विसरण: Difference between revisions
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=== प्रसार प्रवाह === | === प्रसार प्रवाह === | ||
प्रसार का प्रत्येक मॉडल सांद्रता, घनत्व और उनके डेरिवेटिव के उपयोग के साथ प्रसार प्रवाह को व्यक्त करता है। फ्लक्स एक वेक्टर है <math>\mathbf{J}</math> स्थानांतरण की मात्रा और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है। एक छोटा सा [[ क्षेत्र | क्षेत्र]] दिया <math>\Delta S</math> सामान्य के साथ <math>\boldsymbol{\nu}</math>[[ भौतिक मात्रा | भौतिक मात्रा]] का स्थानांतरण <math>N</math> क्षेत्र के माध्यम से <math>\Delta S</math> समय के लिए <math>\Delta t</math> है | प्रसार का प्रत्येक मॉडल सांद्रता, घनत्व और उनके डेरिवेटिव (संजात) के उपयोग के साथ प्रसार प्रवाह को व्यक्त करता है। फ्लक्स एक वेक्टर है <math>\mathbf{J}</math> स्थानांतरण की मात्रा और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है। एक छोटा सा [[ क्षेत्र | क्षेत्र]] दिया <math>\Delta S</math> सामान्य के साथ <math>\boldsymbol{\nu}</math>[[ भौतिक मात्रा | भौतिक मात्रा]] का स्थानांतरण <math>N</math> क्षेत्र के माध्यम से <math>\Delta S</math> समय के लिए <math>\Delta t</math> है | ||
:<math>\Delta N = (\mathbf{J},\boldsymbol{\nu}) \,\Delta S \,\Delta t +o(\Delta S \,\Delta t)\, ,</math> | :<math>\Delta N = (\mathbf{J},\boldsymbol{\nu}) \,\Delta S \,\Delta t +o(\Delta S \,\Delta t)\, ,</math> | ||
कहां <math>(\mathbf{J},\boldsymbol{\nu})</math> आंतरिक उत्पाद है और <math>o(\cdots)</math> [[ थोड़ा-ओ अंकन | | कहां <math>(\mathbf{J},\boldsymbol{\nu})</math> आंतरिक उत्पाद है और <math>o(\cdots)</math> [[ थोड़ा-ओ अंकन |लिटिल-ओ नोटेशन]] है। यदि हम[[ वेक्टर क्षेत्र | वेक्टर क्षेत्र]] के अंकन का उपयोग करते हैं <math>\Delta \mathbf{S}=\boldsymbol{\nu} \, \Delta S</math> तब | ||
:<math>\Delta N = (\mathbf{J}, \Delta \mathbf{S}) \, \Delta t +o(\Delta \mathbf{S} \,\Delta t)\, . </math> | :<math>\Delta N = (\mathbf{J}, \Delta \mathbf{S}) \, \Delta t +o(\Delta \mathbf{S} \,\Delta t)\, . </math> | ||
प्रसार प्रवाह का आयामी विश्लेषण [प्रवाह] = [मात्रा]/([समय]·[क्षेत्र]) है। फैलाने वाली भौतिक मात्रा <math>N</math> कणों की संख्या, द्रव्यमान, ऊर्जा, विद्युत आवेश या कोई अन्य अदिश [[ व्यापक मात्रा | व्यापक मात्रा]] हो सकती है। इसके घनत्व के लिए, <math>n</math>, प्रसार समीकरण का रूप है | प्रसार प्रवाह का आयामी विश्लेषण [प्रवाह] = [मात्रा]/([समय]·[क्षेत्र]) है। फैलाने वाली भौतिक मात्रा <math>N</math> कणों की संख्या, द्रव्यमान, ऊर्जा, विद्युत आवेश या कोई अन्य अदिश [[ व्यापक मात्रा | व्यापक मात्रा]] हो सकती है। इसके घनत्व के लिए, <math>n</math>, प्रसार समीकरण का रूप है | ||
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=== फ़िक का नियम और समीकरण === | === फ़िक का नियम और समीकरण === | ||
{{Main| | {{Main|फिक के प्रसार के नियम}} | ||
फ़िक का पहला नियम: प्रसार प्रवाह सांद्रण प्रवणता के ऋणात्मक के समानुपाती होता है: | फ़िक का पहला नियम: प्रसार प्रवाह सांद्रण प्रवणता के ऋणात्मक के समानुपाती होता है: | ||
:<math>\mathbf{J}=-D \,\nabla n \ , \;\; J_i=-D \frac{\partial n}{\partial x_i} \ .</math> | :<math>\mathbf{J}=-D \,\nabla n \ , \;\; J_i=-D \frac{\partial n}{\partial x_i} \ .</math> | ||
संबंधित प्रसार समीकरण (फिक का दूसरा नियम) है | संबंधित प्रसार समीकरण (फिक का दूसरा नियम) है | ||
:<math>\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot( D \,\nabla n(x,t))=D \, \Delta n(x,t)\ , </math> | :<math>\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot( D \,\nabla n(x,t))=D \, \Delta n(x,t)\ , </math> | ||
जहाँ <math>\Delta</math> [[ लाप्लास ऑपरेटर | लाप्लास ऑपरेटर]] है, | |||
:<math>\Delta n(x,t) = \sum_i \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x_i^2} \ .</math> | :<math>\Delta n(x,t) = \sum_i \frac{\partial^2 n(x,t)}{\partial x_i^2} \ .</math> | ||
=== बहुघटक प्रसार और थर्मोडिफ्यूजन के लिए ऑनसेगर के समीकरण === | |||
<blockquote> | |||
फिक का नियम एक माध्यम में मिश्रण के प्रसार का वर्णन करता है। इस मिश्रण की सघनता कम होनी चाहिए और इस सान्द्रता की प्रवणता भी छोटी होनी चाहिए। फिक के नियम में प्रसार की प्रेरणा शक्ति एकाग्रता का प्रतिगामी है, <math>-\nabla n</math>. | फिक का नियम एक माध्यम में मिश्रण के प्रसार का वर्णन करता है। इस मिश्रण की सघनता कम होनी चाहिए और इस सान्द्रता की प्रवणता भी छोटी होनी चाहिए। फिक के नियम में प्रसार की प्रेरणा शक्ति एकाग्रता का प्रतिगामी है, <math>-\nabla n</math>. | ||
1931 में, [[ लार्स ऑनसेगर | लार्स ऑनसेगर]] <ref name="Onsager1931">{{cite journal |author=Onsager, L. |year=1931 |doi=10.1103/PhysRev.37.405 |title=अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं में पारस्परिक संबंध। मैं|journal=Physical Review |volume=37|issue=4|pages=405–26|bibcode = 1931PhRv...37..405O |doi-access=free}}</ref> रैखिक गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी के सामान्य संदर्भ में बहुघटक परिवहन प्रक्रियाओं को शामिल किया। के लिए | 1931 में, [[ लार्स ऑनसेगर | लार्स ऑनसेगर]] <ref name="Onsager1931">{{cite journal |author=Onsager, L. |year=1931 |doi=10.1103/PhysRev.37.405 |title=अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं में पारस्परिक संबंध। मैं|journal=Physical Review |volume=37|issue=4|pages=405–26|bibcode = 1931PhRv...37..405O |doi-access=free}}</ref> रैखिक गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी के सामान्य संदर्भ में बहुघटक परिवहन प्रक्रियाओं को शामिल किया। मल्टी-कंपोनेंट ट्रांसपोर्ट के लिए: | ||
:<math>\mathbf{J}_i=\sum_j L_{ij} X_j \, ,</math> | :<math>\mathbf{J}_i=\sum_j L_{ij} X_j \, ,</math> | ||
जहाँ <math>\mathbf{J}_i</math> iवें भौतिक मात्रा (घटक) का प्रवाह है और <math>X_j</math> jवें संयुग्मी चर (थर्मोडायनामिक्स) है। | |||
[[ एन्ट्रापी | एन्ट्रापी]] घनत्व के डेरिवेटिव्स के स्पेस ग्रेडियेंट के रूप में परिवहन प्रक्रियाओं के लिए थर्मोडायनामिक बलों को ऑनसेजर द्वारा पेश किया गया था। <math>s</math> (उन्होंने उद्धरण चिह्नों या ड्राइविंग बल में शब्द बल का प्रयोग किया): | [[ एन्ट्रापी | एन्ट्रापी]] घनत्व के डेरिवेटिव्स के स्पेस ग्रेडियेंट के रूप में परिवहन प्रक्रियाओं के लिए थर्मोडायनामिक बलों को ऑनसेजर द्वारा पेश किया गया था। <math>s</math> (उन्होंने उद्धरण चिह्नों या ड्राइविंग बल में शब्द बल का प्रयोग किया): | ||
:<math>X_i= \nabla \frac {\partial s(n)}{\partial n_i}\, ,</math> | :<math>X_i= \nabla \frac {\partial s(n)}{\partial n_i}\, ,</math> | ||
जहाँ <math>n_i</math> थर्मोडायनामिक निर्देशांक हैं। | |||
गर्मी और बड़े पैमाने पर स्थानांतरण के लिए कोई भी ले सकता है <math>n_0=u</math> (आंतरिक ऊर्जा का घनत्व) और <math>n_i</math> की सांद्रता | गर्मी और बड़े पैमाने पर स्थानांतरण के लिए कोई भी ले सकता है <math>n_0=u</math> (आंतरिक ऊर्जा का घनत्व) और <math>n_i</math> की सांद्रता <math>i</math>वें घटक है । संगत प्रेरक बल स्पेस सदिश हैं | ||
: <math>X_0= \nabla \frac{1}{T}\ , \;\;\; X_i= - \nabla \frac{\mu_i}{T} \; (i >0) ,</math> चूंकि <math>\mathrm{d}s = \frac{1}{T} \,\mathrm{d}u-\sum_{i \geq 1} \frac{\mu_i}{T} \, {\rm d} n_i</math> | : <math>X_0= \nabla \frac{1}{T}\ , \;\;\; X_i= - \nabla \frac{\mu_i}{T} \; (i >0) ,</math> चूंकि <math>\mathrm{d}s = \frac{1}{T} \,\mathrm{d}u-\sum_{i \geq 1} \frac{\mu_i}{T} \, {\rm d} n_i</math> | ||
जहाँ T पूर्ण तापमान है और <math>\mu_i</math> की रासायनिक क्षमता है <math>i</math>वें घटक। यह जोर दिया जाना चाहिए कि अलग-अलग प्रसार समीकरण थोक गति के बिना मिश्रण या बड़े पैमाने पर परिवहन का वर्णन करते हैं। इसलिए, कुल दबाव की भिन्नता वाली शर्तों की उपेक्षा की जाती है। छोटे मिश्रणों के प्रसार और छोटे ग्रेडियेंट के लिए यह संभव है। | जहाँ T पूर्ण तापमान है और <math>\mu_i</math> की रासायनिक क्षमता है <math>i</math>वें घटक। यह जोर दिया जाना चाहिए कि अलग-अलग प्रसार समीकरण थोक गति के बिना मिश्रण या बड़े पैमाने पर परिवहन का वर्णन करते हैं। इसलिए, कुल दबाव की भिन्नता वाली शर्तों की उपेक्षा की जाती है। छोटे मिश्रणों के प्रसार और छोटे ग्रेडियेंट के लिए यह संभव है। | ||
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रैखिक ऑनसेजर समीकरणों के लिए, हमें थर्मोडायनामिक बलों को संतुलन के निकट रैखिक सन्निकटन में लेना चाहिए: | रैखिक ऑनसेजर समीकरणों के लिए, हमें थर्मोडायनामिक बलों को संतुलन के निकट रैखिक सन्निकटन में लेना चाहिए: | ||
:<math>X_i= \sum_{k \geq 0} \left.\frac{\partial^2 s(n)}{\partial n_i \, \partial n_k}\right|_{n=n^*} \nabla n_k \ ,</math> | :<math>X_i= \sum_{k \geq 0} \left.\frac{\partial^2 s(n)}{\partial n_i \, \partial n_k}\right|_{n=n^*} \nabla n_k \ ,</math> | ||
जहां के डेरिवेटिव <math>s</math> संतुलन पर गणना की जाती है <math>n^*</math> | जहां के डेरिवेटिव <math>s</math> संतुलन पर गणना की जाती है <math>n^*</math>काइनेटिक गुणांक का मैट्रिक्स <math>L_{ij}</math> सममित होना चाहिए (ऑनसेजर पारस्परिक संबंध) और [[ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स |सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] ([[ ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम |ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम]])। | ||
काइनेटिक गुणांक का मैट्रिक्स <math>L_{ij}</math> सममित होना चाहिए (ऑनसेजर पारस्परिक संबंध) और [[ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] ([[ ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम | ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम]] )। | |||
ट्रांसपोर्ट समीकरण हैं | |||
:<math>\frac{\partial n_i}{\partial t}= - \operatorname{div} \mathbf{J}_i =- \sum_{j\geq 0} L_{ij}\operatorname{div} X_j = \sum_{k\geq 0} \left[-\sum_{j\geq 0} L_{ij} \left.\frac{\partial^2 s(n)}{\partial n_j \, \partial n_k}\right|_{n=n^*}\right] \, \Delta n_k\ .</math> | :<math>\frac{\partial n_i}{\partial t}= - \operatorname{div} \mathbf{J}_i =- \sum_{j\geq 0} L_{ij}\operatorname{div} X_j = \sum_{k\geq 0} \left[-\sum_{j\geq 0} L_{ij} \left.\frac{\partial^2 s(n)}{\partial n_j \, \partial n_k}\right|_{n=n^*}\right] \, \Delta n_k\ .</math> | ||
यहाँ, सभी index {{nowrap|1=''i'', ''j'', ''k'' = 0, 1, 2, ...}} आंतरिक ऊर्जा (0) और विभिन्न घटकों से संबंधित हैं। वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति मैट्रिक्स है <math>D_{ik}</math> प्रसार (i,k > 0), थर्मोडिफ़्यूज़न (i > 0, k = 0 or k > 0, i = 0) और तापीय चालकता ({{nowrap|1=''i'' = ''k'' = 0}}) गुणांक। | यहाँ, सभी index {{nowrap|1=''i'', ''j'', ''k'' = 0, 1, 2, ...}} आंतरिक ऊर्जा (0) और विभिन्न घटकों से संबंधित हैं। वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति मैट्रिक्स है <math>D_{ik}</math> प्रसार (i,k > 0), थर्मोडिफ़्यूज़न (i > 0, k = 0 or k > 0, i = 0) और तापीय चालकता ({{nowrap|1=''i'' = ''k'' = 0}}) गुणांक। | ||
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[[ इज़ोटेर्मल प्रक्रिया | इज़ोटेर्मल प्रक्रिया]] के तहत टी = स्थिर। प्रासंगिक थर्मोडायनामिक क्षमता मुक्त ऊर्जा (या [[ मुक्त एन्ट्रापी | मुक्त एन्ट्रापी]] ) है। इज़ोटेर्मल डिफ्यूज़न के लिए थर्मोडायनामिक ड्राइविंग बल रासायनिक क्षमता के एंटीग्रेडिएंट हैं, <math>-(1/T)\,\nabla\mu_j</math>, और प्रसार गुणांक का मैट्रिक्स है | [[ इज़ोटेर्मल प्रक्रिया | इज़ोटेर्मल प्रक्रिया]] के तहत टी = स्थिर। प्रासंगिक थर्मोडायनामिक क्षमता मुक्त ऊर्जा (या [[ मुक्त एन्ट्रापी | मुक्त एन्ट्रापी]] ) है। इज़ोटेर्मल डिफ्यूज़न के लिए थर्मोडायनामिक ड्राइविंग बल रासायनिक क्षमता के एंटीग्रेडिएंट हैं, <math>-(1/T)\,\nabla\mu_j</math>, और प्रसार गुणांक का मैट्रिक्स है | ||
:<math>D_{ik}=\frac{1}{T}\sum_{j\geq 1} L_{ij} \left.\frac{\partial \mu_j(n,T)} { \partial n_k}\right|_{n=n^*}</math> | :<math>D_{ik}=\frac{1}{T}\sum_{j\geq 1} L_{ij} \left.\frac{\partial \mu_j(n,T)} { \partial n_k}\right|_{n=n^*}</math> | ||
( | (''i,k'' > 0) | ||
थर्मोडायनामिक बलों और गतिज गुणांक की परिभाषा में आंतरिक मनमानापन है क्योंकि वे अलग-अलग मापने योग्य नहीं हैं और केवल उनके संयोजन हैं <math display="inline">\sum_j L_{ij}X_j</math> मापा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऑनसेगर के मूल कार्य में<ref name="Onsager1931" />थर्मोडायनामिक बलों में अतिरिक्त गुणक टी शामिल है, जबकि सैद्धांतिक भौतिकी के पाठ्यक्रम में<ref> | थर्मोडायनामिक बलों और गतिज गुणांक की परिभाषा में आंतरिक मनमानापन है क्योंकि वे अलग-अलग मापने योग्य नहीं हैं और केवल उनके संयोजन हैं <math display="inline">\sum_j L_{ij}X_j</math> मापा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ऑनसेगर के मूल कार्य में<ref name="Onsager1931" /> थर्मोडायनामिक बलों में अतिरिक्त गुणक टी शामिल है, जबकि सैद्धांतिक भौतिकी के पाठ्यक्रम में<ref> | ||
{{cite book | {{cite book | ||
|author=[[Lev Landau|L.D. Landau]], [[Evgeny Lifshitz|E.M. Lifshitz]] | |author=[[Lev Landau|L.D. Landau]], [[Evgeny Lifshitz|E.M. Lifshitz]] | ||
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}}</ref> इस गुणक को छोड़ दिया जाता है लेकिन थर्मोडायनामिक बलों का चिह्न विपरीत होता है। ये सभी परिवर्तन गुणांकों में संबंधित परिवर्तनों के पूरक हैं और मापने योग्य मात्राओं को प्रभावित नहीं करते हैं। | }}</ref> इस गुणक को छोड़ दिया जाता है लेकिन थर्मोडायनामिक बलों का चिह्न विपरीत होता है। ये सभी परिवर्तन गुणांकों में संबंधित परिवर्तनों के पूरक हैं और मापने योग्य मात्राओं को प्रभावित नहीं करते हैं। | ||
=== | === गैर विकर्ण प्रसार अरैखिक होना चाहिए === | ||
रैखिक अपरिवर्तनीय ऊष्मप्रवैगिकी ( | <blockquote>रैखिक अपरिवर्तनीय ऊष्मप्रवैगिकी (ऑनसेगर) की औपचारिकता के रूप में रैखिक प्रसार समीकरणों की प्रणाली उत्पन्न करती है | ||
:<math>\frac{\partial c_i}{\partial t} = \sum_j D_{ij} \, \Delta c_j.</math> | :<math>\frac{\partial c_i}{\partial t} = \sum_j D_{ij} \, \Delta c_j.</math> | ||
यदि प्रसार गुणांक का मैट्रिक्स विकर्ण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली विभिन्न घटकों के लिए अलग-अलग फ़िक के समीकरणों का एक संग्रह है। मान लें कि प्रसार गैर-विकर्ण है, उदाहरण के लिए, <math>D_{12} \neq 0</math>, और राज्य के साथ विचार करें <math>c_2 = \cdots = c_n = 0</math>. इस अवस्था में, <math>\partial c_2 / \partial t = D_{12} \, \Delta c_1</math>. यदि <math>D_{12} \, \Delta c_1(x) < 0</math> कुछ बिंदुओं पर, फिर <math>c_2(x)</math> कम समय में इन बिंदुओं पर ऋणात्मक हो जाता है। इसलिए, रैखिक गैर-विकर्ण प्रसार सांद्रता की सकारात्मकता को संरक्षित नहीं करता है। बहुघटक प्रसार के गैर-विकर्ण समीकरण गैर-रैखिक होने चाहिए।<ref name="GorbanMMNP2011" /> | यदि प्रसार गुणांक का मैट्रिक्स विकर्ण है, तो समीकरणों की यह प्रणाली विभिन्न घटकों के लिए अलग-अलग फ़िक के समीकरणों का एक संग्रह है। मान लें कि प्रसार गैर-विकर्ण है, उदाहरण के लिए, <math>D_{12} \neq 0</math>, और राज्य के साथ विचार करें <math>c_2 = \cdots = c_n = 0</math>. इस अवस्था में, <math>\partial c_2 / \partial t = D_{12} \, \Delta c_1</math>. यदि <math>D_{12} \, \Delta c_1(x) < 0</math> कुछ बिंदुओं पर, फिर <math>c_2(x)</math> कम समय में इन बिंदुओं पर ऋणात्मक हो जाता है। इसलिए, रैखिक गैर-विकर्ण प्रसार सांद्रता की सकारात्मकता को संरक्षित नहीं करता है। बहुघटक प्रसार के गैर-विकर्ण समीकरण गैर-रैखिक होने चाहिए।<ref name="GorbanMMNP2011" /> | ||
=== आइंस्टीन की गतिशीलता और टेरेल सूत्र === | === आइंस्टीन की गतिशीलता और टेरेल सूत्र === | ||
[[ आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) | आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)]] प्रसार गुणांक और गतिशीलता को जोड़ता है (कण के टर्मिनल बहाव वेग का एक लागू बल का अनुपात)<ref>S. Bromberg, K.A. Dill (2002), [https://books.google.com/books?id=hdeODhjp1bUC&pg=PA327 Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology], Garland Science, {{ISBN|0815320515}}.</ref> | [[ आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) | आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत)]] प्रसार गुणांक और गतिशीलता को जोड़ता है (कण के टर्मिनल बहाव वेग का एक लागू बल का अनुपात)<ref>S. Bromberg, K.A. Dill (2002), [https://books.google.com/books?id=hdeODhjp1bUC&pg=PA327 Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology], Garland Science, {{ISBN|0815320515}}.</ref> | ||
:<math> D = \frac{\mu \, k_\text{B} T}{q}, </math> | :<math> D = \frac{\mu \, k_\text{B} T}{q}, </math> | ||
जहां D प्रसार | जहां D प्रसार स्थिरांक है, μ गतिशीलता है, k<sub>B</sub> बोल्ट्जमैन का स्थिरांक है, T परम तापमान है, और q प्राथमिक आवेश है, अर्थात एक इलेक्ट्रॉन का आवेश है। | ||
नीचे, रासायनिक क्षमता μ और गतिशीलता को एक ही सूत्र में संयोजित करने के लिए, हम गतिशीलता के लिए अंकन | नीचे, रासायनिक क्षमता μ और गतिशीलता को एक ही सूत्र में संयोजित करने के लिए, हम गतिशीलता के लिए अंकन <math>\mathfrak{m}</math> का उपयोग करते हैं। | ||
गतिशीलता-आधारित दृष्टिकोण को आगे टी. टेओरेल द्वारा लागू किया गया था।<ref>{{cite journal|author=T. Teorell|pmc=1076553|pmid=16587950|year=1935|title=आयनिक वितरण पर "प्रसार प्रभाव" पर अध्ययन। कुछ सैद्धांतिक विचार|volume=21|issue=3|pages=152–61|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|bibcode = 1935PNAS...21..152T |doi = 10.1073/pnas.21.3.152 |doi-access=free}}</ref> 1935 में, उन्होंने झिल्ली के माध्यम से आयनों के प्रसार का अध्ययन किया। उन्होंने सूत्र में अपने दृष्टिकोण का सार तैयार किया: | गतिशीलता-आधारित दृष्टिकोण को आगे टी. टेओरेल द्वारा लागू किया गया था।<ref>{{cite journal|author=T. Teorell|pmc=1076553|pmid=16587950|year=1935|title=आयनिक वितरण पर "प्रसार प्रभाव" पर अध्ययन। कुछ सैद्धांतिक विचार|volume=21|issue=3|pages=152–61|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America|bibcode = 1935PNAS...21..152T |doi = 10.1073/pnas.21.3.152 |doi-access=free}}</ref> 1935 में, उन्होंने झिल्ली के माध्यम से आयनों के प्रसार का अध्ययन किया। उन्होंने सूत्र में अपने दृष्टिकोण का सार तैयार किया: | ||
: प्रवाह गतिशीलता × एकाग्रता × बल प्रति ग्राम-आयन के बराबर है। | : प्रवाह गतिशीलता × एकाग्रता × बल प्रति ग्राम-आयन के बराबर है। | ||
यह तथाकथित | यह तथाकथित टेओरेल सूत्र है। शब्द "ग्राम-आयन" ("ग्राम-कण") का उपयोग उस पदार्थ की मात्रा के लिए किया जाता है जिसमें एवोगैड्रो की संख्या में आयन (कण) होते हैं। सामान्य आधुनिक शब्द [[ तिल (इकाई) | तिल (इकाई)]] है। | ||
इज़ोटेर्मल | इज़ोटेर्मल परिस्थितियों में बल के दो भाग होते हैं: | ||
# एकाग्रता प्रवणता के कारण प्रसार बल: <math>-RT \frac{1}{n} \, \nabla n = -RT \, \nabla (\ln(n/n^\text{eq}))</math>. | # एकाग्रता प्रवणता के कारण प्रसार बल: <math>-RT \frac{1}{n} \, \nabla n = -RT \, \nabla (\ln(n/n^\text{eq}))</math>. | ||
# विद्युत संभावित ढाल के कारण इलेक्ट्रोस्टैटिक बल: <math>q \, \nabla \varphi</math>. | # विद्युत संभावित ढाल के कारण इलेक्ट्रोस्टैटिक बल: <math>q \, \nabla \varphi</math>. | ||
यहाँ R गैस स्थिरांक है, T | यहाँ R गैस स्थिरांक है, T पूर्ण तापमान है, n सघनता है, संतुलन सान्द्रता को एक सुपरस्क्रिप्ट "eq" द्वारा चिह्नित किया जाता है, q आवेश है और φ विद्युत क्षमता है। | ||
फ्लक्स के लिए टेरेल | फ्लक्स के लिए टेरेल अभिव्यक्ति में टोरेल फॉर्मूला और ऑनसेगर कानूनों के बीच सरल लेकिन महत्वपूर्ण अंतर एकाग्रता कारक है। आइंस्टीन-टेरेल दृष्टिकोण में, यदि परिमित बल के लिए एकाग्रता शून्य हो जाती है तो फ्लक्स भी शून्य हो जाता है, जबकि ऑनसेजर समीकरण इस सरल और भौतिक रूप से स्पष्ट नियम का उल्लंघन करते हैं। | ||
इज़ोटेर्मल स्थितियों के तहत गैर-परिपूर्ण प्रणालियों के लिए टेरेल सूत्र का सामान्य सूत्रीकरण है<ref name="GorbanMMNP2011" />:<math>\mathbf{J} = \mathfrak{m} \exp\left(\frac{\mu - \mu_0}{RT}\right)(-\nabla \mu + (\text{external force per mole})),</math> | इज़ोटेर्मल स्थितियों के तहत गैर-परिपूर्ण प्रणालियों के लिए टेरेल सूत्र का सामान्य सूत्रीकरण है<ref name="GorbanMMNP2011" />: <math>\mathbf{J} = \mathfrak{m} \exp\left(\frac{\mu - \mu_0}{RT}\right)(-\nabla \mu + (\text{external force per mole})),</math> | ||
जहां μ रासायनिक क्षमता है, μ<sub>0</sub> रासायनिक क्षमता का मानक मूल्य है। | जहां μ रासायनिक क्षमता है, μ<sub>0</sub> रासायनिक क्षमता का मानक मूल्य है। | ||
भाव <math>a = \exp\left(\frac{\mu - \mu_0}{RT}\right)</math> तथाकथित [[ गतिविधि (रसायन विज्ञान) | गतिविधि (रसायन विज्ञान)]] है। यह एक गैर-आदर्श मिश्रण में प्रजातियों की प्रभावी एकाग्रता को मापता है। इस संकेतन में फ्लक्स के लिए टेरेल सूत्र का बहुत ही सरल रूप है<ref name="GorbanMMNP2011" />:<math>\mathbf{J} = \mathfrak{m} a (-\nabla \mu + (\text{external force per mole})).</math> | भाव <math>a = \exp\left(\frac{\mu - \mu_0}{RT}\right)</math> तथाकथित [[ गतिविधि (रसायन विज्ञान) |गतिविधि (रसायन विज्ञान)]] है। यह एक गैर-आदर्श मिश्रण में प्रजातियों की प्रभावी एकाग्रता को मापता है। इस संकेतन में फ्लक्स के लिए टेरेल सूत्र का बहुत ही सरल रूप है<ref name="GorbanMMNP2011" />: <math>\mathbf{J} = \mathfrak{m} a (-\nabla \mu + (\text{external force per mole})).</math> | ||
गतिविधि के मानक व्युत्पत्ति में एक सामान्यीकरण कारक और छोटी सांद्रता शामिल है <math>a = n/n^\ominus + o(n/n^\ominus)</math>, कहां <math>n^\ominus</math> मानक एकाग्रता है। इसलिए, प्रवाह के लिए यह सूत्र सामान्यीकृत आयाम रहित मात्रा के प्रवाह का वर्णन करता है <math>n/n^\ominus</math>: | गतिविधि के मानक व्युत्पत्ति में एक सामान्यीकरण कारक और छोटी सांद्रता शामिल है <math>a = n/n^\ominus + o(n/n^\ominus)</math>, कहां <math>n^\ominus</math> मानक एकाग्रता है। इसलिए, प्रवाह के लिए यह सूत्र सामान्यीकृत आयाम रहित मात्रा के प्रवाह का वर्णन करता है <math>n/n^\ominus</math>: | ||
:<math>\frac{\partial (n/n^\ominus)}{\partial t} = \nabla \cdot [\mathfrak{m} a (\nabla \mu - (\text{external force per mole}))].</math> | :<math>\frac{\partial (n/n^\ominus)}{\partial t} = \nabla \cdot [\mathfrak{m} a (\nabla \mu - (\text{external force per mole}))].</math> | ||
=== [[ उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय | उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय]] === | === [[ उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय | उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय]] === | ||
[[ लैंग्विन समीकरण | लैंग्विन समीकरण]] पर आधारित उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय आइंस्टीन मॉडल को बैलिस्टिक | [[ लैंग्विन समीकरण |लैंग्विन समीकरण]] पर आधारित उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय आइंस्टीन मॉडल को बैलिस्टिक टाइम स्केल तक विस्तारित करने के लिए विकसित किया गया है। <ref name="Bian_SoftMatt">{{Cite journal| author1 = Bian, Xin | author2 = Kim, Changho| author3 = Karniadakis, George Em|date=2016-08-14| title = ब्राउनियन गति के 111 वर्ष| journal = Soft Matter | volume = 12 | issue = 30 | pages = 6331–6346 | doi = 10.1039/c6sm01153e | pmc = 5476231| pmid = 27396746| bibcode = 2016SMat...12.6331B}}</ref> लैंगविन के अनुसार, समीकरण न्यूटन के गति के दूसरे नियम पर आधारित है | ||
:<math>m \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{\mu}\frac{dx}{dt} + F(t) </math> | :<math>m \frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{1}{\mu}\frac{dx}{dt} + F(t) </math> | ||
जहाँ | |||
* | * x स्थिति है। | ||
* μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है। | * μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है। | ||
* m कण का द्रव्यमान है। | * m कण का द्रव्यमान है। | ||
* F कण पर लगाया गया यादृच्छिक बल है। | * F कण पर लगाया गया यादृच्छिक बल है। | ||
* | * t समय है। | ||
इस समीकरण को हल करते हुए, किसी ने लंबे समय की सीमा में समय-निर्भर प्रसार स्थिरांक प्राप्त किया और जब कण आसपास के तरल पदार्थ की तुलना में काफी सघन होता है,<ref name="Bian_SoftMatt" /> | इस समीकरण को हल करते हुए, किसी ने लंबे समय की सीमा में समय-निर्भर प्रसार स्थिरांक प्राप्त किया और जब कण आसपास के तरल पदार्थ की तुलना में काफी सघन होता है,<ref name="Bian_SoftMatt" /> | ||
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:<math> D(t) = \mu \, k_{\rm B} T(1-e^{-t/(m\mu)}) </math> | :<math> D(t) = \mu \, k_{\rm B} T(1-e^{-t/(m\mu)}) </math> | ||
कहां | कहां | ||
* | * ''k''<sub>B</sub> बोल्ट्जमैन स्थिरांक है; | ||
* | * ''T'' पूर्ण तापमान है। | ||
* μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है। | * μ द्रव या गैस में कण की गतिशीलता है, जिसकी गणना आइंस्टीन संबंध (गतिज सिद्धांत) का उपयोग करके की जा सकती है। | ||
* m कण का द्रव्यमान है। | * m कण का द्रव्यमान है। | ||
* | * t समय है। | ||
==== | ==== बहुघटक प्रसार के लिए टेरेल सूत्र ==== | ||
विसरण बल की ऑनसेजर परिभाषा के संयोजन के साथ टेरेल सूत्र देता है | विसरण बल की ऑनसेजर परिभाषा के संयोजन के साथ टेरेल सूत्र देता है | ||
:<math>\mathbf{J}_i = \mathfrak{m_i} a_i \sum_j L_{ij} X_j,</math> | :<math>\mathbf{J}_i = \mathfrak{m_i} a_i \sum_j L_{ij} X_j,</math> | ||
Revision as of 15:54, 9 January 2023
File:Diffusion.svg
कुछ कण एक गिलास पानी में विलयन (रसायन विज्ञान) हैं। सबसे पहले, सभी कण कांच के एक शीर्ष कोने के पास होते हैं। यदि कण पानी में बेतरतीब ढंग से इधर-उधर (फैलाना) घूमते हैं, तो वे अंततः उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से कम, और संगठित (प्रसार जारी रहता है, लेकिन शुद्ध प्रवाह के बिना) बेतरतीब ढंग से और समान रूप से वितरित हो जाते हैं।
File:Diffusion v2 20101120.ogv
एक जेल में पानी में घुले डाई के विसरण का टाइम लैप्स वीडियो।
File:DiffusionMicroMacro.gif
सूक्ष्म और स्थूल दृष्टिकोण से प्रसार। प्रारंभ में, एक बाधा (बैंगनी रेखा) के बाईं ओर विलेय अणु होते हैं और दाईं ओर कोई नहीं होता है। बाधा हटा दी जाती है, और विलेय पूरे कंटेनर को भरने के लिए विसरित हो जाता है। शीर्ष: एक अणु बेतरतीब ढंग से इधर-उधर घूमता है। मध्य: अधिक अणुओं के साथ, एक सांख्यिकीय प्रवृत्ति है कि विलेय कंटेनर को अधिक से अधिक समान रूप से भरता है। नीचे: विलेय अणुओं की एक विशाल संख्या के साथ, सभी यादृच्छिकता समाप्त हो गई है: विलेय सुचारू रूप से और निश्चित रूप से उच्च-सघनता वाले क्षेत्रों से कम-सांद्रता वाले क्षेत्रों में स्थानांतरित होता प्रतीत होता है। अणुओं को दाहिनी ओर धकेलने वाला कोई सूक्ष्म बल नहीं है, लेकिन नीचे के पैनल में एक प्रतीत होता है। इस आभासी बल को एंट्रोपिक बल कहते हैं।
File:Blausen 0315 Diffusion.png
पानी में बैंगनी रंग के प्रसार का त्रि-आयामी प्रतिपादन।
प्रसार आम तौर पर किसी भी चीज़ (उदाहरण के लिए, परमाणु, आयन, अणु, ऊर्जा) का शुद्ध संचलन है जो आमतौर पर उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से कम सांद्रता वाले क्षेत्र में होता है। प्रसार गिब्स मुक्त ऊर्जा या रासायनिक क्षमता में प्रवणता द्वारा संचालित होता है। स्पिनोडल अपघटन की तरह, कम सांद्रता वाले क्षेत्र से उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र में "चढ़ाई" को फैलाना संभव है।
प्रसार की अवधारणा व्यापक रूप से कई क्षेत्रों में उपयोग की जाती है, जिसमें भौतिकी (कण प्रसार), रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान, समाजशास्त्र, अर्थशास्त्र और वित्त (लोगों, विचारों और मूल्य मूल्यों का प्रसार) शामिल हैं। प्रसार का केंद्रीय विचार, हालांकि, इन सभी के लिए सामान्य है: एक पदार्थ या संग्रह जो प्रसार से गुजर रहा है वह उस बिंदु या स्थान से फैलता है जहां उस पदार्थ या संग्रह की उच्च सांद्रता होती है।
प्रवणता एक मात्रा के मूल्य में परिवर्तन है, उदाहरण के लिए, एकाग्रता, दबाव, या तापमान दूसरे चर में परिवर्तन के साथ, आमतौर पर दूरी। किसी दूरी पर सान्द्रता में परिवर्तन को सान्द्रता प्रवणता कहते हैं, दूरी में दाब में परिवर्तन को दाब प्रवणता कहते हैं, और दूरी में तापमान में परिवर्तन को ताप प्रवणता कहते हैं।
प्रसार शब्द लैटिन शब्द से निकला है, जिसके अंतर्गत अंतर है, जिसका अर्थ है "फैलना"।
प्रसार की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि यह कण यादृच्छिक चलने पर निर्भर करता है, और निर्देशित बल्क गति की आवश्यकता के बिना मिश्रण या बड़े पैमाने पर परिवहन में परिणाम होता है। बल्क मोशन, या बल्क फ्लो, संवहन की विशेषता है।[1] संवहन शब्द का प्रयोग दोनों परिवहन परिघटनाओं के संयोजन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।
यदि किसी प्रसार प्रक्रिया को फ़िक के नियमों द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो इसे सामान्य प्रसार (या फ़िकियन प्रसार) कहा जाता है; अन्यथा, इसे विषम प्रसार (या गैर-फ़िकियन प्रसार) कहा जाता है।
प्रसार की सीमा के बारे में बात करते समय, दो अलग-अलग परिदृश्यों में दो लंबाई के पैमाने का उपयोग किया जाता है:
- आवेगी बिंदु स्रोत की ब्राउनियन गति (उदाहरण के लिए, इत्र का एक एकल स्प्रे) - इस बिंदु से औसत वर्ग विस्थापन का वर्गमूल। फ़िकियन प्रसार में, यह है, जहाँ इस ब्राउनियन गति का आयाम है;
- आयाम में निरंतर एकाग्रता स्रोत-प्रसार की लंबाई। फिकियन विसरण में, यह है।