गणितीय भ्रांति: Difference between revisions

Revision as of 14:54, 31 December 2022

गणितीय भ्रांति नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में, गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते है। प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच अंतर है, जिसमें प्रमाण में एक गलती अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या प्रवंचना के कुछ प्रमाणित तत्व होता है ।

उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण शून्य से विभाजन को उत्तरदायी ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक गलत परिणाम की ओर ले जाता है, अन्यथा एक उपाय से ऐसा लगता है।^[1] इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या गणितीय प्रमाण का रूप ले लेती हैं। चूँकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या दिखाने के लिए कि कुछ चरण सशर्त हैं चित्र की जाती हैं , और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।

गणितीय भ्रांति को दर्शाने का पारंपरिक उपाय वैध चरणों के साथ मिश्रित कटौती का एक अमान्य चरण देना है, जिससे भ्रांति का अर्थ यहाँ तार्किक भ्रांति से थोड़ा भिन्न हो। उत्तरार्द्ध सामान्यतः तर्क के एक रूप पर लागू होता है जो तर्क के वैध निष्कर्ष नियमों का पालन नहीं करता है, जबकि समस्याग्रस्त गणितीय चरण सामान्यतः एक गलत धारणा के साथ लागू एक सही नियम है। अध्यापन से परे,भ्रम के संकल्प से एक विषय में गहरी अंतर्दृष्टि हो सकती है (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति के पास्च के स्वयंसिद्ध का परिचय,^[2] ग्राफ सिद्धांत के पांच रंग प्रमेय। स्यूडरिया, मिथ्या प्रमाण की एक प्राचीन खोई हुई किताब है, जिसका श्रेय यूक्लिड को दिया जाता है।^[3] गणित की कई शाखाओं में गणितीय भ्रांतियां उपस्तिथि हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, विशिष्ट उदाहरणों में एक चरण सम्मलित हो सकता है जहां शून्य से विभाजन किया जाता है, जहां फलन की जड़ गलत उपाय से निकाली जाती है या अधिक सामान्यतः जहां एक से अधिक मूल्यवान फलन के विभिन्न मान समान होते हैं। प्रारंभिक यूक्लिडियन ज्यामिति और गणना में प्रसिद्ध भ्रम भी सम्मलित हैं।^[4]^[5]

हाउलर्स

{\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}

गणना में विषम रद्दीकरण

तर्क की गलत पंक्तियों द्वारा व्युत्पन्न गणितीय रूप से सही परिणामों के उदाहरण उपस्तिथि हैं। इस प्रकार का एक तर्क, चूंकि निष्कर्ष सत्य प्रतीत होता है, गणितीय रूप से वैधता है और इसे सामान्यतः हाउलर के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित असंगत निरस्तीकरण से जुड़े हाउलर का एक उदाहरण है:

{\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.

यहाँ, चूंकि निष्कर्ष 1664 = 14 सही है, मध्य चरण में एक भ्रामक, अमान्य निरस्त है।।^{[note 1]} हाउलर का एक और शास्त्रीय उदाहरण केली-हैमिल्टन प्रमेय गलत प्रमाण है:

p(A) = det(AIn − A) = det(A − A) = 0.केली-हैमिल्टन प्रमेय को केवल अदिश चरों को प्रतिस्थापित करके सिद्ध करना आव्यूह द्वारा विशेषता बहुपद है।

गलत तर्क या संचालन के अतिरिक्त सही परिणाम उत्पन्न करने के लिए बनाए गए गलत प्रमाण, गणना या व्युत्पत्ति को मैक्सवेल द्वारा हाउलर का उदाहरण दिया गया था।^[2]गणित क्षेत्र के बाहर हाउलर शब्द के विभिन्न अर्थ हैं, सामान्यतः कम विशिष्ट।

शून्य से भाग

शून्य द्वारा विभाजन-दर के कई रूप हैं। निम्न उदाहरण 2 = 1 को प्रमाण करने के लिए शून्य से छिपे हुए विभाजन का उपयोग करता है, लेकिन यह प्रमाण करने के लिए संशोधित किया जा सकता है कि कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर है।

मान लीजिए a और b बराबर, अशून्य मात्राएँ हैं
$a=b$
a से गुणा करें
$a^{2}=ab$
b² घटाए- ^{$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$}
दोनों पक्षों का गुणनखंड करें: वर्गों के अंतर के रूप में बायां गुणनखंड, दोनों पदों से b निकालने के द्वारा दायां गुणनखंड किया जाता है
$(a-b)(a+b)=b(a-b)$
विभाजित करें (a - b)
$a+b=b$
इस तथ्य का प्रयोग करें कि a = b
$b+b=b$
बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें
$2b=b$
अशून्य b से विभाजित करें
$2=1$

^[6]भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन सम्मलित है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।

विश्लेषण

परिवर्तन और सीमाओं के गणितीय अध्ययन के रूप में गणितीय विश्लेषण गणितीय भ्रांतियों को जन्म दे सकता है - यदि अभिन्न और अंतर के गुणों को अनदेखा किया जाता है। उदाहरण के लिए,0 = 1 का झूठा प्रमाण देने के लिए भागों द्वारा एकीकरण का एक सरल उपयोग किया जा सकता है। u =1/log x और dv =dx/x, हम लिख सकते हैं: ^[7]

\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx=1+\int {\frac {1}{x\,\log x}}\,dx

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

[6]

[7]

@@ Line 4: / Line 4: @@
 {{Redirect|1=0 = 1|2=बीजगणितीय संरचना जहां यह समानता है|3=अशक्त छल्ला}}
 {{short description|Certain type of mistaken proof}}
-गणितीय भ्रम नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में, गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते है। प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच अंतर है, जिसमें  प्रमाण में एक गलती अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या प्रवंचना के कुछ प्रमाणित तत्व होता है ।
+'''गणितीय भ्रांति''' नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में, [[गणित]] में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते है। प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच अंतर है, जिसमें  प्रमाण में एक गलती अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या प्रवंचना के कुछ प्रमाणित तत्व होता है ।
 उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण [[शून्य से विभाजन]] को उत्तरदायी ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक गलत परिणाम की ओर ले जाता है, अन्यथा एक उपाय से ऐसा लगता है।<ref>{{harvnb|Maxwell|1959|p=9}}</ref> इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या [[गणितीय प्रमाण]] का रूप ले लेती हैं। चूँकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या दिखाने के लिए कि कुछ चरण सशर्त हैं चित्र की जाती हैं , और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।
@@ Line 48: / Line 48: @@
 # बाईं ओर समान पदों को संयोजित करें
 #:<math>2b = b</math>
-# अशून्य ख से विभाजित करें
+# अशून्य b से विभाजित करें
 #:<math>2 = 1</math>
 :
@@ Line 67: / Line 67: @@
 कई कार्यों में एक अद्वितीय व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जबकि किसी संख्या का वर्ग करना एक विशिष्ट मान देता है, एक धनात्मक संख्या के दो संभावित [[वर्गमूल]] होते हैं। वर्गमूल बहुमूल्यवान फलन है। एक मूल्य को परिपाटी द्वारा [[प्रमुख मूल्य]] के रूप में चुना जा सकता है; वर्गमूल के स्थितियों में गैर-ऋणात्मक मान मुख्य मान होता है, लेकिन इस बात का कोई प्रतीत नहीं है कि किसी संख्या के वर्ग के मूल मान के रूप में दिया गया वर्गमूल मूल संख्या के बराबर होगा (उदाहरण के लिए मुख्य वर्गमूल-2 का वर्ग 2 है)। यह nवें मूल के लिए सत्य रहता है।
-=== सकारात्मक और नकारात्मक जड़ें ===
+=== धनात्मक और ऋणात्मक जड़ें ===
 [[समानता (गणित)|समानता]] दोनों पक्षों का वर्गमूल सावधानीपूर्वक होनी चाहिए। ऐसा करने में विफल होने के परिणामस्वरूप इसका प्रमाण मिलता है<ref>{{cite book |title=गणितीय मज़ा, खेल और पहेलियाँ|edition=illustrated |first1=Jack |last1=Frohlichstein |publisher=Courier Corporation |year=1967 |isbn=0-486-20789-7 |page=207 |url=https://books.google.com/books?id=w7CVzMosF-kC}} [https://books.google.com/books?id=w7CVzMosF-kC&pg=PA207 Extract of page 207]</ref> 5 = 4।
 प्रमाण:
-:से शुरु करें
+:से प्रारंभ करें
 ::<math>-20 = -20</math>
 : इसे ऐसे लिखें
@@ Line 116: / Line 116: @@
 :<math>i=\sqrt{-1} = \left(-1\right)^\frac{2}{4} = \left(\left(-1\right)^2\right)^\frac{1}{4} = 1^\frac{1}{4} = 1</math>
-यहाँ त्रुटि तीसरी समानता में निहित है, नियम के अनुसार  <math>a^{bc} = (a^b)^c</math> केवल सकारात्मक वास्तविक a और वास्तविक b, c के लिए है।
+यहाँ त्रुटि तीसरी समानता में निहित है, नियम के अनुसार  <math>a^{bc} = (a^b)^c</math> केवल धनात्मक वास्तविक a और वास्तविक b, c के लिए है।
 === जटिल घातांक ===
@@ Line 145: / Line 145: @@
 # सर्वांगसमता (ज्यामिति) द्वारा,<ref group="note">Hypotenuse–leg congruence</ref> △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (कर्ण); RO = OQ (पैर))।
 # इस प्रकार, AR = AQ, RB = QC, और AB = AR + RB = AQ + QC = AC।
@@ Line 158: / Line 159: @@
 # इसलिए, प्रयोग किए गए सभी घोड़ों को मिलाकर, हमारे पास एक ही रंग के N + 1 घोड़ों का एक समूह है।
 # इस प्रकार यदि कोई N घोड़े सभी एक ही रंग के हैं, तो कोई भी N + 1 घोड़े समान रंग के हैं।
-# यह N = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सच है (जैसे एक घोड़ा एक समूह है जहां सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं)। इस प्रकार, प्रेरण द्वारा, N घोड़े किसी भी सकारात्मक पूर्णांक N के लिए समान रंग होते हैं, अर्थात सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं।
+# यह N = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सच है (जैसे एक घोड़ा एक समूह है जहां सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं)। इस प्रकार, प्रेरण द्वारा, N घोड़े किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए समान रंग होते हैं, अर्थात सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं।
 इस प्रमाण में त्रुटि पंक्ति 3 में उत्पन्न होती है। N = 1 के लिए, घोड़ों के दो समूहों में N − 1 = 0 घोड़े सामान्य हैं, और इस प्रकार अनिवार्य नहीं कि वे एक दूसरे के समान रंग के हों, इसलिए ''N'' + 1 = 2 का समूह अनिवार्य नहीं कि 2 घोड़े एक ही रंग के हों। निहितार्थ प्रत्येक N घोड़े एक ही रंग के होते हैं, तब N + 1 घोड़े एक ही रंग के होते हैं किसी भी N > 1 के लिए काम करते हैं, लेकिन N = 1 होने पर सत्य होने में विफल रहता है। आधार स्थितिया सही है, लेकिन प्रेरण चरण में एक प्राथमिक दोष है ।
@@ Line 167: / Line 168: @@
 *{{annotated link|अधूरे प्रमाणों की सूची}}
 * {{annotated link|गणितीय संयोग}}
-* {{annotated link|विरोधाभास}}
+* {{annotated link|विरोधाभास – दो या दो से अधिक प्रस्तावों के बीच तार्किक असंगति}}
 * {{annotated link|डरा धमकाकर प्रमाणित}}
-==टिप्पणियाँ==
-{{टिप्पणियाँlist|group=टिप्पणी}}
@@ Line 194: / Line 194: @@
 [[Category:Created On 29/11/2022]]
 ==बाहरी संबंध==
-{{Commons category|Invalid proofs}}
 *[http://www.cut-the-knot.org/proofs/index.shtml Invalid proofs] at [[Cut-the-knot]] (including literature references)
 *[http://www.math.toronto.edu/mathnet/falseProofs/ Classic fallacies] with some discussion
 *[http://www.ahajokes.com/math_jokes.html More invalid proofs from AhaJokes.com]
 *[https://web.archive.org/web/20071101040235/http://www.jokes-funblog.com/categories/49-Math-Jokes Math jokes including an invalid proof]
-{{Formal fallacies}}
 {{DEFAULTSORT:Mathematical fallacy}}

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