अभिन्न समीकरण

For equations of integer unknowns, see Diophantine equation.

गणित में, समाकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें एक अज्ञात फलन एक समाकल चिन्ह के अंतर्गत आता है। गणितीय संकेतन में, समाकल समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0$$

जहां $I^{i}(u)$ आप पर अभिनय करने वाला एक अभिन्न संकारक है। इसलिए, अभिन्न समीकरणों को अवकल समीकरणों के अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है जहां डेरिवेटिव वाले समीकरण के बजाय, समीकरण में अभिन्न शामिल हैं। उपरोक्त सामान्य अभिन्न समीकरण के गणितीय रूप के साथ एक प्रत्यक्ष तुलना को एक अंतर समीकरण के सामान्य रूप के साथ देखा जा सकता है जिसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0$$

जहां $D^{i}(u)$ को ऑर्डर i के डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है। डिफरेंशियल और इंटीग्रल समीकरणों के बीच इस घनिष्ठ संबंध के कारण, कोई भी अक्सर दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक सीमा मूल्य समस्या को हल करने का एक तरीका अंतर समीकरण को इसकी सीमा शर्तों के साथ एक अभिन्न समीकरण में परिवर्तित करके और अभिन्न समीकरण को हल करना है। इसके अलावा, क्योंकि कोई भी दोनों के बीच रूपांतरण कर सकता है, मैक्सवेल के समीकरणों जैसे भौतिक विज्ञान में अंतर समीकरणों में अक्सर एक एनालॉग इंटीग्रल और डिफरेंशियल फॉर्म होता है। यह भी देखें, उदाहरण के लिए, ग्रीन का कार्य और फ्रेडहोम सिद्धांत।

वर्गीकरण और सिंहावलोकन

समाकल समीकरणों के लिए विभिन्न वर्गीकरण पद्धतियां मौजूद हैं। कुछ मानक वर्गीकरणों में रेखीय और अरैखिक के बीच अंतर शामिल हैं; सजातीय और अमानवीय; फ़्रेडहोल्म और वोल्टेरा; पहला ऑर्डर, दूसरा ऑर्डर और तीसरा ऑर्डर; और एकवचन और नियमित समाकल समीकरण। ये अंतर आम तौर पर कुछ मौलिक संपत्ति पर आधारित होते हैं जैसे समीकरण की रैखिकता या समीकरण की एकरूपता पर विचार करना। इन टिप्पणियों को निम्नलिखित परिभाषाओं और उदाहरणों के माध्यम से ठोस बनाया गया है:

रैखिकता

रेखीय: एक समाकल समीकरण रेखीय होता है यदि अज्ञात फलन u(x) और इसके समाकल समीकरण में रैखिक दिखाई देते हैं। इसलिए, एक रैखिक समीकरण का एक उदाहरण होगा:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

नामकरण परिपाटी पर एक नोट के रूप में: i) u(x) को अज्ञात फ़ंक्शन कहा जाता है, ii) f(x) को ज्ञात फ़ंक्शन कहा जाता है, iii) K(x,t) दो चरों का एक फलन है और इसे अक्सर कर्नेल फलन कहा जाता है, और iv) λ एक अज्ञात कारक या प्राचल है, जो रैखिक बीजगणित में आइगेनमान के समान भूमिका निभाता है।

अरैखिक: एक समाकल समीकरण अरैखिक होता है यदि अज्ञात फलन u(x) या इसका कोई भी समाकल समीकरण में अरैखिक दिखाई देता है। इसलिए, यदि हम u(t) को $u^{2}(x),\,\,cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}$ से प्रतिस्थापित करते हैं, तो गैर-रैखिक समीकरणों के उदाहरण ऊपर दिए गए समीकरण होंगे, जैसे:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt$$

कुछ प्रकार के गैर-रैखिक अभिन्न समीकरणों के विशिष्ट नाम होते हैं। ऐसे समीकरणों का एक चयन है:

• दूसरे प्रकार के अरैखिक वोल्टेरा अभिन्न समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,$ जहां F एक ज्ञात फलन है।
• दूसरी तरह के नॉनलाइनियर फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण जिनका सामान्य रूप है: $f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)$।
• दूसरे प्रकार के एक विशेष प्रकार के अरैखिक फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरणों को फॉर्म द्वारा दिया जाता है: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy$, जिसमें दो विशेष उपवर्ग हैं:
  • उरीसोहन समीकरण: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy$।
  • हैमरस्टीन समीकरण: $f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy$।

हैमरस्टीन समीकरण के बारे में अधिक जानकारी और हैमरस्टीन समीकरण के विभिन्न संस्करणों को नीचे हैमरस्टीन अनुभाग में पाया जा सकता है।

अज्ञात समीकरण का स्थान

पहला प्रकार: एक समाकल समीकरण प्रथम प्रकार का समाकल समीकरण कहलाता है यदि अज्ञात फलन केवल समाकल चिह्न के अंतर्गत प्रकट होता है।एक उदाहरण होगा: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$.

दूसरा प्रकार: एक अभिन्न समीकरण को दूसरे प्रकार का अभिन्न समीकरण कहा जाता है यदि अज्ञात फलन समाकल के बाहर भी प्रकट होता है।

तीसरा प्रकार: एक समाकल समीकरण को तीसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित रूप का एक रैखिक समाकल समीकरण हो: [3]

तीसरा प्रकार: एक समाकल समीकरण को तीसरे प्रकार का समाकल समीकरण कहा जाता है, यदि यह निम्नलिखित रूप का एक रैखिक समाकल समीकरण हो:

$$g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)$$

जहां g(t) अंतराल में कम से कम एक बार गायब हो जाता है [a,b] या जहां g(t) (a,b) में बिंदुओं की एक सीमित संख्या में गायब हो जाता है।

एकीकरण की सीमा

फ्रेडहोम: एक अभिन्न समीकरण को फ्रेडहोम अभिन्न समीकरण कहा जाता है यदि सभी इंटीग्रल में एकीकरण की दोनों सीमाएं स्थिर और स्थिर हैं। एक उदाहरण यह होगा कि इंटीग्रल को $\mathbb {R} ^{n}$ के एक निश्चित उपसमुच्चय पर ले लिया जाता है। अतः, निम्नलिखित दो उदाहरण फ्रेडहोम समीकरण हैं:

• पहले प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: $f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt$
• दूसरे प्रकार का फ्रेडहोम समीकरण: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

ध्यान दें कि हम अभिन्न समीकरणों को अभिव्यक्त कर सकते हैं जैसे कि ऊपर वाले भी अभिन्न संकारक संकेतन का उपयोग कर सकते हैं। [7] उदाहरण के लिए, हम फ्रेडहोम इंटीग्रल ऑपरेटर को इस रूप में परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.$$

इसलिए, दूसरे प्रकार के उपरोक्त फ्रेडहोम समीकरण को संक्षिप्त रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).$$

वोल्टेरा: एक इंटीग्रल समीकरण को वोल्टेरा इंटीग्रल इक्वेशन कहा जाता है, अगर इंटीग्रेशन की कम से कम एक सीमा एक वेरिएबल हो। इसलिए, इंटीग्रल को एक डोमेन पर ले लिया जाता है जो इंटीग्रेशन के वेरिएबल के साथ बदलता रहता है। वोल्टेरा समीकरणों के उदाहरण होंगे:

• पहली तरह का वोल्तेरा इंटीग्रल समीकरण: $f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt$
• दूसरी तरह का वोल्तेरा इंटीग्रल समीकरण: $u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.$

जैसा कि फ्रेडहोम समीकरणों के साथ होता है, हम फिर से संकारक संकेतन को अपना सकते हैं। इस प्रकार, हम रैखिक वोल्टेरा इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$

जहाँ $t\in I=[t_{0},T]$ और K(t, s) को कर्नेल कहा जाता है और अंतराल $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$ पर निरंतर होना चाहिए। इसलिए, पहले प्रकार के वोल्टेरा अभिन्न समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$

$g(0)=0$ के साथ। इसके अलावा, एक अज्ञात फ़ंक्शन $y(t)$ के लिए दूसरी तरह का एक रेखीय वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण और अंतराल $I$ पर दिए गए निरंतर फ़ंक्शन $g(t)$ जहां $t\in I$:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).$$

वोल्टेरा-फ्रेडहोल्म: उच्च आयामों में, फ्रेडहोम-वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण (VFIE) जैसे इंटीग्रल समीकरण मौजूद हैं। एक वीएफआईई का फॉर्म है:

$$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$

$x\in \Omega$ और $\Omega$ के साथ $\mathbb {R} ^{d}$ में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के साथ टुकड़े की तरह चिकनी सीमा होती है। फ़्रेडहोल्म-वोल्तेर्रा इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$

ध्यान दें कि जबकि इस पूरे लेख में, समाकलन की सीमाएँ आमतौर पर अंतरालों के रूप में लिखी जाती हैं, यह मामला नहीं होना चाहिए। सामान्य तौर पर, अभिन्न समीकरणों को हमेशा एक अंतराल $[a,b]=I$ पर परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन एक वक्र या सतह पर भी परिभाषित किया जा सकता है।

एकरूपता

समरूप: एक अभिन्न समीकरण को समरूप कहा जाता है यदि ज्ञात फ़ंक्शन $f$ समान रूप से शून्य है।

असमांगी: एक अभिन्न समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि ज्ञात फ़ंक्शन $f$ शून्य नहीं है।

नियमितता

Regular: एक अभिन्न समीकरण को नियमित कहा जाता है यदि उपयोग किए गए अभिन्न अंग सभी उचित अभिन्न हों।

Singular या weakly singular: एक समाकल समीकरण को एकवचन या दुर्बल रूप से एकवचन कहा जाता है यदि समाकल एक अनुचित समाकल है। यह या तो इसलिए हो सकता है क्योंकि एकीकरण की कम से कम एक सीमा अनंत है या कर्नेल अबाधित हो जाता है, जिसका अर्थ है अनंत, अंतराल या डोमेन में कम से कम एक बिंदु पर जिस पर एकीकृत किया जा रहा है।

उदाहरणों में शामिल:

$$F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx$$

$$L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx$$

ये दो अभिन्न समीकरण क्रमशः यू (एक्स) के फूरियर रूपांतरण और लाप्लास रूपांतरण हैं, दोनों क्रमशः कर्नेल $K(x,t)=e^{-i\lambda x}$ और $K(x,t)=e^{-\lambda x}$ के साथ पहली तरह के फ्रेडहोम समीकरण हैं। एकवचन समाकल समीकरण का एक अन्य उदाहरण जिसमें कर्नेल असीमित हो जाता है:

$$x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.$$

यह समीकरण पहले प्रकार के अधिक सामान्य कमजोर एकवचन वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण का एक विशेष रूप है, जिसे एबेल का इंटीग्रल समीकरण कहा जाता है:

$$g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy$$

Strongly singular: एक समाकल समीकरण को प्रबल एकवचन कहा जाता है यदि समाकल को एक विशेष नियमितीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, कौशी प्रमुख मान द्वारा।

इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण

एक इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण, जैसा कि नाम से पता चलता है, डिफरेंशियल और इंटीग्रल ऑपरेटरों को एक समीकरण में जोड़ता है। वोल्टेरा पूर्णांक-विभेदक समीकरण और विलंब प्रकार के समीकरण सहित कई संस्करण हैं, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, वोल्टेरा ऑपरेटर का उपयोग करते हुए, वोल्टेरा इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण को इस तरह लिखा जा सकता है:

$$y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)$$

देरी की समस्याओं के लिए, हम देरी इंटीग्रल ऑपरेटर $({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

$$({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds$$

जहां विलंब पूर्णांक-विभेदक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$$y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).$$

वोल्टेरा अभिन्न समीकरण

1डी में विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय

समीकरण द्वारा दिए गए पहले प्रकार के एक रेखीय Volterra अभिन्न समीकरण का हल:

$$({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)$$

निम्नलिखित अद्वितीयता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है। याद रखें कि Volterra इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)$, को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds$$

जहाँ $t\in I=[t_{0},T]$ और K(t, s) को कर्नेल कहा जाता है और अंतराल $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}$ पर निरंतर होना चाहिए।

Theorem — प्रमेय - मान लें कि $K$ कुछ $t\in I.$ के लिए $K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)$ और $\vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0$ को संतुष्ट करता है। फिर $g(0)=0$ के साथ किसी भी $g\in C^{1}(I)$ के लिए ऊपर दिए गए इंटीग्रल समीकरण का $y\in C(I)$ में एक अद्वितीय समाधान है।

समीकरण द्वारा दिए गए दूसरे प्रकार के रैखिक वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण का समाधान:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)$$

निम्नलिखित विशिष्टता और अस्तित्व प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

Theorem — प्रमेय - मान लीजिए $K\in C(D)$ और $R$, $K$ के साथ जुड़े रिज़ॉल्वेंट कर्नेल को दर्शाते हैं। फिर, किसी भी $g\in C(I)$ के लिए, दूसरी तरह के वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण का एक अनूठा समाधान $y\in C(I)$ है और यह समाधान $y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$ द्वारा दिया गया है।

वोल्टेरा अभिन्न समीकरण $\mathbb {R} ^{2}$

दूसरी तरह का वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$

जहां $(x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]$, $g\in C(\Omega )$, $K\in C(D_{2})$ और $D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}$ हैं।इ स समाकल समीकरण का एक अद्वितीय हल $u\in C(\Omega )$ है जो इसके द्वारा दिया गया है:

$$u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi$$

जहां $R$ K का रिज़ॉल्वेंट कर्नेल है।

फ्रेडहोम-वोल्तेरा समीकरणों की अद्वितीयता और अस्तित्व प्रमेय

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, एक VFIE का रूप है:

$$u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)$$

$x\in \Omega$ और $\Omega$ के साथ $\mathbb {R} ^{d}$ में एक बंद परिबद्ध क्षेत्र होने के साथ टुकड़े की तरह चिकनी सीमा होती है। फ़्रेडहोल्म-वोल्तेर्रा इंटीग्रल ऑपरेटर ${\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.$$

ऐसे मामले में जहां कर्नेल K को $K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )$ के रूप में लिखा जा सकता है, K को सकारात्मक मेमोरी कर्नेल कहा जाता है। इस बात को ध्यान में रखते हुए, अब हम निम्नलिखित प्रमेय को प्रस्तुत कर सकते हैं:

Theorem — यदि रैखिक VFIE इसके द्वारा दिया गया है: $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ साथ में $(t,x)\in I\times \Omega$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:

• $g\in C(I\times \Omega )$, और
• $K\in C(D\times \Omega ^{2})$ जहाँ $D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}$ और $\Omega ^{2}=\Omega \times \Omega$

फिर VFIE के पास $u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds$ द्वारा दिया गया एक अनूठा समाधान $u\in C(I\times \Omega )$ है जहां $R\in C(D\times \Omega ^{2})$ को रिज़ॉल्वेंट कर्नेल कहा जाता है और कर्नेल $K$ के लिए न्यूमैन श्रृंखला की सीमा द्वारा दिया जाता है और रिज़ॉल्वेंट समीकरण हल करता है: $R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv$

विशेष वोल्टेरा समीकरण

एक विशेष प्रकार का वोल्टेरा समीकरण जो विभिन्न अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, उसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)$$

कहां $t\in I=[t_{0},T]$फलन g(t) अंतराल पर सतत है $I$, और वोल्टेरा इंटीग्रल ऑपरेटर $(V_{\alpha }t)$ द्वारा दिया गया है:

$$(V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds$$

साथ $(0\leq \alpha <1)$.

आईवीपी को अभिन्न समीकरणों में परिवर्तित करना

निम्नलिखित खंड में, हम एक प्रारंभिक मूल्य समस्या (IVP) को एक अभिन्न समीकरण में बदलने का उदाहरण देते हैं। ऐसा करने के लिए कई प्रेरणाएँ हैं, उनमें से यह है कि अभिन्न समीकरण अक्सर अधिक आसानी से हल करने योग्य हो सकते हैं और अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेयों को साबित करने के लिए अधिक उपयुक्त हैं।

निम्नलिखित उदाहरण वज़वाज़ ने अपनी पुस्तक के पृष्ठ 1 और 2 पर प्रदान किया था।हम समीकरण द्वारा दिए गए IVP की जांच करते हैं:

$$u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0$$

और प्रारंभिक स्थिति:

$$u(0)=1$$

यदि हम समीकरण के दोनों पक्षों को एकीकृत करते हैं, तो हम पाते हैं:

$$\int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

और कलन के मौलिक प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं:

$$u(x)-u(1)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें अभिन्न समीकरण मिलता है:

$$u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt$$

जो फॉर्म का वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण है:

$$u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt$$

जहाँ K(x,t) को कर्नेल कहा जाता है और 2t के बराबर है, और f(x)=1।

अभिन्न समीकरणों के लिए पावर श्रृंखला समाधान

See also: Liouville–Neumann series

कई मामलों में, यदि अभिन्न समीकरण का कर्नेल रूप का है K(xt) और मेलिन का परिवर्तन K(t) मौजूद है, हम अभिन्न समीकरण का समाधान पा सकते हैं

$g(s)=s\int _{0}^{\infty }K(st)\,f(t)\,dt$

एक शक्ति श्रृंखला के रूप में

$f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}t^{n}$

कहां

$g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n},\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }K(t)\,t^{n}\,dt$

हैं Z- समारोह का परिवर्तन g(s), और M(n + 1) कर्नेल का मेलिन रूपांतरण है।

संख्यात्मक समाधान

यह ध्यान देने योग्य है कि अभिन्न समीकरणों का अक्सर विश्लेषणात्मक समाधान नहीं होता है, और उन्हें संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। इसका एक उदाहरण इलेक्ट्रोमैग्नेटिक स्कैटरिंग समस्या में मनमाने आकार की वस्तु पर विद्युत-क्षेत्र अभिन्न समीकरण (EFIE) या चुंबकीय-क्षेत्र अभिन्न समीकरण (MFIE) का मूल्यांकन करना है।

संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक विधि के लिए आवश्यक है कि चरों का विवेचन किया जाए और एक चतुर्भुज नियम द्वारा अभिन्न को प्रतिस्थापित किया जाए

$\sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.$

फिर हमारे पास एक सिस्टम है n समीकरण और n चर। इसे हल करने पर हमें का मान प्राप्त होता है n चर

$u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).$

आइगेनवैल्यू समीकरणों के सामान्यीकरण के रूप में इंटीग्रल समीकरण

Further information: Fredholm theory

कुछ सजातीय रैखिक अभिन्न समीकरणों को आइगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस की सातत्य सीमा के रूप में देखा जा सकता है। सूचकांक अंकन का उपयोग करते हुए, एक आइगेनवैल्यू समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

$\sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}$

जहांM = [M_i,j] एक मैट्रिक्स है, v इसका एक ईजेनवेक्टर है, और λ संबंधित आइगेनवैल्यू है।

सातत्य सीमा लेते हुए, अर्थात असतत सूचकांकों i और j को निरंतर चर x और y से प्रतिस्थापित करने पर, प्राप्त होता है

$\int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),$

जहाँ j पर योग को y पर एक समाकलन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है और मैट्रिक्स M और सदिश v को कर्नेल K(x, y) और eigenfunction φ(y) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। (इंटीग्रल पर सीमाएं j से अधिक योग की सीमाओं के अनुरूप तय की जाती हैं।) यह दूसरे प्रकार का एक रैखिक सजातीय फ्रेडहोम समीकरण देता है।

सामान्य तौर पर, K(x, y) सख्त अर्थों में एक समारोह के बजाय वितरण हो सकता है। यदि बंटन K को केवल बिंदु x = y पर समर्थन प्राप्त है, तो समाकल समीकरण एक विभेदक ईजेनफंक्शन समीकरण में बदल जाता है।

सामान्य तौर पर, वोल्टेरा और फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण एकल अंतर समीकरण से उत्पन्न हो सकते हैं, जो इस बात पर निर्भर करता है कि इसके समाधान के डोमेन की सीमा पर किस प्रकार की शर्तें लागू होती हैं।

वीनर-हॉप इंटीग्रल समीकरण

Main article: Wiener–Hopf method

$$y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .$$

मूल रूप से, इस तरह के समीकरणों का अध्ययन रेडिएटिव ट्रांसफर में समस्याओं के संबंध में किया गया था, और हाल ही में, वे प्लानर समस्याओं के लिए सीमा अभिन्न समीकरणों के समाधान से संबंधित हैं, जिसमें सीमा केवल टुकड़े-टुकड़े चिकनी है।

हैमरस्टीन समीकरण

एक हैमरस्टीन समीकरण फॉर्म का एक गैर-रैखिक प्रथम प्रकार का वोल्टेरा अभिन्न समीकरण है:

$$g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.$$

कुछ निश्चित नियमितता शर्तों के तहत, समीकरण दूसरे प्रकार के अंतर्निहित वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण के बराबर है:

$$G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$

कहां:

$$g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.$$

हालांकि समीकरण को ऑपरेटर के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है जो निम्नलिखित ऑपरेटर की परिभाषा को प्रेरित करता है जिसे नॉनलाइनियर वोल्टेरा-हैमरस्टीन ऑपरेटर कहा जाता है:

$$({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds$$

यहाँ $G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक सहज कार्य है जबकि कर्नेल K निरंतर हो सकता है, अर्थात बंधा हुआ, या कमजोर रूप से एकवचन।स ंबंधित दूसरे प्रकार के वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण को दूसरे प्रकार का वोल्टेरा-हैमरस्टीन इंटीग्रल इक्वेशन कहा जाता है, या संक्षेप में हैमरस्टीन समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)$$

कुछ अनुप्रयोगों में, फ़ंक्शन G की गैर-रैखिकता को केवल सेमी-लीनियर के रूप में माना जा सकता है:

$$G(s,y)=y+H(s,y)$$

इस मामले में, हम निम्नलिखित अर्ध-रैखिक वोल्टेरा अभिन्न समीकरण:

$$y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds$$

इस रूप में, हम अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन अभिन्न समीकरण के लिए एक अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय बता सकते हैं।

Theorem — मान लीजिए कि अर्ध-रैखिक हैमरस्टीन समीकरण का एक अद्वितीय समाधान है $y\in C(I)$ और $H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ एक लिपशिट्ज निरंतर कार्य करें। तब इस समीकरण का हल इस रूप में लिखा जा सकता है: $y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds$ जहां $y_{l}(t)$ उपरोक्त समीकरण के रैखिक भाग के अद्वितीय समाधान को दर्शाता है और इसके द्वारा दिया जाता है: $y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds$ with $R(t,s)$ विलायक कर्नेल को दर्शाता है।

हम हैमरस्टीन समीकरण को एक अलग ऑपरेटर का उपयोग करके भी लिख सकते हैं जिसे निएमित्ज़की ऑपरेटर कहा जाता है, या प्रतिस्थापन ऑपरेटर, ${\mathcal {N}}$ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))$$

इसके बारे में अधिक जानकारी इस पुस्तक के पृष्ठ 75 पर पाई जा सकती है।

अनुप्रयोग

कई अनुप्रयोगों में अभिन्न समीकरण महत्वपूर्ण हैं। जिन समस्याओं में अभिन्न समीकरणों का सामना करना पड़ता है उनमें रेडियेटिव ट्रांसफर, और एक स्ट्रिंग, झिल्ली, या एक्सल का दोलन शामिल है। अवकलन समस्याओं को अवकल समीकरणों के रूप में भी हल किया जा सकता है।

• जिवानांकिकी (खंडहर सिद्धांत )
• कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स
  • सीमा तत्व विधि
• उलटी समस्या
  • मार्चेंको समीकरण (उलटा बिखराव परिवर्तन)
• कूद प्रसार के तहत ऑप्शंस प्राइसिंग
• रेडिएटिव ट्रांसफर
• विस्कोलोच
• तरल यांत्रिकी

यह भी देखें

• अंतर समीकरण
• इंटीग्रो-डिफरेंशियल इक्वेशन
• बर्बाद सिद्धांत
• वोल्टेरा अभिन्न समीकरण

ग्रन्थसूची

• Agarwal, Ravi P., and Donal O'Regan. Integral and Integrodifferential Equations: Theory, Method and Applications. Gordon and Breach Science Publishers, 2000.
• Brunner, Hermann. Collocation Methods for वोल्टेरा Integral and Related Functional Differential Equations. Cambridge University Press, 2004.
• Burton, T. A. वोल्टेरा Integral and Differential Equations. Elsevier, 2005.
• Chapter 7 It Mod 02-14-05 - Ira A. Fulton College of Engineering. https://www.et.byu.edu/~vps/ET502WWW/NOTES/CH7m.pdf.
• Corduneanu, C. Integral Equations and Applications. Cambridge University Press, 2008.
• Hackbusch, Wolfgang. Integral Equations Theory and Numerical Treatment. Birkhäuser, 1995.
• Hochstadt, Harry. Integral Equations. Wiley-Interscience/John Wiley & Sons, 1989.
• “Integral Equation.” From Wolfram MathWorld, https://mathworld.wolfram.com/IntegralEquation.html.
• “Integral Equation.” Integral Equation - Encyclopedia of Mathematics, https://encyclopediaofmath.org/wiki/Integral_equation.
• Jerri, Abdul J. Introduction to Integral Equations with Applications. Sampling Publishing, 2007.
• Pipkin, A. C. A Course on Integral Equations. Springer-Verlag, 1991.
• Polëiìanin A. D., and Alexander V. Manzhirov. Handbook of Integral Equations. Chapman & Hall/CRC, 2008.
• Wazwaz, Abdul-Majid. A First Course in Integral Equations. World Scientific, 2015.

आगे की पढाई

• Kendall E. Atkinson The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind. Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
• George Arfken and Hans Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000.
• Harry Bateman (1910) History and Present State of the Theory of Integral Equations, Report of the British Association.
• Andrei D. Polyanin and Alexander V. Manzhirov Handbook of Integral Equations. CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.
• E. T. Whittaker and G. N. Watson. A Course of Modern Analysis Cambridge Mathematical Library.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problems and Exercises in Integral Equations, Mir Publishers, Moscow, 1971
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Chapter 19. Integral Equations and Inverse Theory". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

• अंक शास्त्र
• समारोह (गणित)
• अभिन्न
• अभिन्न संचालिका
• कर्नेल (अभिन्न ऑपरेटर)
• लीनियर अलजेब्रा
• वोल्टेरा अभिन्न समीकरण
• मध्य परिवर्तन
• निरंतरता की सीमा
• कंपन
• विभेदक समीकरण
• उलटा प्रकीर्णन परिवर्तन
• viscoelasticity

बाहरी कड़ियाँ

• Integral Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Integral Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Integral equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Integral Equations (MIT OpenCourseWare)