अनुकूल माध्य: Difference between revisions

Revision as of 17:36, 2 January 2023

गणित में, हार्मोनिक माध्य औसत के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत दर (गणित)^[1] वांछित है।

हार्मोनिक माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का हार्मोनिक माध्य है

\left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.

परिभाषा

धनात्मक वास्तविक संख्याओं का हार्मोनिक माध्य H $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है

H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}\right)^{-1}.

उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र हार्मोनिक माध्य को व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है।

निम्नलिखित सूत्र से:

H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.

यह स्पष्ट है कि हार्मोनिक माध्य समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य से संबंधित है। यह धनात्मक आदानों के लिए समान्तर माध्य का पारस्परिक द्वैतता (गणित) है:

1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})

हार्मोनिक माध्य एक शूर-अवतल फलन है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी धनात्मक सेट के लिए, $\min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})$ . इस प्रकार, हार्मोनिक माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर मनमाने ढंग से बड़ा नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)।

हार्मोनिक माध्य अवतल फलन भी है, जो शूर-अवतलता से भी अधिक प्रबल गुण है। चूंकि केवल धनात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है।

अन्य साधनों से संबंध

Geometric proof without words that max (a,b) > root mean square (RMS) or quadratic mean (QM) > arithmetic mean (AM) > geometric mean (GM) > harmonic mean (HM) > min (a,b) of two distinct positive numbers a and b ^[2]

हार्मोनिक माध्य तीन पायथागॉरियन साधनों में से एक है। सभी धनात्मक डेटा सेटों के लिए कम से कम एक जोड़ी गैर-बराबर मान, हार्मोनिक माध्य हमेशा तीन साधनों में से कम से कम होता है,^[3] जबकि समान्तर माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन साधन हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं; उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के हार्मोनिक, ज्यामितीय और अंकगणितीय साधन सभी 2 हैं।)

यह विशेष मामला एम₋₁ शक्ति का मतलब:

H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}

चूंकि संख्याओं की सूची का हार्मोनिक माध्य सूची के कम से कम तत्वों की ओर दृढ़ता से झुकता है, यह बड़े आउटलेयर के प्रभाव को कम करने और छोटे लोगों के प्रभाव को बढ़ाने के लिए (अंकगणित माध्य की तुलना में) जाता है।

समान्तर माध्य अधिकांशतः गलती से हार्मोनिक माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है।^[4] गति के उदाहरण #Examples उदाहरण के लिए, 40 का समान्तर माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है।

हार्मोनिक माध्य अन्य पायथागॉरियन साधनों से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के समान्तर माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; और इसी तरह। अंश, n को छोड़कर, जो समान्तर माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार एन-वें हार्मोनिक माध्य एन-वें ज्यामितीय और अंकगणितीय साधनों से संबंधित है। सामान्य सूत्र है

H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.

यदि गैर-समान संख्याओं का एक सेट एक माध्य-संरक्षण प्रसार के अधीन है - अर्थात, सेट के दो या दो से अधिक तत्व समान्तर माध्य को अपरिवर्तित छोड़ते हुए एक दूसरे से अलग हो जाते हैं - तब हार्मोनिक माध्य हमेशा घटता है।^[5]

दो या तीन संख्याओं का हार्मोनिक माध्य

दो नंबर

File:MathematicalMeans.svg

तीन पायथागॉरियन का एक ज्यामितीय निर्माण दो संख्याओं, ए और बी के माध्यम से होता है। हारमोनिक माध्य को बैंगनी रंग में H द्वारा निरूपित किया जाता है, जबकि समान्तर माध्य A को लाल रंग में और ज्यामितीय माध्य को नीले रंग में G द्वारा दर्शाया जाता है। क्यू चौथे माध्य, द्विघात माध्य को दर्शाता है। चूँकि एक कर्ण हमेशा एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा से अधिक लंबा होता है, आरेख दर्शाता है कि Q > A > G > H.

सिर्फ दो नंबरों के विशेष मामले के लिए, $x_{1}$ और $x_{2}$ , हार्मोनिक माध्य लिखा जा सकता है

H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}\qquad

या

\qquad {\frac {1}{H}}={\frac {(1/x_{1})+(1/x_{2})}{2}}.

इस विशेष मामले में, हार्मोनिक माध्य समान्तर माध्य से संबंधित है $A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}$ और ज्यामितीय माध्य $G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},$ द्वारा

H={\frac {G^{2}}{A}}=G\left({\frac {G}{A}}\right).

तब से ${\tfrac {G}{A}}\leq 1$ अंकगणित और गुणोत्तर माध्य की असमानता से, यह n = 2 मामले के लिए दिखाता है कि H ≤ G (एक संपत्ति जो वास्तव में सभी n के लिए है)। इसका अनुसरण भी करता है $G={\sqrt {AH}}$ , जिसका अर्थ है कि दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके अंकगणितीय और हार्मोनिक साधनों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

तीन नंबर

तीन संख्याओं के विशेष मामले के लिए, $x_{1}$ , $x_{2}$ और $x_{3}$ , हार्मोनिक माध्य लिखा जा सकता है

H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.

तीन धनात्मक संख्याएँ H, G, और A क्रमशः तीन धनात्मक संख्याओं के हार्मोनिक, ज्यामितीय और अंकगणितीय साधन हैं यदि और केवल यदि^[6]^{: p.74, #1834} निम्नलिखित असमानता रखती है

{\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.

भारित हार्मोनिक माध्य

यदि वजन समारोह का एक सेट $w_{1}$ , ..., $w_{n}$ डेटासेट से जुड़ा हुआ है $x_{1}$ , ..., $x_{n}$ , भारित हार्मोनिक माध्य द्वारा परिभाषित किया गया है ^[7]

H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.

अभारित हार्मोनिक माध्य को विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है जहां सभी भार समान होते हैं।

उदाहरण

भौतिकी में

औसत गति

दर (गणित) और अनुपात से जुड़ी कई स्थितियों में, हार्मोनिक माध्य सही औसत प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वाहन एक निश्चित दूरी d बाहर की ओर गति x (जैसे 60 किमी/घंटा) से यात्रा करता है और उसी दूरी को y गति (जैसे 20 किमी/घंटा) से वापस करता है, तो इसकी औसत गति x का हार्मोनिक माध्य है और y (30 किमी/घंटा), समान्तर माध्य (40 किमी/घंटा) नहीं। कुल यात्रा का समय वही है जैसे कि उसने उस औसत गति से पूरी दूरी तय की थी। इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:^[8] पूरी यात्रा के लिए औसत गति = <बड़ा>Total distance traveled/Sum of time for each segment</बड़ा> = 2d/d/x + d/y = 2/1/x+1/y हालाँकि, यदि वाहन एक निश्चित समय के लिए गति x पर और फिर समान समय के लिए गति y पर यात्रा करता है, तो इसकी औसत गति x और y का समान्तर माध्य है, जो उपरोक्त उदाहरण में 40 किमी/ एच।

पूरी यात्रा के लिए औसत गति = <बड़ा>Total distance traveled/Sum of time for each segment</बड़ा> = xt+yt/2t = x+y/2 एक ही सिद्धांत दो से अधिक खंडों पर लागू होता है: अलग-अलग गति पर उप-यात्राओं की एक श्रृंखला दी गई है, यदि प्रत्येक उप-यात्रा समान दूरी तय करती है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गति का हार्मोनिक माध्य है; और यदि प्रत्येक उप-यात्रा में समान समय लगता है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गतियों का समान्तर माध्य है। (यदि कोई भी मामला नहीं है, तो भारित हार्मोनिक माध्य या भारित समान्तर माध्य की आवश्यकता होती है। समान्तर माध्य के लिए, यात्रा के प्रत्येक भाग की गति उस भाग की अवधि से भारित होती है, जबकि हार्मोनिक माध्य के लिए संगत वजन दूरी है। दोनों ही स्थितियों में, परिणामी सूत्र कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के लिए कम हो जाता है।)

चूंकि, दूरी द्वारा भार के मामले में हार्मोनिक माध्य के उपयोग से बचा जा सकता है। समस्या को यात्रा की धीमी गति ज्ञात करने के रूप में प्रस्तुत करें जहाँ धीमापन (घंटे प्रति किलोमीटर में) गति का व्युत्क्रम है। जब यात्रा की धीमी गति पाई जाती है, तो इसे उलट दें जिससे कि यात्रा की वास्तविक औसत गति का पता लगाया जा सके। प्रत्येक यात्रा खंड i के लिए, सुस्ती s_i = 1/गति_i. फिर s का भारित समान्तर माध्य लें_iका उनकी संबंधित दूरियों द्वारा भारित किया जाता है (वैकल्पिक रूप से सामान्यीकृत भारों के साथ जिससे कि उन्हें यात्रा की लंबाई से विभाजित करके उनका योग 1 हो जाए)। यह सही औसत सुस्ती (प्रति किलोमीटर समय में) देता है। यह पता चला है कि यह प्रक्रिया, जो हार्मोनिक माध्य के ज्ञान के बिना की जा सकती है, उसी गणितीय संचालन के बराबर होती है, जैसा कि हार्मोनिक माध्य का उपयोग करके इस समस्या को हल करने में उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार यह दिखाता है कि इस मामले में हार्मोनिक माध्य क्यों काम करता है।

घनत्व

इसी तरह, यदि कोई मिश्रधातु के घनत्व को उसके घटक तत्वों और उनके द्रव्यमान अंशों (या, समतुल्य, द्रव्यमान द्वारा प्रतिशत) के घनत्व का अनुमान लगाना चाहता है, तो मिश्र धातु का अनुमानित घनत्व (परमाणु के कारण आम तौर पर मामूली मात्रा में परिवर्तन को छोड़कर) पैकिंग प्रभाव) व्यक्तिगत घनत्व का भारित हार्मोनिक माध्य है, भारित समान्तर माध्य के अतिरिक्त द्रव्यमान द्वारा भारित होता है, जैसा कि पहली बार में उम्मीद की जा सकती है। भारित समान्तर माध्य का उपयोग करने के लिए, घनत्वों को आयतन द्वारा भारित करना होगा। द्रव्यमान इकाइयों को तत्व द्वारा लेबल करते हुए समस्या का आयामी विश्लेषण लागू करना और यह सुनिश्चित करना कि केवल तत्व-द्रव्यमान रद्द करना ही इसे स्पष्ट करता है।

बिजली

यदि कोई दो विद्युत प्रतिरोधों को समानांतर में जोड़ता है, एक का प्रतिरोध x (जैसे, 60 Ohm|Ω) और एक का प्रतिरोध y (जैसे, 40 Ω), तो प्रभाव वैसा ही होता है जैसे कि एक ही प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधों का उपयोग किया गया हो , दोनों x और y (48 Ω) के हार्मोनिक माध्य के बराबर: समतुल्य प्रतिरोध, दोनों ही स्थितियों में, 24 Ω (हार्मोनिक माध्य का आधा) है। यही सिद्धांत श्रृंखला में संधारित्र या समानांतर में इंडिकेटर्स पर लागू होता है।

चूंकि, यदि कोई प्रतिरोधों को श्रृंखला में जोड़ता है, तो औसत प्रतिरोध x और y (50 Ω) का समान्तर माध्य होता है, कुल प्रतिरोध इसके दोगुने के बराबर होता है, x और y (100 Ω) का योग। यह सिद्धांत समानांतर में कैपेसिटर या श्रृंखला में प्रारंभ करनेवाला्स पर लागू होता है।

पिछले उदाहरण की तरह, यही सिद्धांत तब लागू होता है जब दो से अधिक प्रतिरोधक, कैपेसिटर या इंडिकेटर्स जुड़े होते हैं, बशर्ते कि सभी समानांतर में हों या सभी श्रृंखला में हों।

अर्धचालक की चालकता प्रभावी द्रव्यमान को तीन क्रिस्टलोग्राफिक दिशाओं के साथ प्रभावी द्रव्यमान के हार्मोनिक माध्य के रूप में भी परिभाषित किया गया है।^[9]

प्रकाशिकी

अन्य ऑप्टिक समीकरणों के लिए, फोकल लम्बाई # पतली लेंस सन्निकटन 1/f = 1/u + 1/v फिर से लिखा जा सकता है कि फोकल लम्बाई f लेंस से विषय यू और ऑब्जेक्ट वी की दूरी के हार्मोनिक माध्य का आधा है।^[10]

वित्त में

भारित हार्मोनिक माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित समान्तर माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित हार्मोनिक माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है।^[11] साधारण भारित समान्तर माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर पक्षपाती होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है; जिस तरह वाहनों की गति को एक राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।^[12] उदाहरण के लिए, दो फर्मों पर विचार करें, जिनमें से एक $150 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $5 बिलियन (30 का पी/ई) की कमाई और एक $1 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $1 मिलियन (1000 का पी/ई) की कमाई के साथ है। दो शेयरों से बने एक सूचकांक (वित्त) पर विचार करें, जिसमें पहले में 30% निवेश किया गया और दूसरे में 70% निवेश किया गया। हम इस सूचकांक के पी/ई अनुपात की गणना करना चाहते हैं।

भारित समान्तर माध्य का उपयोग करना (गलत):

P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709

भारित हार्मोनिक माध्य (सही) का उपयोग करना:

P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46

इस प्रकार, इस सूचकांक का 93.46 का सही पी/ई केवल भारित हार्मोनिक माध्य का उपयोग करके पाया जा सकता है, जबकि भारित समान्तर माध्य इसे महत्वपूर्ण रूप से अधिक अनुमानित करेगा।

ज्यामिति में

किसी त्रिभुज में, त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त की त्रिज्या ऊंचाई (त्रिकोण) के हार्मोनिक माध्य का एक तिहाई है।

एक समबाहु त्रिभुज ABC के परिवृत्त के चाप (ज्यामिति) BC पर किसी भी बिंदु P के लिए, क्रमशः B और C से दूरी q और t के साथ, और PA और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु P से y दूरी पर होने के साथ, हमारे पास है वह y, q और t का आधा हार्मोनिक माध्य है।^[13] पैरों के साथ एक समकोण त्रिभुज में a और b और ऊँचाई (त्रिकोण) h कर्ण से समकोण तक, $h ²$ का आधा हार्मोनिक माध्य है $a ²$ और $b ²$ .^[14]^[15] मान लीजिए कि t और s (t > s) कर्ण c वाले दो त्रिभुज#वर्गों की भुजाएँ हैं। फिर $s ²$ के आधे हार्मोनिक माध्य के बराबर है $c ²$ और $t ²$ .

मान लीजिए कि एक समलम्बाकार के शीर्ष A, B, C, और D क्रम में हैं और समानांतर भुजाएँ AB और CD हैं। मान लीजिए E विकर्णों का प्रतिच्छेदन है, और F भुजा DA पर है और G भुजा BC पर इस प्रकार है कि FEG AB और CD के समांतर है। फिर FG AB और DC का हार्मोनिक माध्य है। (यह समरूप त्रिभुजों का प्रयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।)

File:CrossedLadders.png

पार की हुई सीढ़ियाँ। h, A और B का आधा हार्मोनिक माध्य है

इस ट्रेपेज़ॉइड परिणाम का एक अनुप्रयोग क्रॉस्ड लैडर समस्या में है, जहाँ दो सीढ़ियाँ एक गली के विपरीत स्थित होती हैं, जिनमें से प्रत्येक एक साइडवॉल के आधार पर होती है, जिसमें से एक ऊंचाई ए पर दीवार के खिलाफ झुकती है और दूसरी विपरीत दीवार के खिलाफ झुकती है। ऊंचाई बी, जैसा कि दिखाया गया है। सीढ़ियाँ गली के तल से h की ऊँचाई पर पार करती हैं। फिर h, A और B का आधा हार्मोनिक माध्य है। यह परिणाम अभी भी मान्य है यदि दीवारें तिरछी हैं लेकिन अभी भी समानांतर हैं और ऊँचाई A, B, और h को दीवारों के समानांतर रेखाओं के साथ फर्श से दूरी के रूप में मापा जाता है। यह एक समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल सूत्र और क्षेत्रफल योग सूत्र का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

एक दीर्घवृत्त में, अर्ध-सीधी तरफ (लघु अक्ष के समानांतर एक रेखा के साथ दीर्घवृत्त की फोकस से दूरी) एक फोकस से दीर्घवृत्त की अधिकतम और न्यूनतम दूरी का हार्मोनिक माध्य है।

अन्य विज्ञानों में

कंप्यूटर विज्ञान में, विशेष रूप से सूचना पुनर्प्राप्ति और मशीन लर्निंग, सटीक और याद का हार्मोनिक माध्य (भविष्यवाणी धनात्मक प्रति वास्तविक धनात्मक) और प्रेसिजन और रिकॉल (वास्तविक धनात्मक प्रति वास्तविक धनात्मक) अधिकांशतः मूल्यांकन के लिए एक समग्र प्रदर्शन स्कोर के रूप में उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम और सिस्टम: एफ 1 स्कोर|एफ-स्कोर (या एफ-माप)। इसका उपयोग सूचना पुनर्प्राप्ति में किया जाता है क्योंकि केवल धनात्मक वर्ग ही प्रासंगिक होता है, जबकि नकारात्मक की संख्या, सामान्य रूप से, बड़ी और अज्ञात होती है।^[16] इस प्रकार यह एक व्यापार-बंद है कि क्या सही धनात्मक भविष्यवाणियों को अनुमानित धनात्मक या वास्तविक धनात्मक की संख्या के संबंध में मापा जाना चाहिए, इसलिए इसे धनात्मक धनात्मक संख्या के विरुद्ध मापा जाता है जो दो का समान्तर माध्य है संभावित भाजक।

समस्याओं में बुनियादी बीजगणित से एक परिणाम उत्पन्न होता है जहां लोग या सिस्टम एक साथ काम करते हैं। उदाहरण के तौर पर, यदि गैस से चलने वाला पंप किसी पूल को 4 घंटे में खाली कर सकता है और बैटरी से चलने वाला पंप उसी पूल को 6 घंटे में खाली कर सकता है, तो इसमें दोनों पंप लगेंगे $6\cdot4 / 6 + 4$ , जो पूल को एक साथ खाली करने के लिए 2.4 घंटे के बराबर है। यह 6 और 4 के हार्मोनिक माध्य का आधा है: $2\cdot6\cdot4 / 6 + 4 = 4.8$ . अर्थात्, दो प्रकार के पंपों के लिए उपयुक्त औसत हार्मोनिक माध्य है, और पंपों की एक जोड़ी (दो पंप) के साथ, यह हार्मोनिक माध्य समय का आधा लेता है, जबकि दो जोड़े पंपों (चार पंपों) के साथ यह एक ले जाएगा इस हार्मोनिक माध्य समय का चौथाई।

जल विज्ञान में, हार्मोनिक माध्य का उपयोग समान रूप से एक प्रवाह के लिए हाइड्रोलिक चालकता मूल्यों को औसत करने के लिए किया जाता है जो परतों (जैसे, भूगर्भीय या मिट्टी) के लंबवत होता है - परतों के समानांतर प्रवाह समान्तर माध्य का उपयोग करता है। औसत में यह स्पष्ट अंतर इस तथ्य से समझाया गया है कि जल विज्ञान चालकता का उपयोग करता है, जो प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है।

sabermetrics में, एक खिलाड़ी का पावर-स्पीड नंबर उनके होम रन और चोरी हुए आधार योग का हार्मोनिक माध्य होता है।

जनसंख्या आनुवंशिकी में, प्रभावी जनसंख्या आकार पर जनगणना जनसंख्या आकार में उतार-चढ़ाव के प्रभावों की गणना करते समय हार्मोनिक माध्य का उपयोग किया जाता है। हार्मोनिक माध्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि जनसंख्या विकट जैसी घटनाएं: अड़चनें दर आनुवंशिक बहाव को बढ़ाती हैं और जनसंख्या में आनुवंशिक भिन्नता की मात्रा को कम करती हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि आने वाली कई पीढ़ियों के लिए आबादी में सम्मलित आनुवंशिक भिन्नता को सीमित करने वाले जीन पूल में बहुत कम व्यक्ति योगदान करते हैं।

ऑटोमोबाइल में ईंधन की बचत पर विचार करते समय सामान्यतः दो उपायों का उपयोग किया जाता है - मील प्रति गैलन (mpg), और लीटर प्रति 100 किमी। चूंकि इन मात्राओं के आयाम एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं (एक मात्रा प्रति दूरी है, दूसरी मात्रा प्रति दूरी है) कारों की एक श्रृंखला की ईंधन अर्थव्यवस्था का औसत मूल्य लेते समय एक उपाय दूसरे के हार्मोनिक माध्य का उत्पादन करेगा - अर्थात, लीटर प्रति 100 किमी में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था के औसत मूल्य को मील प्रति गैलन में परिवर्तित करने से मील प्रति गैलन में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था का हार्मोनिक माध्य प्राप्त होगा। व्यक्तिगत ईंधन की खपत से वाहनों के बेड़े की औसत ईंधन खपत की गणना के लिए, यदि बेड़े मील प्रति गैलन का उपयोग करता है, तो हार्मोनिक माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, जबकि समान्तर माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, यदि फ्लीट प्रति 100 किमी लीटर का उपयोग करता है। संयुक्त राज्य अमेरिका में सीएएफई मानक (संघीय ऑटोमोबाइल ईंधन खपत मानक) हार्मोनिक माध्य का उपयोग करते हैं।

रसायन विज्ञान और परमाणु भौतिकी में विभिन्न प्रजातियों (जैसे, अणु या समस्थानिक) से बने मिश्रण के कण का औसत द्रव्यमान उनके संबंधित द्रव्यमान अंश द्वारा भारित व्यक्तिगत प्रजातियों के द्रव्यमान के हार्मोनिक माध्य द्वारा दिया जाता है।

बीटा वितरण

File:Harmonic mean for Beta distribution for alpha and beta ranging from 0 to 5 - J. Rodal.jpg

0 <α <5 और 0 <β <5 के लिए बीटा वितरण के लिए हार्मोनिक माध्य

(मीन - हार्मोनिक मीन) बीटा वितरण बनाम अल्फा और बीटा के लिए 0 से 2 तक

फ़ाइल: बीटा वितरण के लिए हार्मोनिक साधन बैंगनी = एच (एक्स), पीला =H(1-X), smaller values alpha and beta in front - J. Rodal.jpg|thumb|बीटा वितरण के लिए हार्मोनिक माध्य बैंगनी = एच (एक्स), पीला = एच (1-एक्स), छोटे मान अल्फा और बीटा सामने

फ़ाइल: बीटा वितरण के लिए हार्मोनिक माध्य बैंगनी = एच (एक्स), पीला =H(1-X), larger values alpha and beta in front - J. Rodal.jpg|thumb|बीटा वितरण के लिए हार्मोनिक साधन बैंगनी = एच (एक्स), पीला = एच (1-एक्स), बड़े मूल्य अल्फा और बीटा सामने

आकार पैरामीटर α और β के साथ बीटा वितरण का हार्मोनिक माध्य है:

H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0

α <1 के साथ हार्मोनिक माध्य अपरिभाषित है क्योंकि इसकी परिभाषित अभिव्यक्ति [0, 1] में सीमित नहीं है।

माना α = β

H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}

दिखा रहा है कि α = β के लिए हार्मोनिक माध्य 0 से α = β = 1 के लिए, α = β → ∞ के लिए 1/2 तक है।

निम्नलिखित एक पैरामीटर परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य पैरामीटर इन सीमाओं तक पहुँच रहे हैं:

{\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}

ज्यामितीय माध्य के साथ चार पैरामीटर मामले में हार्मोनिक माध्य अधिकतम संभावना अनुमान में उपयोगी हो सकता है।

एक दूसरा हार्मोनिक माध्य (एच_{1 − X}) इस वितरण के लिए भी सम्मलित है

H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0

β <1 वाला यह हार्मोनिक माध्य अपरिभाषित है क्योंकि इसकी परिभाषित अभिव्यक्ति [0, 1] में सीमित नहीं है।

उपरोक्त अभिव्यक्ति में α = β देना

H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}

दिखा रहा है कि α = β के लिए हार्मोनिक माध्य 0 से है, α = β = 1 के लिए, 1/2 के लिए, α = β → ∞ के लिए।

निम्नलिखित एक पैरामीटर परिमित (गैर शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के करीब हैं:

{\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}

चूंकि दोनों हार्मोनिक साधन असममित हैं, जब α = β दोनों साधन बराबर होते हैं।

तार्किक वितरण

एक यादृच्छिक चर X के लॉगनॉर्मल वितरण का हार्मोनिक माध्य (H) है^[17]

H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),

जहां μ और σ² वितरण के पैरामीटर हैं, अर्थात X के प्राकृतिक लघुगणक के वितरण का माध्य और प्रसरण।

वितरण के हार्मोनिक और अंकगणितीय साधन संबंधित हैं

{\frac {\mu ^{*}}{H}}=1+C_{v}^{2}\,,

जहां सी_v और μ^* भिन्नता का गुणांक और वितरण का माध्य क्रमशः हैं।

वितरण के ज्यामितीय (जी), अंकगणितीय और हार्मोनिक साधनों से संबंधित हैं^[18]

H\mu ^{*}=G^{2}.

परेटो वितरण

टाइप 1 पेरेटो वितरण का हार्मोनिक माध्य है^[19]

H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)

जहाँ k स्केल पैरामीटर है और α आकार पैरामीटर है।

सांख्यिकी

एक यादृच्छिक नमूने के लिए, हार्मोनिक माध्य की गणना ऊपर की तरह की जाती है। अपेक्षित मान और प्रसरण दोनों अनंत हो सकते हैं (यदि इसमें 1/0 रूप का कम से कम एक पद सम्मलित है)।

माध्य और विचरण का नमूना वितरण

नमूना एम का मतलब असमान रूप से सामान्य रूप से विचरण एस के साथ वितरित किया जाता है^{2</उप>।}

s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}

माध्य का विचरण ही है^[20]

\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}

जहाँ m व्युत्क्रमों का समान्तर माध्य है, x चर हैं, n जनसंख्या का आकार है और E अपेक्षा संकारक है।

डेल्टा विधि

यह मानते हुए कि विचरण अनंत नहीं है और यह कि केंद्रीय सीमा प्रमेय नमूने पर लागू होता है, फिर डेल्टा विधि का उपयोग करते हुए, विचरण है

\operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}

जहाँ H हार्मोनिक माध्य है, m व्युत्क्रम का समान्तर माध्य है

m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.

एस² डेटा के व्युत्क्रम का प्रसरण है

s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)

और n नमूने में डेटा बिंदुओं की संख्या है।

जैकनाइफ विधि

यदि माध्य ज्ञात हो, तो प्रसरण का अनुमान लगाने की एक रीसैंपलिंग (सांख्यिकी)#जैकनाइफ विधि संभव है।^[21] यह विधि 'डिलीट एम' संस्करण के अतिरिक्त सामान्य 'डिलीट 1' है।

इस विधि में पहले नमूने के माध्य (एम) की गणना की आवश्यकता होती है

m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}

जहाँ x नमूना मान हैं।

मूल्य डब्ल्यू की एक श्रृंखला_iफिर कहाँ गणना की जाती है

w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.

डब्ल्यू का मतलब (एच)।_i तब लिया जाता है:

h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}

माध्य का विचरण है

{\frac {n-1}{n}}\sum {(m-w_{i})}^{2}.

माध्य के लिए महत्व परीक्षण और विश्वास अंतराल का अनुमान टी परीक्षण के साथ लगाया जा सकता है।

आकार पक्षपातपूर्ण नमूनाकरण

मान लें कि एक यादृच्छिक चर का वितरण f( x ) है। यह भी मान लें कि किसी चर के चुने जाने की संभावना उसके मूल्य के समानुपाती होती है। इसे लंबाई आधारित या आकार पक्षपाती नमूनाकरण के रूप में जाना जाता है।

माना μ जनसंख्या का माध्य है। तब प्रायिकता घनत्व फलन f*( x ) आकार पक्षपाती जनसंख्या का है

f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}

इस लंबाई के पक्षपाती वितरण की अपेक्षा ई^*( x ) है^[20]: $\operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]$ जहां प² प्रसरण है।

हार्मोनिक माध्य की अपेक्षा गैर-लम्बाई बायस्ड संस्करण E( x ) के समान है

E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}

कपड़ा निर्माण सहित कई क्षेत्रों में लंबाई पक्षपातपूर्ण नमूनाकरण की समस्या उत्पन्न होती है^[22] वंशावली विश्लेषण^[23] और उत्तरजीविता विश्लेषण^[24] अकमन एट अल। नमूनों में लंबाई आधारित पूर्वाग्रह का पता लगाने के लिए एक परीक्षण विकसित किया है।^[25]

स्थानांतरित चर

यदि X एक धनात्मक यादृच्छिक चर है और q > 0 है तो सभी ε > 0 के लिए^[26]

\operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).

क्षण

यह मानते हुए कि X और E(X) > 0 हैं^[26]: $\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}$ यह जेन्सेन की असमानता से अनुसरण करता है।

गुरलैंड ने दिखाया है^[27] एक वितरण के लिए जो केवल धनात्मक मान लेता है, किसी भी n > 0 के लिए

\operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.

कुछ शर्तों के तहत^[28]

\operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)

जहाँ ~ का अर्थ लगभग बराबर है।

नमूना गुण

यह मानते हुए कि चर (x) एक सामान्य वितरण से तैयार किए गए हैं, H के लिए कई संभावित अनुमानक हैं:

{\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}

कहां

m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)

s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}

इनमें एच₃ शायद 25 या अधिक के नमूनों के लिए सबसे अच्छा अनुमानक है।^[29]

पूर्वाग्रह और भिन्नता अनुमानक

पूर्वाग्रह और एच के विचरण के लिए एक प्रथम क्रम सन्निकटन₁ हैं^[30]

{\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}

जहां सी_v भिन्नता का गुणांक है।

इसी तरह एच के पूर्वाग्रह और विचरण के लिए एक प्रथम क्रम सन्निकटन₃ हैं^[30]

{\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}

संख्यात्मक प्रयोगों में एच₃ एच की तुलना में सामान्यतः हार्मोनिक माध्य का एक बेहतर अनुमानक है₁.^[30]एच₂ ऐसे अनुमान उत्पन्न करता है जो काफी हद तक एच के समान हैं₁.

यह भी देखें

संदर्भ

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Using Pythagoras' theorem, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Using Pythagoras' theorem, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM.
Using similar triangles, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.
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↑ Muskat M (1937) The flow of homogeneous fluids through porous media. McGraw-Hill, New York

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अंक शास्त्र
पाइथागोरस का अर्थ है
गुणात्मक प्रतिलोम
अंकगणित औसत
जियोमेट्रिक माध्य
अवतल समारोह
सही त्रिकोण
यदि और केवल यदि
भारित अंकगणितीय औसत
आकार जांच
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ऊंचाई (त्रिकोण)
समभुज त्रिकोण
सीढ़ी पार करने की समस्या
अंडाकार
सूचना की पुनर्प्राप्ति
प्रासंगिकता
द्रवचालित प्रवाहिता
कैफे मानकों
जीन कुण्ड
चोरी का आधार
ऑटोमोबाइल में ईंधन अर्थव्यवस्था
गुणांक का परिवर्तन
झगड़ा
अपेक्षित मूल्य
अनन्त
संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
पक्षपात

बाहरी कड़ियाँ

श्रेणी: साधन

[1] ttps://www.comap.com/FloydVest/Course/PDF/Cons25PO.pdf^{[bare URL PDF]}

[2] If AC = a and BC = b. OC = AM of a and b, and radius r = QO = OG.
Using Pythagoras' theorem, QC² = QO² + OC² ∴ QC = √QO² + OC² = QM.
Using Pythagoras' theorem, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √OC² − OG² = GM.
Using similar triangles, HC/GC = GC/OC ∴ HC = GC²/OC = HM.

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 गणित में, हार्मोनिक माध्य [[औसत]] के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत [[दर (गणित)]]<ref>https://www.comap.com/FloydVest/Course/PDF/Cons25PO.pdf {{Bare URL PDF|date=March 2022}}</ref> वांछित है।
-हार्मोनिक माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के अंकगणितीय माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का हार्मोनिक माध्य है
+हार्मोनिक माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का हार्मोनिक माध्य है
 : <math>\left(\frac{1^{-1} + 4^{-1} + 4^{-1}}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.5} = 2\,.</math>
@@ Line 8: / Line 8: @@
 == परिभाषा ==
 {{Unreferenced section|date=December 2019}}
-धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं का हार्मोनिक माध्य H
+धनात्मक [[वास्तविक संख्या]]ओं का हार्मोनिक माध्य H <math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> इस प्रकार परिभाषित किया गया है
-<math>x_1, x_2, \ldots, x_n</math> होना परिभाषित किया गया है
 :<math>H = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} = \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-1}}{n}\right)^{-1}.</math>
-उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र हार्मोनिक माध्य को व्युत्क्रम के अंकगणितीय माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है।
+उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र हार्मोनिक माध्य को व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है।
 निम्नलिखित सूत्र से:
 :<math>H = \frac{n\cdot \prod\limits_{j=1}^n x_j}{ \sum\limits_{i=1}^n \left\{\frac{1}{x_i}{\prod\limits_{j=1}^n x_j}\right\}}.</math>
-यह अधिक स्पष्ट है कि हार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय साधनों से संबंधित है। यह सकारात्मक आदानों के लिए अंकगणितीय माध्य का पारस्परिक [[दोहरा (गणित)]] है:
+यह स्पष्ट है कि हार्मोनिक माध्य समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य से संबंधित है। यह धनात्मक आदानों के लिए समान्तर माध्य का पारस्परिक [[दोहरा (गणित)|द्वैतता (गणित)]] है:
 :<math>1/H(1/x_1 \ldots 1/x_n) = A(x_1 \ldots x_n)</math>
-हार्मोनिक माध्य एक [[शूर-अवतल]] कार्य है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी सकारात्मक सेट के लिए, <math>\min(x_1 \ldots x_n) \le H(x_1 \ldots x_n) \le n \min(x_1 \ldots x_n)</math>. इस प्रकार, हार्मोनिक माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर [[मनमाने ढंग से बड़ा]] नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)।
+हार्मोनिक माध्य एक [[शूर-अवतल]] फलन है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी धनात्मक सेट के लिए, <math>\min(x_1 \ldots x_n) \le H(x_1 \ldots x_n) \le n \min(x_1 \ldots x_n)</math>. इस प्रकार, हार्मोनिक माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर [[मनमाने ढंग से बड़ा]] नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)।
 हार्मोनिक माध्य अवतल फलन भी है, जो शूर-अवतलता से भी अधिक प्रबल गुण है।
-हालांकि केवल सकारात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है।
+चूंकि केवल धनात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है।
 ==अन्य साधनों से संबंध==
 {{QM_AM_GM_HM_inequality_visual_proof.svg}}
-हार्मोनिक माध्य तीन पायथागॉरियन साधनों में से एक है। सभी सकारात्मक डेटा सेटों के लिए कम से कम एक जोड़ी गैर-बराबर मान, हार्मोनिक माध्य हमेशा तीन साधनों में से कम से कम होता है,<ref>Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, "A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities", RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf</ref> जबकि अंकगणितीय माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन साधन हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं; उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के हार्मोनिक, ज्यामितीय और अंकगणितीय साधन सभी 2 हैं।)
+हार्मोनिक माध्य तीन पायथागॉरियन साधनों में से एक है। सभी धनात्मक डेटा सेटों के लिए कम से कम एक जोड़ी गैर-बराबर मान, हार्मोनिक माध्य हमेशा तीन साधनों में से कम से कम होता है,<ref>Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu, and Feng Qi, "A proof of the arithmetic mean-geometric mean-harmonic mean inequalities", RGMIA Research Report Collection, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf</ref> जबकि समान्तर माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन साधन हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं; उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के हार्मोनिक, ज्यामितीय और अंकगणितीय साधन सभी 2 हैं।)
 यह विशेष मामला एम<sub>−1</sub> [[शक्ति का मतलब]]:
@@ Line 34: / Line 33: @@
 चूंकि संख्याओं की सूची का हार्मोनिक माध्य सूची के कम से कम तत्वों की ओर दृढ़ता से झुकता है, यह बड़े आउटलेयर के प्रभाव को कम करने और छोटे लोगों के प्रभाव को बढ़ाने के लिए (अंकगणित माध्य की तुलना में) जाता है।
-अंकगणितीय माध्य अक्सर गलती से हार्मोनिक माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है।<ref>*''Statistical Analysis'', Ya-lun Chou, Holt International, 1969, {{ISBN|0030730953}}</ref> गति के उदाहरण #Examples उदाहरण के लिए, 40 का अंकगणितीय माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है।
+समान्तर माध्य अधिकांशतः गलती से हार्मोनिक माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है।<ref>*''Statistical Analysis'', Ya-lun Chou, Holt International, 1969, {{ISBN|0030730953}}</ref> गति के उदाहरण #Examples उदाहरण के लिए, 40 का समान्तर माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है।
-हार्मोनिक माध्य अन्य पायथागॉरियन साधनों से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के अंकगणितीय माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; और इसी तरह। अंश, n को छोड़कर, जो अंकगणितीय माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार एन-वें हार्मोनिक माध्य एन-वें ज्यामितीय और अंकगणितीय साधनों से संबंधित है। सामान्य सूत्र है
+हार्मोनिक माध्य अन्य पायथागॉरियन साधनों से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के समान्तर माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं; और इसी तरह। अंश, n को छोड़कर, जो समान्तर माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार एन-वें हार्मोनिक माध्य एन-वें ज्यामितीय और अंकगणितीय साधनों से संबंधित है। सामान्य सूत्र है
 :<math>H\left(x_1, \ldots, x_n\right) =
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         \right)}.
 </math>
-यदि गैर-समान संख्याओं का एक सेट एक [[माध्य-संरक्षण प्रसार]] के अधीन है - अर्थात, सेट के दो या दो से अधिक तत्व अंकगणितीय माध्य को अपरिवर्तित छोड़ते हुए एक दूसरे से अलग हो जाते हैं - तब हार्मोनिक माध्य हमेशा घटता है।<ref>Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," ''[[The Mathematical Gazette]]'' 88, March 2004, 142–144.</ref>
+यदि गैर-समान संख्याओं का एक सेट एक [[माध्य-संरक्षण प्रसार]] के अधीन है - अर्थात, सेट के दो या दो से अधिक तत्व समान्तर माध्य को अपरिवर्तित छोड़ते हुए एक दूसरे से अलग हो जाते हैं - तब हार्मोनिक माध्य हमेशा घटता है।<ref>Mitchell, Douglas W., "More on spreads and non-arithmetic means," ''[[The Mathematical Gazette]]'' 88, March 2004, 142–144.</ref>
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 ==={{anchor|Harmonic mean of two numbers}}दो नंबर ===
-[[File:MathematicalMeans.svg|thumb|right|तीन पायथागॉरियन का एक ज्यामितीय निर्माण दो संख्याओं, ए और बी के माध्यम से होता है। हारमोनिक माध्य को बैंगनी रंग में H द्वारा निरूपित किया जाता है, जबकि अंकगणितीय माध्य A को लाल रंग में और ज्यामितीय माध्य को नीले रंग में G द्वारा दर्शाया जाता है। क्यू चौथे माध्य, [[द्विघात माध्य]] को दर्शाता है। चूँकि एक [[कर्ण]] हमेशा एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा से अधिक लंबा होता है, आरेख दर्शाता है कि Q > A > G > H.]]सिर्फ दो नंबरों के विशेष मामले के लिए, <math>x_1</math> और <math>x_2</math>, हार्मोनिक माध्य लिखा जा सकता है
+[[File:MathematicalMeans.svg|thumb|right|तीन पायथागॉरियन का एक ज्यामितीय निर्माण दो संख्याओं, ए और बी के माध्यम से होता है। हारमोनिक माध्य को बैंगनी रंग में H द्वारा निरूपित किया जाता है, जबकि समान्तर माध्य A को लाल रंग में और ज्यामितीय माध्य को नीले रंग में G द्वारा दर्शाया जाता है। क्यू चौथे माध्य, [[द्विघात माध्य]] को दर्शाता है। चूँकि एक [[कर्ण]] हमेशा एक समकोण त्रिभुज की एक भुजा से अधिक लंबा होता है, आरेख दर्शाता है कि Q > A > G > H.]]सिर्फ दो नंबरों के विशेष मामले के लिए, <math>x_1</math> और <math>x_2</math>, हार्मोनिक माध्य लिखा जा सकता है
 :<math>H = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2} \qquad </math> या    <math> \qquad \frac{1}{H} = \frac{(1/x_1) + (1/x_2)}{2}.</math>
-इस विशेष मामले में, हार्मोनिक माध्य अंकगणितीय माध्य से संबंधित है <math>A = \frac{x_1 + x_2}{2}</math> और ज्यामितीय माध्य <math>G = \sqrt{x_1 x_2},</math> द्वारा
+इस विशेष मामले में, हार्मोनिक माध्य समान्तर माध्य से संबंधित है <math>A = \frac{x_1 + x_2}{2}</math> और ज्यामितीय माध्य <math>G = \sqrt{x_1 x_2},</math> द्वारा
 :<math>H = \frac{G^2}{A} = G\left(\frac{G}{A}\right).</math>
-तब से <math>\tfrac{G}{A} \le 1</math> [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता]] से, यह n = 2 मामले के लिए दिखाता है कि H ≤ G (एक संपत्ति जो वास्तव में सभी n के लिए है)। इसका अनुसरण भी करता है <math>G = \sqrt{AH}</math>, जिसका अर्थ है कि दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके अंकगणितीय और हार्मोनिक साधनों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।
+तब से <math>\tfrac{G}{A} \le 1</math> [[अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता|अंकगणित और गुणोत्तर माध्य की असमानता]] से, यह n = 2 मामले के लिए दिखाता है कि H ≤ G (एक संपत्ति जो वास्तव में सभी n के लिए है)। इसका अनुसरण भी करता है <math>G = \sqrt{AH}</math>, जिसका अर्थ है कि दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके अंकगणितीय और हार्मोनिक साधनों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।
 === तीन नंबर ===
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 ==== औसत गति ====
-दर (गणित) और [[अनुपात]] से जुड़ी कई स्थितियों में, हार्मोनिक माध्य सही औसत प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वाहन एक निश्चित दूरी d बाहर की ओर गति x (जैसे 60 किमी/घंटा) से यात्रा करता है और उसी दूरी को y गति (जैसे 20 किमी/घंटा) से वापस करता है, तो इसकी औसत गति x का हार्मोनिक माध्य है और y (30 किमी/घंटा), अंकगणितीय माध्य (40 किमी/घंटा) नहीं। कुल यात्रा का समय वही है जैसे कि उसने उस औसत गति से पूरी दूरी तय की थी। इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:<ref>{{cite web|url=https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/|title=औसत: औसत, सूत्र, भारित औसत की गणना कैसे करें|website=learningpundits.com|access-date=8 May 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171229231610/https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/|archive-date=29 December 2017}}</ref>
+दर (गणित) और [[अनुपात]] से जुड़ी कई स्थितियों में, हार्मोनिक माध्य सही औसत प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वाहन एक निश्चित दूरी d बाहर की ओर गति x (जैसे 60 किमी/घंटा) से यात्रा करता है और उसी दूरी को y गति (जैसे 20 किमी/घंटा) से वापस करता है, तो इसकी औसत गति x का हार्मोनिक माध्य है और y (30 किमी/घंटा), समान्तर माध्य (40 किमी/घंटा) नहीं। कुल यात्रा का समय वही है जैसे कि उसने उस औसत गति से पूरी दूरी तय की थी। इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:<ref>{{cite web|url=https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/|title=औसत: औसत, सूत्र, भारित औसत की गणना कैसे करें|website=learningpundits.com|access-date=8 May 2018|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20171229231610/https://learningpundits.com/module-view/48-averages/1-tips-on-averages/|archive-date=29 December 2017}}</ref>
 पूरी यात्रा के लिए औसत गति
 {{=}} <बड़ा>{{sfrac|Total distance traveled|Sum of time for each segment}}</बड़ा>
 {{=}} {{sfrac|2''d''|<big>{{sfrac|''d''|''x''}} + {{sfrac|''d''|''y''}}</big>}} = {{sfrac|2|<big>{{sfrac|1|''x''}}+{{sfrac|1|''y''}}</big>}}
-हालाँकि, यदि वाहन एक निश्चित समय के लिए गति x पर और फिर समान समय के लिए गति y पर यात्रा करता है, तो इसकी औसत गति x और y का अंकगणितीय माध्य है, जो उपरोक्त उदाहरण में 40 किमी/ एच।
+हालाँकि, यदि वाहन एक निश्चित समय के लिए गति x पर और फिर समान समय के लिए गति y पर यात्रा करता है, तो इसकी औसत गति x और y का समान्तर माध्य है, जो उपरोक्त उदाहरण में 40 किमी/ एच।
 पूरी यात्रा के लिए औसत गति
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 {{=}} {{sfrac|''xt+yt''|''2t''}}
 {{=}} {{sfrac|''x+y''|''2''}}
-एक ही सिद्धांत दो से अधिक खंडों पर लागू होता है: अलग-अलग गति पर उप-यात्राओं की एक श्रृंखला दी गई है, यदि प्रत्येक उप-यात्रा समान दूरी तय करती है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गति का हार्मोनिक माध्य है; और यदि प्रत्येक उप-यात्रा में समान समय लगता है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गतियों का अंकगणितीय माध्य है। (यदि कोई भी मामला नहीं है, तो भारित हार्मोनिक माध्य या भारित अंकगणितीय माध्य की आवश्यकता होती है। अंकगणितीय माध्य के लिए, यात्रा के प्रत्येक भाग की गति उस भाग की अवधि से भारित होती है, जबकि हार्मोनिक माध्य के लिए संगत वजन दूरी है। दोनों ही मामलों में, परिणामी सूत्र कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के लिए कम हो जाता है।)
+एक ही सिद्धांत दो से अधिक खंडों पर लागू होता है: अलग-अलग गति पर उप-यात्राओं की एक श्रृंखला दी गई है, यदि प्रत्येक उप-यात्रा समान दूरी तय करती है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गति का हार्मोनिक माध्य है; और यदि प्रत्येक उप-यात्रा में समान समय लगता है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गतियों का समान्तर माध्य है। (यदि कोई भी मामला नहीं है, तो भारित हार्मोनिक माध्य या भारित समान्तर माध्य की आवश्यकता होती है। समान्तर माध्य के लिए, यात्रा के प्रत्येक भाग की गति उस भाग की अवधि से भारित होती है, जबकि हार्मोनिक माध्य के लिए संगत वजन दूरी है। दोनों ही स्थितियों में, परिणामी सूत्र कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के लिए कम हो जाता है।)
-हालांकि, दूरी द्वारा भार के मामले में हार्मोनिक माध्य के उपयोग से बचा जा सकता है। समस्या को यात्रा की धीमी गति ज्ञात करने के रूप में प्रस्तुत करें जहाँ धीमापन (घंटे प्रति किलोमीटर में) गति का व्युत्क्रम है। जब यात्रा की धीमी गति पाई जाती है, तो इसे उलट दें ताकि यात्रा की वास्तविक औसत गति का पता लगाया जा सके। प्रत्येक यात्रा खंड i के लिए, सुस्ती s<sub>i</sub> = 1/गति<sub>i</sub>. फिर s का भारित अंकगणितीय माध्य लें<sub>i</sub>का उनकी संबंधित दूरियों द्वारा भारित किया जाता है (वैकल्पिक रूप से सामान्यीकृत भारों के साथ ताकि उन्हें यात्रा की लंबाई से विभाजित करके उनका योग 1 हो जाए)। यह सही औसत सुस्ती (प्रति किलोमीटर समय में) देता है। यह पता चला है कि यह प्रक्रिया, जो हार्मोनिक माध्य के ज्ञान के बिना की जा सकती है, उसी गणितीय संचालन के बराबर होती है, जैसा कि हार्मोनिक माध्य का उपयोग करके इस समस्या को हल करने में उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार यह दिखाता है कि इस मामले में हार्मोनिक माध्य क्यों काम करता है।
+चूंकि, दूरी द्वारा भार के मामले में हार्मोनिक माध्य के उपयोग से बचा जा सकता है। समस्या को यात्रा की धीमी गति ज्ञात करने के रूप में प्रस्तुत करें जहाँ धीमापन (घंटे प्रति किलोमीटर में) गति का व्युत्क्रम है। जब यात्रा की धीमी गति पाई जाती है, तो इसे उलट दें जिससे कि यात्रा की वास्तविक औसत गति का पता लगाया जा सके। प्रत्येक यात्रा खंड i के लिए, सुस्ती s<sub>i</sub> = 1/गति<sub>i</sub>. फिर s का भारित समान्तर माध्य लें<sub>i</sub>का उनकी संबंधित दूरियों द्वारा भारित किया जाता है (वैकल्पिक रूप से सामान्यीकृत भारों के साथ जिससे कि उन्हें यात्रा की लंबाई से विभाजित करके उनका योग 1 हो जाए)। यह सही औसत सुस्ती (प्रति किलोमीटर समय में) देता है। यह पता चला है कि यह प्रक्रिया, जो हार्मोनिक माध्य के ज्ञान के बिना की जा सकती है, उसी गणितीय संचालन के बराबर होती है, जैसा कि हार्मोनिक माध्य का उपयोग करके इस समस्या को हल करने में उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार यह दिखाता है कि इस मामले में हार्मोनिक माध्य क्यों काम करता है।
 ==== घनत्व ====
 {{Unreferenced section|date=December 2019}}
-इसी तरह, यदि कोई मिश्रधातु के घनत्व को उसके घटक तत्वों और उनके द्रव्यमान अंशों (या, समतुल्य, द्रव्यमान द्वारा प्रतिशत) के घनत्व का अनुमान लगाना चाहता है, तो [[मिश्र धातु]] का अनुमानित घनत्व (परमाणु के कारण आम तौर पर मामूली मात्रा में परिवर्तन को छोड़कर) पैकिंग प्रभाव) व्यक्तिगत घनत्व का भारित हार्मोनिक माध्य है, भारित अंकगणितीय माध्य के बजाय द्रव्यमान द्वारा भारित होता है, जैसा कि पहली बार में उम्मीद की जा सकती है। भारित अंकगणितीय माध्य का उपयोग करने के लिए, घनत्वों को आयतन द्वारा भारित करना होगा। द्रव्यमान इकाइयों को तत्व द्वारा लेबल करते हुए समस्या का आयामी विश्लेषण लागू करना और यह सुनिश्चित करना कि केवल तत्व-द्रव्यमान रद्द करना ही इसे स्पष्ट करता है।
+इसी तरह, यदि कोई मिश्रधातु के घनत्व को उसके घटक तत्वों और उनके द्रव्यमान अंशों (या, समतुल्य, द्रव्यमान द्वारा प्रतिशत) के घनत्व का अनुमान लगाना चाहता है, तो [[मिश्र धातु]] का अनुमानित घनत्व (परमाणु के कारण आम तौर पर मामूली मात्रा में परिवर्तन को छोड़कर) पैकिंग प्रभाव) व्यक्तिगत घनत्व का भारित हार्मोनिक माध्य है, भारित समान्तर माध्य के अतिरिक्त द्रव्यमान द्वारा भारित होता है, जैसा कि पहली बार में उम्मीद की जा सकती है। भारित समान्तर माध्य का उपयोग करने के लिए, घनत्वों को आयतन द्वारा भारित करना होगा। द्रव्यमान इकाइयों को तत्व द्वारा लेबल करते हुए समस्या का आयामी विश्लेषण लागू करना और यह सुनिश्चित करना कि केवल तत्व-द्रव्यमान रद्द करना ही इसे स्पष्ट करता है।
 ====बिजली====
-यदि कोई दो विद्युत प्रतिरोधों को समानांतर में जोड़ता है, एक का प्रतिरोध x (जैसे, 60 Ohm|Ω) और एक का प्रतिरोध y (जैसे, 40 Ω), तो प्रभाव वैसा ही होता है जैसे कि एक ही प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधों का उपयोग किया गया हो , दोनों x और y (48 Ω) के हार्मोनिक माध्य के बराबर: समतुल्य प्रतिरोध, दोनों ही मामलों में, 24 Ω (हार्मोनिक माध्य का आधा) है। यही सिद्धांत श्रृंखला में [[संधारित्र]] या समानांतर में इंडिकेटर्स पर लागू होता है।
+यदि कोई दो विद्युत प्रतिरोधों को समानांतर में जोड़ता है, एक का प्रतिरोध x (जैसे, 60 Ohm|Ω) और एक का प्रतिरोध y (जैसे, 40 Ω), तो प्रभाव वैसा ही होता है जैसे कि एक ही प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधों का उपयोग किया गया हो , दोनों x और y (48 Ω) के हार्मोनिक माध्य के बराबर: समतुल्य प्रतिरोध, दोनों ही स्थितियों में, 24 Ω (हार्मोनिक माध्य का आधा) है। यही सिद्धांत श्रृंखला में [[संधारित्र]] या समानांतर में इंडिकेटर्स पर लागू होता है।
-हालांकि, यदि कोई प्रतिरोधों को श्रृंखला में जोड़ता है, तो औसत प्रतिरोध x और y (50 Ω) का अंकगणितीय माध्य होता है, कुल प्रतिरोध इसके दोगुने के बराबर होता है, x और y (100 Ω) का योग। यह सिद्धांत समानांतर में कैपेसिटर या श्रृंखला में [[प्रारंभ करनेवाला]]्स पर लागू होता है।
+चूंकि, यदि कोई प्रतिरोधों को श्रृंखला में जोड़ता है, तो औसत प्रतिरोध x और y (50 Ω) का समान्तर माध्य होता है, कुल प्रतिरोध इसके दोगुने के बराबर होता है, x और y (100 Ω) का योग। यह सिद्धांत समानांतर में कैपेसिटर या श्रृंखला में [[प्रारंभ करनेवाला]]्स पर लागू होता है।
 पिछले उदाहरण की तरह, यही सिद्धांत तब लागू होता है जब दो से अधिक प्रतिरोधक, कैपेसिटर या इंडिकेटर्स जुड़े होते हैं, बशर्ते कि सभी समानांतर में हों या सभी श्रृंखला में हों।
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 === वित्त में ===
-भारित हार्मोनिक माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित अंकगणितीय माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित हार्मोनिक माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है।<ref>{{cite book |chapter=Fairness Opinions: Common Errors and Omissions |title=व्यापार मूल्यांकन और बौद्धिक संपदा विश्लेषण की पुस्तिका|publisher=McGraw Hill |year=2004 |isbn=0-07-142967-0 }}</ref> साधारण भारित अंकगणितीय माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर पक्षपाती होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है; जिस तरह वाहनों की गति को एक राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।<ref>{{cite journal |title=फर्म वैल्यूएशन अनुमानों में सुधार के लिए मूल्य-से-कमाई हार्मोनिक माध्य का उपयोग करना|first=Pankaj |last=Agrrawal |first2=Richard |last2=Borgman |first3=John M. |last3=Clark |first4=Robert |last4=Strong |journal=[[Journal of Financial Education]] |volume=36 |year=2010 |issue=3–4 |pages=98–110 |jstor=41948650 |ssrn=2621087 }}</ref>
+भारित हार्मोनिक माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित समान्तर माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित हार्मोनिक माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है।<ref>{{cite book |chapter=Fairness Opinions: Common Errors and Omissions |title=व्यापार मूल्यांकन और बौद्धिक संपदा विश्लेषण की पुस्तिका|publisher=McGraw Hill |year=2004 |isbn=0-07-142967-0 }}</ref> साधारण भारित समान्तर माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर पक्षपाती होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है; जिस तरह वाहनों की गति को एक राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।<ref>{{cite journal |title=फर्म वैल्यूएशन अनुमानों में सुधार के लिए मूल्य-से-कमाई हार्मोनिक माध्य का उपयोग करना|first=Pankaj |last=Agrrawal |first2=Richard |last2=Borgman |first3=John M. |last3=Clark |first4=Robert |last4=Strong |journal=[[Journal of Financial Education]] |volume=36 |year=2010 |issue=3–4 |pages=98–110 |jstor=41948650 |ssrn=2621087 }}</ref>
 उदाहरण के लिए, दो फर्मों पर विचार करें, जिनमें से एक $150 बिलियन के [[बाजार पूंजीकरण]] और $5 बिलियन (30 का पी/ई) की कमाई और एक $1 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $1 मिलियन (1000 का पी/ई) की कमाई के साथ है। दो शेयरों से बने एक [[सूचकांक (वित्त)]] पर विचार करें, जिसमें पहले में 30% निवेश किया गया और दूसरे में 70% निवेश किया गया। हम इस सूचकांक के पी/ई अनुपात की गणना करना चाहते हैं।
-भारित अंकगणितीय माध्य का उपयोग करना (गलत):
+भारित समान्तर माध्य का उपयोग करना (गलत):
 : <math>P/E = 0.3 \times 30 + 0.7 \times 1000 = 709</math>
 भारित हार्मोनिक माध्य (सही) का उपयोग करना:
 : <math>P/E = \frac{0.3 + 0.7}{0.3/30 + 0.7/1000} \approx 93.46</math>
-इस प्रकार, इस सूचकांक का 93.46 का सही पी/ई केवल भारित हार्मोनिक माध्य का उपयोग करके पाया जा सकता है, जबकि भारित अंकगणितीय माध्य इसे महत्वपूर्ण रूप से अधिक अनुमानित करेगा।
+इस प्रकार, इस सूचकांक का 93.46 का सही पी/ई केवल भारित हार्मोनिक माध्य का उपयोग करके पाया जा सकता है, जबकि भारित समान्तर माध्य इसे महत्वपूर्ण रूप से अधिक अनुमानित करेगा।
 === ज्यामिति में ===
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 === अन्य विज्ञानों में ===
-[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, विशेष रूप से सूचना पुनर्प्राप्ति और [[मशीन लर्निंग]], [[सटीक और याद]] का हार्मोनिक माध्य (भविष्यवाणी सकारात्मक प्रति वास्तविक सकारात्मक) और प्रेसिजन और रिकॉल (वास्तविक सकारात्मक प्रति वास्तविक सकारात्मक) अक्सर मूल्यांकन के लिए एक समग्र प्रदर्शन स्कोर के रूप में उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम और सिस्टम: [[एफ 1 स्कोर]]|एफ-स्कोर (या एफ-माप)। इसका उपयोग सूचना पुनर्प्राप्ति में किया जाता है क्योंकि केवल सकारात्मक वर्ग ही प्रासंगिक होता है, जबकि नकारात्मक की संख्या, सामान्य रूप से, बड़ी और अज्ञात होती है।<ref>{{cite book | last = Van Rijsbergen | first = C. J. | url = http://www.dcs.gla.ac.uk/Keith/Preface.html | year = 1979 | title = सूचना की पुनर्प्राप्ति| edition = 2nd | publisher = Butterworth | url-status = live | archive-url = https://web.archive.org/web/20050406090119/http://www.dcs.gla.ac.uk/Keith/Preface.html | archive-date = 2005-04-06 }}</ref> इस प्रकार यह एक व्यापार-बंद है कि क्या सही सकारात्मक भविष्यवाणियों को अनुमानित सकारात्मक या वास्तविक सकारात्मक की संख्या के संबंध में मापा जाना चाहिए, इसलिए इसे सकारात्मक सकारात्मक संख्या के विरुद्ध मापा जाता है जो दो का अंकगणितीय माध्य है संभावित भाजक।
+[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, विशेष रूप से सूचना पुनर्प्राप्ति और [[मशीन लर्निंग]], [[सटीक और याद]] का हार्मोनिक माध्य (भविष्यवाणी धनात्मक प्रति वास्तविक धनात्मक) और प्रेसिजन और रिकॉल (वास्तविक धनात्मक प्रति वास्तविक धनात्मक) अधिकांशतः मूल्यांकन के लिए एक समग्र प्रदर्शन स्कोर के रूप में उपयोग किया जाता है। एल्गोरिदम और सिस्टम: [[एफ 1 स्कोर]]|एफ-स्कोर (या एफ-माप)। इसका उपयोग सूचना पुनर्प्राप्ति में किया जाता है क्योंकि केवल धनात्मक वर्ग ही प्रासंगिक होता है, जबकि नकारात्मक की संख्या, सामान्य रूप से, बड़ी और अज्ञात होती है।<ref>{{cite book | last = Van Rijsbergen | first = C. J. | url = http://www.dcs.gla.ac.uk/Keith/Preface.html | year = 1979 | title = सूचना की पुनर्प्राप्ति| edition = 2nd | publisher = Butterworth | url-status = live | archive-url = https://web.archive.org/web/20050406090119/http://www.dcs.gla.ac.uk/Keith/Preface.html | archive-date = 2005-04-06 }}</ref> इस प्रकार यह एक व्यापार-बंद है कि क्या सही धनात्मक भविष्यवाणियों को अनुमानित धनात्मक या वास्तविक धनात्मक की संख्या के संबंध में मापा जाना चाहिए, इसलिए इसे धनात्मक धनात्मक संख्या के विरुद्ध मापा जाता है जो दो का समान्तर माध्य है संभावित भाजक।
-समस्याओं में बुनियादी बीजगणित से एक परिणाम उत्पन्न होता है जहां लोग या सिस्टम एक साथ काम करते हैं। उदाहरण के तौर पर, अगर गैस से चलने वाला पंप किसी पूल को 4 घंटे में खाली कर सकता है और बैटरी से चलने वाला पंप उसी पूल को 6 घंटे में खाली कर सकता है, तो इसमें दोनों पंप लगेंगे {{math|{{sfrac|6·4|6 + 4}}}}, जो पूल को एक साथ खाली करने के लिए 2.4 घंटे के बराबर है। यह 6 और 4 के हार्मोनिक माध्य का आधा है: {{math|{{sfrac|2·6·4|6 + 4}} {{=}} 4.8}}. अर्थात्, दो प्रकार के पंपों के लिए उपयुक्त औसत हार्मोनिक माध्य है, और पंपों की एक जोड़ी (दो पंप) के साथ, यह हार्मोनिक माध्य समय का आधा लेता है, जबकि दो जोड़े पंपों (चार पंपों) के साथ यह एक ले जाएगा इस हार्मोनिक माध्य समय का चौथाई।
+समस्याओं में बुनियादी बीजगणित से एक परिणाम उत्पन्न होता है जहां लोग या सिस्टम एक साथ काम करते हैं। उदाहरण के तौर पर, यदि गैस से चलने वाला पंप किसी पूल को 4 घंटे में खाली कर सकता है और बैटरी से चलने वाला पंप उसी पूल को 6 घंटे में खाली कर सकता है, तो इसमें दोनों पंप लगेंगे {{math|{{sfrac|6·4|6 + 4}}}}, जो पूल को एक साथ खाली करने के लिए 2.4 घंटे के बराबर है। यह 6 और 4 के हार्मोनिक माध्य का आधा है: {{math|{{sfrac|2·6·4|6 + 4}} {{=}} 4.8}}. अर्थात्, दो प्रकार के पंपों के लिए उपयुक्त औसत हार्मोनिक माध्य है, और पंपों की एक जोड़ी (दो पंप) के साथ, यह हार्मोनिक माध्य समय का आधा लेता है, जबकि दो जोड़े पंपों (चार पंपों) के साथ यह एक ले जाएगा इस हार्मोनिक माध्य समय का चौथाई।
-[[जल विज्ञान]] में, हार्मोनिक माध्य का उपयोग समान रूप से एक प्रवाह के लिए हाइड्रोलिक चालकता मूल्यों को औसत करने के लिए किया जाता है जो परतों (जैसे, भूगर्भीय या मिट्टी) के लंबवत होता है - परतों के समानांतर प्रवाह अंकगणितीय माध्य का उपयोग करता है। औसत में यह स्पष्ट अंतर इस तथ्य से समझाया गया है कि जल विज्ञान चालकता का उपयोग करता है, जो प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है।
+[[जल विज्ञान]] में, हार्मोनिक माध्य का उपयोग समान रूप से एक प्रवाह के लिए हाइड्रोलिक चालकता मूल्यों को औसत करने के लिए किया जाता है जो परतों (जैसे, भूगर्भीय या मिट्टी) के लंबवत होता है - परतों के समानांतर प्रवाह समान्तर माध्य का उपयोग करता है। औसत में यह स्पष्ट अंतर इस तथ्य से समझाया गया है कि जल विज्ञान चालकता का उपयोग करता है, जो प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है।
 [[sabermetrics]] में, एक खिलाड़ी का पावर-स्पीड नंबर उनके [[होम रन]] और चोरी हुए आधार योग का हार्मोनिक माध्य होता है।
-[[जनसंख्या आनुवंशिकी]] में, प्रभावी जनसंख्या आकार पर जनगणना जनसंख्या आकार में उतार-चढ़ाव के प्रभावों की गणना करते समय हार्मोनिक माध्य का उपयोग किया जाता है। हार्मोनिक माध्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि जनसंख्या विकट जैसी घटनाएं: अड़चनें दर आनुवंशिक बहाव को बढ़ाती हैं और जनसंख्या में आनुवंशिक भिन्नता की मात्रा को कम करती हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि आने वाली कई पीढ़ियों के लिए आबादी में मौजूद आनुवंशिक भिन्नता को सीमित करने वाले जीन पूल में बहुत कम व्यक्ति योगदान करते हैं।
+[[जनसंख्या आनुवंशिकी]] में, प्रभावी जनसंख्या आकार पर जनगणना जनसंख्या आकार में उतार-चढ़ाव के प्रभावों की गणना करते समय हार्मोनिक माध्य का उपयोग किया जाता है। हार्मोनिक माध्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि जनसंख्या विकट जैसी घटनाएं: अड़चनें दर आनुवंशिक बहाव को बढ़ाती हैं और जनसंख्या में आनुवंशिक भिन्नता की मात्रा को कम करती हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि आने वाली कई पीढ़ियों के लिए आबादी में सम्मलित आनुवंशिक भिन्नता को सीमित करने वाले जीन पूल में बहुत कम व्यक्ति योगदान करते हैं।
-ऑटोमोबाइल में ईंधन की बचत पर विचार करते समय आमतौर पर दो उपायों का उपयोग किया जाता है - मील प्रति गैलन (mpg), और लीटर प्रति 100 किमी। चूंकि इन मात्राओं के आयाम एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं (एक मात्रा प्रति दूरी है, दूसरी मात्रा प्रति दूरी है) कारों की एक श्रृंखला की ईंधन अर्थव्यवस्था का औसत मूल्य लेते समय एक उपाय दूसरे के हार्मोनिक माध्य का उत्पादन करेगा - यानी, लीटर प्रति 100 किमी में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था के औसत मूल्य को मील प्रति गैलन में परिवर्तित करने से मील प्रति गैलन में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था का हार्मोनिक माध्य प्राप्त होगा। व्यक्तिगत ईंधन की खपत से वाहनों के बेड़े की औसत ईंधन खपत की गणना के लिए, यदि बेड़े मील प्रति गैलन का उपयोग करता है, तो हार्मोनिक माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, जबकि अंकगणितीय माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, यदि फ्लीट प्रति 100 किमी लीटर का उपयोग करता है। संयुक्त राज्य अमेरिका में सीएएफई मानक (संघीय ऑटोमोबाइल ईंधन खपत मानक) हार्मोनिक माध्य का उपयोग करते हैं।
+ऑटोमोबाइल में ईंधन की बचत पर विचार करते समय सामान्यतः दो उपायों का उपयोग किया जाता है - मील प्रति गैलन (mpg), और लीटर प्रति 100 किमी। चूंकि इन मात्राओं के आयाम एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं (एक मात्रा प्रति दूरी है, दूसरी मात्रा प्रति दूरी है) कारों की एक श्रृंखला की ईंधन अर्थव्यवस्था का औसत मूल्य लेते समय एक उपाय दूसरे के हार्मोनिक माध्य का उत्पादन करेगा - अर्थात, लीटर प्रति 100 किमी में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था के औसत मूल्य को मील प्रति गैलन में परिवर्तित करने से मील प्रति गैलन में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था का हार्मोनिक माध्य प्राप्त होगा। व्यक्तिगत ईंधन की खपत से वाहनों के बेड़े की औसत ईंधन खपत की गणना के लिए, यदि बेड़े मील प्रति गैलन का उपयोग करता है, तो हार्मोनिक माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, जबकि समान्तर माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, यदि फ्लीट प्रति 100 किमी लीटर का उपयोग करता है। संयुक्त राज्य अमेरिका में सीएएफई मानक (संघीय ऑटोमोबाइल ईंधन खपत मानक) हार्मोनिक माध्य का उपयोग करते हैं।
 [[रसायन विज्ञान]] और [[परमाणु भौतिकी]] में विभिन्न प्रजातियों (जैसे, अणु या समस्थानिक) से बने मिश्रण के कण का औसत द्रव्यमान उनके संबंधित द्रव्यमान अंश द्वारा भारित व्यक्तिगत प्रजातियों के द्रव्यमान के हार्मोनिक माध्य द्वारा दिया जाता है।
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 ज्यामितीय माध्य के साथ चार पैरामीटर मामले में हार्मोनिक माध्य अधिकतम संभावना अनुमान में उपयोगी हो सकता है।
-एक दूसरा हार्मोनिक माध्य (एच<sub>1 − X</sub>) इस वितरण के लिए भी मौजूद है
+एक दूसरा हार्मोनिक माध्य (एच<sub>1 − X</sub>) इस वितरण के लिए भी सम्मलित है
 :<math>H_{1-X} =  \frac{\beta - 1}{\alpha + \beta - 1} \text{ conditional on } \beta > 1 \, \, \& \, \, \alpha > 0</math>
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    \lim_{\alpha \to 0} H_{1-X} &= \lim_{\beta \to \infty}  H_{1-X} = 1
 \end{align}</math>
-हालांकि दोनों हार्मोनिक साधन असममित हैं, जब α = β दोनों साधन बराबर होते हैं।
+चूंकि दोनों हार्मोनिक साधन असममित हैं, जब α = β दोनों साधन बराबर होते हैं।
 == [[तार्किक वितरण]] ==
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 == सांख्यिकी ==
-एक यादृच्छिक नमूने के लिए, हार्मोनिक माध्य की गणना ऊपर की तरह की जाती है। अपेक्षित मान और प्रसरण दोनों अनंत हो सकते हैं (यदि इसमें 1/0 रूप का कम से कम एक पद शामिल है)।
+एक यादृच्छिक नमूने के लिए, हार्मोनिक माध्य की गणना ऊपर की तरह की जाती है। अपेक्षित मान और प्रसरण दोनों अनंत हो सकते हैं (यदि इसमें 1/0 रूप का कम से कम एक पद सम्मलित है)।
 === माध्य और विचरण का नमूना वितरण ===
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 माध्य का विचरण ही है<ref name=Zelen1972>Zelen M (1972) Length-biased sampling and biomedical problems. In: Biometric Society Meeting, Dallas, Texas</ref>
 : <math>\operatorname{Var}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{m \left[\operatorname{E}\left(\frac{1}{x} - 1\right)\right]}{n m^2}</math>
-जहाँ m व्युत्क्रमों का अंकगणितीय माध्य है, x चर हैं, n जनसंख्या का आकार है और E अपेक्षा संकारक है।
+जहाँ m व्युत्क्रमों का समान्तर माध्य है, x चर हैं, n जनसंख्या का आकार है और E अपेक्षा संकारक है।
 === डेल्टा विधि ===
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 : <math>\operatorname{Var}(H) = \frac{1}{n}\frac{s^2}{m^4}</math>
-जहाँ H हार्मोनिक माध्य है, m व्युत्क्रम का अंकगणितीय माध्य है
+जहाँ H हार्मोनिक माध्य है, m व्युत्क्रम का समान्तर माध्य है
 : <math>m = \frac{1}{n} \sum{ \frac{1}{x} }.</math>
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 === जैकनाइफ विधि ===
-यदि माध्य ज्ञात हो, तो प्रसरण का अनुमान लगाने की एक रीसैंपलिंग (सांख्यिकी)#जैकनाइफ विधि संभव है।<ref name=Lam1985>Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229-231</ref> यह विधि 'डिलीट एम' संस्करण के बजाय सामान्य 'डिलीट 1' है।
+यदि माध्य ज्ञात हो, तो प्रसरण का अनुमान लगाने की एक रीसैंपलिंग (सांख्यिकी)#जैकनाइफ विधि संभव है।<ref name=Lam1985>Lam FC (1985) Estimate of variance for harmonic mean half lives. J Pharm Sci 74(2) 229-231</ref> यह विधि 'डिलीट एम' संस्करण के अतिरिक्त सामान्य 'डिलीट 1' है।
 इस विधि में पहले नमूने के माध्य (एम) की गणना की आवश्यकता होती है
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 हार्मोनिक माध्य की अपेक्षा गैर-लम्बाई बायस्ड संस्करण E( x ) के समान है
 :  <math> E^*( x^{ -1 } ) = E( x )^{ -1 } </math>
-कपड़ा निर्माण सहित कई क्षेत्रों में लंबाई पक्षपातपूर्ण नमूनाकरण की समस्या उत्पन्न होती है<ref name=Cox1969>Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience</ref> वंशावली विश्लेषण<ref name=Davidov2001>Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length‐biased sampling. Biostat 2(2): 173-181 {{doi|10.1093/biostatistics/2.2.173}}</ref> और उत्तरजीविता विश्लेषण<ref name=Zelen1969>Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601-614</ref>
+कपड़ा निर्माण सहित कई क्षेत्रों में लंबाई पक्षपातपूर्ण नमूनाकरण की समस्या उत्पन्न होती है<ref name=Cox1969>Cox DR (1969) Some sampling problems in technology. In: New developments in survey sampling. U.L. Johnson, H Smith eds. New York: Wiley Interscience</ref> वंशावली विश्लेषण<ref name="Davidov2001">Davidov O, Zelen M (2001) Referent sampling, family history and relative risk: the role of length‐biased sampling. Biostat 2(2): 173-181 {{doi|10.1093/biostatistics/2.2.173}}</ref> और उत्तरजीविता विश्लेषण<ref name=Zelen1969>Zelen M, Feinleib M (1969) On the theory of screening for chronic diseases. Biometrika 56: 601-614</ref>
 अकमन एट अल। नमूनों में लंबाई आधारित पूर्वाग्रह का पता लगाने के लिए एक परीक्षण विकसित किया है।<ref name=Akman2007>Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) A simple test for detection of length-biased sampling. J Biostats 1 (2) 189-195</ref>
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 गुरलैंड ने दिखाया है<ref name=Gurland1967>Gurland J (1967) An inequality satisfied by the expectation of the reciprocal of a random variable. The American Statistician. 21 (2) 24</ref> एक वितरण के लिए जो केवल धनात्मक मान लेता है, किसी भी n > 0 के लिए
 : <math>\operatorname{E} \left(X^{-1}\right) \ge \frac{\operatorname{E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname{E}\left(X^n\right)} .</math>
-कुछ शर्तों के तहत<ref name=Sung2010>Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic {{doi|10.1155/2010/823767}}</ref>
+कुछ शर्तों के तहत<ref name="Sung2010">Sung SH (2010) On inverse moments for a class of nonnegative random variables. J Inequal Applic {{doi|10.1155/2010/823767}}</ref>
 : <math>\operatorname{E}(a + X)^{-n} \sim \operatorname{E}\left(a + X^{-n}\right)</math>
 जहाँ ~ का अर्थ लगभग बराबर है।
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    \frac{H \log_e \left(1 + C_v\right)}{n} \left[ 1 + \frac{1 + C_v^2}{4} \right]
 \end{align}</math>
-संख्यात्मक प्रयोगों में एच<sub>3</sub> एच की तुलना में आमतौर पर हार्मोनिक माध्य का एक बेहतर अनुमानक है<sub>1</sub>.<ref name="Limbrunner2000"/>एच<sub>2</sub> ऐसे अनुमान उत्पन्न करता है जो काफी हद तक एच के समान हैं<sub>1</sub>.
+संख्यात्मक प्रयोगों में एच<sub>3</sub> एच की तुलना में सामान्यतः हार्मोनिक माध्य का एक बेहतर अनुमानक है<sub>1</sub>.<ref name="Limbrunner2000"/>एच<sub>2</sub> ऐसे अनुमान उत्पन्न करता है जो काफी हद तक एच के समान हैं<sub>1</sub>.
 ==टिप्पणियाँ==
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 *अवतल समारोह
 *सही त्रिकोण
-*अगर और केवल अगर
+*यदि और केवल यदि
 *भारित अंकगणितीय औसत
 *आकार जांच

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