ट्रोकॉइड: Difference between revisions

Revision as of 01:39, 24 December 2022

एक रोलिंग सर्कल द्वारा उत्पन्न एक चक्रज (एक सामान्य ट्रॉकॉइड)।

ज्यामिति में, ट्रोकॉइड (ग्रीक भाषा के शब्द व्हील के लिए, ट्रोकोस) एक रूले (वक्र) है जो रेखा (ज्यामिति) के घूमने वाले वृत्त द्वारा बनता है। यह एक वृत्त (जहाँ बिंदु वृत्त के अंदर, अंदर या बाहर हो सकता है) के लिए निर्धारित बिंदु द्वारा खींचा गया वक्र है, क्योंकि यह एक सीधी रेखा के साथ घूमता है।^[1] यदि बिंदु वृत्त पर है, तो ट्रोकॉइड को सामान्य (साइक्लॉयड के रूप में भी जाना जाता है) कहा जाता है; यदि बिंदु वृत्त के अंदर है, तो ट्रोकॉइड वक्राकार है; और यदि बिंदु वृत्त के बाहर है, तो ट्रोकॉइड प्रोलेट है। ट्रोचॉइड शब्द गाइल्स डे रॉबर्वाल द्वारा गढ़ा गया था।^{[citation needed]}

मूल विवरण

प्रोलेट ट्रोकाइड के साथ

b / a = 5/4

b/a = 4/5 के साथ एक कर्टेट ट्रोचॉइड

त्रिज्या के वृत्त के रूप में एक रेखा L के साथ स्लिप हुए बिना रोल करता है, केंद्र C, L के समानांतर चलता है, और घूर्णन विमान में हर दूसरे बिंदु P वृत्त से जुड़ा होता है जो ट्रोकोइड नामक वक्र का पता लगाता है। माना CP = b. ट्रोचॉइड के पैरामीट्रिक समीकरण जिसके लिए एल एक्स-अक्ष है

x=a\theta -b\sin \theta \,

y=a-b\cos \theta \,

जहाँ θ चर कोण है जिसके माध्यम से वृत्त लुढ़कता है।

कर्टेट, सामान्य, प्रोलेट

यदि P वृत्त के अंदर स्थित है ( $b < a$ ), इसकी परिधि ( $b = a$ ), या बाहर ( $b > a$ ) पर, ट्रोचॉइड को कर्टेट ("अनुबंधित"), सामान्य, या प्रोलेट ("विस्तारित") के रूप में वर्णित किया गया है।^[2] जब एक सामान्य रूप से गियर वाली साइकिल को एक सीधी रेखा के साथ पैडल किया जाता है, तो एक कर्ट ट्रोचॉइड को पेडल (जमीन के सापेक्ष) द्वारा ट्रेस किया जाता है। ^[3] जब एक नाव को चप्पू के पहियों द्वारा निरंतर वेग से चलाया जाता है तो पैडल की नोक (पानी की सतह के सापेक्ष) से एक प्रोलेट ट्रोचॉइड का पता लगाया जाता है; इस वक्र में लूप होते हैं। एक सामान्य ट्रोकॉइड, जिसे साइक्लोइड भी कहा जाता है, में उन बिंदुओं पर क्यूप्स होते हैं जहां P लाइन L को छूता है।

सामान्य विवरण

ट्रोचॉइड को एक बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित $(x,y)$ करेगा जो अधिक सामान्य बिंदु पर स्थित अक्ष के चारों ओर एक स्थिर दर पर घूमता है $(x',y')$ ,

x=x'+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ y=y'+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1}),\ r_{1}>0,

x-y-समतल में किस धुरी का एक सीधी रेखा में निरंतर दर पर अनुवादित की जा रही है,

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+v_{2x}t,\ y'=y_{0}+v_{2y}t\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2x}t,\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+v_{2y}t,\\\end{array}}

या चारों ओर एक गोलाकार पथ (दूसरी कक्षा)। $(x_{0},y_{0})$ (हाइपोट्रोकॉइड / एपिट्रोकॉइड केस),

{\begin{array}{lcl}x'=x_{0}+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y'=y_{0}+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ r_{2}\geq 0\\\therefore x=x_{0}+r_{1}\cos(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\cos(\omega _{2}t+\phi _{2}),\ y=y_{0}+r_{1}\sin(\omega _{1}t+\phi _{1})+r_{2}\sin(\omega _{2}t+\phi _{2}),\\\end{array}}

गति की दरों का अनुपात और क्या गतिमान अक्ष सीधे या वृत्ताकार पथ में अनुवादित करता है, ट्रॉकॉइड के आकार को निर्धारित करता है। एक सीधे पथ के स्थिति में, एक पूर्ण घूर्णन आवधिक (पुनरावृत्ति) स्थान की एक अवधि के साथ मेल खाता है। गतिमान अक्ष के लिए एक वृत्ताकार पथ के मामले में, लोकस केवल तभी आवधिक होता है जब इन कोणीय गतियों का अनुपात, $\omega _{1}/\omega _{2}$ , एक परिमेय संख्या है, मान लीजिए $p/q$ , कहाँ पे $p$ & $q$ सह अभाज्य हैं, इस मामले में, एक अवधि के होते हैं $p$ चलती धुरी के चारों ओर परिक्रमा करता है और $q$ बिंदु के चारों ओर गतिमान अक्ष की कक्षाएँ $(x_{0},y_{0})$ . त्रिज्या के एक चक्र की परिधि पर एक बिंदु के ठिकाने का पता लगाकर उत्पन्न एपिसाइक्लोइड और हाइपोसाइक्लॉइड के विशेष मामले $r_{1}$ जबकि इसे त्रिज्या के एक स्थिर वृत्त की परिधि पर घुमाया जाता है $R$ , निम्नलिखित गुण हैं:

{\begin{array}{lcl}{\text{epicycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=r_{2}/r_{1}=R/r_{1}+1,\ |p-q|{\text{ cusps}}\\{\text{hypocycloid: }}&\omega _{1}/\omega _{2}&=p/q=-r_{2}/r_{1}=-(R/r_{1}-1),\ |p-q|=|p|+|q|{\text{ cusps}}\end{array}}

कहाँ पे $r_{2}$ गतिमान अक्ष की कक्षा की त्रिज्या है। ऊपर दी गई क्यूप्स की संख्या किसी भी एपिट्रोकॉइड और हाइपोट्रोकॉइड के लिए भी सही है, क्यूप्स को या तो रेडियल मैक्सिमा या रेडियल मिनिमा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह भी देखें

अरस्तू का पहिया विरोधाभास
ब्राचिस्टोक्रोन
साइक्लोगन
चक्रवात
एपिट्रोकॉइड
हाइपोट्रोकॉइड
आवधिक कार्यों की सूची
रूले (वक्र)
स्पाइरोग्राफ
ट्रोकोइडल तरंग

संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "Trochoid". MathWorld.
↑ "Trochoid". Xah Math. Retrieved October 4, 2014.
↑ The Bicycle Pulling Puzzle. Archived from the original on 2021-12-11.

बाहरी संबंध

Online experiments with the Trochoid using JSXGraph

[1] Weisstein, Eric W. "Trochoid". MathWorld.

[2] "Trochoid". Xah Math. Retrieved October 4, 2014.

[3] The Bicycle Pulling Puzzle. Archived from the original on 2021-12-11.

[1]

[2]

[3]

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 {{Short description|Family of mathematical curves}}
 {{for|the joint|Pivot joint}}
-[[File:Cycloid f.gif|thumb|एक रोलिंग सर्कल द्वारा उत्पन्न एक [[चक्रज]] (एक सामान्य ट्रॉकॉइड)।]][[ज्यामिति]] में, एक ट्रोचॉइड ([[ग्रीक भाषा]] के शब्द व्हील के लिए, ट्रोकोस) एक रूले ([[वक्र]]) है जो एक [[रेखा (ज्यामिति)]] के साथ घूमते हुए एक [[घेरा]] द्वारा बनाई गई है। यह एक वृत्त (जहाँ बिंदु वृत्त के अंदर, अंदर या बाहर हो सकता है) के लिए निर्धारित बिंदु द्वारा खींचा गया वक्र है, क्योंकि यह एक सीधी रेखा के साथ लुढ़कता है।<ref>{{MathWorld | urlname=Trochoid | title=Trochoid}}</ref> यदि बिंदु वृत्त पर है, तो ट्रोकॉइड को सामान्य (साइक्लॉयड के रूप में भी जाना जाता है) कहा जाता है; यदि बिंदु वृत्त के अंदर है, तो ट्रोकॉइड वक्राकार है; और यदि बिंदु वृत्त के बाहर है, तो ट्रोकॉइड प्रोलेट है। ट्रोचॉइड शब्द [[गाइल्स डे रॉबर्वाल]] द्वारा गढ़ा गया था।{{cn|date=July 2019}}
+[[File:Cycloid f.gif|thumb|एक रोलिंग सर्कल द्वारा उत्पन्न एक [[चक्रज]] (एक सामान्य ट्रॉकॉइड)।]][[ज्यामिति]] में, ट्रोकॉइड ([[ग्रीक भाषा]] के शब्द व्हील के लिए, ट्रोकोस) एक रूले ([[वक्र]]) है जो [[रेखा (ज्यामिति)]] के घूमने वाले वृत्त द्वारा बनता है। यह एक वृत्त (जहाँ बिंदु वृत्त के अंदर, अंदर या बाहर हो सकता है) के लिए निर्धारित बिंदु द्वारा खींचा गया वक्र है, क्योंकि यह एक सीधी रेखा के साथ घूमता है।<ref>{{MathWorld | urlname=Trochoid | title=Trochoid}}</ref> यदि बिंदु वृत्त पर है, तो ट्रोकॉइड को सामान्य (साइक्लॉयड के रूप में भी जाना जाता है) कहा जाता है; यदि बिंदु वृत्त के अंदर है, तो ट्रोकॉइड वक्राकार है; और यदि बिंदु वृत्त के बाहर है, तो ट्रोकॉइड प्रोलेट है। ट्रोचॉइड शब्द [[गाइल्स डे रॉबर्वाल]] द्वारा गढ़ा गया था।{{cn|date=July 2019}}
 == मूल विवरण ==
-[[File:TrohoidH1,25.gif|thumb|एक प्रोलेट ट्रोकाइड के साथ {{math|1=''b''/''a'' = 5/4}}]]
+[[File:TrohoidH1,25.gif|thumb|प्रोलेट ट्रोकाइड के साथ {{math|1=''b''/''a'' = 5/4}}]]
-[[File:TrohoidH0,8.gif|thumb|के साथ एक कर्टेट ट्रोकाइड {{math|1=''b''/''a'' = 4/5}}]]त्रिज्या के एक चक्र के रूप में एक रेखा एल के साथ फिसले बिना रोल करता है, केंद्र सी एल के समानांतर चलता है, और घूर्णन विमान में हर दूसरे बिंदु पी चक्र से जुड़ा होता है जो ट्रोकोइड नामक वक्र का पता लगाता है। माना CP = b. ट्रोचॉइड के [[पैरामीट्रिक समीकरण]] जिसके लिए एल एक्स-अक्ष है
+[[File:TrohoidH0,8.gif|thumb|b/a = 4/5 के साथ एक कर्टेट ट्रोचॉइड]]त्रिज्या के वृत्त के रूप में एक रेखा L के साथ स्लिप हुए बिना रोल करता है, केंद्र C, L के समानांतर चलता है, और घूर्णन विमान में हर दूसरे बिंदु P वृत्त से जुड़ा होता है जो ट्रोकोइड नामक वक्र का पता लगाता है। माना CP = b. ट्रोचॉइड के [[पैरामीट्रिक समीकरण]] जिसके लिए एल एक्स-अक्ष है
 :<math>x = a\theta - b \sin \theta \,</math>
 :<math>y = a - b \cos \theta \,</math>
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 === कर्टेट, सामान्य, प्रोलेट ===
-यदि पी सर्कल के अंदर (बी <ए), इसकी परिधि (बी = ए), या बाहर (बी> ए) पर स्थित है, तो ट्रॉकोइड को क्रमशः कर्टेट (अनुबंधित), आम, या प्रोलेट (विस्तारित) के रूप में वर्णित किया गया है।<ref>{{Cite web|title = Trochoid|website = Xah Math|url = http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Trochoid_dir/trochoid.html|accessdate = October 4, 2014}}</ref> जब एक सामान्य रूप से गियर वाली साइकिल को एक सीधी रेखा के साथ पैडल किया जाता है, तो एक कर्ट ट्रोचॉइड को पेडल (जमीन के सापेक्ष) द्वारा ट्रेस किया जाता है।<ref>{{cite AV media| url-status = live| archive-url = https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/aJhiY70KY5o| archive-date = 2021-12-11| url = https://www.youtube.com/watch?v=aJhiY70KY5o| title = साइकिल खींचने वाली पहेली| website=[[YouTube]]}}{{cbignore}}</ref> जब एक नाव को चप्पू के पहियों द्वारा निरंतर वेग से चलाया जाता है, तो पैडल (पानी की सतह के सापेक्ष) की नोक से एक [[लंबोतरा]] ट्रोचॉइड का पता लगाया जाता है; इस वक्र में लूप होते हैं। एक सामान्य ट्रोकॉइड, जिसे साइक्लोइड भी कहा जाता है, में उन बिंदुओं पर कस्प (विलक्षणता) होते हैं जहां P L को छूता है।
+यदि P वृत्त के अंदर स्थित है ( {{Math|''b'' < ''a''}} ), इसकी परिधि ( {{Math|1=''b'' = ''a''}} ), या बाहर ( {{Math|''b'' > ''a''}} ) पर, ट्रोचॉइड को कर्टेट ("अनुबंधित"), सामान्य, या प्रोलेट ("विस्तारित") के रूप में वर्णित किया गया है।<ref>{{Cite web|title=Trochoid|website=Xah Math|url=http://www.xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Trochoid_dir/trochoid.html|access-date=October 4, 2014}}</ref> जब एक सामान्य रूप से गियर वाली साइकिल को एक सीधी रेखा के साथ पैडल किया जाता है, तो एक कर्ट ट्रोचॉइड को पेडल (जमीन के सापेक्ष) द्वारा ट्रेस किया जाता है। <ref>{{Cite AV media|archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211211/aJhiY70KY5o|archive-date=2021-12-11|url=https://www.youtube.com/watch?v=aJhiY70KY5o|title=The Bicycle Pulling Puzzle}}</ref> जब एक नाव को चप्पू के पहियों द्वारा निरंतर वेग से चलाया जाता है तो पैडल की नोक (पानी की सतह के सापेक्ष) से एक [[:hi:लंबोतरा|प्रोलेट]] ट्रोचॉइड का पता लगाया जाता है; इस वक्र में लूप होते हैं। एक सामान्य [[:hi:चक्रज|ट्रोकॉइड]], जिसे साइक्लोइड भी कहा जाता है, में उन बिंदुओं पर [[:hi:कस्प (विलक्षणता)|क्यूप्स होते]] हैं जहां P लाइन L को छूता है।
 == सामान्य विवरण ==
-एक अधिक सामान्य दृष्टिकोण एक ट्रोचॉइड को एक बिंदु के लोकस (गणित) के रूप में परिभाषित करेगा <math>(x,y)</math> पर स्थित एक अक्ष के चारों ओर एक स्थिर दर पर परिक्रमा करना <math>(x',y')</math>,
+ट्रोचॉइड को एक बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित <math>(x,y)</math> करेगा जो अधिक सामान्य बिंदु पर स्थित अक्ष के चारों ओर एक स्थिर दर पर घूमता है <math>(x',y')</math>,
 :<math>x=x'+r_1\cos(\omega_1 t+\phi_1),\ y=y'+r_1\sin(\omega_1 t+\phi_1),\ r_1>0,</math>
-एक्स-वाई-प्लेन में किस धुरी का एक सीधी रेखा में निरंतर दर पर अनुवाद किया जा रहा है,
+''x-y''-समतल में किस धुरी का एक सीधी रेखा में निरंतर दर पर अनुवादित की जा रही है,
 :<math>\begin{array}{lcl}
   x'=x_0+v_{2x} t,\ y'=y_0+v_{2y} t\\
@@ Line 27: / Line 27: @@
 \therefore x = x_0+r_1\cos(\omega_1 t+\phi_1)+r_2\cos(\omega_2 t+\phi_2),\ y = y_0+r_1 \sin(\omega_1 t+\phi_1)+r_2\sin(\omega_2 t+\phi_2),\\
 \end{array}</math>
-गति की दरों का अनुपात और क्या गतिमान अक्ष सीधे या वृत्ताकार पथ में अनुवाद करता है, ट्रॉकॉइड के आकार को निर्धारित करता है। एक सीधे रास्ते के मामले में, एक पूर्ण रोटेशन [[आवधिक कार्य]] (दोहराव) लोकस की एक अवधि के साथ मेल खाता है। गतिमान अक्ष के लिए एक वृत्ताकार पथ के मामले में, लोकस केवल तभी आवधिक होता है जब इन कोणीय गतियों का अनुपात, <math>\omega_1/\omega_2</math>, एक परिमेय संख्या है, मान लीजिए <math>p/q</math>, कहाँ पे <math>p</math> & <math>q</math> [[सह अभाज्य]] हैं, इस मामले में, एक अवधि के होते हैं <math>p</math> चलती धुरी के चारों ओर परिक्रमा करता है और <math>q</math> बिंदु के चारों ओर गतिमान अक्ष की कक्षाएँ <math>(x_0,y_0)</math>. त्रिज्या के एक चक्र की परिधि पर एक बिंदु के ठिकाने का पता लगाकर उत्पन्न [[एपिसाइक्लोइड]] और [[हाइपोसाइक्लॉइड]] के विशेष मामले <math>r_1</math> जबकि इसे त्रिज्या के एक स्थिर वृत्त की परिधि पर घुमाया जाता है <math>R</math>, निम्नलिखित गुण हैं:
+गति की दरों का अनुपात और क्या गतिमान अक्ष सीधे या वृत्ताकार पथ में अनुवादित करता है, ट्रॉकॉइड के आकार को निर्धारित करता है। एक सीधे पथ के स्थिति में, एक पूर्ण घूर्णन आवधिक (पुनरावृत्ति) स्थान की एक अवधि के साथ मेल खाता है। गतिमान अक्ष के लिए एक वृत्ताकार पथ के मामले में, लोकस केवल तभी आवधिक होता है जब इन कोणीय गतियों का अनुपात, <math>\omega_1/\omega_2</math>, एक परिमेय संख्या है, मान लीजिए <math>p/q</math>, कहाँ पे <math>p</math> & <math>q</math> [[सह अभाज्य]] हैं, इस मामले में, एक अवधि के होते हैं <math>p</math> चलती धुरी के चारों ओर परिक्रमा करता है और <math>q</math> बिंदु के चारों ओर गतिमान अक्ष की कक्षाएँ <math>(x_0,y_0)</math>. त्रिज्या के एक चक्र की परिधि पर एक बिंदु के ठिकाने का पता लगाकर उत्पन्न [[एपिसाइक्लोइड]] और [[हाइपोसाइक्लॉइड]] के विशेष मामले <math>r_1</math> जबकि इसे त्रिज्या के एक स्थिर वृत्त की परिधि पर घुमाया जाता है <math>R</math>, निम्नलिखित गुण हैं:
 :<math>\begin{array}{lcl}
 \text{epicycloid: }&\omega_1/\omega_2&=p/q=r_2/r_1=R/r_1+1,\ |p-q| \text{ cusps}\\

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