समानता (गणित)

गणित में, समानता दो मात्राओं या अधिक सामान्य रूप से दो गणितीय अभिव्यक्तियों के बीच एक संबंध है, जो यह दावा करती है कि मात्राओं का समान मान है, या यह कि अभिव्यक्तियाँ एक ही गणितीय वस्तु का प्रतिनिधित्व करती हैं। A और B के बीच समानता को A = B लिखा है , और A का उच्चारण B के बराबर होता है।. प्रतीक "=" को "बराबर चिह्न" कहा जाता है। दो वस्तुएँ जो समान नहीं हैं, भिन्न कहलाती हैं.

उदाहरण के लिए:

• $x=y$ मतलब कि x और y एक ही वस्तु को दर्शाते हैं।।
• पहचान (गणित) $(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ इसका तात्पर्य है कि यदि x कोई संख्या है, तो दोनों व्यंजकों का मान समान है। इसे यह कहते हुए भी समझा जा सकता है कि बराबर चिह्न के दो पक्ष एक ही कार्य (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हैं।
• अगर और केवल अगर $\{x\mid P(x)\}=\{x\mid Q(x)\}$ $P(x)\Leftrightarrow Q(x).$ यह अभिकथन, जो सेट-बिल्डर नोटेशन का उपयोग करता है, का अर्थ है कि यदि तत्व संपत्ति को संतुष्ट करते हैं $P(x)$ $Q(x),$को संतुष्ट करने वाले तत्वों के समान हैं तो सेट-बिल्डर नोटेशन के दो उपयोग एक ही सेट को परिभाषित करते हैं। इस संपत्ति को सामान्यतः दो सेटों के रूप में व्यक्त किया जाता है जिनमें समान तत्व समान होते हैं। यह समुच्चय सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों में से एक है, जिसे विस्तार का स्वयंसिद्ध कहा जाता है।

व्युत्पत्ति

शब्द की व्युत्पत्ति लैटिन भाषा के एक्वालिस ("समान", "समान", "तुलनीय", "समान") से हुई है, जो एसेस ("समान", "स्तर", "निष्पक्ष", "न्यायसंगत") से है।

मूल गुण

• Substitution property: For any quantities a and b and any expression F(x), if a = b, then F(a) = F(b) (provided that both sides are well-formed).

  Some specific examples of this are:

  • For any real numbers a, b, and c, if a = b, then a + c = b + c (here, F(x) is x + c);
  • For any real numbers a, b, and c, if a = b, then a − c = b − c (here, F(x) is x − c);
  • For any real numbers a, b, and c, if a = b, then ac = bc (here, F(x) is xc);
  • For any real numbers a, b, and c, if a = b and c is not zero, then a/c = b/c (here, F(x) is x/c).
• Reflexive property: For any quantity a, a = a.
• Symmetric property: For any quantities a and b, if a = b, then b = a.
• Transitive property: For any quantities a, b, and c, if a = b and b = c, then a = c.

ये अंतिम तीन गुण समानता को एक तुल्यता संबंध बनाते हैं। वे मूल रूप से प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीआनो स्वयंसिद्धों में शामिल थे। चूँकि सममित और सकर्मक गुणों को सामान्यतः मौलिक के रूप में देखा जाता है, उन्हें प्रतिस्थापन और प्रतिवर्ती गुणों से घटाया जा सकता है।

विधेय के रूप में समानता

जब A और B पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं होते हैं या कुछ चर (गणित) पर निर्भर होते हैं, तो समानता एक प्रस्ताव (गणित) है, जो कुछ मूल्यों के लिए सही हो सकता है और अन्य मूल्यों के लिए गलत हो सकता है। समानता एक द्विआधारी संबंध है (यानी, एक दो-तर्क विधेय (गणितीय तर्क)) जो अपने तर्कों से एक सत्य मान (गलत या सत्य) उत्पन्न कर सकता है। कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, दो भावों से इसकी गणना को रिलेशनल ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है।

पहचान

Main article: Identity (mathematics)

जब A और B को कुछ चरों के फलन (गणित) के रूप में देखा जा सकता है, तब A = B का मतलब है कि A और B एक ही फलन को परिभाषित करते हैं। कार्यों की ऐसी समानता को कभी-कभी एक तत्समक

(पहचान गणित) कहा जाता है। एक उदाहरण है $\left(x+1\right)\left(x+1\right)=x^{2}+2x+1.$ कभी-कभी, लेकिन हमेशा नहीं, एक ट्रिपल बार के साथ एक पहचान लिखी जाती है: $\left(x+1\right)\left(x+1\right)\equiv x^{2}+2x+1.$

समीकरण

एक समीकरण कुछ चरों के मान ज्ञात करने की समस्या है, जिसे अज्ञात कहा जाता है जिसके लिए निर्दिष्ट समानता सत्य है। शब्द समीकरण भी एक समानता संबंध को संदर्भित कर सकता है जो केवल उन चरों के मूल्यों के लिए संतुष्ट होता है जिनमें रुचि होती है। उदाहरण के लिए, $x^2+y^{}$