गणितीय भ्रांति: Difference between revisions

Revision as of 13:10, 29 December 2022

गणितीय भ्रम नामक अवधारणा के चित्रण के रूप में, गणित में, कुछ प्रकार के गलत प्रमाण प्रायः प्रदर्शित किए जाते हैं, और कभी-कभी एकत्र किए जाते है। प्रमाण में एक साधारण गलती और एक गणितीय त्रुटि के बीच अंतर है, जिसमें प्रमाण में एक गलती अमान्य प्रमाण की ओर ले जाती है, जबकि गणितीय भ्रम के सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में प्रस्तुति में छिपाने या प्रवंचना के कुछ प्रमाणित तत्व होता है ।

उदाहरण के लिए, वैधता विफल होने का कारण शून्य से विभाजन को उत्तरदायी ठहराया जा सकता है जो बीजगणितीय संकेतन द्वारा छिपा हुआ है। गणितीय भ्रांति का एक निश्चित गुण है: जैसा कि सामान्यतः प्रस्तुत किया जाता है, यह न केवल एक गलत परिणाम की ओर ले जाता है, अन्यथा एक उपाय से ऐसा लगता है।^[1] इसलिए, ये भ्रांतियां, शैक्षणिक कारणों से, सामान्यतः स्पष्ट विरोधाभासों के मिथ्या गणितीय प्रमाण का रूप ले लेती हैं। चूँकि प्रमाण त्रुटिपूर्ण हैं, त्रुटियां, सामान्यतः चित्र द्वारा, तुलनात्मक रूप से सूक्ष्म होती हैं, या दिखाने के लिए कि कुछ चरण सशर्त हैं चित्र की जाती हैं , और उन स्थितियों में लागू नहीं होते हैं जो नियमों के अपवाद हैं।

गणितीय भ्रांति को दर्शाने का पारंपरिक उपाय वैध चरणों के साथ मिश्रित कटौती का एक अमान्य चरण देना है, जिससे भ्रांति का अर्थ यहाँ तार्किक भ्रांति से थोड़ा भिन्न हो। उत्तरार्द्ध सामान्यतः तर्क के एक रूप पर लागू होता है जो तर्क के वैध निष्कर्ष नियमों का पालन नहीं करता है, जबकि समस्याग्रस्त गणितीय चरण सामान्यतः एक गलत धारणा के साथ लागू एक सही नियम है। अध्यापन से परे,भ्रम के संकल्प से एक विषय में गहरी अंतर्दृष्टि हो सकती है (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति के पास्च के स्वयंसिद्ध का परिचय,^[2] ग्राफ सिद्धांत के पांच रंग प्रमेय। स्यूडरिया, मिथ्या प्रमाण की एक प्राचीन खोई हुई किताब है, जिसका श्रेय यूक्लिड को दिया जाता है।^[3] गणित की कई शाखाओं में गणितीय भ्रांतियां उपस्तिथि हैं। प्रारंभिक बीजगणित में, विशिष्ट उदाहरणों में एक चरण सम्मलित हो सकता है जहां शून्य से विभाजन किया जाता है, जहां फलन की जड़ गलत उपाय से निकाली जाती है या अधिक सामान्यतः जहां एक से अधिक मूल्यवान फलन के विभिन्न मान समान होते हैं। प्रारंभिक यूक्लिडियन ज्यामिति और गणना में प्रसिद्ध भ्रम भी सम्मलित हैं।^[4]^[5]

हाउलर्स

{\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}

गणना में विषम रद्दीकरण

तर्क की गलत पंक्तियों द्वारा व्युत्पन्न गणितीय रूप से सही परिणामों के उदाहरण उपस्तिथि हैं। इस प्रकार का एक तर्क, चूंकि निष्कर्ष सत्य प्रतीत होता है, गणितीय रूप से वैधता है और इसे सामान्यतः हाउलर के रूप में जाना जाता है। निम्नलिखित असंगत निरस्तीकरण से जुड़े हाउलर का एक उदाहरण है:

{\frac {16}{64}}={\frac {16\!\!\!/}{6\!\!\!/4}}={\frac {1}{4}}.

यहाँ, चूंकि निष्कर्ष 1664 = 14 सही है, मध्य चरण में एक भ्रामक, अमान्य निरस्त है।।^{[note 1]} हाउलर का एक और शास्त्रीय उदाहरण केली-हैमिल्टन प्रमेय गलत प्रमाण है:

p(A) = det(AIn − A) = det(A − A) = 0.केली-हैमिल्टन प्रमेय को केवल अदिश चरों को प्रतिस्थापित करके सिद्ध करना आव्यूह द्वारा विशेषता बहुपद है।

गलत तर्क या संचालन के अतिरिक्त सही परिणाम उत्पन्न करने के लिए बनाए गए गलत प्रमाण, गणना या व्युत्पत्ति को मैक्सवेल द्वारा हाउलर का उदाहरण दिया गया था।^[2]गणित क्षेत्र के बाहर हाउलर शब्द के विभिन्न अर्थ हैं, सामान्यतः कम विशिष्ट।

शून्य से भाग

शून्य द्वारा विभाजन-दर के कई रूप हैं। निम्न उदाहरण 2 = 1 को प्रमाण करने के लिए शून्य से छिपे हुए विभाजन का उपयोग करता है, लेकिन यह प्रमाण करने के लिए संशोधित किया जा सकता है कि कोई भी संख्या किसी अन्य संख्या के बराबर है।

मान लीजिए a और b बराबर, अशून्य मात्राएँ हैं
$a=b$
a से गुणा करें
$a^{2}=ab$
b² घटाए- ^{$a^{2}-b^{2}=ab-b^{2}$}
दोनों पक्षों का गुणनखंड करें: वर्गों के अंतर के रूप में बायां गुणनखंड, दोनों पदों से b निकालने के द्वारा दायां गुणनखंड किया जाता है
$(a - b) (a + b) = b ($

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[note 1]

@@ Line 39: / Line 39: @@
 # ''a'' से गुणा करें
 #:<math>a^2 = ab</math>
-# ''b''<sup>2</sup> घटाएं <sup><math>a^2 - b^2 = ab - b^2</math>
+# ''b''<sup>2</sup> घटाए- <sup><math>a^2 - b^2 = ab - b^2</math>
 # दोनों पक्षों का गुणनखंड करें: वर्गों के अंतर के रूप में बायां गुणनखंड, दोनों पदों से b निकालने के द्वारा दायां गुणनखंड किया जाता है
 #:<math>(a - b)(a + b) = b(a - b)</math>
@@ Line 50: / Line 50: @@
 # अशून्य ख से विभाजित करें
 #:<math>2 = 1</math>
-:Q.E.D.<ref>{{citation|first=Harro|last=Heuser|title=Lehrbuch der Analysis – Teil 1|edition=6th|publisher=Teubner|year=1989|isbn=978-3-8351-0131-9|page=51}}</ref>
+:
-भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन सम्मलित है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।
+<ref>{{citation|first=Harro|last=Heuser|title=Lehrbuch der Analysis – Teil 1|edition=6th|publisher=Teubner|year=1989|isbn=978-3-8351-0131-9|page=51}}</ref>भ्रम पंक्ति 5 में है: पंक्ति 4 से पंक्ति 5 तक की प्रगति में a − b द्वारा विभाजन सम्मलित है, जो a = b के बाद से शून्य है। चूंकि शून्य से विभाजन अपरिभाषित है, तर्क अमान्य है।
 == विश्लेषण ==
@@ Line 57: / Line 57: @@
 : <math>\int \frac{1}{x \, \log x} \, dx = 1 + \int \frac{1}{x \, \log x} \, dx</math>
-जिसके बाद एंटीडेरिवेटिव्स को 0 = 1 उत्पन्न करने के लिए निरस्त किया जा सकता है। समस्या यह है कि एंटीडेरिवेटिव्स को केवल एक [[लगातार कार्य]] [[तक]] परिभाषित किया जाता है और उन्हें 1 या वास्तव में किसी भी संख्या में स्थानांतरित करने की अनुमति है। त्रुटि वास्तव में तब सामने आती है जब हम मनमाना एकीकरण सीमा  ''a''  और ''b'' का स्वागत करते हैं।
+जिसके बाद एंटीडेरिवेटिव्स को 0 = 1 उत्पन्न करने के लिए निरस्त किया जा सकता है। समस्या यह है कि एंटीडेरिवेटिव्स को केवल एक [[लगातार कार्य]] [[तक]] परिभाषित किया जाता है और उन्हें 1 या वास्तव में किसी भी संख्या में स्थानांतरित करने की अनुमति है। त्रुटि वास्तव में तब सामने आती है जब हम मनमाना एकीकरण सीमा  ''a'' और ''b'' का स्वागत करते हैं।
 : <math>\int_a^b \frac{1}{x \, \log x} \, dx = 1 |_a^b + \int_a^b \frac{1}{x \, \log x} \, dx = 0 + \int_a^b \frac{1}{x \log x} \, dx = \int_a^b \frac{1}{x \log x} \, dx</math>
-चूँकि एक नियत फलन के दो मानों के बीच का अंतर लुप्त हो जाता है, समीकरण के दोनों ओर एक ही निश्चित समाकल प्रकट होता है
+चूँकि एक नियत फलन के दो मानों के बीच का अंतर लुप्त हो जाता है, समीकरण के दोनों ओर एक ही निश्चित समाकल प्रकट होता हैI
 == बहुविकल्पीय कार्य ==
 {{Main article |बहुविकल्पी समारोह
 }}
-कई कार्यों में एक अद्वितीय व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जबकि किसी संख्या का वर्ग करना एक विशिष्ट मान देता है, एक धनात्मक संख्या के दो संभावित  [[वर्गमूल]] होते हैं। वर्गमूल बहुमूल्यवान  फलन है। एक मूल्य को परिपाटी द्वारा [[प्रमुख मूल्य]] के रूप में चुना जा सकता है; वर्गमूल के स्थितियों में गैर-ऋणात्मक मान मुख्य मान होता है, लेकिन इस बात की कोई प्रतीत नहीं है कि किसी संख्या के वर्ग के मूल मान के रूप में दिया गया वर्गमूल मूल संख्या के बराबर होगा (उदाहरण के लिए मुख्य वर्गमूल-2 का वर्ग 2 है)। यह nवें मूल के लिए सत्य रहता है।
+कई कार्यों में एक अद्वितीय व्युत्क्रम नहीं होता है। उदाहरण के लिए, जबकि किसी संख्या का वर्ग करना एक विशिष्ट मान देता है, एक धनात्मक संख्या के दो संभावित [[वर्गमूल]] होते हैं। वर्गमूल बहुमूल्यवान फलन है। एक मूल्य को परिपाटी द्वारा [[प्रमुख मूल्य]] के रूप में चुना जा सकता है; वर्गमूल के स्थितियों में गैर-ऋणात्मक मान मुख्य मान होता है, लेकिन इस बात का कोई प्रतीत नहीं है कि किसी संख्या के वर्ग के मूल मान के रूप में दिया गया वर्गमूल मूल संख्या के बराबर होगा (उदाहरण के लिए मुख्य वर्गमूल-2 का वर्ग 2 है)। यह nवें मूल के लिए सत्य रहता है।
 === सकारात्मक और नकारात्मक जड़ें ===
-[[समानता (गणित)|समानता]]  के दोनों पक्षों का वर्गमूल सावधानीपूर्वक होनी चाहिए। ऐसा करने में विफल होने के परिणामस्वरूप इसका प्रमाण मिलता है<ref>{{cite book |title=गणितीय मज़ा, खेल और पहेलियाँ|edition=illustrated |first1=Jack |last1=Frohlichstein |publisher=Courier Corporation |year=1967 |isbn=0-486-20789-7 |page=207 |url=https://books.google.com/books?id=w7CVzMosF-kC}} [https://books.google.com/books?id=w7CVzMosF-kC&pg=PA207 Extract of page 207]</ref> 5 = 4।
+[[समानता (गणित)|समानता]] दोनों पक्षों का वर्गमूल सावधानीपूर्वक होनी चाहिए। ऐसा करने में विफल होने के परिणामस्वरूप इसका प्रमाण मिलता है<ref>{{cite book |title=गणितीय मज़ा, खेल और पहेलियाँ|edition=illustrated |first1=Jack |last1=Frohlichstein |publisher=Courier Corporation |year=1967 |isbn=0-486-20789-7 |page=207 |url=https://books.google.com/books?id=w7CVzMosF-kC}} [https://books.google.com/books?id=w7CVzMosF-kC&pg=PA207 Extract of page 207]</ref> 5 = 4।
 प्रमाण:
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 :जोड़ें {{sfrac|9|2}} दोनों ओर:
 ::<math>5 = 4</math>
-:Q.E.D.
+::
+::भ्रम दूसरी से अंतिम पंक्ति में है, जहाँ दोनों पक्षों का वर्गमूल लिया जाता है: ''a''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> का अर्थ केवल a = b होता है यदि a और b का चिह्न समान है, जो कि यहाँ नहीं है। इस स्तिथि में, इसका अर्थ है कि a=–b, इसलिए समीकरण को पढ़ना चाहिए
-भ्रम दूसरी से अंतिम पंक्ति में है, जहाँ दोनों पक्षों का वर्गमूल लिया जाता है: ''a''<sup>2</sup> = ''b''<sup>2</sup> का अर्थ केवल a = b होता है यदि a और b का चिह्न समान है, जो कि यहाँ नहीं है। इस स्तिथि में, इसका अर्थ है कि a=–b, इसलिए समीकरण को पढ़ना चाहिए
 <math>5-\frac{9}{2} = -\left(4-\frac{9}{2}\right)</math>
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 जिसे जोड़कर {{sfrac|9|2}} दोनों ओर , सही ढंग से 5 = 5 तक कम हो जाता है।
-समीकरण के दोनों पक्षों के वर्गमूल को लेने के खतरे को दर्शाने वाला एक अन्य उदाहरण निम्नलिखित  प्राथमिक पहचान को सम्मलित करता है-<ref>{{harvnb|Maxwell|1959|loc=Chapter VI, §I.1}}</ref>
+समीकरण के दोनों पक्षों के वर्गमूल को लेने के खतरे को दर्शाने वाला एक अन्य उदाहरण निम्नलिखित प्राथमिक पहचान को सम्मलित करता है-<ref>{{harvnb|Maxwell|1959|loc=Chapter VI, §I.1}}</ref>
 :<math>\cos^2x=1-\sin^2x</math>
-जो पायथागॉरियन प्रमेय के परिणाम के रूप में है। फिर, एक वर्गमूल लेकर,
+जो पाइथागोरस प्रमेय के परिणाम के रूप में है। फिर, एक वर्गमूल लेकर,
 :<math>\cos x = \sqrt{1-\sin^2x}</math>
 इसका मूल्यांकन जब x ={{pi}} , हमें वह मिलता है
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 \end{align}
 </math>
-यहां त्रुटि यह है कि तीसरी पंक्ति में जाने पर घातांकों को गुणा करने का नियम जटिल घातांकों के साथ असंशोधित रूप से लागू नहीं होता है, भले ही दोनों पक्षों को घात i पर रखने पर केवल मुख्य मान चुना जाता है। जब बहु-मूल्यवान कार्यों के रूप में व्यवहार किया जाता है, तो दोनों पक्ष होने के संबंध मूल्यों का एक ही समुच्चय {{nowrap|1={''e''<sup>2{{pi}}''n''</sup> {{!}} ''n'' ∈ ℤ<nowiki>}</nowiki>}} उत्पन्न करते हैं
+यहां त्रुटि यह है कि तीसरी पंक्ति में जाने पर घातांकों को गुणा करने का नियम जटिल घातांकों के साथ असंशोधित रूप से लागू नहीं होता है, भले ही दोनों पक्षों को घात ''i'' पर रखने पर केवल मुख्य मान चुना जाता है। जब बहु-मूल्यवान कार्यों के रूप में व्यवहार किया जाता है, तो दोनों पक्ष होने के संबंध मूल्यों का एक ही समुच्चय {{nowrap|1={''e''<sup>2{{pi}}''n''</sup> {{!}} ''n'' ∈ ℤ<nowiki>}</nowiki>}} उत्पन्न करते हैंI
 == [[ज्यामिति]] ==
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 === समद्विबाहु त्रिभुज का भ्रम ===
-{{harv|मैक्सवेल|1959|loc=अध्याय पहला, दूसरा}} से समद्विबाहु त्रिभुज का भ्रम यह दर्शाता है कि प्रत्येक त्रिभुज समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज की दो भुजाएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं। यह भ्रम [[लुईस कैरोल]] को पता था और हो सकता है कि उन्होंने ही इसकी खोज की हो। यह 1899 में प्रकाशित हुआ था। <ref>{{citation |  title=The Lewis Carroll Picture Book|editor=S.D.Collingwood| pages=190-191| publisher=Collins| year=1899}}</ref><ref>{{citation| title=Lewis Carroll in Numberland| author=Robin Wilson| pages=169–170| publisher=Penguin Books| isbn=978-0-14-101610-8| year=2008}}</ref>
+{{harv|मैक्सवेल|1959|loc=अध्याय पहला, दूसरा}} से समद्विबाहु त्रिभुज का भ्रम यह दर्शाता है कि प्रत्येक त्रिभुज समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज की दो भुजाएँ [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] हैं। यह भ्रम [[लुईस कैरोल]] को पता था और हो सकता है कि उन्होंने ही इसका अविष्कार किया हो। यह 1899 में प्रकाशित हुआ था। <ref>{{citation |  title=The Lewis Carroll Picture Book|editor=S.D.Collingwood| pages=190-191| publisher=Collins| year=1899}}</ref><ref>{{citation| title=Lewis Carroll in Numberland| author=Robin Wilson| pages=169–170| publisher=Penguin Books| isbn=978-0-14-101610-8| year=2008}}</ref>
 एक त्रिभुज △ABC दिया है, सिद्ध कीजिए कि AB = AC:
 # एक रेखा समद्विभाजक ∠A खींचिए।
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 # सर्वांगसमता (ज्यामिति) द्वारा,<ref group="note">Hypotenuse–leg congruence</ref> △ROB ≅ △QOC (∠BRO = ∠CQO = 90°; BO = OC (कर्ण); RO = OQ (पैर))।
 # इस प्रकार, AR = AQ, RB = QC, और AB = AR + RB = AQ + QC = AC।
-Q.E.D.
 उपप्रमेय के रूप में, AB = BC और AC = BC को समान रूप से दिखा कर कोई भी यह दिखा सकता है कि सभी त्रिभुज समबाहु हैं।
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 # इसलिए, प्रयोग किए गए सभी घोड़ों को मिलाकर, हमारे पास एक ही रंग के N + 1 घोड़ों का एक समूह है।
 # इस प्रकार यदि कोई N घोड़े सभी एक ही रंग के हैं, तो कोई भी N + 1 घोड़े समान रंग के हैं।
-# यह N = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सच है (यानी एक घोड़ा एक समूह है जहां सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं)। इस प्रकार, प्रेरण द्वारा, N घोड़े किसी भी सकारात्मक पूर्णांक N के लिए समान रंग होते हैं, अर्थात सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं।
+# यह N = 1 के लिए स्पष्ट रूप से सच है (जैसे एक घोड़ा एक समूह है जहां सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं)। इस प्रकार, प्रेरण द्वारा, N घोड़े किसी भी सकारात्मक पूर्णांक N के लिए समान रंग होते हैं, अर्थात सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं।
-इस प्रमाण में त्रुटि पंक्ति 3 में उत्पन्न होती है। N = 1 के लिए, घोड़ों के दो समूहों में N − 1 = 0 घोड़े सामान्य  हैं, और इस प्रकार जरूरी नहीं कि वे एक दूसरे के समान रंग के हों, इसलिए ''N'' + 1 = 2 का समूह जरूरी नहीं कि 2 घोड़े एक ही रंग के हों। निहितार्थ प्रत्येक N घोड़े एक ही रंग के होते हैं, फिर N + 1 घोड़े एक ही रंग के होते हैं किसी भी N > 1 के लिए काम करते हैं, लेकिन N = 1 होने पर सत्य होने में विफल रहता है। आधार स्थितिया सही है, लेकिन प्रेरण चरण में एक प्राथमिक दोष है ।
+इस प्रमाण में त्रुटि पंक्ति 3 में उत्पन्न होती है। N = 1 के लिए, घोड़ों के दो समूहों में N − 1 = 0 घोड़े सामान्य हैं, और इस प्रकार अनिवार्य नहीं कि वे एक दूसरे के समान रंग के हों, इसलिए ''N'' + 1 = 2 का समूह अनिवार्य नहीं कि 2 घोड़े एक ही रंग के हों। निहितार्थ प्रत्येक N घोड़े एक ही रंग के होते हैं, तब N + 1 घोड़े एक ही रंग के होते हैं किसी भी N > 1 के लिए काम करते हैं, लेकिन N = 1 होने पर सत्य होने में विफल रहता है। आधार स्थितिया सही है, लेकिन प्रेरण चरण में एक प्राथमिक दोष है ।
 == यह भी देखें ==
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-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
+{{DEFAULTSORT:Mathematical fallacy}}[[Category: मनोरंजक गणित]]
+[[Category:प्रमाण सिद्धांत]]
+[[Category:गणितीय भ्रम|*]]
-*अंक शास्त्र
+[[Category: Machine Translated Page]]
-*अनौपचारिक भ्रम
+[[Category:Created On 29/11/2022]]
-*अंतर्विरोध
-*हेत्वाभास
-*एकाधिक मूल्यवान समारोह
-*एक समारोह की जड़
-*प्राथमिक बीजगणित
-*विषम रद्दीकरण
-*चौकों का अंतर
-*अंतर (गणित)
-*एक समारोह की सीमा
-*n वीं जड़
-*बहुविकल्पी समारोह
-*उलटा काम करना
-*पाइथागोरस प्रमेय
-*त्रिकोण
-*समद्विबाहु त्रिकोण
-*त्रिभुजों का हल
-*द्विविभाजितता
-*सभी घोड़े एक ही रंग के होते हैं
-*प्रेरण द्वारा प्रमाण
 ==बाहरी संबंध==
 {{Commons category|Invalid proofs}}
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 {{Formal fallacies}}
-{{DEFAULTSORT:Mathematical fallacy}}[[Category: मनोरंजक गणित]]
+{{DEFAULTSORT:Mathematical fallacy}}
+[[Category: मनोरंजक गणित]]
 [[Category:प्रमाण सिद्धांत]]
-[[Category:गणितीय भ्रम|*]]
+[[index.php?title=Category:गणितीय भ्रम|*]]
 [[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 29/11/2022]]
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