परिमित अंतर

परिमित अंतर रूप की गणितीय अभिव्यक्ति है f (x + b) − f (x + a)। यदि एक परिमित अंतर b − a से विभाजित किया जाता है, अंतर भागफल मिलता है। परिमित भिन्नताओं द्वारा अवकलज का अनुमान अवकल समीकरण के संख्यात्मक विश्लेषण समाधान के लिएपरिमित अंतर विधि यों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है विशेष रूप से सीमा मूल्य समस्या के लिए निभाता है।

अंतरसंकारक, सामान्यतः $\Delta$ के रूप में जाना जाता है, वह संकारक (गणित) है जो किसी फलन f को $\Delta [f]$ द्वारा परिभाषित करता है।

$\Delta [f](x)=f(x+1)-f(x).$

अवकल समीकरण एक फलनिक समीकरण है जिसमें परिमित अंतर संकारक उसी तरह सम्मलित होता है जैसे एक अवकल समीकरण में अवकलज सम्मलित होते हैं। अवकल समीकरण और अवकल समीकरण के बीच कई समानताएं हैं, विशेष रूप से हल करने के तरीकों में। कुछ पुनरावृत्ति संबंधों को परिमित अंतरों के साथ पुनरावृत्ति संकेतन को बदलकर अवकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, अवकलज का अनुमान लगाने के लिए परिमित अंतर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, और "परिमित अंतर" शब्द का उपयोग अधिकांशतः "अवकलज के परिमित अंतर सन्निकटन" के संक्षिप्त रूप में किया जाता है। परिमित अंतर सन्निकटन ऊपर नियोजित शब्दावली में परिमित अंतर भागफल हैं।

1715 में ब्रुक टेलर द्वारा परिमित अंतर पेश किए गए थे और जॉर्ज बूले(1860), एल.एम. मिल्ने-थॉमसन (1933), और केरोली जॉर्डन (1939) द्वारा फलन में सार स्व-स्थायी गणितीय वस्तुओं के रूप में भी अध्ययन किया गया है। परिमित अंतर अपनी उत्पत्ति को जोस्ट बर्गी के एल्गोरिदम (c. 1592) में से एक में खोजते हैं और आइजैक न्यूटन सहित अन्य लोगों द्वारा काम करते हैं। परिमित अंतरों की औपचारिक गणना को अत्युणु की गणना के विकल्प के रूप में देखा जा सकता है।

मूल प्रकार

सामान्यतः तीन बुनियादी प्रकारों पर विचार किया जाता है: अग्र, पश्च और केंद्रीय परिमित अंतर।

अग्रांतर सूत्र, $\Delta _{h}[f],$ एक फलन f के रूप में परिभाषित फलन है

$\Delta _{h}[f](x)=f(x+h)-f(x).$

अनुप्रयोग के आधार पर, रिक्ति h परिवर्तनशील या स्थिर हो सकता है। जब छोड़ा गया, h 1 लिया जाता है, वह है,

$\Delta [f](x)=\Delta _{1}[f](x)=f(x+1)-f(x).$

पश्च अंतर फलन मानों x और x − h का उपयोग करता है , x + h औरx के मानों के अतिरिक्त::

$\nabla _{h}[f](x)=f(x)-f(x-h)=\Delta _{h}[f](x-h).$

अंत में, केंद्रीय अंतर द्वारा दिया जाता है

$\delta _{h}[f](x)=f(x+{\tfrac {h}{2}})-f(x-{\tfrac {h}{2}})=\Delta _{h/2}[f](x)+\nabla _{h/2}[f](x).$

अवकलज के साथ संबंध

परिमित अंतर अधिकांशतः व्युत्पन्न के सन्निकटन के रूप में प्रयोग किया जाता है, सामान्यतः संख्यात्मक अवकलन में।

फलन का व्युत्पन्न f एक बिंदु पर x फलन की सीमा द्वारा परिभाषित किया गया है।

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.$

यदि h शून्य के करीब पहुंचने के अतिरिक्त निश्चित (गैर-शून्य) मान है, तो उपरोक्त समीकरण के दाहिने हाथ की ओर लिखा जाएगा

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}={\frac {\Delta _{h}[f](x)}{h}}.$

इसलिए, जब h छोटा है अग्र के अंतर से विभाजित h अवकलज का अनुमान लगाता है। इस सन्निकटन में त्रुटि टेलर के प्रमेय से प्राप्त की जा सकती है। ये मानते हुए f दो बार अवकलनीय है, हमारे पास है

${\displaystyle }$