गैर-विमीयकरण: Difference between revisions
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{{Short description|Mathematical simplification technique in physical sciences}} | {{Short description|Mathematical simplification technique in physical sciences}} | ||
चर के उपयुक्त प्रतिस्थापन द्वारा भौतिक मात्राओं को सम्मिलित करने वाले समीकरण से भौतिक आयामों का आंशिक या पूर्ण निष्कासन गैर-विमीयकरण है। यह तकनीक उन समस्याओं को सरल और मानकीकृत कर सकती है जहाँ मापी गई इकाइयां सम्मिलित हैं। यह आयामी विश्लेषण से निकटता से संबंधित है। कुछ भौतिक प्रणालियों में, प्रवर्धन शब्द का प्रयोग 'अविआयामीकरण' के साथ एक दूसरे के रूप में किया जाता है, ताकि यह सुझाव दिया जा सके कि कुछ परिमाप कुछ उपयुक्त इकाई के सापेक्ष अपेक्षाकृत अधिक अच्छे से मापी जाती हैं। ये इकाइयां एसआई इकाइयों जैसी इकाइयों के अतिरिक्त प्रणाली के आंतरिक मात्राओं को संदर्भित करती हैं। गैर-विमीयकरण एक समीकरण में व्यापक मात्रा को गहन मात्रा में परिवर्तित करने के समान नहीं है, क्योंकि बाद की प्रक्रिया के परिणामस्वरूप वे चर होते हैं जो अभी भी इकाइयों को ले जाते हैं। | |||
गैर-विमीयकरण एक प्रणाली के विशिष्ट गुणों को भी पुनर्प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रणाली में आंतरिक अनुनाद, [[ लंबाई ]], या समय स्थिर है, तो गैर-विमीयकरण इन मानों को पुनर्प्राप्त कर सकता है। तकनीक विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए उपयोगी है जिन्हें | गैर-विमीयकरण एक प्रणाली के विशिष्ट गुणों को भी पुनर्प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि किसी प्रणाली में आंतरिक अनुनाद, [[ लंबाई |लंबाई]], या समय स्थिर है, तो गैर-विमीयकरण इन मानों को पुनर्प्राप्त कर सकता है। तकनीक विशेष रूप से उन प्रणालियों के लिए उपयोगी है जिन्हें अवकलन समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है। नियंत्रण प्रणालियों के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण उपयोग है। | ||
सबसे सरल विशेषता इकाइयों में से एक है घातीय वृद्धि का अनुभव करने वाली प्रणाली का दोहरीकरण समय, या इसके विपरीत [[ घातीय क्षय | घातीय क्षय]] का अनुभव करने वाली प्रणाली का | सबसे सरल विशेषता इकाइयों में से एक है घातीय वृद्धि का अनुभव करने वाली प्रणाली का दोहरीकरण समय, या इसके विपरीत [[ घातीय क्षय |घातीय क्षय]] का अनुभव करने वाली प्रणाली का अर्ध जीवन काल; विशेषता इकाइयों की एक अधिक प्राकृतिक जोड़ी औसत आयु/औसत जीवनकाल है, जो आधार 2 के अतिरिक्त आधार 'ई' के अनुरूप है। | ||
गैर-विमीयकरण के कई उदाहरण उदाहरण | गैर-विमीयकरण के कई उदाहरण उदाहरण अवकलन समीकरणों को सरल बनाने से उत्पन्न होते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अवकलन समीकरणों के संदर्भ में भौतिक समस्याओं का एक बड़ा समूह तैयार किया जा सकता है। निम्न पर विचार करें: | ||
* [[ डायनेमिक सिस्टम और डिफरेंशियल इक्वेशन विषयों की सूची | | * [[ डायनेमिक सिस्टम और डिफरेंशियल इक्वेशन विषयों की सूची | गतिक प्रणाली और अवकल समीकरण विषयों की सूची]] | ||
* [[ आंशिक अंतर समीकरण विषयों की सूची ]] | * [[ आंशिक अंतर समीकरण विषयों की सूची | आंशिक अवकलन समीकरण विषयों की सूची]] | ||
* [[ गणितीय भौतिकी के विभेदक समीकरण ]] | * [[ गणितीय भौतिकी के विभेदक समीकरण ]] | ||
हालांकि इन समस्याओं के लिए गैर-विमीयकरण अच्छी तरह से अनुकूलित है, यह उन तक ही सीमित नहीं है। एक गैर- | हालांकि इन समस्याओं के लिए गैर-विमीयकरण अच्छी तरह से अनुकूलित है, यह उन तक ही सीमित नहीं है। एक गैर-अवकलन-समीकरण अनुप्रयोग का एक उदाहरण विमीय विश्लेषण है; एक अन्य उदाहरण आँकड़ों में [[ सामान्यीकरण (सांख्यिकी) |सामान्यीकरण (सांख्यिकी)]] है। | ||
मापने के उपकरण | मापने के उपकरण दैनिक जीवन में होने वाले गैर-विमीयकरण के व्यावहारिक उदाहरण हैं। मापने वाले उपकरणों को कुछ ज्ञात इकाई के सापेक्ष अंशांकित किया जाता है। बाद के माप इस मानक के सापेक्ष किए जाते हैं। फिर, माप के पूर्ण मूल्य को मानक के संबंध में अनुमापन करके पुनर्प्राप्त किया जाता है। | ||
== | == सामान्य कारण == | ||
मान लीजिए | मान लीजिए एक लोलक एक विशेष आवर्तकाल T से दोलन कर रहा है। ऐसी प्रणाली के लिए, T के सापेक्ष दोलन से संबंधित गणना करना लाभप्रद है। कुछ अर्थों में, यह अवधि के संबंध में माप को सामान्य कर रहा है। | ||
एक प्रणाली की एक आंतरिक | एक प्रणाली की एक आंतरिक गुण के सापेक्ष किए गए माप अन्य प्रणालियों पर लागू होंगे जिनके पास समान आंतरिक गुण भी है। यह एक ही प्रणाली के विभिन्न कार्यान्वयनों की एक सामान्य गुण की तुलना करने की भी स्वीकृति देता है। प्रणाली के आंतरिक गुणों के पूर्व ज्ञान पर अधिक निर्भर किए बिना, गैर-विमीयकरण एक प्रणाली की 'विशेषता इकाइयों' का उपयोग करने के लिए एक व्यवस्थित तरीके से निर्धारित करता है। (किसी तंत्र की विशिष्ट इकाइयों को प्रकृति की प्राकृतिक इकाइयों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए)। वास्तव में, गैर-विमीयकरण उन मापदंडों का सुझाव दे सकता है जिनका उपयोग किसी प्रणाली के विश्लेषण के लिए किया जाना चाहिए। हालांकि, एक समीकरण से प्रारंभ करना जरूरी है जो प्रणाली का उपयुक्त वर्णन करता है। | ||
(किसी तंत्र की विशिष्ट इकाइयों को प्रकृति की प्राकृतिक इकाइयों के साथ भ्रमित नहीं करना चाहिए)। वास्तव में, गैर-विमीयकरण उन मापदंडों का सुझाव दे सकता है जिनका उपयोग किसी प्रणाली के विश्लेषण के लिए किया जाना चाहिए। हालांकि, एक समीकरण से | |||
== | == गैर-आयामीकरण चरण == | ||
समीकरणों की एक प्रणाली को गैर-विमीय बनाने के लिए, निम्न कार्य करना चाहिए: | समीकरणों की एक प्रणाली को गैर-विमीय बनाने के लिए, निम्न कार्य करना चाहिए: | ||
# सभी स्वतंत्र और आश्रित चरों की पहचान करें; | # सभी स्वतंत्र और आश्रित चरों की पहचान करें; | ||
# उनमें से प्रत्येक को निर्धारित की जाने वाली माप की एक विशिष्ट इकाई के सापेक्ष मापी गई मात्रा से | # उनमें से प्रत्येक को निर्धारित की जाने वाली माप की एक विशिष्ट इकाई के सापेक्ष मापी गई मात्रा से परिवर्तित करे; | ||
# उच्चतम क्रम बहुपद या व्युत्पन्न शब्द के गुणांक द्वारा विभाजित करें; | # उच्चतम क्रम बहुपद या व्युत्पन्न शब्द के गुणांक द्वारा विभाजित करें; | ||
# विवेकपूर्ण | # विवेकपूर्ण रूप से प्रत्येक चर के लिए विशेषता इकाई की परिभाषा चुनें ताकि अधिक से अधिक पदों के गुणांक 1 हो जाएं; | ||
# समीकरणों की प्रणाली को उनकी नई आयाम रहित मात्राओं के संदर्भ में पुनः लिखें। | # समीकरणों की प्रणाली को उनकी नई आयाम रहित मात्राओं के संदर्भ में पुनः लिखें। | ||
अंतिम तीन चरण सामान्य रूप से उस समस्या के लिए विशिष्ट होते हैं जहां गैर-विमीयकरण लागू किया जाता है। हालाँकि, लगभग सभी प्रणालियों को निष्पादित करने के लिए पहले दो चरणों की आवश्यकता होती है। | अंतिम तीन चरण सामान्य रूप से उस समस्या के लिए विशिष्ट होते हैं जहां गैर-विमीयकरण लागू किया जाता है। हालाँकि, लगभग सभी प्रणालियों को निष्पादित करने के लिए पहले दो चरणों की आवश्यकता होती है। | ||
=== कन्वेंशन === | === कन्वेंशन (संकेत) === | ||
x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर नामों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हालांकि, उन्हें सामान्य रूप से | x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर नामों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। हालांकि, उन्हें सामान्य रूप से चयन किया जाता है ताकि समस्या के लिए उपयोग करना सुविधाजनक और आसान हो। उदाहरण के लिए, यदि x द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है, तो आयाम रहित द्रव्यमान मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षर m एक उपयुक्त प्रतीक हो सकता है। | ||
इस लेख में, निम्नलिखित | इस लेख में, निम्नलिखित नियमो का उपयोग किया गया है: | ||
* t - स्वतंत्र चर का प्रतिनिधित्व करता है - सामान्य रूप से एक समय मात्रा। इसका | * t - स्वतंत्र चर का प्रतिनिधित्व करता है - सामान्य रूप से एक समय मात्रा। इसका <math>\tau</math> अआयामी समकक्ष है। | ||
* x - आश्रित चर का प्रतिनिधित्व करता है - द्रव्यमान, | * x - आश्रित चर का प्रतिनिधित्व करता है - द्रव्यमान, विद्युत् दाब या कोई मापने योग्य मात्रा हो सकती है। इसका <math>\chi</math> अआयामी समकक्ष है। | ||
मात्रा के चर नाम में जोड़ा गया एक | मात्रा के चर नाम में जोड़ा गया एक अधोलिखित c उस मात्रा को अनुमापन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक मात्रा है, तो x<sub>c</sub>इसे अनुमापन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषता इकाई है। | ||
एक उदाहरण के रूप में, [[ स्थिर गुणांक ]] वाले पहले क्रम के | एक उदाहरण के रूप में, [[ स्थिर गुणांक |स्थिर गुणांक]] वाले पहले क्रम के अवकलन समीकरण पर विचार करें: | ||
<math display="block">a\frac{dx}{dt} + bx = Af(t).</math> | <math display="block">a\frac{dx}{dt} + bx = Af(t).</math> | ||
# इस समीकरण में स्वतंत्र चर यहाँ t है, और आश्रित चर x है। | # इस समीकरण में स्वतंत्र चर यहाँ t है, और आश्रित चर x है। | ||
# | # श्रेणी <math>x = \chi x_c, \ t = \tau t_c</math> इसका परिणाम समीकरण में होता है <math display="block">a \frac{x_c}{t_c} \frac{d \chi}{d \tau} + b x_c \chi = A f(\tau t_c) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ A F(\tau).</math> | ||
# उच्चतम आदेशित पद का गुणांक पहले व्युत्पन्न पद के सामने है। इससे भाग देने पर मिलता है <math display="block">\frac{d \chi}{d \tau} + \frac{b t_c}{a} \chi = \frac{A t_c}{a x_c} F(\tau).</math> | # उच्चतम आदेशित पद का गुणांक पहले व्युत्पन्न पद के सामने है। इससे भाग देने पर मिलता है <math display="block">\frac{d \chi}{d \tau} + \frac{b t_c}{a} \chi = \frac{A t_c}{a x_c} F(\tau).</math> | ||
# सामने गुणांक <math>\chi</math> केवल एक अभिलाक्षणिक चर t | # सामने गुणांक <math>\chi</math> केवल एक अभिलाक्षणिक चर t<sub>c</sub> समाहित करता है, इसलिए इसे पहले इकाई पर स्थापित करना सबसे आसान है: <math display="block">\frac{b t_c}{a} = 1 \Rightarrow t_c = \frac{a}{b}.</math> बाद में, <math display="block">\frac{A t_c}{a x_c} = \frac{A}{b x_c} = 1 \Rightarrow x_c = \frac{A}{b}.</math> | ||
# इस स्थिति में अंतिम आयाम रहित समीकरण इकाइयों के साथ किसी भी पैरामीटर से पूरी तरह स्वतंत्र हो जाता है: <math display="block">\frac{d \chi}{d \tau} + \chi = F(\tau).</math> | # इस स्थिति में अंतिम आयाम रहित समीकरण इकाइयों के साथ किसी भी पैरामीटर से पूरी तरह स्वतंत्र हो जाता है: <math display="block">\frac{d \chi}{d \tau} + \chi = F(\tau).</math> | ||
=== प्रतिस्थापन === | === प्रतिस्थापन === | ||
सरलता के लिए मान लीजिए कि एक निश्चित प्रणाली को दो चरों की विशेषता है - एक आश्रित चर x और एक स्वतंत्र चर t, जहाँ x, t का एक फलन (गणित) है। दोनों x और t इकाइयों के साथ मात्रा का प्रतिनिधित्व करते हैं। इन दो चरों को अनुमापन करने के लिए, मान लें कि माप x<sub>c</sub> की दो आंतरिक इकाइयाँ हैं और t<sub>c</sub> क्रमशः x और t जैसी ही इकाइयों के साथ, जैसे कि ये शर्तें हैं: | |||
<math display="block">\tau = \frac{t}{t_c} \Rightarrow t = \tau t_c </math><math display="block"> \chi = \frac{x}{x_c} \Rightarrow x = \chi x_c.</math> | <math display="block">\tau = \frac{t}{t_c} \Rightarrow t = \tau t_c </math><math display="block"> \chi = \frac{x}{x_c} \Rightarrow x = \chi x_c.</math> | ||
इन समीकरणों का उपयोग x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए किया जाता है जब गैर-विमीयकरण होता है। यदि | इन समीकरणों का उपयोग x और t को प्रतिस्थापित करने के लिए किया जाता है जब गैर-विमीयकरण होता है। यदि सामान्य प्रणाली का वर्णन करने के लिए अवकलन परिचालक की आवश्यकता होती है, तो उनके अनुमापन किए गए समकक्ष आयाम रहित अवकलन परिचालक बन जाते हैं। | ||
==== विभेदक संचालक ==== | ==== विभेदक संचालक ==== | ||
संबंध पर विचार करें | संबंध पर विचार करें | ||
<math display="block">\,\! t = \tau t_c \Rightarrow dt = t_c d\tau \Rightarrow \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{t_c}.</math> | <math display="block">\,\! t = \tau t_c \Rightarrow dt = t_c d\tau \Rightarrow \frac{d\tau}{dt} = \frac{1}{t_c}.</math> | ||
स्वतंत्र चर के संबंध में विमाहीन अवकल | स्वतंत्र चर के संबंध में विमाहीन अवकल परिचालक बन जाता है | ||
<math display="block">\frac{d}{dt} = \frac{d \tau}{dt} \frac{d}{d \tau} = \frac{1}{t_c} \frac{d}{d \tau} \Rightarrow \frac{d^n}{dt^n} = \left( \frac{d}{dt} \right)^n = \left( \frac{1}{t_c} \frac{d}{d \tau} \right)^n = \frac{1}{t_c^n} \frac{d^n}{d \tau^n}.</math> | <math display="block">\frac{d}{dt} = \frac{d \tau}{dt} \frac{d}{d \tau} = \frac{1}{t_c} \frac{d}{d \tau} \Rightarrow \frac{d^n}{dt^n} = \left( \frac{d}{dt} \right)^n = \left( \frac{1}{t_c} \frac{d}{d \tau} \right)^n = \frac{1}{t_c^n} \frac{d^n}{d \tau^n}.</math> | ||
==== | ==== प्रेरक फलन ==== | ||
यदि किसी प्रणाली में एक | यदि किसी प्रणाली में एक प्रेरक फलन (अवकल समीकरण) है <math>\,\! f(t)</math> तब | ||
<math display="block">\,\! f(t) = f(\tau t_c) = f(t(\tau)) = F(\tau).</math> | <math display="block">\,\! f(t) = f(\tau t_c) = f(t(\tau)) = F(\tau).</math> | ||
इसलिए, नया | इसलिए, नया प्रेरक फलन <math>\,\! F </math> आयामहीन मात्रा <math>\,\! \tau </math> पर निर्भर होने के लिए बनाया गया है। | ||
== निरंतर गुणांक वाले रैखिक | == निरंतर गुणांक वाले रैखिक अवकलन समीकरण == | ||
=== पहला | === पहला कोटि प्रणाली === | ||
पहले | पहले कोटि प्रणाली के लिए अवकलन समीकरण पर विचार करें: | ||
<math display="block">a\frac{dx}{dt} + bx = Af(t).</math> | <math display="block">a\frac{dx}{dt} + bx = Af(t).</math> | ||
इस प्रणाली के लिए विशेषता इकाइयों | इस प्रणाली के लिए विशेषता इकाइयों की व्युत्पत्ति देता है<math display="block">t_c = \frac{a}{b}, \ x_c = \frac{A}{b}.</math> | ||
=== दूसरा कोटि प्रणाली === | |||
एक दूसरे कोटि प्रणाली का रूप है | |||
=== दूसरा | |||
एक दूसरे | |||
<math display="block">a \frac{d^2 x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + cx = A f(t).</math> | <math display="block">a \frac{d^2 x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + cx = A f(t).</math> | ||
==== प्रतिस्थापन चरण ==== | ==== प्रतिस्थापन चरण ==== | ||
चर x और t को उनकी | चर x और t को उनकी अनुमापन की गई मात्रा से परिवर्तित करे। समीकरण बन जाता है | ||
<math display="block">a \frac{x_c}{t_c^2} \frac{ d^2 \chi}{d \tau^2} + b \frac{x_c}{t_c} \frac{d \chi}{d \tau} + c x_c \chi = A f(\tau t_c) = A F(\tau) .</math> | <math display="block">a \frac{x_c}{t_c^2} \frac{ d^2 \chi}{d \tau^2} + b \frac{x_c}{t_c} \frac{d \chi}{d \tau} + c x_c \chi = A f(\tau t_c) = A F(\tau) .</math> | ||
यह नया समीकरण आयामहीन नहीं है, हालांकि इकाइयों के साथ सभी चर गुणांक में | यह नया समीकरण आयामहीन नहीं है, हालांकि इकाइयों के साथ सभी चर गुणांक में पृथक हैं। उच्चतम आदेशित पद के गुणांक से भाग देने पर समीकरण बन जाता है | ||
<math display="block"> \frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + t_c \frac{b}{a} \frac{d \chi}{d \tau} + t_c^2 \frac{c}{a} \chi = \frac{A t_c^2}{a x_c} F(\tau).</math> | <math display="block"> \frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + t_c \frac{b}{a} \frac{d \chi}{d \tau} + t_c^2 \frac{c}{a} \chi = \frac{A t_c^2}{a x_c} F(\tau).</math> | ||
अब x<sub>''c''</sub> की मात्रा ज्ञात करना आवश्यक है और t<sub>''c''</sub> ताकि गुणांक सामान्यीकृत हो जाएं। चूंकि दो मुक्त पैरामीटर हैं, अधिक से अधिक केवल दो गुणांक समान | अब x<sub>''c''</sub> की मात्रा ज्ञात करना आवश्यक है और t<sub>''c''</sub> ताकि गुणांक सामान्यीकृत हो जाएं। चूंकि दो मुक्त पैरामीटर हैं, अधिक से अधिक केवल दो गुणांक समान इकाई के लिए बनाए जा सकते हैं। | ||
==== चारित्रिक इकाइयों का निर्धारण ==== | ==== चारित्रिक इकाइयों का निर्धारण ==== | ||
चर t पर विचार करें<sub>''c''</sub>: | चर t पर विचार करें<sub>''c''</sub>: | ||
#यदि <math> t_c = \frac{a}{b} </math> पहला | #यदि <math> t_c = \frac{a}{b} </math> पहला क्रम अवधि सामान्यीकृत है। | ||
#यदि <math> t_c = \sqrt{\frac{a}{c}} </math> शून्य क्रम अवधि सामान्यीकृत है। | #यदि <math> t_c = \sqrt{\frac{a}{c}} </math> शून्य क्रम अवधि सामान्यीकृत है। | ||
दोनों प्रतिस्थापन मान्य हैं। हालांकि, शैक्षणिक कारणों के लिए, बाद के प्रतिस्थापन का उपयोग दूसरे | दोनों प्रतिस्थापन मान्य हैं। हालांकि, शैक्षणिक कारणों के लिए, बाद के प्रतिस्थापन का उपयोग दूसरे कोटि प्रणाली के लिए किया जाता है। इस प्रतिस्थापन को चयन करने से x<sub>''c''</sub> की स्वीकृति मिलती है प्रेरक फलन के गुणांक को सामान्य करके निर्धारित किया जाना: | ||
<math display="block">1 = \frac{A t_c^2}{a x_c} = \frac{A}{c x_c} \Rightarrow x_c = \frac{A}{c}.</math> | <math display="block">1 = \frac{A t_c^2}{a x_c} = \frac{A}{c x_c} \Rightarrow x_c = \frac{A}{c}.</math> | ||
अवकल समीकरण बन जाता है | अवकल समीकरण बन जाता है | ||
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प्रथम कोटि पद का गुणांक इकाई रहित होता है। परिभाषित करना | प्रथम कोटि पद का गुणांक इकाई रहित होता है। परिभाषित करना | ||
<math display="block">2 \zeta \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{b}{\sqrt{ac}}. </math> | <math display="block">2 \zeta \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{b}{\sqrt{ac}}. </math> | ||
कारक 2 सम्मिलित है ताकि समाधानों को ζ के संदर्भ में प्राचलीकृत किया जा सके। यांत्रिक या विद्युत प्रणालियों के संदर्भ में, ζ को | कारक 2 सम्मिलित है ताकि समाधानों को ζ के संदर्भ में प्राचलीकृत किया जा सके। यांत्रिक या विद्युत प्रणालियों के संदर्भ में, ζ को [[अवमंदन अनुपात]] के रूप में जाना जाता है, और नियंत्रण प्रणालियों के विश्लेषण में आवश्यक एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। 2ζ को प्रणाली के [[ रेखा की चौडाई |रेखा विस्तार]] के रूप में भी जाना जाता है। परिभाषा का परिणाम सार्वभौमिक दोलक समीकरण है। | ||
<math display="block">\frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + 2 \zeta \frac{d \chi}{d\tau} + \chi = F(\tau) .</math> | <math display="block">\frac{d^2 \chi}{d \tau^2} + 2 \zeta \frac{d \chi}{d\tau} + \chi = F(\tau) .</math> | ||
=== उच्च | === उच्च कोटि प्रणाली === | ||
निरंतर गुणांक वाले सामान्य | निरंतर गुणांक वाले सामान्य n-वें क्रम रैखिक अवकलन समीकरण का रूप है: | ||
<math display="block">a_n \frac{d^n x(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} x(t)}{dt^{n-1}} + \ldots + a_1 \frac{dx(t)}{dt} + a_0 x(t) = \sum_{k = 0}^n a_k \frac{d^k x(t)}{dt^k} = Af(t). </math> | <math display="block">a_n \frac{d^n x(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} x(t)}{dt^{n-1}} + \ldots + a_1 \frac{dx(t)}{dt} + a_0 x(t) = \sum_{k = 0}^n a_k \frac{d^k x(t)}{dt^k} = Af(t). </math> | ||
फलन f(t) को प्रेरक फलन ( | फलन f(t) को प्रेरक फलन (अवकलन समीकरण) के रूप में जाना जाता है। | ||
यदि | यदि अवकलन समीकरण में केवल वास्तविक (जटिल नहीं) गुणांक होते हैं, तो ऐसी प्रणाली के गुण केवल पहले और दूसरे कोटि के प्रणाली के मिश्रण के रूप में व्यवहार करते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इसकी विशिष्ट बहुपद के मूल या तो वास्तविक हैं, या जटिल संयुग्म जोड़े हैं। इसलिए, यह समझना कि कैसे पहले और दूसरे आदेशित प्रणाली पर गैर-विमीयकरण लागू होता है, [[ सुपरपोज़िशन सिद्धांत |अधिस्थापन सिद्धांत]] के माध्यम से उच्च कोटि प्रणाली के गुणों को निर्धारित करने की स्वीकृति देता है। | ||
एक प्रणाली के एक गैर-आयामी रूप में मुक्त मापदंडों की संख्या इसके क्रम के साथ बढ़ जाती है। इस कारण से, उच्च क्रम | एक प्रणाली के एक गैर-आयामी रूप में मुक्त मापदंडों की संख्या इसके क्रम के साथ बढ़ जाती है। इस कारण से, उच्च क्रम अवकलन समीकरणों के लिए गैर-विमीयकरण का उपयोग संभव्यता ही कभी किया जाता है। प्रतीकात्मक संगणना के आगमन के साथ इस प्रक्रिया की आवश्यकता भी कम हो गई है। | ||
=== विशेषता इकाइयों को पुनर्प्राप्त करने के उदाहरण === | === विशेषता इकाइयों को पुनर्प्राप्त करने के उदाहरण === | ||
विभिन्न प्रकार की प्रणालियों को पहले या दूसरे क्रम के प्रणाली के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इनमें | विभिन्न प्रकार की प्रणालियों को पहले या दूसरे क्रम के प्रणाली के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। इनमें यांत्रिक दिष्टकारी, विद्युत, तरलिकी, ऊष्मीय और विमोटन प्रणाली सम्मिलित हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि इनमें से प्रत्येक उदाहरण में सम्मिलित मूलभूत भौतिक परिमाप पहले और दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के माध्यम से संबंधित हैं। | ||
==== यांत्रिक दोलन ==== | ==== यांत्रिक दोलन ==== | ||
[[Image:Mass-Spring-Damper.png|thumb|300px|एक द्रव्यमान एक | [[Image:Mass-Spring-Damper.png|thumb|300px|एक द्रव्यमान एक स्प्रिंग और एक स्पंज से जुड़ा हुआ है।]]मान लीजिए कि हमारे पास एक स्प्रिंग और एक अवमंदक से जुड़ा द्रव्यमान है, जो विपरीत में एक दीवार से जुड़ा हुआ है, और एक ही रेखा के साथ द्रव्यमान पर कार्य करने वाला बल है। | ||
परिभाषित करना | परिभाषित करना | ||
* <math>x</math> = संतुलन से विस्थापन [ | * <math>x</math> = संतुलन से विस्थापन [m] | ||
* <math>t</math> = समय [ | * <math>t</math> = समय [s] | ||
* <math>f</math> = बाहरी बल या | * <math>f</math> = बाहरी बल या <nowiki>''</nowiki>विक्षोभ<nowiki>''</nowiki> प्रणाली पर लागू [kg⋅m⋅s]<sup>−2</sup> | ||
* <math>m</math> = | * <math>m</math> = पिण्डक का द्रव्यमान [किग्रा] | ||
* <math>B</math> = | * <math>B</math> = प्रघातरोधी का अवमंदन स्थिरांक [kg⋅s<sup>−1</sup>] | ||
* <math>k</math> = स्प्रिंग का बल स्थिरांक [kg⋅s<sup>−2</sup>] | * <math>k</math> = स्प्रिंग का बल स्थिरांक [kg⋅s<sup>−2</sup>] | ||
मान लीजिए कि लगाया गया बल एक | मान लीजिए कि लगाया गया बल एक ज्यावक्रीय {{nowrap|1=''F'' = ''F''<sub>0</sub> cos(''ωt'')}} है,ब्लॉक की गति का वर्णन करने वाला अवकलन समीकरण है | ||
<math display="block">m \frac{d^2 x}{d t^2} + B \frac{d x}{d t} + kx = F_0 \cos(\omega t)</math> | <math display="block">m \frac{d^2 x}{d t^2} + B \frac{d x}{d t} + kx = F_0 \cos(\omega t)</math> | ||
इस समीकरण को उसी तरह से गैर-विमीय बनाना, जैसा कि | इस समीकरण को उसी तरह से गैर-विमीय बनाना, जैसा कि द्वितीय कोटि प्रणाली के अंतर्गत वर्णित है, प्रणाली की कई विशेषताओं को उत्पन्न करता है। | ||
आंतरिक इकाई x<sub>c</sub> प्रति | आंतरिक इकाई x<sub>c</sub> प्रति इकाई बल पर ब्लॉक कितनी दूरी से चलता है, उससे अनुरूप है | ||
<math display="block">x_c = \frac{F_0}{k}.</math> | <math display="block">x_c = \frac{F_0}{k}.</math> | ||
विशेषता चर t<sub>c</sub>दोलनों की अवधि के बराबर है | विशेषता चर t<sub>c</sub>दोलनों की अवधि के बराबर है | ||
<math display="block">t_c = \sqrt{\frac{m}{k}}</math& | |||