सूर्य का औसत ठोस कोण 6.794×10-5 स्टेरेडियन और चंद्रमा का औसत ठोस कोण 6.418×10-5 स्टेरेडियन होता है। कुल खगोलीय क्षेत्र के संदर्भ में, सूर्य और चंद्रमा क्रमशः 0.0005406% ({{val|5.406|u=[[part per million|पीपीएम]]}}) और 0.0005107% (5.107 पीपीएम) के औसत भिन्नात्मक क्षेत्रों को घटाते हैं। चूँकि ये ठोस कोण लगभग समान आकार के होते हैं, ग्रहण के दौरान पृथ्वी और चंद्रमा के बीच की दूरी के आधार पर चंद्रमा पूर्ण और कुंडलाकार दोनों तरह के सौर ग्रहण का कारण बन सकता है।
-== मनमाने आयामों में ठोस कोण ==
+== यादृच्छिक आयामों में ठोस कोण ==
-पूर्ण द्वारा अंतरित ठोस कोण ({{mvar|d − 1}})-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इकाई क्षेत्र की आयामी गोलाकार सतह |{{math|''d''}}-आयामी यूक्लिडियन स्थान को किसी भी संख्या में आयामों में परिभाषित किया जा सकता है {{math|''d''}}. गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अक्सर इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है
+{{math|''d''}} -आयामी यूक्लिडियनस्पेस में यूनिट स्फीयर की पूर्ण ({{mvar|d − 1}})-डायमेंशनल गोलाकार सतह द्वारा अंतरित ठोस कोण को किसी भी आयाम डी में परिभाषित किया जा सकता है। गोलाकार समरूपता के साथ गणना में अक्सर इस ठोस कोण कारक की आवश्यकता होती है। यह सूत्र द्वारा दिया गया है
 <math display="block">\Omega_{d} = \frac{2\pi^\frac{d}{2}}{\Gamma\left(\frac{d}{2}\right)}, </math>
-कहां {{math|Γ}} [[ गामा समारोह ]] है। कब {{math|''d''}} एक पूर्णांक है, गामा फ़ंक्शन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।<ref>{{cite journal| last = Jackson| first = FM| year = 1993| title = Polytopes in Euclidean n-space| journal = Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications| volume = 29| issue = 11/12| pages = 172–174| url = https://www.researchgate.net/publication/265585180}}</ref> यह इस प्रकार है कि
+कहां {{math|Γ}} [[ गामा समारोह | गामा]] फ़ंक्शन है। जब{{math|''d''}} एक पूर्णांक होता है, तो गामा फ़ंक्शन की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।<ref>{{cite journal| last = Jackson| first = FM| year = 1993| title = Polytopes in Euclidean n-space| journal = Bulletin of the Institute of Mathematics and Its Applications| volume = 29| issue = 11/12| pages = 172–174| url = https://www.researchgate.net/publication/265585180}}</ref> यह इस प्रकार है कि
 <math display="block">
    \Omega_{d} = \begin{cases}
@@ Line 164: / Line 162: @@
    \end{cases}
 </math>
-यह 4 के अपेक्षित परिणाम देता है{{pi}} क्षेत्रफल की सतह से घिरे 3D गोले के लिए स्टेरेडियन {{math|4π''r''<sup>2</sup>}} और 2{{pi}} लंबाई की परिधि से घिरे 2D वृत्त के लिए रेडियन {{math|2π''r''}}. यह 1डी मामले के लिए थोड़ा कम स्पष्ट 2 भी देता है, जिसमें मूल-केंद्रित 1डी क्षेत्र अंतराल है {{closed-closed|−''r'', ''r''}} और यह दो सीमित बिंदुओं से घिरा है।
+यह {{math|4π''r''<sup>2</sup>}} क्षेत्रफल की सतह से घिरे 3D गोले के लिए 4π स्टेरेडियन और{{math|2π''r''}} लंबाई की परिधि से घिरे 2D वृत्त के लिए 2{{pi}} रेडियन के अपेक्षित परिणाम देता है। यह 1D मामले के लिए थोड़ा कम स्पष्ट 2 भी देता है, जिसमें मूल-केंद्रित 1D "गोला" अंतराल {{closed-closed|−''r'', ''r''}} है और यह दो सीमित बिंदुओं से घिरा है।
-यादृच्छिक आयाम में सदिश सूत्र का समकक्ष एओमोटो द्वारा प्राप्त किया गया था<ref>{{cite journal|first=Kazuhiko| last=Aomoto| title=Analytic structure of Schläfli function| journal=Nagoya Math. J.| volume=68| year=1977| pages=1–16| doi=10.1017/s0027763000017839| doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal| last1=Beck|first1=M.|last2=Robins|first2=S.|last3=Sam|first3=S. V. |year=2010 |title=Positivity theorems for solid-angle polynomials |journal=Contributions to Algebra and Geometry |volume=51|issue=2| pages=493–507 |arxiv=0906.4031 |bibcode=2009arXiv0906.4031B}}</ref>
+यादृच्छिक में सदिश सूत्र का प्रतिरूप एओमोटो<ref>{{cite journal|first=Kazuhiko| last=Aomoto| title=Analytic structure of Schläfli function| journal=Nagoya Math. J.| volume=68| year=1977| pages=1–16| doi=10.1017/s0027763000017839| doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal| last1=Beck|first1=M.|last2=Robins|first2=S.|last3=Sam|first3=S. V. |year=2010 |title=Positivity theorems for solid-angle polynomials |journal=Contributions to Algebra and Geometry |volume=51|issue=2| pages=493–507 |arxiv=0906.4031 |bibcode=2009arXiv0906.4031B}}</ref>और रिबांडो द्वारा स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया गया था।<ref>{{cite journal| journal=Discrete & Computational Geometry| volume=36| issue=3| pages=479–487| year=2006| title= Measuring Solid Angles Beyond Dimension Three| first=Jason M.| last=Ribando| doi=10.1007/s00454-006-1253-4| doi-access=free}}</ref> यह उन्हें अनंत बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त करता है:
-और स्वतंत्र रूप से रिबांडो द्वारा।<ref>{{cite journal| journal=Discrete & Computational Geometry| volume=36| issue=3| pages=479–487| year=2006| title= Measuring Solid Angles Beyond Dimension Three| first=Jason M.| last=Ribando| doi=10.1007/s00454-006-1253-4| doi-access=free}}</ref> यह उन्हें अनंत बहुभिन्नरूपी टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त करता है:
 <math display="block">\Omega = \Omega_d \frac{\left|\det(V)\right|}{(4\pi)^{d/2}} \sum_{\vec a\in \N_0^{\binom {d}{2}}}
     \left [
@@ Line 173: / Line 170: @@
      \right ] \vec \alpha^{\vec a}.
   </math>
-दिया गया {{mvar|d}} यूनिट वैक्टर <math>\vec{v}_i</math> कोण को परिभाषित करना, चलो {{mvar|V}} उनके संयोजन से गठित मैट्रिक्स को निरूपित करें {{mvar|i}}वां स्तंभ है <math>\vec{v}_i</math>, और <math>\alpha_{ij} = \vec{v}_i\cdot\vec{v}_j = \alpha_{ji}, \alpha_{ii}=1</math>. चर <math>\alpha_{ij},1 \le i < j \le d</math> एक बहुभिन्नरूपी बनाओ <math>\vec \alpha = (\alpha_{12},\dotsc , \alpha_{1d}, \alpha_{23}, \dotsc, \alpha_{d-1,d}) \in \R^{\binom{d}{2}}</math>. एक सर्वांगसम पूर्णांक मल्टीएक्सपोनेंट के लिए <math>\vec a=(a_{12}, \dotsc, a_{1d}, a_{23}, \dotsc , a_{d-1,d}) \in \N_0^{\binom{d}{2}}, </math> परिभाषित करना <math display="inline">\vec \alpha^{\vec a}=\prod \alpha_{ij}^{a_{ij}}</math>. ध्यान दें कि यहाँ <math>\N_0</math> = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन <math>\alpha_{ji}</math> के लिए <math>j > i</math> चर का अर्थ है <math>\alpha_{ij}</math>, इसी तरह एक्सपोनेंट्स के लिए <math>a_{ji}</math>.
+दिया गया {{mvar|d}} यूनिट वैक्टर <math>\vec{v}_i</math> कोण को परिभाषित करते हुए, {{mvar|V}} को उनके संयोजन से बनने वाले मैट्रिक्स को निरूपित करते हैं, इसलिए {{mvar|i}}वां स्तंभ है <math>\vec{v}_i</math>, और <math>\alpha_{ij} = \vec{v}_i\cdot\vec{v}_j = \alpha_{ji}, \alpha_{ii}=1</math>. चर <math>\alpha_{ij},1 \le i < j \le d</math> एक बहुभिन्नरूपी बनाओ <math>\vec \alpha = (\alpha_{12},\dotsc , \alpha_{1d}, \alpha_{23}, \dotsc, \alpha_{d-1,d}) \in \R^{\binom{d}{2}}</math>. एक सर्वांगसम पूर्णांक मल्टीएक्सपोनेंट के लिए <math>\vec a=(a_{12}, \dotsc, a_{1d}, a_{23}, \dotsc , a_{d-1,d}) \in \N_0^{\binom{d}{2}}, </math> परिभाषित करना <math display="inline">\vec \alpha^{\vec a}=\prod \alpha_{ij}^{a_{ij}}</math>. ध्यान दें कि यहाँ <math>\N_0</math> = गैर-ऋणात्मक पूर्णांक, या 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याएँ। अंकन <math>\alpha_{ji}</math> के लिए <math>j > i</math> चर का अर्थ है <math>\alpha_{ij}</math>, इसी तरह एक्सपोनेंट्स के लिए <math>a_{ji}</math>.
 इसलिए, शब्द <math display="inline">\sum_{m \ne l} a_{lm}</math> का अर्थ है सभी पदों का योग <math>\vec a</math> जिसमें l या तो पहली या दूसरी अनुक्रमणिका के रूप में प्रकट होता है।
 जहाँ यह श्रृंखला अभिसरण करती है, यह सदिशों द्वारा परिभाषित ठोस कोण में परिवर्तित हो जाती है।

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