घातांक: Difference between revisions
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* {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} तथा {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, जब {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}. | * {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} तथा {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, जब {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}. | ||
ये घातयाँ की सीमा {{math|''x''}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} से लेकर प्राप्त की जाती हैं यह विधि {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} की परिभाषा की अनुमति नहीं देती है जब {{math|''x'' < 0}} है, चूंकि जोड़े (x, y) x < 0 के साथ D के संचय बिंदु नहीं हैं। | |||
वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} | वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} {{math|''x''}} के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही नकारात्मक सहित सार्थक है।यह परिभाषा {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} ऋणात्मक n समस्याग्रस्त के ऊपर प्राप्त कर सकता है जब n विषम है, क्योंकि इस प्रकर्ण {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} में जैसे {{math|''x''}} {{math|0}} की ओर सकारात्मक मूल्यों के माध्यम से प्रवृत्त होता है, लेकिन नकारात्मक नहीं। | ||
== पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना == | == पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना == | ||
पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करके bn की गणना करने के लिए n − 1 गुणन संक्रियाओं की आवश्यकता होती है , लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। 2<sup>100</sup> की गणना करने के लिए, युग्मक में लिखे प्रतिपादक 100 पर हॉर्नर का नियम लागू करें: | |||
:<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>. | :<math>100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))</math>. | ||
फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें। | फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें। | ||
{| {{Static row numbers table}} | {| {{Static row numbers table}} | ||
|- | |- | ||
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| (2<sup>50</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>100</sup> = {{val|1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376}} | | (2<sup>50</sup>)<sup>2</sup> = 2<sup>100</sup> = {{val|1,267,650,600,228,229,401,496,703,205,376}} | ||
|} | |} | ||
चरणों की इस श्रृंखला में 99 के | चरणों की इस श्रृंखला में 99 के स्थान पर केवल 8 गुणा की आवश्यकता है। | ||
सामान्यतः, | सामान्यतः, {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} की गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> तक घटाया जा सकता है वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1 की संख्या को दर्शाता है। कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल कलन विधि ज्ञात नहीं है (उपसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी कलन विधि उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> यद्यपि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है। | ||
== पुनरावृत्त कार्य == | == पुनरावृत्त कार्य == | ||
प्रकार्य रचना एक | प्रकार्य रचना एक [[बाइनरी ऑपरेशन|युग्मक प्रवर्तन]] है जिसे प्रकार्य (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए प्रकार्य का [[कोडोमेन|सहकार्यक्षेत्र]] बाईं ओर लिखे प्रकार्य के कार्यक्षेत्र में सम्मिलित है। यह निरूपित है और <math>g\circ f</math> के रूप में परिभाषित किया गया है: | ||
:<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | :<math>(g\circ f)(x)=g(f(x))</math> | ||
f के प्रांत में प्रत्येक x के लिए .{{mvar|f}}{{mvar|n}} | |||
यदि किसी प्रकार्य का कार्यक्षेत्र {{mvar|f}} इसके | यदि किसी प्रकार्य का [[कोडोमेन|सह]]कार्यक्षेत्र {{mvar|f}} इसके कार्यक्षेत्र के बराबर है, कोई भी समय की स्वेच्छाचारी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह संरचना के तहत समारोह की {{mvar|n}}वी घात परिभाषित करता है, इस प्रकार <math>f^n</math> सामान्यतः f के nवें पुनरावृत्ति को दर्शाता है ; उदाहरण के लिए, <math>f^3(x)</math> साधन <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>। | ||
जब गुणन को प्रकार्य के | जब गुणन को प्रकार्य के [[कोडोमेन|सह]]कार्यक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है, तो यह प्रकार्य पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः प्रकार्य के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> और नहीं <math>\sin(\sin(x)),</math> जो, किसी भी प्रकर्ण में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन अंकन पद्धति के कई रूपों का उपयोग किया गया था।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/> | ||
इस संदर्भ में प्रतिपादक <math>-1</math> यदि यह | इस संदर्भ में प्रतिपादक <math>-1</math> यदि यह अस्तित्व में है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए <math>\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.</math> गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए सामान्यतः <math>1/\sin(x)=\frac 1{\sin x}</math> के रूप में उपयोग किया जाता है। | ||
== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | == [[प्रोग्रामिंग भाषा|क्रमदेशन भाषा]]ओं में == | ||
क्रमादैश भाषा सामान्यतः या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|संचालक ( परिकलक क्रमदेशन)]] या एक प्रकार्य अनुप्रयोग के रूप में प्रतिपादक व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे अधिलेख का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे साधारण संकारक चिह्न [[कैरट|हसपंद]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में हसपंद ऐतिहासिक परिकलक प्रणाली संकेतन था, इसलिए क्रमदेशन भाषाओं में हसपंद सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | |||
संकेतन में सम्मिलित हैं: | |||
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा|J]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (क्रमदेशन [[वोल्फ्राम भाषा|भाषा]] ), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके व्युत्पादित), [[TI-BASIC]], bc क्रमदेशन भाषा (पूर्णांक प्रतिपादक के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)|हास्केल (क्रमदेशन भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)|लुआ (क्रमदेशन भाषा)]] और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ। | |||
* <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] लिपि समुच्चय में इसके अलावा छोटे वर्ण या विराम चिह्न सम्मिलित नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए घातांक के लिए <code>**</code>इस्तेमाल किया <ref name="Sayre_1956" /><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954" />). कई अन्य भाषाओं ने सुविधाजनक होने का पालन किया: एडा (क्रमदेशन भाषा ), [[जेड खोल]], [[के शेल|के]] [[जेड खोल|खोल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)|बैश (यूनिक्स]] [[जेड खोल|खोल]]), [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot|ग्नुप्लॉट]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], F शार्प (क्रमदेशन भाषा) | F#, [[पर्ल]], PHP, PL / I, पायथन (क्रमदेशन भाषा), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)|रूबी (क्रमदेशन भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)|एडा (क्रमदेशन भाषा)]], [[सही|SEED]] 7, Tcl, [[एबीएपी|ABAP]], मर्करी (क्रमदेशन भाषा), हास्केल (चल-बिन्दु प्रतिपादक्स के लिए), ट्यूवलय (क्रमदेशन) भाषा), VHDL। | |||
* <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा|अल्गोल क्रमदेशन भाषा]], [[कमोडोर बेसिक|कमोडोर मूलतत्त्व]] , TRS-80 स्तर II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><nowiki><ref name="80Micro_1983"></nowiki>{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | |||
*<code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | |||
*<code>x⋆y</code>: [[एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | |||
अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक इंफिक्स एक्सपोनेंटिएशन ऑपरेटर के साथ, यह ऑपरेटर सहयोगीता है | सही-सहयोगी, यानी, <code>a^b^c</code> के रूप में समझा जाता है <code>a^(b^c)</code>.<nowiki><ref>Robert W. Sebesta, </nowiki>''Concepts of Programming Languages'', 2010, {{isbn|0136073476}}, p. 130, 324</ref> | |||
*यह है क्योंकि <code>(a^b)^c</code> के बराबर है <code>a^(b*c)</code> और इसलिए उतना उपयोगी नहीं है। कुछ भाषाओं में, यह वाम-सहयोगी है, विशेष रूप से [[अल्गोल]], मैटलैब और [[माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल]] फॉर्मूला भाषा में। | |||
* <code> | |||
अभी भी अन्य केवल मानक पुस्तकालय ( | अन्य क्रमदेशन भाषाएं कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करती हैं: | ||
* <code>pow(x, y)</code>: [[सी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सी ++]] (में <code>math</code> पुस्तकालय)। | * <code>(expt x y)</code>: [[सामान्य लिस्प|सामान्य अस्पष्ट बोलना]]। | ||
* <code>Math.Pow(x, y)</code>: | * <code>pown x y</code>: एफ शार्प (क्रमदेशन भाषा) | F # (पूर्णांक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए)। | ||
* <code>math:pow(X, Y)</code>: एरलांग ( | |||
* <code>Math.pow(x, y)</code>: [[जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | अभी भी अन्य केवल मानक पुस्तकालय (अभिकलन) के भाग के रूप में घातांक प्रदान करते हैं: | ||
* <code>pow(x, y)</code>: [[सी (प्रोग्रामिंग भाषा)|C (क्रमदेशन भाषा)]], [[सी ++|C ++]] (में <code>math</code> पुस्तकालय)। | |||
* <code>Math.Pow(x, y)</code>: C#. | |||
* <code>math:pow(X, Y)</code>: एरलांग (क्रमदेशन भाषा)। | |||
* <code>Math.pow(x, y)</code>: [[जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)|जावा (क्रमदेशन भाषा)]]। | |||
* <code>[Math]::Pow(x, y)</code>: [[पावरशेल|घातशेल]]। | * <code>[Math]::Pow(x, y)</code>: [[पावरशेल|घातशेल]]। | ||
| Line 659: | Line 660: | ||
* [[घातीय वृद्धि]] | * [[घातीय वृद्धि]] | ||
* [[घातीय विषयों की सूची]] | * [[घातीय विषयों की सूची]] | ||
* [[ | * [[प्रमापीय घातांक]] | ||
* वैज्ञानिक संकेत | * वैज्ञानिक संकेत | ||
* [[ | * [[ऐकिक कूट पादांक और मूर्धांक]] | ||
* समीकरण x^y = y^x|x<sup>वाई </सुप> = वाई<sup>एक्स | * समीकरण x^y = y^x|x<sup>वाई </सुप> = वाई<sup>एक्स | ||
* शून्य की घात शून्य | * शून्य की घात शून्य | ||
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*कार्यात्मक अंकन | *कार्यात्मक अंकन | ||
*त्रिकोणमितीय फलन | *त्रिकोणमितीय फलन | ||
*आर ( | *आर (क्रमदेशन भाषा) | ||
*जे | *जे क्रमदेशन भाषा | ||
*पारा ( | *पारा (क्रमदेशन भाषा) | ||
*ट्यू वलय ( | *ट्यू वलय (क्रमदेशन भाषा) | ||
*एसएएस | *एसएएस क्रमदेशन भाषा | ||
*पायथन ( | *पायथन (क्रमदेशन भाषा) | ||
*संचालक साहचर्य | *संचालक साहचर्य | ||
*मतलब | *मतलब | ||
*पुस्तकालय (कम्प्यूटिंग) | *पुस्तकालय (कम्प्यूटिंग) | ||
*Erlang ( | *Erlang (क्रमदेशन भाषा) | ||
*डबल एक्सपोनेंशियल प्रकार्य | *डबल एक्सपोनेंशियल प्रकार्य | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 00:25, 4 December 2022
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