परिवृत्त: Difference between revisions

Revision as of 16:59, 15 December 2022

परिबद्ध घेरा,

C

, और परिधि,

O

, एक चक्रीय बहुभुज का,

P

ज्यामिति में, किसी बहुभुज का परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त एक वृत्त होता है जो बहुभुज के सभी शीर्षों (ज्यामिति) से होकर गुजरता है। इस वृत्त के केंद्र को परिकेन्द्र तथा इसकी त्रिज्या को परिवृत्त कहते हैं।

प्रत्येक बहुभुज का एक परिबद्ध वृत्त नहीं होता है। एक बहुभुज जिसमें एक होता है उसे चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, या कभी-कभी एक चक्रीय बहुभुज कहा जाता है क्योंकि इसके शिखर चक्रीय होते हैं। सभी त्रिकोण, सभी नियमित बहुभुज सरल बहुभुज, सभी आयत, सभी समद्विबाहु समलंब, और सभी सही पतंग चक्रीय हैं।

एक संबंधित धारणा सबसे छोटी वृत्त समस्या में से एक है, जो कि सबसे छोटा वृत्त है जिसमें पूरी तरह से बहुभुज शामिल है, यदि वृत्त का केंद्र बहुभुज के भीतर है। प्रत्येक बहुभुज में एक अद्वितीय न्यूनतम बाउंडिंग घेरा होता है, जिसे एक रेखीय समय एल्गोरिथम द्वारा निर्मित किया जा सकता है।^[1] भले ही किसी बहुभुज में एक परिबद्ध वृत्त हो, यह अपने न्यूनतम बाउंडिंग वृत्त से भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिकोण के लिए, न्यूनतम परिबद्ध वृत्त का व्यास के रूप में सबसे लंबा पक्ष होता है और विपरीत शीर्ष से नहीं गुजरता है।

त्रिकोण

सभी त्रिभुज चक्रीय हैं; अर्थात्, प्रत्येक त्रिभुज का एक परिबद्ध वृत्त होता है।

सीधा किनारा और कम्पास निर्माण

त्रिभुज के परिवृत्त का कम्पास-और-सीधा निर्माण

△ ABC

और परिधि

Q

त्रिभुज का परिकेन्द्र तीन द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों में से किन्हीं दो को आरेखित करके परकार-और-सीधा किनारा निर्माण हो सकता है। तीन गैर-समरेख बिंदुओं के लिए, ये दो रेखाएँ समानांतर नहीं हो सकती हैं, और परिकेन्द्र वह बिंदु है जहाँ वे पार करते हैं। समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु उन दो बिंदुओं से समान दूरी पर होता है जिन्हें वह समद्विभाजित करता है, जिससे यह अनुसरण करता है कि यह बिंदु, दोनों द्विभाजकों पर, तीनों त्रिभुज शिखरों से समान दूरी पर है।

परिधि इससे तीन शीर्षों में से किसी की दूरी है।

वैकल्पिक निर्माण

Alternative construction of the circumcenter (टूटी हुई रेखाओं का चौराहा)

परिकेन्द्र निर्धारित करने का एक वैकल्पिक तरीका यह है कि कोई भी दो रेखाएँ खींची जाएँ जिनमें से प्रत्येक किसी एक शीर्ष से उभयनिष्ठ भुजा के साथ एक कोण पर जाए, प्रस्थान का उभयनिष्ठ कोण 90° घटा विपरीत शीर्ष का कोण हो। (विपरीत कोण के अधिक कोण होने की स्थिति में ऋणात्मक कोण पर एक रेखा खींचने का अर्थ है त्रिभुज के बाहर जाना।)

मार्गदर्शन में, एक त्रिभुज के परिवृत्त का उपयोग कभी-कभी किसी कम्पास के उपलब्ध न होने पर षष्ठक का उपयोग करके स्थिति रेखा प्राप्त करने के तरीके के रूप में किया जाता है। दो स्थलों के बीच का क्षैतिज कोण उस परिवृत्त को परिभाषित करता है जिस पर पर्यवेक्षक स्थित होता है।

परिवृत्त समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

यूक्लिडियन विमान में, उत्कीर्ण त्रिभुज के शीर्षों के कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिवृत्त का एक समीकरण देना संभव है। मान लो कि

{\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{x},A_{y})\\\mathbf {B} &=(B_{x},B_{y})\\\mathbf {C} &=(C_{x},C_{y})\end{aligned}}

बिंदुओं के निर्देशांक हैं $A, B, C$ . परिवृत्त तब बिंदुओं का स्थान है $\mathbf {v} =(v_{x},v_{y})$ कार्तीय तल में समीकरणों को संतुष्ट करता है

{\begin{aligned}|\mathbf {v} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {A} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {B} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\\|\mathbf {C} -\mathbf {u} |^{2}&=r^{2}\end{aligned}}

गारंटी है कि अंक $A, B, C, v$ सभी समान दूरी हैं $r$ आम केंद्र से $u$ वृत्त का। ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग करते हुए, ये समीकरण इस स्थिति में कम हो जाते हैं कि मैट्रिक्स (गणित)

{\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&-2v_{x}&-2v_{y}&-1\\|\mathbf {A} |^{2}&-2A_{x}&-2A_{y}&-1\\|\mathbf {B} |^{2}&-2B_{x}&-2B_{y}&-1\\|\mathbf {C} |^{2}&-2C_{x}&-2C_{y}&-1\end{bmatrix}}

एक अशून्य कर्नेल (रैखिक बीजगणित) है। इस प्रकार परिधि को वैकल्पिक रूप से इस मैट्रिक्स के निर्धारक के शून्य के स्थान (गणित) के रूप में वर्णित किया जा सकता है:

\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {v} |^{2}&v_{x}&v_{y}&1\\|\mathbf {A} |^{2}&A_{x}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{x}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}}=0.

कॉफ़ेक्टर विस्तार का उपयोग करते हुए, आइए

{\begin{aligned}S_{x}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}|\mathbf {A} |^{2}&A_{y}&1\\|\mathbf {B} |^{2}&B_{y}&1\\|\mathbf {C} |^{2}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]S_{y}&={\frac {1}{2}}\det {\begin{bmatrix}A_{x}&|\mathbf {A} |^{2}&1\\B_{x}&|\mathbf {B} |^{2}&1\\C_{x}&|\mathbf {C} |^{2}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]a&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&1\\B_{x}&B_{y}&1\\C_{x}&C_{y}&1\end{bmatrix}},\\[5pt]b&=\det {\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&|\mathbf {A} |^{2}\\B_{x}&B_{y}&|\mathbf {B} |^{2}\\C_{x}&C_{y}&|\mathbf {C} |^{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}

हमारे पास है $a|\mathbf {v} |^{2}-2\mathbf {Sv} -b=0$ कहाँ पे $\mathbf {S} =(S_{x},S_{y}),$ और - यह मानते हुए कि तीन बिंदु एक रेखा में नहीं थे (अन्यथा परिवृत्त वह रेखा है जिसे सामान्यीकृत वृत्त के रूप में भी देखा जा सकता है $S$ अनंत पर) – $\left|\mathbf {v} -{\tfrac {\mathbf {S} }{a}}\right|^{2}={\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}},$ परिकेंद्र दे रहा है ${\tfrac {\mathbf {S} }{a}}$ और परिधि ${\sqrt {{\tfrac {b}{a}}+{\tfrac {|\mathbf {S} |^{2}}{a^{2}}}}}.$ इसी तरह का दृष्टिकोण किसी को चतुर्पाश्वीय के परिधि के समीकरण को निकालने की अनुमति देता है।

पैरामीट्रिक समीकरण

सर्कल वाले विमान के लंबवत एक इकाई वेक्टर द्वारा दिया गया है

{\widehat {n}}={\frac {(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})}{|(P_{2}-P_{1})\times (P_{3}-P_{1})|}}.

इसलिए, त्रिज्या दी गई है, $r$ , केंद्र, $P c$ , वृत्त पर एक बिंदु, $P 0$ और वृत्त वाले तल का एक सामान्य इकाई, ${\widehat {n}},$ बिंदु से शुरू होने वाले वृत्त का एक पैरामीट्रिक समीकरण $P 0$ और एक सकारात्मक रूप से उन्मुख (यानी, दाएँ हाथ का नियम | दाएँ हाथ का) अर्थ के बारे में आगे बढ़ना ${\widehat {n}}$ निम्नलखित में से कोई:

\mathrm {R} (s)=\mathrm {P_{c}} +\cos \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)(P_{0}-P_{c})+\sin \left({\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {r} }}\right)\left[{\widehat {n}}\times (P_{0}-P_{c})\right].

त्रिरेखीय और बेरिकेंट्रिक निर्देशांक

त्रिरेखीय निर्देशांक में परिवृत्त के लिए एक समीकरण $x : y : z$ है^[2] ${\tfrac {a}{x}}+{\tfrac {b}{y}}+{\tfrac {c}{z}}=0.$ बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) में परिवृत्त के लिए एक समीकरण $x : y : z$ है ${\tfrac {a^{2}}{x}}+{\tfrac {b^{2}}{y}}+{\tfrac {c^{2}}{z}}=0.$ परिवृत्त का समकोणीय संयुग्म अनंत पर रेखा है, जिसे त्रिरेखीय निर्देशांक में दिया गया है $ax+by+cz=0$ और बैरीसेंट्रिक द्वारा निर्देशांक में $x+y+z=0.$

उच्च आयाम

इसके अतिरिक्त, एक त्रिभुज का परिवृत्त अंदर सन्निहित है $d$ सामान्यीकृत विधि का उपयोग करके आयामों को पाया जा सकता है। होने देना $A, B, C$ होना $d$ -विमीय बिंदु, जो त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं। हम सिस्टम को जगह में स्थानांतरित करके शुरू करते हैं $C$ उत्पत्ति पर:

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}

परिधि $r$ तब है

r={\frac {\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|}}={\frac {\left\|\mathbf {a} -\mathbf {b} \right\|}{2\sin \theta }}={\frac {\left\|\mathbf {A} -\mathbf {B} \right\|}{2\sin \theta }},

कहाँ पे $θ$ के बीच का आंतरिक कोण है $a$ तथा $b$ . परिधि, $p 0$ , द्वारा दिया गया है

p_{0}={\frac {(\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\mathbf {b} -\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}\mathbf {a} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}{2\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}}}+\mathbf {C} .

यह सूत्र केवल तीन आयामों में काम करता है क्योंकि क्रॉस उत्पाद को अन्य आयामों में परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन क्रॉस उत्पादों को निम्न पहचानों के साथ बदलकर इसे अन्य आयामों में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

{\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {a} ,\\\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} ,\\\left\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \right\|^{2}&=\left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.\end{aligned}}

परिकेंद्र निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांक

परिकेन्द्र के कार्तीय निर्देशांक $U=\left(U_{x},U_{y}\right)$ हैं

{\begin{aligned}U_{x}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(B_{y}-C_{y})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(C_{y}-A_{y})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(A_{y}-B_{y})\right]\\[5pt]U_{y}&={\frac {1}{D}}\left[(A_{x}^{2}+A_{y}^{2})(C_{x}-B_{x})+(B_{x}^{2}+B_{y}^{2})(A_{x}-C_{x})+(C_{x}^{2}+C_{y}^{2})(B_{x}-A_{x})\right]\end{aligned}}

साथ

D=2\left[A_{x}(B_{y}-C_{y})+B_{x}(C_{y}-A_{y})+C_{x}(A_{y}-B_{y})\right].\,

व्यापकता के नुकसान के बिना शीर्ष के अनुवाद के बाद इसे सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है $A$ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के लिए, अर्थात, कब $A'=A-A=(A'_{x},A'_{y})=(0,0).$ इस मामले में, शिखर के निर्देशांक $B'=B-A$ तथा $C'=C-A$ शीर्ष से सदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं $A'$ इन शिखरों तक। ध्यान दें कि यह तुच्छ अनुवाद सभी त्रिभुजों और परिकेन्द्र के लिए संभव है $U'=(U'_{x},U'_{y})$ त्रिकोण का $△ A'B'C'$ अनुसरण जैसे

{\begin{aligned}U'_{x}&={\frac {1}{D'}}\left[C'_{y}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})-B'_{y}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})\right],\\[5pt]U'_{y}&={\frac {1}{D'}}\left[B'_{x}({C'_{x}}^{2}+{C'_{y}}^{2})-C'_{x}({B'_{x}}^{2}+{B'_{y}}^{2})\right]\end{aligned}}

साथ

D'=2(B'_{x}C'_{y}-B'_{y}C'_{x}).\,

वर्टेक्स के अनुवाद के कारण $A$ उत्पत्ति के लिए, परिधि $r$ रूप में परिकलित किया जा सकता है

r=\|U'\|={\sqrt {{U'_{x}}^{2}+{U'_{y}}^{2}}}

और का वास्तविक परिकेन्द्र $△ ABC$ इस प्रकार है

U=U'+A

त्रिरेखीय निर्देशांक

परिकेन्द्र में त्रिरेखीय निर्देशांक होते हैं^[3]

\cos \alpha :\cos \beta :\cos \gamma

कहाँ पे $α, β, γ$ त्रिभुज के कोण हैं।

पक्ष की लंबाई के संदर्भ में $a, b, c$ , त्रिरेखीय हैं^[4]

a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):b\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):c\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right).

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक

परिकेन्द्र में बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं (गणित)^[5]

a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right):\;b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right):\;c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right),\,

कहाँ पे $a, b, c$ किनारे की लंबाई हैं $BC, CA, AB$ क्रमशः) त्रिकोण के।

त्रिभुज के कोणों के संदर्भ में $α, β, γ$ , परिकेन्द्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं^[4]

\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .

परिकेंद्र वेक्टर

चूँकि किसी भी बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक उन शीर्षों का भारित औसत होते हैं, जहाँ भार बिंदु के बेरिकेंट्रिक निर्देशांक होते हैं जो एकता के योग के लिए सामान्यीकृत होते हैं, परिकेन्द्र सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है

U={\frac {a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)A+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)B+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)C}{a^{2}\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+a^{2}-b^{2}\right)+c^{2}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)}}.

यहां $U$ परिकेन्द्र का सदिश है और $A, B, C$ वर्टेक्स वैक्टर हैं। यहाँ विभाजक बराबर है $16 S 2$ कहाँ पे $S$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है। जैसा कि पहले कहा गया है

{\begin{aligned}\mathbf {a} &=\mathbf {A} -\mathbf {C} ,\\\mathbf {b} &=\mathbf {B} -\mathbf {C} .\end{aligned}}

कार्टेशियन क्रॉस- और डॉट-उत्पादों से समन्वय करता है

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए तीन गैर-समरेख बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक अनूठा वृत्त है $P 1, P 2, P 3$ . स्थानिक वैक्टर के रूप में इन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करना, सर्कल के त्रिज्या और केंद्र की गणना करने के लिए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद का उपयोग करना संभव है। होने देना

\mathrm {P_{1}} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{2}} ={\begin{bmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{bmatrix}},\mathrm {P_{3}} ={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{bmatrix}}

तब वृत्त की त्रिज्या द्वारा दिया जाता है

\mathrm {r} ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|\left|P_{2}-P_{3}\right|\left|P_{3}-P_{1}\right|}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|}}

वृत्त का केंद्र रैखिक संयोजन द्वारा दिया गया है

\mathrm {P_{c}} =\alpha \,P_{1}+\beta \,P_{2}+\gamma \,P_{3}

कहाँ पे

{\begin{aligned}\alpha ={\frac {\left|P_{2}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{1}-P_{2}\right)\cdot \left(P_{1}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\beta ={\frac {\left|P_{1}-P_{3}\right|^{2}\left(P_{2}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{2}-P_{3}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\\\gamma ={\frac {\left|P_{1}-P_{2}\right|^{2}\left(P_{3}-P_{1}\right)\cdot \left(P_{3}-P_{2}\right)}{2\left|\left(P_{1}-P_{2}\right)\times \left(P_{2}-P_{3}\right)\right|^{2}}}\end{aligned}}

त्रिभुज के सापेक्ष स्थान

परिकेन्द्र की स्थिति त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करती है:

एक तीव्र त्रिभुज के लिए (सभी कोण समकोण से छोटे होते हैं), परिकेंद्र हमेशा त्रिभुज के अंदर होता है।
एक समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेंद्र हमेशा कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। यह थेल्स प्रमेय का एक रूप है।
अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए (एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण से बड़ा होता है), परिकेन्द्र हमेशा त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।

The circumcenter of an acute triangle is inside the triangle

The circumcenter of a right triangle is at the midpoint of the hypotenuse

The circumcenter of an obtuse triangle is outside the triangle

परिधि के लिए ऊपर दिए गए त्रिरेखीय या बेरिकेंट्रिक निर्देशांक पर विचार करके इन स्थानीय विशेषताओं को देखा जा सकता है: सभी तीन निर्देशांक किसी भी आंतरिक बिंदु के लिए धनात्मक होते हैं, कम से कम एक निर्देशांक किसी बाहरी बिंदु के लिए ऋणात्मक होता है, और एक निर्देशांक शून्य होता है और दो निर्देशांक के लिए धनात्मक होते हैं। त्रिभुज की एक भुजा पर एक गैर-शीर्ष बिंदु।

कोण

त्रिभुज की भुजाओं के साथ परिचालित वृत्त जो कोण बनाता है, वे उन कोणों से मेल खाते हैं जिन पर भुजाएँ एक दूसरे से मिलती हैं। पक्ष विपरीत कोण $α$ वृत्त से दो बार मिलता है: प्रत्येक छोर पर एक बार; प्रत्येक मामले में कोण पर $α$ (इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए)। यह वैकल्पिक खंड प्रमेय के कारण है, जिसमें कहा गया है कि स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।

===त्रिभुज त्रिभुज ABC=== के परिवृत्त पर स्थित है इस खंड में, शीर्ष कोणों को लेबल किया गया है $A, B, C$ और सभी निर्देशांक ट्रिलिनियर निर्देशांक हैं:

स्टेनर बिंदु (त्रिकोण): स्टेनर दीर्घवृत्त के साथ परिवृत्त के प्रतिच्छेदन का अशीर्ष बिंदु।

{\frac {bc}{b^{2}-c^{2}}}:{\frac {ca}{c^{2}-a^{2}}}:{\frac {ab}{a^{2}-b^{2}}}

(स्टाइनर दीर्घवृत्त, केंद्र के साथ = केन्द्रक (

ABC

), कम से कम क्षेत्र का दीर्घवृत्त है जो गुजरता है

A, B, C

. इस दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण है

{\tfrac {1}{ax}}+{\tfrac {1}{by}}+{\tfrac {1}{cz}}=0

.)

टैरी पॉइंट: स्टेनर पॉइंट का एंटीपोड

\sec(A+\omega ):\sec(B+\omega ):\sec(C+\omega )

टिपिंग पैराबोला का फोकस:

\csc(B-C):\csc(C-A):\csc(A-B).

अन्य गुण

परिवृत्त का व्यास, जिसे परिवृत्त कहा जाता है और परिधि के दोगुने के बराबर होता है, की गणना त्रिकोण के किसी भी भुजा की लंबाई को विपरीत कोण की ज्या से विभाजित करके की जा सकती है:

{\text{diameter}}={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.

ज्या के नियम के परिणामस्वरूप, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा पक्ष और विपरीत कोण लिया जाता है: परिणाम समान होगा।

परिधि के व्यास को भी व्यक्त किया जा सकता है

{\begin{aligned}{\text{diameter}}&{}={\frac {abc}{2\cdot {\text{area}}}}={\frac {|AB||BC||CA|}{2|\Delta ABC|}}\\[5pt]&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[5pt]&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}\end{aligned}}

कहाँ पे $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और $s={\tfrac {a+b+c}{2}}$ अर्द्धपरिधि है। भावाभिव्यक्ति $\scriptstyle {\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ऊपर त्रिभुज का क्षेत्रफल हैरोन के सूत्र द्वारा।^[6] परिवृत्त के व्यास के लिए त्रिकोणमितीय भाव शामिल हैं^[7]

{\text{diameter}}={\sqrt {\frac {2\cdot {\text{area}}}{\sin A\sin B\sin C}}}.

त्रिभुज के नौ-बिंदु वाले वृत्त का व्यास परिवृत्त का आधा होता है।

किसी दिए गए त्रिभुज में, परिकेन्द्र हमेशा केन्द्रक और लंबकेन्द्र के साथ संरेखी होता है। उन सभी से होकर गुजरने वाली रेखा को यूलर रेखा के रूप में जाना जाता है।

परिधि का आइसोगोनल संयुग्म orthocenter है।

तीन बिंदुओं की उपयोगी सबसे छोटी वृत्त समस्या को या तो परिवृत्त (जहां तीन बिंदु न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल पर हैं) या त्रिकोण के सबसे लंबे किनारे के दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है (जहां दो बिंदु वृत्त के एक व्यास को परिभाषित करते हैं)। न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल को परिवृत्त के साथ भ्रमित करना आम है।

तीन समरेख बिंदुओं का परिवृत्त वह रेखा है जिस पर तीन बिंदु स्थित होते हैं, जिसे अक्सर अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है। लगभग संरेख बिंदु अक्सर परिवृत्त की गणना में संख्यात्मक अस्थिरता का कारण बनते हैं।

त्रिभुजों के परिवृत्तों का बिंदुओं के समुच्चय (गणित) के डेलाउने त्रिकोणासन से घनिष्ठ संबंध होता है।

ज्यामिति में यूलर के प्रमेय द्वारा परिकेन्द्र के बीच की दूरी $O$ और केंद्र $I$ है

{\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}},

कहाँ पे $r$ अंतःवृत्त त्रिज्या है और $R$ परिवृत्त त्रिज्या है; इसलिए परित्रिज्या अंतःत्रिज्या से कम से कम दुगुनी है (यूलर असमानता|यूलर की त्रिकोण असमानता), केवल समबाहु त्रिभुज मामले में समानता के साथ।^[8]^[9] बीच की दूरी $O$ और ऑर्थोसेंटर $H$ है^[10]^[11]

{\overline {OH}}={\sqrt {R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C}}={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}.

केन्द्रक के लिए $G$ और नौ सूत्री केंद्र $N$ अपने पास

{\begin{aligned}{\overline {IG}}&<{\overline {IO}},\\2{\overline {IN}}&<{\overline {IO}},\\{\overline {OI}}^{2}&=2R\cdot {\overline {IN}}.\end{aligned}}

भुजाओं वाले त्रिभुज की अंतःवृत्त त्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या का गुणनफल $a, b, c$ है^[12]

rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.

परिधि के साथ $R$ , पक्ष $a, b, c$ , और माध्यिका (ज्यामिति) $m a, m b, m c$ , अपने पास^[13]

{\begin{aligned}3{\sqrt {3}}R&\geq a+b+c\\[5pt]9R^{2}&\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}\\[5pt]{\frac {27}{4}}R^{2}&\geq m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.\end{aligned}}

यदि माध्यिका $m$ , ऊंचाई $h$ , और आंतरिक द्विभाजक $t$ सभी परिधि वाले त्रिकोण के एक ही शीर्ष से निकलते हैं $R$ , फिर^[14]

4R^{2}h^{2}(t^{2}-h^{2})=t^{4}(m^{2}-h^{2}).

कार्नोट का प्रमेय (से कम, सर्कमरेडियस) | कार्नोट का प्रमेय कहता है कि परिधि से तीन तरफ की दूरी का योग परिधि और अंतःत्रिज्या के योग के बराबर है।^[15] यहां खंड की लंबाई ऋणात्मक मानी जाती है यदि और केवल यदि खंड पूरी तरह से त्रिभुज के बाहर स्थित हो।

यदि किसी त्रिभुज के दो विशेष वृत्त इसके परिवृत्त और अंतःवृत्त हैं, तो परिवृत्त पर एक शीर्ष के रूप में किसी भी बिंदु के साथ एक ही परिवृत्त और अंतःवृत्त के साथ अनंत संख्या में अन्य त्रिभुज मौजूद हैं। (यह है $n = 3$ पोंसेलेट के पोरिज्म का मामला)। ऐसे त्रिभुजों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त उपरोक्त समानता है ${\overline {OI}}={\sqrt {R(R-2r)}}.$ ^[16]

चक्रीय चतुर्भुज

जिन चतुर्भुजों को परिचालित किया जा सकता है, उनमें विशेष गुण होते हैं, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि विपरीत कोण पूरक कोण हैं (180° या π रेडियन तक जोड़कर)।

चक्रीय एन-गोंन्स

वलय (गणित) राग सूत्र के परिणाम के रूप में, हर इकाई के परिवृत्त और अंतःवृत्त से घिरा क्षेत्र नियमित

n

-गॉन है

π

/4

भुजाओं की विषम संख्या वाले चक्रीय बहुभुज के लिए, सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि बहुभुज नियमित हो। भुजाओं की सम संख्या वाले एक चक्रीय बहुभुज के सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि एकांतर भुजाएँ समान हों (अर्थात, भुजाएँ) 1, 3, 5, … बराबर हैं, और भुजाएँ हैं 2, 4, 6, … बराबर हैं)।^[17]

तर्कसंगत संख्या पक्षों और क्षेत्र के साथ एक चक्रीय पंचकोण को रॉबिन्स पेंटागन के रूप में जाना जाता है; सभी ज्ञात मामलों में, इसके विकर्णों की परिमेय लंबाई भी होती है।^[18] किसी भी चक्रीय में $n$ -सम के साथ चला गया $n$ , एकांतर कोणों के एक सेट (पहला, तीसरा, पाँचवाँ, आदि) का योग एकांतर कोणों के दूसरे सेट के योग के बराबर होता है। यह से प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है $n = 4$ मामले में, प्रत्येक मामले में एक पक्ष को तीन और भुजाओं से बदल दिया जाता है और यह ध्यान दिया जाता है कि ये तीन नए पक्ष पुराने पक्ष के साथ मिलकर एक चतुर्भुज बनाते हैं जिसमें स्वयं यह संपत्ति होती है; बाद वाले चतुर्भुज के एकांतर कोण पिछले चतुर्भुज के एकांतर कोणों के जोड़ का प्रतिनिधित्व करते हैं $n$ -गॉन।

एक चलो $n$ -गो को एक सर्कल में खुदा हुआ है, और दूसरे को जाने दो $n$ - पहले के शीर्ष पर उस वृत्त के स्पर्शरेखा बहुभुज बनें $n$ -गॉन। फिर किसी भी बिंदु से $P$ वृत्त पर, लम्बवत दूरियों का गुणनफल $P$ पहले की तरफ $n$ -गॉन लंबवत दूरी के उत्पाद के बराबर है $P$ दूसरे की तरफ $n$ -गॉन।^[19]

परिवृत्त पर बिंदु

एक चक्रीय चलो $n$ -में शिखर हैं $A 1, \dots, A n$ यूनिट सर्कल पर। फिर किसी भी बिंदु के लिए $M$ लघु चाप पर $A 1 A n$ , से दूरियां $M$ शिखर तक संतुष्ट^[20]

{\begin{cases}{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-2}}}+{\overline {MA_{n}}}<n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is odd}};\\{\overline {MA_{1}}}+{\overline {MA_{3}}}+\cdots +{\overline {MA_{n-3}}}+{\overline {MA_{n-1}}}\leq n/{\sqrt {2}}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}

एक नियमित के लिए $n$ -गॉन, अगर ${\overline {MA_{i}}}$ किसी भी बिंदु से दूरी हैं $M$ परिवृत्त पर शीर्षों तक $A i$ , फिर ^[21]

3({\overline {MA_{1}}}^{2}+{\overline {MA_{2}}}^{2}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{2})^{2}=2n({\overline {MA_{1}}}^{4}+{\overline {MA_{2}}}^{4}+\dots +{\overline {MA_{n}}}^{4}).

=== परिबद्ध स्थिरांक === बहुभुज

परिबद्ध बहुभुजों और वृत्तों का एक क्रम।

कोई भी नियमित बहुभुज चक्रीय होता है। एक इकाई वृत्त पर विचार करें, फिर एक नियमित त्रिभुज को इस प्रकार परिचालित करें कि प्रत्येक भुजा वृत्त को स्पर्श करे। एक वृत्त का परिक्रमण करें, फिर एक वर्ग का परिक्रमण करें। फिर से एक वृत्त का परिसीमन करें, फिर एक नियमित पंचभुज का परिसीमन करें, और इसी तरह आगे भी। परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्या तथाकथित परिवृत्त स्थिरांक में अभिसरित होती है

\prod _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)}}=8.7000366\ldots .

(sequence A051762 in the OEIS). इस स्थिरांक का व्युत्क्रम केप्लर-बाउकैंप स्थिरांक है।

यह भी देखें

द्रव्यमान का परिकेंद्र
सर्कमगॉन
परिबद्ध क्षेत्र
सर्कमसेवियन त्रिकोण
खुदा हुआ घेरा
चक्रीय बहुभुजों के लिए जापानी प्रमेय
चक्रीय चतुर्भुजों के लिए जापानी प्रमेय
जंग की प्रमेय, एक बिंदु के व्यास से संबंधित एक असमानता जो उसके न्यूनतम बाउंडिंग गोले की त्रिज्या पर सेट है
कोस्निटा प्रमेय
लेस्टर की प्रमेय
स्पर्शरेखा बहुभुज
त्रिकोण केंद्र

संदर्भ

↑ Megiddo, N. (1983). "आर में लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए लीनियर-टाइम एल्गोरिदम³ and related problems". SIAM Journal on Computing. 12 (4): 759–776. doi:10.1137/0212052. S2CID 14467740.
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↑ Whitworth (1866), p. 19.
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↑ Weisstein, Eric W. "Barycentric Coordinates". MathWorld.
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↑ Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012). त्रिभुजों का रहस्य. Prometheus Books. pp. 289–290.
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↑ Johnson (1929), p. 72.
↑ ""क्रूक्स मैथेमेटिकम" में प्रस्तावित असमानताएँ" (PDF). The IMO Compendium. p. 190, #332.10.
↑ Meskhishvili, Mamuka (2020). "नियमित बहुभुजों और प्लेटोनिक ठोसों का चक्रीय औसत". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420 (inactive 2022-10-22).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of October 2022 (link)

बाहरी संबंध

Derivation of formula for radius of circumcircle of triangle at Mathalino.com
Semi-regular angle-gons and side-gons: respective generalizations of rectangles and rhombi at Dynamic Geometry Sketches, interactive dynamic geometry sketch.

मैथवर्ल्ड

इंटरएक्टिव

त्रिभुज परिवृत्त और परिधि इंटरैक्टिव एनीमेशन के साथ
परिकेन्द्र के लिए एक इंटरैक्टिव जावा एप्लेट

श्रेणी:त्रिकोण के लिए परिभाषित वृत्त श्रेणी:कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माण

[1] Megiddo, N. (1983). "आर में लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए लीनियर-टाइम एल्गोरिदम³ and related problems". SIAM Journal on Computing. 12 (4): 759–776. doi:10.1137/0212052. S2CID 14467740.

[WW-2] Whitworth, William Allen (1866). त्रिरेखीय निर्देशांक और दो आयामों की आधुनिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य तरीके. Deighton, Bell, and Co. p. 199.

[FOOTNOTEWhitworth1866[httpsarchiveorgdetailstrilinearcoordin00whituoftpagen61mode2up_p._19]-3] Whitworth (1866), p. 19.

[ck-4] 4.0 ^4.1 Kimberling, Clark. "भाग I: परिचय और केंद्र X(1) - X(1000)". Encyclopedia of Triangle Centers. The circumcenter is listed under X(3).

[5] Weisstein, Eric W. "Barycentric Coordinates". MathWorld.

[6] Coxeter, H.S.M. (1969). "Chapter 1". ज्यामिति का परिचय. Wiley. pp. 12–13. ISBN 0-471-50458-0.

[7] Dörrie, Heinrich (1965). प्राथमिक गणित की 100 बड़ी समस्याएं. Dover. p. 379.

[Nelson-8] Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," Mathematics Magazine 81(1), February 2008, 58-61.

[9] Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). "कुछ शास्त्रीय त्रिभुज असमानताओं के गैर-यूक्लिडियन संस्करण". Forum Geometricorum. 12: 197–209. See in particular p. 198.

[10] Gras, Marie-Nicole (2014). "एक्सटच त्रिभुज के परिकेन्द्र और शास्त्रीय केन्द्रों के बीच की दूरी". Forum Geometricorum. 14: 51–61.

[11] Smith, G. C.; Leversha, Gerry (November 2007). "यूलर और त्रिकोण ज्यामिति". The Mathematical Gazette. 91 (522): 436–452. doi:10.1017/S0025557200182087. JSTOR 40378417. S2CID 125341434. See in particular p. 449.

[12] Johnson, Roger A. (1929). आधुनिक ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त की ज्यामिति पर एक प्राथमिक ग्रंथ. Houghton Mifflin Co. p. 189, #298(d). hdl:2027/wu.89043163211. Republished by Dover Publications as Advanced Euclidean Geometry, 1960 and 2007.

[13] Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2012). त्रिभुजों का रहस्य. Prometheus Books. pp. 289–290.

[14] Altshiller Court, Nathan (1952). कॉलेज ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त की आधुनिक ज्यामिति का परिचय (2nd ed.). Barnes & Noble. p. 122, #96. Reprinted by Dover Publications, 2007.

[FOOTNOTEAltshiller_Court195283-15] Altshiller Court (1952), p. 83.

[FOOTNOTEJohnson1929188-16] Johnson (1929), p. 188.

[17] De Villiers, Michael (March 2011). "95.14 समकोणीय चक्रीय और समबाहु परिवृत्त बहुभुज". The Mathematical Gazette. 95 (532): 102–107. doi:10.1017/S0025557200002461. JSTOR 23248632. S2CID 233361080.

[18] Buchholz, Ralph H.; MacDougall, James A. (2008). "परिमेय भुजाओं और क्षेत्रफल के साथ चक्रीय बहुभुज". Journal of Number Theory. 128 (1): 17–48. doi:10.1016/j.jnt.2007.05.005. MR 2382768.

[FOOTNOTEJohnson192972-19] Johnson (1929), p. 72.

[20] ""क्रूक्स मैथेमेटिकम" में प्रस्तावित असमानताएँ" (PDF). The IMO Compendium. p. 190, #332.10.

[Mamuka-21] Meskhishvili, Mamuka (2020). "नियमित बहुभुजों और प्लेटोनिक ठोसों का चक्रीय औसत". Communications in Mathematics and Applications. 11: 335–355. arXiv:2010.12340. doi:10.26713/cma.v11i3.1420 (inactive 2022-10-22).{{cite journal}}: CS1 maint: DOI inactive as of October 2022 (link)

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[21]

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Contents

त्रिकोण

सीधा किनारा और कम्पास निर्माण

वैकल्पिक निर्माण

परिवृत्त समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

पैरामीट्रिक समीकरण

त्रिरेखीय और बेरिकेंट्रिक निर्देशांक

उच्च आयाम

परिकेंद्र निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांक

त्रिरेखीय निर्देशांक

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक

परिकेंद्र वेक्टर

कार्टेशियन क्रॉस- और डॉट-उत्पादों से समन्वय करता है

त्रिभुज के सापेक्ष स्थान

कोण

अन्य गुण

चक्रीय चतुर्भुज

चक्रीय एन-गोंन्स

परिवृत्त पर बिंदु

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

मैथवर्ल्ड

इंटरएक्टिव

Navigation

Navigation

Wiki tools

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Circle that passes through all the vertices of a polygon}}
 {{About|circumscribed circles in geometry|other uses|Circumscription (disambiguation)}}
-[[File:Circumscribed Polygon.svg|thumb|एक चक्रीय बहुभुज, P का परिबद्ध वृत्त, C, और परिकेन्द्र, O]]ज्यामिति में, किसी बहुभुज का परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त एक वृत्त होता है जो बहुभुज के सभी शीर्षों (ज्यामिति) से होकर गुजरता है। इस वृत्त के केंद्र को परिकेन्द्र तथा इसकी त्रिज्या को परिवृत्त कहते हैं।
+[[File:Circumscribed Polygon.svg|thumb|परिबद्ध घेरा, {{mvar|C}}, और परिधि, {{mvar|O}}, एक चक्रीय बहुभुज का, {{mvar|P}}]][[ज्यामिति]] में, किसी [[बहुभुज]] का परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त एक वृत्त होता है जो बहुभुज के सभी शीर्षों (ज्यामिति) से होकर गुजरता है। इस वृत्त के केंद्र को परिकेन्द्र तथा इसकी त्रिज्या को परिवृत्त कहते हैं।
-प्रत्येक बहुभुज का एक परिबद्ध वृत्त नहीं होता है। एक बहुभुज जिसमें एक होता है उसे चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, या कभी-कभी एक चक्रीय बहुभुज कहा जाता है क्योंकि इसके शिखर चक्रीय होते हैं। सभी त्रिकोण, सभी नियमित बहुभुज सरल बहुभुज, सभी आयत, सभी समद्विबाहु समलंब, और सभी सही पतंग चक्रीय हैं।
+प्रत्येक बहुभुज का एक परिबद्ध वृत्त नहीं होता है। एक बहुभुज जिसमें एक होता है उसे चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, या कभी-कभी एक चक्रीय बहुभुज कहा जाता है क्योंकि इसके शिखर चक्रीय होते हैं। सभी [[त्रिकोण]], सभी [[नियमित बहुभुज]] सरल बहुभुज, सभी [[आयत]], सभी समद्विबाहु समलंब, और सभी [[सही पतंग]] चक्रीय हैं।
-एक संबंधित धारणा सबसे छोटी वृत्त समस्या में से एक है, जो कि सबसे छोटा वृत्त है जिसमें पूरी तरह से बहुभुज शामिल है, यदि वृत्त का केंद्र बहुभुज के भीतर है। प्रत्येक बहुभुज में एक अद्वितीय न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल होता है, जिसे एक रेखीय समय एल्गोरिथम द्वारा निर्मित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|first=N.|last=Megiddo|title='''आर'''<sup>3</sup> में लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए लीनियर-टाइम एल्गोरिदम और संबंधित समस्याएं|journal=SIAM Journal on Computing|volume=12|issue=4|pages=759–776|year=1983|doi=10.1137/0212052|s2cid=14467740}}</ref> भले ही किसी बहुभुज में एक परिबद्ध वृत्त हो, यह अपने न्यूनतम बाउंडिंग वृत्त से भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिकोण के लिए, न्यूनतम परिबद्ध वृत्त का व्यास के रूप में सबसे लंबा पक्ष होता है और विपरीत शीर्ष से नहीं गुजरता है।
+एक संबंधित धारणा [[सबसे छोटी वृत्त समस्या]] में से एक है, जो कि सबसे छोटा वृत्त है जिसमें पूरी तरह से बहुभुज शामिल है, यदि वृत्त का केंद्र बहुभुज के भीतर है। प्रत्येक बहुभुज में एक अद्वितीय न्यूनतम बाउंडिंग [[घेरा]] होता है, जिसे एक रेखीय समय एल्गोरिथम द्वारा निर्मित किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|first=N.|last=Megiddo|title='''आर''' में लीनियर प्रोग्रामिंग के लिए लीनियर-टाइम एल्गोरिदम{{sup|3}} and related problems|journal=SIAM Journal on Computing|volume=12|issue=4|pages=759–776|year=1983|doi=10.1137/0212052|s2cid=14467740}}</ref> भले ही किसी बहुभुज में एक परिबद्ध वृत्त हो, यह अपने न्यूनतम बाउंडिंग वृत्त से भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक अधिक त्रिकोण के लिए, न्यूनतम परिबद्ध वृत्त का व्यास के रूप में सबसे लंबा पक्ष होता है और विपरीत शीर्ष से नहीं गुजरता है।
 == त्रिकोण ==
@@ Line 12: / Line 12: @@
 ===सीधा किनारा और कम्पास निर्माण===
-[[File:Circumcenter Construction.svg |upright=1.35|right|thumb|त्रिभुज ABC के परिवृत्त की कम्पास-और-सीधी रचना (<math>\Delta ABC</math>) और परिकेन्द्र Q]]त्रिभुज का परिकेन्द्र तीन द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों में से किन्हीं दो को आरेखित करके परकार-और-सीधा किनारा निर्माण हो सकता है। तीन असंरेख बिंदुओं के लिए,
+[[File:Circumcenter Construction.svg |upright=1.35|right|thumb|त्रिभुज के परिवृत्त का कम्पास-और-सीधा निर्माण {{math|△''ABC''}} और परिधि {{mvar|Q}}]]त्रिभुज का परिकेन्द्र तीन द्विभाजन#लम्ब समद्विभाजकों में से किन्हीं दो को आरेखित करके परकार-और-सीधा किनारा निर्माण हो सकता है। तीन गैर-समरेख बिंदुओं के लिए, ये दो रेखाएँ समानांतर नहीं हो सकती हैं, और परिकेन्द्र वह बिंदु है जहाँ वे पार करते हैं। समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु उन दो बिंदुओं से समान दूरी पर होता है जिन्हें वह समद्विभाजित करता है, जिससे यह अनुसरण करता है कि यह बिंदु, दोनों द्विभाजकों पर, तीनों त्रिभुज शिखरों से समान दूरी पर है।
-ये दो रेखाएँ समानांतर नहीं हो सकती हैं, और परिकेन्द्र वह बिंदु है जहाँ वे एक दूसरे को काटती हैं। समद्विभाजक पर कोई भी बिंदु उन दो बिंदुओं से समान दूरी पर होता है जिन्हें वह समद्विभाजित करता है, जिससे यह अनुसरण करता है कि यह बिंदु, दोनों द्विभाजकों पर, तीनों त्रिभुज शिखरों से समान दूरी पर है।
 परिधि इससे तीन शीर्षों में से किसी की दूरी है।
 {{clear}}
@@ Line 21: / Line 20: @@
 [[File:Triangle circumcenter alternate construction.svg|right|thumb|upright=1.2|Alternative construction of the circumcenter (टूटी हुई रेखाओं का चौराहा)]]परिकेन्द्र निर्धारित करने का एक वैकल्पिक तरीका यह है कि कोई भी दो रेखाएँ खींची जाएँ जिनमें से प्रत्येक किसी एक शीर्ष से उभयनिष्ठ भुजा के साथ एक कोण पर जाए, प्रस्थान का उभयनिष्ठ कोण 90° घटा विपरीत शीर्ष का कोण हो। (विपरीत कोण के अधिक कोण होने की स्थिति में ऋणात्मक कोण पर एक रेखा खींचने का अर्थ है त्रिभुज के बाहर जाना।)
-मार्गदर्शन में, एक त्रिभुज के परिवृत्त का उपयोग कभी-कभी किसी कम्पास के उपलब्ध न होने पर सेक्सटेंट का उपयोग करके स्थिति रेखा प्राप्त करने के तरीके के रूप में किया जाता है। दो स्थलों के बीच का क्षैतिज कोण उस परिवृत्त को परिभाषित करता है जिस पर पर्यवेक्षक स्थित होता है।
+मार्गदर्शन में, एक त्रिभुज के परिवृत्त का उपयोग कभी-कभी किसी कम्पास के उपलब्ध न होने पर [[षष्ठक]] का उपयोग करके [[स्थिति रेखा]] प्राप्त करने के तरीके के रूप में किया जाता है। दो स्थलों के बीच का क्षैतिज कोण उस परिवृत्त को परिभाषित करता है जिस पर पर्यवेक्षक स्थित होता है।
 === परिवृत्त समीकरण ===
-==== कार्तीय निर्देशांक ====
+==== [[कार्तीय निर्देशांक]] ====
-यूक्लिडियन विमान में, उत्कीर्ण त्रिभुज के शीर्षों के कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिवृत्त का एक समीकरण देना संभव है। मान लो कि
+[[यूक्लिडियन विमान]] में, उत्कीर्ण त्रिभुज के शीर्षों के कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिवृत्त का एक समीकरण देना संभव है। मान लो कि
 :<math>\begin{align}
    \mathbf{A} &= (A_x, A_y) \\
@@ Line 32: / Line 31: @@
    \mathbf{C} &= (C_x, C_y)
 \end{align}</math>
-बिंदुओं A, B और C के निर्देशांक हैं। परिवृत्त बिंदु 'v' = (v) का स्थान है<sub>x</sub>, में<sub>y</sub>) कार्तीय तल में समीकरणों को संतुष्ट करता है
+बिंदुओं के निर्देशांक हैं {{mvar|A, B, C}}. परिवृत्त तब बिंदुओं का स्थान है <math>\mathbf v = (v_x,v_y)</math> कार्तीय तल में समीकरणों को संतुष्ट करता है
 :<math>\begin{align}
    |\mathbf{v} - \mathbf{u}|^2 &= r^2 \\
@@ Line 39: / Line 38: @@
    |\mathbf{C} - \mathbf{u}|^2 &= r^2
 \end{align}</math>
-यह गारंटी देते हुए कि बिंदु A, B, C, और v सभी वृत्त के सामान्य केंद्र ''u'' से ''r'' की समान दूरी पर हैं। ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग करते हुए, ये समीकरण इस स्थिति में कम हो जाते हैं कि मैट्रिक्स (गणित)
+गारंटी है कि अंक {{math|'''A''', '''B''', '''C''', '''v'''}} सभी समान दूरी हैं {{mvar|r}} आम केंद्र से {{mvar|u}} वृत्त का। [[ध्रुवीकरण पहचान]] का उपयोग करते हुए, ये समीकरण इस स्थिति में कम हो जाते हैं कि [[मैट्रिक्स (गणित)]]
 :<math>\begin{bmatrix}
    |\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\
@@ Line 53: / Line 52: @@
    |\mathbf{C}|^2 & C_x & C_y & 1
 \end{bmatrix}=0.</math>
-कॉफ़ेक्टर विस्तार का उपयोग करते हुए, आइए
+[[कॉफ़ेक्टर विस्तार]] का उपयोग करते हुए, आइए
 :<math>\begin{align}
    S_x &= \frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}
@@ Line 76: / Line 75: @@
    \end{bmatrix}
 \end{align}</math>
-फिर हमारे पास a|'v'| है<sup>2</sup> − 2Sv - ''b'' = 0 जहाँ S = (''S''<sub>''x''</sub>, एस<sub>''y''</sub>), और - यह मानते हुए कि तीन बिंदु एक रेखा में नहीं थे (अन्यथा परिवृत्त वह रेखा है जिसे अनंत पर S के साथ सामान्यीकृत वृत्त के रूप में भी देखा जा सकता है) - {{nowrap|{{!}}'''v''' − '''S'''/''a''{{!}}<sup>2</sup> {{=}} ''b''/''a'' + {{!}}'''S'''{{!}}<sup>2</sup>/''a''<sup>2</sup>}}, परिकेन्द्र S/''a'' और परित्रिज्या दे रहा है {{nowrap|{{radic|''b''/''a'' + {{!}}'''S'''{{!}}<sup>2</sup>/''a''<sup>2</sup>}}}}. इसी तरह का दृष्टिकोण किसी को टेट्राहेड्रॉन के परिधि के समीकरण को निकालने की अनुमति देता है।
+हमारे पास है <math>a|\mathbf v|^2 - 2\mathbf{Sv} - b = 0</math> कहाँ पे <math>\mathbf S = (S_x, S_y),</math> और - यह मानते हुए कि तीन बिंदु एक रेखा में नहीं थे (अन्यथा परिवृत्त वह रेखा है जिसे सामान्यीकृत वृत्त के रूप में भी देखा जा सकता है {{math|'''S'''}} अनंत पर) – <math>\left|\mathbf v - \tfrac{\mathbf S}{a}\right|^2 = \tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2},</math> परिकेंद्र दे रहा है <math>\tfrac{\mathbf S}{a}</math> और परिधि <math>\sqrt{\tfrac{b}{a} + \tfrac{|\mathbf S|^2}{a^2}}.</math> इसी तरह का दृष्टिकोण किसी को [[चतुर्पाश्वीय]] के परिधि के समीकरण को निकालने की अनुमति देता है।
 ====पैरामीट्रिक समीकरण====
-सर्कल वाले विमान के लंबवत एक यूनिट वेक्टर द्वारा दिया गया है
+सर्कल वाले विमान के लंबवत एक [[इकाई वेक्टर]] द्वारा दिया गया है
 : <math>\widehat{n} = \frac{(P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)}{| (P_2 - P_1) \times (P_3 - P_1)|}.
 </math>
-इसलिए, त्रिज्या, r, केंद्र, P दिया गया है<sub>c</sub>, वृत्त पर एक बिंदु, P<sub>0</sub> और वृत्त वाले समतल का एक इकाई अभिलंब, <math display="inline">\widehat{n}</math>, बिंदु P से शुरू होने वाले वृत्त का एक पैरामीट्रिक समीकरण<sub>0</sub> और एक सकारात्मक रूप से उन्मुख (यानी, दाएं हाथ के नियम | दाएं हाथ के) अर्थ के बारे में आगे बढ़ना <math>\scriptstyle{\widehat{n}}</math> निम्नलखित में से कोई:
+इसलिए, त्रिज्या दी गई है, {{mvar|r}}, केंद्र, {{mvar|P{{sub|c}}}}, वृत्त पर एक बिंदु, {{math|''P''{{sub|0}}}} और वृत्त वाले तल का एक सामान्य इकाई, {{tmath|\widehat n,}} बिंदु से शुरू होने वाले वृत्त का एक पैरामीट्रिक समीकरण {{math|''P''{{sub|0}}}} और एक सकारात्मक रूप से उन्मुख (यानी, दाएँ हाथ का नियम | दाएँ हाथ का) अर्थ के बारे में आगे बढ़ना {{tmath|\widehat n}} निम्नलखित में से कोई:
 :<math>\mathrm{R} (s) = \mathrm{P_c} +
    \cos\left(\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}\right)
@@ Line 93: / Line 92: @@
 ====त्रिरेखीय और बेरिकेंट्रिक निर्देशांक====
-त्रिरेखीय निर्देशांक x : y : z में परिवृत्त के लिए एक समीकरण है<ref name=WW>{{cite book|last=Whitworth|first=William Allen|title=त्रिरेखीय निर्देशांक और दो आयामों की आधुनिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य तरीके|publisher=Deighton, Bell, and Co.|year=1866|page=[https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft/page/n241/mode/2up 199]|url=https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft}}</ref> {{nowrap|''a''/''x'' + ''b''/''y'' + ''c''/''z'' {{=}} 0}}. बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) x : y : z में परिवृत्त के लिए एक समीकरण है {{nowrap|''a''<sup>2</sup>/''x'' + ''b''<sup>2</sup>/''y'' + ''c''<sup>2</sup>/''z'' {{=}} 0}}.
+त्रिरेखीय निर्देशांक में परिवृत्त के लिए एक समीकरण {{math|''x'' : ''y'' : ''z''}} है<ref name=WW>{{cite book|last=Whitworth|first=William Allen|title=त्रिरेखीय निर्देशांक और दो आयामों की आधुनिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति के अन्य तरीके|publisher=Deighton, Bell, and Co.|year=1866|page=[https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft/page/n241/mode/2up 199]|url=https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft}}</ref> <math>\tfrac{a}{x} + \tfrac{b}{y} + \tfrac{c}{z} =0.</math> बेरसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) में परिवृत्त के लिए एक समीकरण {{math|''x'' : ''y'' : ''z''}} है <math>\tfrac{a^2}{x} + \tfrac{b^2}{y} + \tfrac{c^2}{z} =0.</math>
+परिवृत्त का समकोणीय संयुग्म अनंत पर रेखा है, जिसे त्रिरेखीय निर्देशांक में दिया गया है <math>ax+by+cz=0</math> और बैरीसेंट्रिक द्वारा निर्देशांक में <math>x+y+z=0.</math>
-परिवृत्त का समकोणीय संयुग्म अनंत पर रेखा है, जिसे त्रिरेखीय निर्देशांक में दिया गया है {{nowrap|''ax'' + ''by'' + ''cz'' {{=}} 0}} और बैरीसेंट्रिक द्वारा निर्देशांक में {{nowrap|''x'' + ''y'' + ''z'' {{=}} 0}}.
 ==== उच्च आयाम ====
-इसके अतिरिक्त, d आयामों में सन्निहित त्रिभुज का परिवृत्त एक सामान्यीकृत विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है। मान लीजिए 'A', 'B' और 'C' d-विम बिंदु हैं, जो त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं। हम मूल बिंदु पर 'C' रखने के लिए सिस्टम को ट्रांसपोज़ करके शुरू करते हैं:
+इसके अतिरिक्त, एक त्रिभुज का परिवृत्त अंदर सन्निहित है {{mvar|d}} सामान्यीकृत विधि का उपयोग करके आयामों को पाया जा सकता है। होने देना {{math|'''A''', '''B''', '''C'''}} होना {{mvar|d}}-विमीय बिंदु, जो त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं। हम सिस्टम को जगह में स्थानांतरित करके शुरू करते हैं {{math|'''C'''}} उत्पत्ति पर:
 :<math>\begin{align}
    \mathbf{a} &= \mathbf{A}-\mathbf{C}, \\
    \mathbf{b} &= \mathbf{B}-\mathbf{C}.
 \end{align}</math>
-परिधि, आर, तब है
+परिधि {{mvar|r}} तब है
 :<math>r = \frac
               {\left\|\mathbf{a}\right\|\left\|\mathbf{b}\right\|\left\|\mathbf{a} - \mathbf{b}\right\|}
@@ Line 110: / Line 109: @@
           = \frac{\left\|\mathbf{A} - \mathbf{B}\right\|}{2 \sin\theta},
 </math>
-जहाँ θ 'a' और 'b' के बीच का आंतरिक कोण है। परिधि, पी<sub>0</sub>, द्वारा दिया गया है
+कहाँ पे {{mvar|θ}} के बीच का आंतरिक कोण है {{math|'''a'''}} तथा {{math|'''b'''}}. परिधि, {{math|''p''{{sub|0}}}}, द्वारा दिया गया है
 :<math>p_0 = \frac{(\left\|\mathbf{a}\right\|^2\mathbf{b} - \left\|\mathbf{b}\right\|^2\mathbf{a})
                        \times (\mathbf{a} \times \mathbf{b})}
@@ Line 132: / Line 131: @@
 साथ
 :<math>D = 2\left[A_x(B_y - C_y) + B_x(C_y - A_y) + C_x(A_y - B_y)\right].\,</math>
-व्यापकता के नुकसान के बिना इसे कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के शीर्ष ए के अनुवाद के बाद सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यानी, जब {{nowrap|''A''′ {{=}} ''A'' − ''A'' {{=}} (''A''′<sub>''x''</sub>,''A''′<sub>''y''</sub>) {{=}} (0,0)}}. इस मामले में, शिखर के निर्देशांक {{nowrap|''B''′ {{=}} ''B'' − ''A''}} तथा {{nowrap|''C''′ {{=}} ''C'' − ''A''}} शीर्ष A' से इन शीर्षों तक सदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं। ध्यान दें कि यह तुच्छ अनुवाद सभी त्रिभुजों और परिकेन्द्र के लिए संभव है <math>U' = (U'_x, U'_y)</math> त्रिभुज A'B'C' के रूप में अनुसरण करें
+व्यापकता के नुकसान के बिना शीर्ष के अनुवाद के बाद इसे सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है {{mvar|A}} कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के लिए, अर्थात, कब <math>A' = A-A = (A'_x,A'_y) = (0,0).</math> इस मामले में, शिखर के निर्देशांक <math>B'=B-A</math> तथा <math>C'=C-A</math> शीर्ष से सदिशों का प्रतिनिधित्व करते हैं {{mvar|A'}} इन शिखरों तक। ध्यान दें कि यह तुच्छ अनुवाद सभी त्रिभुजों और परिकेन्द्र के लिए संभव है <math>U' = (U'_x, U'_y)</math> त्रिकोण का {{math|△''A'B'C' ''}} अनुसरण जैसे
 :<math>\begin{align}
    U'_x &= \frac{1}{D'}\left[C'_y({B'_x}^2 + {B'_y}^2) - B'_y({C'_x}^2 + {C'_y}^2)\right], \\[5pt]
@@ Line 139: / Line 138: @@
 साथ
 :<math>D' = 2(B'_x C'_y - B'_y C'_x). \,</math>
-वर्टेक्स ए के मूल में अनुवाद के कारण, परिधि आर की गणना की जा सकती है
+वर्टेक्स के अनुवाद के कारण {{mvar|A}} उत्पत्ति के लिए, परिधि {{mvar|r}} रूप में परिकलित किया जा सकता है
 :<math>r = \|U'\| = \sqrt{{U'_x}^2 + {U'_y}^2}</math>
-और ABC का वास्तविक परिकेन्द्र इस प्रकार है
+और का वास्तविक परिकेन्द्र {{math|△''ABC''}} इस प्रकार है
 :<math>U = U' + A</math>
@@ Line 148: / Line 147: @@
 परिकेन्द्र में त्रिरेखीय निर्देशांक होते हैं{{sfnp|Whitworth|1866|loc=[https://archive.org/details/trilinearcoordin00whituoft/page/n61/mode/2up p. 19]}}
-:{{nowrap|cos ''α'' : cos ''β'' : cos ''γ''}}
+:<math>\cos \alpha : \cos \beta : \cos \gamma</math>
-कहाँ पे {{nowrap|''α'', ''β'', ''γ''}} त्रिभुज के कोण हैं।
+कहाँ पे {{mvar|α, β, γ}} त्रिभुज के कोण हैं।
-भुजाओं की लंबाई a, b, c के संदर्भ में त्रिरेखीय हैं<ref name=ck/>
+पक्ष की लंबाई के संदर्भ में {{mvar|a, b, c}}, त्रिरेखीय हैं<ref name=ck/>
 :<math>a\left(b^2 + c^2 - a^2\right) : b\left(c^2 + a^2 - b^2\right) : c\left(a^2 + b^2 - c^2\right).</math>
@@ Line 157: / Line 156: @@
 ====बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ====
-परिकेन्द्र में बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं (गणित)
+परिकेन्द्र में बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं (गणित)<ref>{{mathworld|title=Barycentric Coordinates|id=BarycentricCoordinates}}</ref>
 :<math>
    a^2\left(b^2 + c^2 - a^2\right):\;
    b^2\left(c^2 + a^2 - b^2\right):\;
    c^2\left(a^2 + b^2 - c^2\right),\,
-</math><ref>{{mathworld|title=Barycentric Coordinates|id=BarycentricCoordinates}}</ref>
+</math>
-कहाँ पे {{nowrap|''a'', ''b'', ''c''}} किनारे की लंबाई हैं ({{nowrap|''BC'', ''CA'', ''AB''}} क्रमशः) त्रिभुज का।
+कहाँ पे {{mvar|a, b, c}} किनारे की लंबाई हैं {{mvar|{{overline|BC}}, {{overline|CA}}, {{overline|AB}}}} क्रमशः) त्रिकोण के।
-त्रिभुज के कोणों के संदर्भ में <math>\alpha, \beta, \gamma,</math> परिकेन्द्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं<ref name=ck>{{cite encyclopedia |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|encyclopedia=Encyclopedia of Triangle Centers|title=भाग I: परिचय और केंद्र X(1) - X(1000)|first=Clark|last=Kimberling}} The circumcenter is listed under X(3).</ref>
+त्रिभुज के कोणों के संदर्भ में {{mvar|α, β, γ}}, परिकेन्द्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं<ref name=ck>{{cite encyclopedia |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html|encyclopedia=Encyclopedia of Triangle Centers|title=भाग I: परिचय और केंद्र X(1) - X(1000)|first=Clark|last=Kimberling}} The circumcenter is listed under X(3).</ref>
 :<math>\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .</math>
@@ Line 172: / Line 170: @@
 ====परिकेंद्र वेक्टर====
-चूँकि किसी भी बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक उन शीर्षों का भारित औसत होते हैं, जहाँ भार बिंदु के बेरसेंट्रिक निर्देशांक को एकता के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, परिकेन्द्र सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है
+चूँकि किसी भी बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक उन शीर्षों का भारित औसत होते हैं, जहाँ भार बिंदु के बेरिकेंट्रिक निर्देशांक होते हैं जो एकता के योग के लिए सामान्यीकृत होते हैं, परिकेन्द्र सदिश को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 :<math>U = \frac
@@ Line 178: / Line 176: @@
    {a^2\left(b^2 + c^2 - a^2\right)  + b^2\left(c^2 + a^2 - b^2\right)  + c^2\left(a^2 + b^2 - c^2\right)}.
 </math>
-यहाँ U परिकेन्द्र का सदिश है और A, B, C शीर्ष सदिश हैं। यहाँ भाजक 16S के बराबर है <sup>2</sup> जहां S त्रिभुज का क्षेत्रफल है। जैसा कि पहले कहा गया है
+यहां {{mvar|U}} परिकेन्द्र का सदिश है और {{mvar|A, B, C}} वर्टेक्स वैक्टर हैं। यहाँ विभाजक बराबर है {{math|16''S'' {{sup|2}}}} कहाँ पे {{mvar|S}} त्रिभुज का क्षेत्रफल है। जैसा कि पहले कहा गया है
 :<math>\begin{align}
@@ Line 187: / Line 185: @@
 ==== कार्टेशियन क्रॉस- और डॉट-उत्पादों से समन्वय करता है ====
-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, किसी दिए गए तीन गैर-समरेख बिंदुओं P से गुजरने वाला एक अनूठा वृत्त है<sub>1</sub>, पी<sub>2</sub>, और पी<sub>3</sub>. स्थानिक वैक्टर के रूप में इन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करना, सर्कल के त्रिज्या और केंद्र की गणना करने के लिए डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद का उपयोग करना संभव है। होने देना
+[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में, किसी दिए गए तीन गैर-समरेख बिंदुओं से होकर गुजरने वाला एक अनूठा वृत्त है {{math|''P''{{sub|1}}, ''P''{{sub|2}}, ''P''{{sub|3}}}}. स्थानिक वैक्टर के रूप में इन बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करना, सर्कल के त्रिज्या और केंद्र की गणना करने के लिए [[डॉट उत्पाद]] और क्रॉस उत्पाद का उपयोग करना संभव है। होने देना
 :<math>
    \mathrm{P_1} = \begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{bmatrix},
@@ Line 198: / Line 196: @@
    {2 \left|\left(P_1 - P_2\right) \times \left(P_2 - P_3\right)\right|}
 </math>
-वृत्त का केंद्र रैखिक संयोजन द्वारा दिया गया है
+वृत्त का केंद्र [[रैखिक संयोजन]] द्वारा दिया गया है
 :<math>\mathrm{P_c} = \alpha \, P_1 + \beta \, P_2 + \gamma \, P_3</math>
 कहाँ पे
@@ Line 218: / Line 216: @@
 परिकेन्द्र की स्थिति त्रिभुज के प्रकार पर निर्भर करती है:
 *एक तीव्र त्रिभुज के लिए (सभी कोण समकोण से छोटे होते हैं), परिकेंद्र हमेशा त्रिभुज के अंदर होता है।
-*एक समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेंद्र हमेशा कर्ण के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। यह थेल्स प्रमेय का एक रूप है।
+*एक समकोण त्रिभुज के लिए, परिकेंद्र हमेशा [[कर्ण]] के मध्य बिंदु पर स्थित होता है। यह थेल्स प्रमेय का एक रूप है।
 *अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए (एक त्रिभुज जिसका एक कोण समकोण से बड़ा होता है), परिकेन्द्र हमेशा त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।
@@ Line 234: / Line 232: @@
 |image2=Circumcircle Angles 2.svg|upright=0.6|center]]
 }}
-त्रिभुज की भुजाओं के साथ परिचालित वृत्त जो कोण बनाता है, वे उन कोणों से मेल खाते हैं जिन पर भुजाएँ एक दूसरे से मिलती हैं। पार्श्व विपरीत कोण α सर्कल को दो बार मिलता है: एक बार प्रत्येक छोर पर; प्रत्येक मामले में कोण α पर (इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए)। यह 'वैकल्पिक खंड प्रमेय' के कारण है, जिसमें कहा गया है कि स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।
+त्रिभुज की भुजाओं के साथ परिचालित वृत्त जो कोण बनाता है, वे उन कोणों से मेल खाते हैं जिन पर भुजाएँ एक दूसरे से मिलती हैं। पक्ष विपरीत कोण {{math|α}} वृत्त से दो बार मिलता है: प्रत्येक छोर पर एक बार; प्रत्येक मामले में कोण पर {{math|α}} (इसी तरह अन्य दो कोणों के लिए)। यह वैकल्पिक खंड प्रमेय के कारण है, जिसमें कहा गया है कि स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।
 ===त्रिभुज त्रिभुज ABC=== के परिवृत्त पर स्थित है
-इस खंड में, शीर्ष कोणों को A, B, C के रूप में लेबल किया गया है और सभी निर्देशांक त्रिरेखीय निर्देशांक हैं:
+इस खंड में, शीर्ष कोणों को लेबल किया गया है {{mvar|A, B, C}} और सभी निर्देशांक ट्रिलिनियर निर्देशांक हैं:
-* स्टेनर पॉइंट (त्रिकोण) = बीसी / (बी<sup>2</sup> − सी<sup>2</sup>): के रूप में / (सी<sup>2</sup> − ए<sup>2</sup>) : एबी / (ए<sup>2</sup> − बी<sup>2</sup>) = स्टाइनर दीर्घवृत्त के साथ परिवृत्त के प्रतिच्छेदन का अशीर्ष बिंदु। (स्टाइनर दीर्घवृत्त, केंद्र = केन्द्रक (ABC) के साथ, कम से कम क्षेत्रफल का दीर्घवृत्त है जो A, B और C से होकर गुजरता है। इस दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण है {{nowrap|1/(''ax'') + 1/(''by'') + 1/(''cz'') {{=}} 0}}.)
+*स्टेनर बिंदु (त्रिकोण): स्टेनर दीर्घवृत्त के साथ परिवृत्त के प्रतिच्छेदन का अशीर्ष बिंदु।
-* टैरी पॉइंट = सेक (ए + ω) : सेक (बी + ω) : सेक (सी + ω) = स्टेनर पॉइंट का एंटीपोड
+::<math>\frac{bc}{b^2 - c^2} : \frac{ca}{c^2 - a^2} : \frac{ab}{a^2 - b^2}</math>
-*किपर्ट पैराबोला का फोकस = सीएससी (बी - सी): सीएससी (सी - ए): सीएससी (ए - बी)।
+:(स्टाइनर दीर्घवृत्त, केंद्र के साथ = केन्द्रक ({{mvar|ABC}}), कम से कम क्षेत्र का दीर्घवृत्त है जो गुजरता है {{mvar|A, B, C}}. इस दीर्घवृत्त के लिए एक समीकरण है {{nowrap|<math>\tfrac{1}{ax} + \tfrac{1}{by} + \tfrac{1}{cz} = 0</math>.)}}
+* [[टैरी पॉइंट]]: स्टेनर पॉइंट का एंटीपोड
+::<math>\sec(A + \omega) : \sec(B + \omega) : \sec(C + \omega)</math>
+* [[टिपिंग पैराबोला]] का फोकस:
+::<math>\csc(B-C) : \csc(C-A) : \csc(A-B).</math>
 === अन्य गुण ===
-परिवृत्त का व्यास, जिसे परिवृत्त कहा जाता है और परिधि के दोगुने के बराबर होता है, की गणना त्रिकोण के किसी भी भुजा की लंबाई को विपरीत कोण की ज्या से विभाजित करके की जा सकती है:
+परिवृत्त का [[व्यास]], जिसे परिवृत्त कहा जाता है और परिधि के दोगुने के बराबर होता है, की गणना त्रि[[कोण]] के किसी भी भुजा की लंबाई को विपरीत कोण की ज्या से विभाजित करके की जा सकती है:
 :<math>\text{diameter} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.</math>
@@ Line 255: / Line 258: @@
                    & {}= \frac{2abc}{\sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}}
 \end{align}</math>
-जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और {{nowrap|''s'' {{=}} (''a'' + ''b'' + ''c'')/2}} अर्द्धपरिधि है। भावाभिव्यक्ति <math>\sqrt{\scriptstyle{s(s-a)(s-b)(s-c)}}</math> ऊपर त्रिभुज का क्षेत्रफल हैरोन के सूत्र द्वारा।<ref>{{cite book |author=Coxeter, H.S.M. |pages=[https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe/page/12 12–13] |chapter=Chapter 1 |title=ज्यामिति का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe |url-access=registration |publisher=Wiley |year=1969 |isbn=0-471-50458-0}}</ref> परिवृत्त के व्यास के लिए त्रिकोणमितीय भाव शामिल हैं<ref>{{cite book|last=Dörrie|first=Heinrich|title=प्राथमिक गणित की 100 बड़ी समस्याएं|publisher=Dover|year=1965|page=379}}</ref>
+कहाँ पे {{mvar|a, b, c}} त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं और <math>s=\tfrac{a+b+c}{2}</math> अर्द्धपरिधि है। भावाभिव्यक्ति <math>\scriptstyle \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}</math> ऊपर त्रिभुज का क्षेत्रफल हैरोन के सूत्र द्वारा।<ref>{{cite book |author=Coxeter, H.S.M. |pages=[https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe/page/12 12–13] |chapter=Chapter 1 |title=ज्यामिति का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoge0002coxe |url-access=registration |publisher=Wiley |year=1969 |isbn=0-471-50458-0}}</ref> परिवृत्त के व्यास के लिए त्रिकोणमितीय भाव शामिल हैं<ref>{{cite book|last=Dörrie|first=Heinrich|title=प्राथमिक गणित की 100 बड़ी समस्याएं|publisher=Dover|year=1965|page=379}}</ref>
 :<math>\text{diameter} = \sqrt{\frac{2 \cdot \text{area}}{\sin A \sin B \sin C}}.</math>
 त्रिभुज के नौ-बिंदु वाले वृत्त का व्यास परिवृत्त का आधा होता है।
-किसी दिए गए त्रिभुज में, परिकेन्द्र हमेशा केन्द्रक और लंबकेन्द्र के साथ संरेखी होता है। उन सभी से होकर गुजरने वाली रेखा को यूलर रेखा के रूप में जाना जाता है।
+किसी दिए गए त्रिभुज में, परिकेन्द्र हमेशा [[केन्द्रक]] और लंबकेन्द्र के साथ संरेखी होता है। उन सभी से होकर गुजरने वाली रेखा को यूलर रेखा के रूप में जाना जाता है।
-परिधि का आइसोगोनल संयुग्म ऑर्थोसेंटर है।
+परिधि का आइसोगोनल संयुग्म [[orthocenter]] है।
 तीन बिंदुओं की उपयोगी सबसे छोटी वृत्त समस्या को या तो परिवृत्त (जहां तीन बिंदु न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल पर हैं) या त्रिकोण के सबसे लंबे किनारे के दो बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया गया है (जहां दो बिंदु वृत्त के एक व्यास को परिभाषित करते हैं)। न्यूनतम बाउंडिंग सर्कल को परिवृत्त के साथ भ्रमित करना आम है।
-तीन समरेख बिंदुओं का परिवृत्त वह रेखा है जिस पर तीन बिंदु स्थित होते हैं, जिसे अक्सर अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है। लगभग संरेख बिंदु अक्सर परिवृत्त की गणना में संख्यात्मक अस्थिरता का कारण बनते हैं।
+तीन समरेख बिंदुओं का परिवृत्त वह रेखा है जिस पर तीन बिंदु स्थित होते हैं, जिसे अक्सर अनंत त्रिज्या के एक वृत्त के रूप में संदर्भित किया जाता है। लगभग [[संरेख बिंदु]] अक्सर परिवृत्त की गणना में [[संख्यात्मक अस्थिरता]] का कारण बनते हैं।
 त्रिभुजों के परिवृत्तों का बिंदुओं के समुच्चय (गणित) के डेलाउने त्रिकोणासन से घनिष्ठ संबंध होता है।
-ज्यामिति में यूलर के प्रमेय द्वारा परिकेन्द्र O तथा अंतःकेन्द्र I के बीच की दूरी है
+ज्यामिति में यूलर के प्रमेय द्वारा परिकेन्द्र के बीच की दूरी {{mvar|O}} और केंद्र {{mvar|I}} है
-:<math>OI = \sqrt{R(R - 2r)},</math>
+:<math>\overline{OI} = \sqrt{R(R - 2r)},</math>
-जहाँ r अंतःवृत्त त्रिज्या है और R परिवृत्त त्रिज्या है; इसलिए परित्रिज्या अंतःत्रिज्या से कम से कम दुगुनी है (यूलर असमानता|यूलर की त्रिकोण असमानता), केवल समबाहु त्रिभुज मामले में समानता के साथ।<ref name=Nelson>Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," ''Mathematics Magazine'' 81(1), February 2008, 58-61.</ref><ref>{{cite journal|first1=Dragutin|last1=Svrtan|first2=Darko|last2=Veljan|title=कुछ शास्त्रीय त्रिभुज असमानताओं के गैर-यूक्लिडियन संस्करण|journal=Forum Geometricorum|volume=12|year=2012|pages=197–209|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html}} See in particular p. 198.</ref>
+कहाँ पे {{mvar|r}} अंतःवृत्त त्रिज्या है और {{mvar|R}} परिवृत्त त्रिज्या है; इसलिए परित्रिज्या अंतःत्रिज्या से कम से कम दुगुनी है (यूलर असमानता|यूलर की त्रिकोण असमानता), केवल समबाहु त्रिभुज मामले में समानता के साथ।<ref name=Nelson>Nelson, Roger, "Euler's triangle inequality via proof without words," ''Mathematics Magazine'' 81(1), February 2008, 58-61.</ref><ref>{{cite journal|first1=Dragutin|last1=Svrtan|first2=Darko|last2=Veljan|title=कुछ शास्त्रीय त्रिभुज असमानताओं के गैर-यूक्लिडियन संस्करण|journal=Forum Geometricorum|volume=12|year=2012|pages=197–209|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html}} See in particular p. 198.</ref>
-ओ और ऑर्थोसेंटर एच के बीच की दूरी है<ref>{{cite journal|first=Marie-Nicole|last=Gras|title=एक्सटच त्रिभुज के परिकेन्द्र और शास्त्रीय केन्द्रों के बीच की दूरी|journal=Forum Geometricorum|volume=14|year=2014|pages=51–61|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Smith|first1=G. C.|last2=Leversha|first2=Gerry|title=यूलर और त्रिकोण ज्यामिति|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=91|issue=522|date=November 2007|pages=436–452|doi=10.1017/S0025557200182087|jstor=40378417|s2cid=125341434}} See in particular p. 449.</ref>
+बीच की दूरी {{mvar|O}} और ऑर्थोसेंटर {{mvar|H}} है<ref>{{cite journal|first=Marie-Nicole|last=Gras|title=एक्सटच त्रिभुज के परिकेन्द्र और शास्त्रीय केन्द्रों के बीच की दूरी|journal=Forum Geometricorum|volume=14|year=2014|pages=51–61|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Smith|first1=G. C.|last2=Leversha|first2=Gerry|title=यूलर और त्रिकोण ज्यामिति|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=91|issue=522|date=November 2007|pages=436–452|doi=10.1017/S0025557200182087|jstor=40378417|s2cid=125341434}} See in particular p. 449.</ref>
-:<math>OH = \sqrt{R^2 - 8R^2\cos A \cos B \cos C} = \sqrt{9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}.</math>
+:<math>\overline{OH} = \sqrt{R^2 - 8R^2\cos A \cos B \cos C} = \sqrt{9R^2 - (a^2 + b^2 + c^2)}.</math>
-केन्द्रक G और नौ-बिंदु केंद्र N के लिए हमारे पास है
+केन्द्रक के लिए {{mvar|G}} और नौ सूत्री केंद्र {{mvar|N}} अपने पास
 :<math>\begin{align}
-    IG &< IO, \\
+\overline{IG} &< \overline{IO}, \\
-IN &< IO, \\
+\overline{IN} &< \overline{IO}, \\
-  OI^2 &= 2R\cdot IN.
+\overline{OI}^2 &= 2R\cdot \overline{IN}.
 \end{align}</math>
-भुजाओं a, b, और c वाले त्रिभुज की अंतःवृत्त त्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या का गुणनफल है<ref>{{cite book|first=Roger A.|last=Johnson|title=आधुनिक ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त की ज्यामिति पर एक प्राथमिक ग्रंथ|publisher=Houghton Mifflin Co.|year=1929|hdl=2027/wu.89043163211|at=p. 189, #298(d)}} Republished by Dover Publications as ''Advanced Euclidean Geometry'', 1960 and 2007.</ref>
+भुजाओं वाले त्रिभुज की अंतःवृत्त त्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या का गुणनफल {{mvar|a, b, c}} है<ref>{{cite book|first=Roger A.|last=Johnson|title=आधुनिक ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त की ज्यामिति पर एक प्राथमिक ग्रंथ|publisher=Houghton Mifflin Co.|year=1929|hdl=2027/wu.89043163211|at=p. 189, #298(d)}} Republished by Dover Publications as ''Advanced Euclidean Geometry'', 1960 and 2007.</ref>
 :<math>rR = \frac{abc}{2(a + b + c)}.</math>
-परिधि R के साथ, भुजाएँ a, b, c और माध्यिका (ज्यामिति) m<sub>''a''</sub>, एम<sub>''b''</sub>, और एम<sub>''c''</sub>, अपने पास<ref>{{cite book|last1=Posamentier|first1=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=त्रिभुजों का रहस्य|title-link= त्रिभुजों का रहस्य |publisher=Prometheus Books|year=2012|pages=289–290}}</ref>
+परिधि के साथ {{mvar|R}}, पक्ष {{mvar|a, b, c}}, और [[माध्यिका (ज्यामिति)]] {{mvar|m{{sub|a}}, m{{sub|b}}, m{{sub|c}}}}, अपने पास<ref>{{cite book|last1=Posamentier|first1=Alfred S.|last2=Lehmann|first2=Ingmar|title=त्रिभुजों का रहस्य|title-link= त्रिभुजों का रहस्य |publisher=Prometheus Books|year=2012|pages=289–290}}</ref>
 :<math>\begin{align}
 \sqrt{3}R &\geq a + b + c \\[5pt]
@@ Line 290: / Line 293: @@
    \frac{27}{4}R^2 &\geq m_a^2 + m_b^2 + m_c^2.
 \end{align}</math>
-यदि माध्यिका m, ऊँचाई h, और आंतरिक समद्विभाजक t सभी परिवृत्त R वाले त्रिभुज के एक ही शीर्ष से निकलते हैं, तो<ref>{{cite book|title=कॉलेज ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त की आधुनिक ज्यामिति का परिचय|edition=2nd|publisher=Barnes & Noble|year=1952|last=Altshiller Court|first=Nathan|author-link= Nathan Altshiller Court|at=p. 122, #96}} Reprinted by Dover Publications, 2007.</ref>
+यदि माध्यिका {{mvar|m}}, ऊंचाई {{mvar|h}}, और आंतरिक द्विभाजक {{mvar|t}} सभी परिधि वाले त्रिकोण के एक ही शीर्ष से निकलते हैं {{mvar|R}}, फिर<ref>{{cite book|title=कॉलेज ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त की आधुनिक ज्यामिति का परिचय|edition=2nd|publisher=Barnes & Noble|year=1952|last=Altshiller Court|first=Nathan|author-link= Nathan Altshiller Court|at=p. 122, #96}} Reprinted by Dover Publications, 2007.</ref>
 :<math>4R^2 h^2(t^2 - h^2) = t^4(m^2 - h^2).</math>
-कार्नोट का प्रमेय (इनरेडियस, सर्कमरेडियस) | कार्नोट का प्रमेय कहता है कि परिधि से तीन तरफ की दूरी का योग परिधि और अंतःत्रिज्या के योग के बराबर है।{{sfnp|Altshiller Court|1952|p=83}} यहां खंड की लंबाई ऋणात्मक मानी जाती है यदि और केवल यदि खंड पूरी तरह से त्रिभुज के बाहर स्थित हो।
+कार्नोट का प्रमेय ([[से कम]], सर्कमरेडियस) | कार्नोट का प्रमेय कहता है कि परिधि से तीन तरफ की दूरी का योग परिधि और अंतःत्रिज्या के योग के बराबर है।{{sfnp|Altshiller Court|1952|p=83}} यहां खंड की लंबाई ऋणात्मक मानी जाती है यदि और केवल यदि खंड पूरी तरह से त्रिभुज के बाहर स्थित हो।
-यदि किसी त्रिभुज के दो विशेष वृत्त इसके परिवृत्त और अंतःवृत्त हैं, तो परिवृत्त पर एक शीर्ष के रूप में किसी भी बिंदु के साथ एक ही परिवृत्त और अंतःवृत्त के साथ अनंत संख्या में अन्य त्रिभुज मौजूद हैं। (यह पोंसलेट के पोरिज्म का n = 3 मामला है)। ऐसे त्रिभुजों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त उपरोक्त समानता है <math>OI=\sqrt{R(R-2r)}.</math>{{sfnp|Johnson|1929|p=188}}
+यदि किसी त्रिभुज के दो विशेष वृत्त इसके परिवृत्त और अंतःवृत्त हैं, तो परिवृत्त पर एक शीर्ष के रूप में किसी भी बिंदु के साथ एक ही परिवृत्त और अंतःवृत्त के साथ अनंत संख्या में अन्य त्रिभुज मौजूद हैं। (यह है {{math|1=''n'' = 3}} पोंसेलेट के पोरिज्म का मामला)। ऐसे त्रिभुजों के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त उपरोक्त समानता है <math>\overline{OI}=\sqrt{R(R-2r)}.</math>{{sfnp|Johnson|1929|p=188}}
 == चक्रीय चतुर्भुज ==
-[[File:Cyclic quadrilateral.svg|thumb|right|upright=1.2|चक्रीय चतुर्भुज]]
+[[File:Cyclic quadrilateral.svg|thumb|right|upright=1.2|[[चक्रीय चतुर्भुज]]]]
 {{main|Cyclic quadrilateral}}
 जिन चतुर्भुजों को परिचालित किया जा सकता है, उनमें विशेष गुण होते हैं, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि विपरीत कोण पूरक कोण हैं (180° या π रेडियन तक जोड़कर)।
 == चक्रीय एन-गोंन्स ==
-[[File:annuli_with_same_area_around_unit_regular_polygons.svg|thumb|upright=0.8|वलय (गणित) जीवा सूत्र के परिणाम के रूप में, प्रत्येक इकाई नियमित एन-गॉन के [[परिवृत्त]] और अंतःवृत्त से घिरा क्षेत्र है {{pi}}/4]]भुजाओं की विषम संख्या वाले चक्रीय बहुभुज के लिए, सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि बहुभुज नियमित हो। भुजाओं की सम संख्या वाले एक चक्रीय बहुभुज के सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि एकांतर भुजाएँ बराबर हों (अर्थात् भुजाएँ 1, 3, 5, ... बराबर हों और भुजाएँ 2, 4, 6, ... बराबर हैं)।<ref>{{cite journal|last=De Villiers|first=Michael|title=95.14 समकोणीय चक्रीय और समबाहु परिवृत्त बहुभुज|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=95|issue= 532 |date=March 2011|pages=102–107|doi=10.1017/S0025557200002461|jstor= 23248632|s2cid=233361080 }}</ref>
+[[File:annuli_with_same_area_around_unit_regular_polygons.svg|thumb|upright=0.8|[[वलय (गणित)]] राग सूत्र के परिणाम के रूप में, हर इकाई के [[परिवृत्त]] और अंतःवृत्त से घिरा क्षेत्र नियमित {{mvar|n}}-गॉन है {{pi}}/4]]भुजाओं की विषम संख्या वाले चक्रीय बहुभुज के लिए, सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि बहुभुज नियमित हो। भुजाओं की सम संख्या वाले एक चक्रीय बहुभुज के सभी कोण बराबर होते हैं यदि और केवल यदि एकांतर भुजाएँ समान हों (अर्थात, भुजाएँ) {{nowrap|1, 3, 5, …}} बराबर हैं, और भुजाएँ हैं {{nowrap|2, 4, 6, …}} बराबर हैं)।<ref>{{cite journal|last=De Villiers|first=Michael|title=95.14 समकोणीय चक्रीय और समबाहु परिवृत्त बहुभुज|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=95|issue= 532 |date=March 2011|pages=102–107|doi=10.1017/S0025557200002461|jstor= 23248632|s2cid=233361080 }}</ref>
-तर्कसंगत संख्या पक्षों और क्षेत्र के साथ एक चक्रीय पेंटागन को रॉबिन्स पेंटागन के रूप में जाना जाता है; सभी ज्ञात मामलों में, इसके विकर्णों की परिमेय लंबाई भी होती है।<ref>{{cite journal|last1=Buchholz|first1=Ralph H.|last2=MacDougall|first2=James A.|doi=10.1016/j.jnt.2007.05.005|issue=1|journal=[[Journal of Number Theory]]|mr=2382768|pages=17–48|title=परिमेय भुजाओं और क्षेत्रफल के साथ चक्रीय बहुभुज|volume=128|year=2008|doi-access=free}}</ref>
+तर्कसंगत संख्या पक्षों और क्षेत्र के साथ एक चक्रीय [[पंचकोण]] को [[रॉबिन्स पेंटागन]] के रूप में जाना जाता है; सभी ज्ञात मामलों में, इसके विकर्णों की परिमेय लंबाई भी होती है।<ref>{{cite journal|last1=Buchholz|first1=Ralph H.|last2=MacDougall|first2=James A.|doi=10.1016/j.jnt.2007.05.005|issue=1|journal=[[Journal of Number Theory]]|mr=2382768|pages=17–48|title=परिमेय भुजाओं और क्षेत्रफल के साथ चक्रीय बहुभुज|volume=128|year=2008|doi-access=free}}</ref>
-सम n वाले किसी भी चक्रीय n-गॉन में, वैकल्पिक कोणों के एक सेट (पहला, तीसरा, पाँचवाँ, आदि) का योग एकांतर कोणों के दूसरे सेट के योग के बराबर होता है। यह n = 4 मामले से प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, प्रत्येक मामले में एक पक्ष को तीन और पक्षों के साथ बदल दिया जाता है और यह देखते हुए कि ये तीन नए पक्ष पुराने पक्ष के साथ मिलकर एक चतुर्भुज बनाते हैं जिसमें स्वयं यह गुण होता है; बाद वाले चतुर्भुज के एकांतर कोण पिछले n-गॉन के वैकल्पिक कोणों के जोड़ का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+किसी भी चक्रीय में {{mvar|n}}-सम के साथ चला गया {{mvar|n}}, एकांतर कोणों के एक सेट (पहला, तीसरा, पाँचवाँ, आदि) का योग एकांतर कोणों के दूसरे सेट के योग के बराबर होता है। यह से प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है {{math|1=''n'' = 4}} मामले में, प्रत्येक मामले में एक पक्ष को तीन और भुजाओं से बदल दिया जाता है और यह ध्यान दिया जाता है कि ये तीन नए पक्ष पुराने पक्ष के साथ मिलकर एक चतुर्भुज बनाते हैं जिसमें स्वयं यह संपत्ति होती है; बाद वाले चतुर्भुज के एकांतर कोण पिछले चतुर्भुज के एकांतर कोणों के जोड़ का प्रतिनिधित्व करते हैं {{mvar|n}}-गॉन।
-एक एन-गॉन को एक सर्कल में खुदा हुआ होने दें, और दूसरे एन-गॉन को पहले एन-गॉन के शीर्ष पर उस सर्कल के स्पर्शरेखा बहुभुज होने दें। तब वृत्त के किसी भी बिंदु P से, P से पहले n-गॉन की भुजाओं की लम्बवत दूरियों का गुणनफल, P से दूसरे n-गॉन की भुजाओं की लम्बवत दूरियों के गुणनफल के बराबर होता है।{{sfnp|Johnson|1929|p=72}}
+एक चलो {{mvar|n}}-गो को एक सर्कल में खुदा हुआ है, और दूसरे को जाने दो {{mvar|n}}- पहले के शीर्ष पर उस वृत्त के [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] बनें {{mvar|n}}-गॉन। फिर किसी भी बिंदु से {{mvar|P}} वृत्त पर, लम्बवत दूरियों का गुणनफल {{mvar|P}} पहले की तरफ {{mvar|n}}-गॉन लंबवत दूरी के उत्पाद के बराबर है {{mvar|P}} दूसरे की तरफ {{mvar|n}}-गॉन।{{sfnp|Johnson|1929|p=72}}
 ===परिवृत्त पर बिंदु===
-मान लीजिए एक चक्रीय n-गॉन के शीर्ष A हैं<sub>1</sub> , ..., ए<sub>''n''</sub> यूनिट सर्कल पर। फिर लघु चाप A पर किसी बिंदु M के लिए<sub>1</sub>A<sub>''n''</sub>, M से शीर्षों तक की दूरियाँ संतुष्ट करती हैं<ref>{{cite web|title="क्रूक्स मैथेमेटिकम" में प्रस्तावित असमानताएँ|work=The IMO Compendium|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|at=p. 190, #332.10}}</ref>
+एक चक्रीय चलो {{mvar|n}}-में शिखर हैं {{math|''A''{{sub|1}} , …, ''A{{sub|n}}''}} यूनिट सर्कल पर। फिर किसी भी बिंदु के लिए {{mvar|M}} लघु चाप पर {{math|''A''{{sub|1}}''A{{sub|n}}''}}, से दूरियां {{mvar|M}} शिखर तक संतुष्ट<ref>{{cite web|title="क्रूक्स मैथेमेटिकम" में प्रस्तावित असमानताएँ|work=The IMO Compendium|url=http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf|at=p. 190, #332.10}}</ref>
 :<math>\begin{cases}
-   MA_1 + MA_3 + \cdots + MA_{n-2} + MA_n < n/\sqrt{2} & \text{if } n \text{ is odd}; \\
+   \overline{MA_1} + \overline{MA_3} + \cdots + \overline{MA_{n-2}} + \overline{MA_n} < n/\sqrt{2} & \text{if } n \text{ is odd}; \\
-   MA_1 + MA_3 + \cdots + MA_{n-3} + MA_{n-1} \leq n/\sqrt{2} & \text{if } n \text{ is even}.
+   \overline{MA_1} + \overline{MA_3} + \cdots + \overline{MA_{n-3}} + \overline{MA_{n-1}} \leq n/\sqrt{2} & \text{if } n \text{ is even}.
 \end{cases}</math>
-नियमित एन-गॉन के लिए, यदि <math>MA_i</math> किसी भी बिंदु से दूरी हैं <math>M</math> परिवृत्त पर शीर्षों तक <math>A_i</math>, फिर <ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=नियमित बहुभुजों और प्लेटोनिक ठोसों का चक्रीय औसत|journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|doi= 10.26713/cma.v11i3.1420|doi-broken-date= 2022-10-22|arxiv= 2010.12340|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>
+एक नियमित के लिए {{mvar|n}}-गॉन, अगर <math>\overline{MA_i}</math> किसी भी बिंदु से दूरी हैं {{mvar|M}} परिवृत्त पर शीर्षों तक {{mvar|A{{sub|i}}}}, फिर <ref name=Mamuka >{{cite journal| last1= Meskhishvili |first1= Mamuka| date=2020|title=नियमित बहुभुजों और प्लेटोनिक ठोसों का चक्रीय औसत|journal= Communications in Mathematics and Applications|volume=11|pages=335–355|doi= 10.26713/cma.v11i3.1420|doi-broken-date= 2022-10-22|arxiv= 2010.12340|url= https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065}}</ref>
-:<math>3(MA_1^{2} + MA_2^{2}+...+ MA_n^{2})^2=2n (MA_1^{4} + MA_2^{4}+...+ MA_n^{4}).</math>
+:<math>3(\overline{MA_1}^2 + \overline{MA_2}^2 + \dots +  \overline{MA_n}^2)^2=2n (\overline{MA_1}^4 + \overline{MA_2}^4 + \dots + \overline{MA_n}^4).</math>
@@ Line 329: / Line 332: @@
 == यह भी देखें ==
-* द्रव्यमान का परिकेंद्र
+* [[द्रव्यमान का परिकेंद्र]]
-* सर्कमगॉन
+* [[सर्कमगॉन]]
 * परिबद्ध क्षेत्र
-* सर्कमसेवियन त्रिकोण
+* [[सर्कमसेवियन त्रिकोण]]
-* खुदा हुआ घेरा
+* [[खुदा हुआ घेरा]]
-*चक्रीय बहुभुजों के लिए जापानी प्रमेय
+*[[चक्रीय बहुभुजों के लिए जापानी प्रमेय]]
-*चक्रीय चतुर्भुजों के लिए जापानी प्रमेय
+*[[चक्रीय चतुर्भुजों के लिए जापानी प्रमेय]]
 *जंग की प्रमेय, एक बिंदु के व्यास से संबंधित एक असमानता जो उसके न्यूनतम बाउंडिंग गोले की त्रिज्या पर सेट है
-* कोस्निटा प्रमेय
+* [[कोस्निटा प्रमेय]]
 * लेस्टर की प्रमेय
 * स्पर्शरेखा बहुभुज
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 === इंटरएक्टिव ===
-*[http://www.mathopenref.com/trianglecircumcircle.html त्रिभुज परिवृत्त] और [http://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html परिकेन्द्र] इंटरैक्टिव एनीमेशन के साथ
+*[http://www.mathopenref.com/trianglecircumcircle.html त्रिभुज परिवृत्त] और [http://www.mathopenref.com/trianglecircumcenter.html परिधि] इंटरैक्टिव एनीमेशन के साथ
 *[https://web.archive.org/web/20070819015520/http://www.uff.br/trianglecenters/X0003.html परिकेन्द्र के लिए एक इंटरैक्टिव जावा एप्लेट]
@@ Line 368: / Line 371: @@
 [[Category: Machine Translated Page]]
-[[Category:Created On 27/11/2022]]
+[[Category:Created On 15/12/2022]]

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Revision as of 16:59, 15 December 2022

त्रिकोण

सीधा किनारा और कम्पास निर्माण

वैकल्पिक निर्माण

परिवृत्त समीकरण

कार्तीय निर्देशांक

पैरामीट्रिक समीकरण

त्रिरेखीय और बेरिकेंट्रिक निर्देशांक

उच्च आयाम

परिकेंद्र निर्देशांक

कार्तीय निर्देशांक

त्रिरेखीय निर्देशांक

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक

परिकेंद्र वेक्टर

कार्टेशियन क्रॉस- और डॉट-उत्पादों से समन्वय करता है

त्रिभुज के सापेक्ष स्थान

कोण

अन्य गुण

चक्रीय चतुर्भुज

चक्रीय एन-गोंन्स

परिवृत्त पर बिंदु

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

मैथवर्ल्ड

इंटरएक्टिव

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