घातांक: Difference between revisions

$b n$
bn
अंकन पद्धति
	आधार b तथा प्रतिपादक n

Revision as of 22:16, 3 December 2022

File:Expo02.svg

के रेखांकन

y = b x

विभिन्न आधारों के लिए b: base 10, base e, base 2, base 12. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है

(0, 1)

क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है

x = 1

, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,^[1] जिसे $b n$ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

{\begin{aligned}b^{n+m}&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n+m{\text{ times}}}\\[1ex]&=\underbrace {b\times \dots \times b} _{n{\text{ times}}}\times \underbrace {b\times \dots \times b} _{m{\text{ times}}}\\[1ex]&=b^{n}\times b^{m}\end{aligned}}

दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार

b Superscript 0

[1]

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 {{Main|टेट्रेशन|अतिसंचालन}}
-जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक बार-बार गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह बार-बार घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है; इस प्रवर्तन को कभी-कभी हाइपर-4 या [[टेट्रेशन]] कहा जाता है। बार बार दोहराने वाली टेट्रेशन एक अन्य प्रवर्तन  की ओर जाती है, और इसी तरह, [[हाइपरऑपरेशन|अतिसंचालन]] नाम की एक अवधारणा है। संचालन का यह क्रम [[एकरमैन समारोह]] और नुथ के अप- शर '''नोटेशन''' द्वारा व्यक्त किया गया है। जिस तरह गुणन की तुलना में घातांक तेजी से बढ़ता है, जो कि जोड़ की तुलना में तेजी से बढ़ रहा है, घातांक की तुलना में टेट्रेशन तेजी से बढ़ रहा है। पर मूल्यांकन किया गया {{math|(3, 3)}}, कार्यों के अलावा, गुणन, घातांक, और टेट्रेशन उपज 6, 9, 27, और {{val|7625597484987}} ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}) क्रमश।
+जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक बार-बार गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह बार-बार घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है; इस प्रवर्तन को कभी-कभी हाइपर-4 या [[टेट्रेशन]] कहा जाता है। बार बार दोहराने वाली टेट्रेशन एक अन्य प्रवर्तन  की ओर जाती है, और इसी तरह, [[हाइपरऑपरेशन|अतिसंचालन]] नाम की एक अवधारणा है। संचालन का यह क्रम [[एकरमैन समारोह|एकरमैन प्रकार्य]] और नुथ के अप-शर संकेतन द्वारा व्यक्त किया गया है। जिस तरह गुणन की तुलना में घातांक तेजी से बढ़ता है, जो कि जोड़ की तुलना में तेजी से बढ़ रहा है, घातांक की तुलना में टेट्रेशन तेजी से बढ़ रहा है। {{math|(3, 3)}} पर मूल्यांकन किया गया, कार्यों के अलावा, गुणन, घातांक, और टेट्रेशन उपज क्रमश 6, 9, 27, और {{val|7625597484987}} ({{math|1== 3<sup>27</sup> = 3<sup>3<sup>3</sup></sup> = <sup>3</sup>3}}) ।
 == घात की सीमा ==
-[[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर प्रकार्य {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु पर कोई सीमा नहीं है {{math|(0, 0)}}. कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस प्रकार्य की सीमा क्या है।
+[[शून्य की घात शून्य]] से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं<sup>0</उप>। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर प्रकार्य {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} बिंदु {{math|(0, 0)}} पर कोई सीमा नहीं है। कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस प्रकार्य की सीमा क्या है।
-अधिक सटीक रूप से, प्रकार्य पर विचार करें <math>f(x,y) = x^y</math> पर परिभाषित <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math>. फिर {{math|''D''}} के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}} (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x''}}, {{math|''y''}} [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] से संबंधित {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, [[उत्पाद टोपोलॉजी]] के साथ संपन्न), जिसमें कार्य करने वाले बिंदु  सम्मिलित होंगे {{math|''f''}} एक सीमा है।
+अधिक सटीक रूप से, <math> D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}</math>पर परिभाषित प्रकार्य <math>f(x,y) = x^y</math> पर विचार करें। फिर {{math|''D''}} को {{math|{{overline|'''R'''}}<sup>2</sup>}}के  उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x''}}, {{math|''y''}} [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] से संबंधित {{math|1={{overline|'''R'''}} = [−∞, +∞]}}, [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद  सांस्थिति]] के साथ संपन्न),  {{math|''f''}} एक सीमा है जिसमें कार्य करने वाले बिंदु सम्मिलित होंगे।
-वास्तव में, {{math|''f''}} के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा है {{math|''D''}}, के अलावा {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}}.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को  घात को परिभाषित करने की अनुमति देता है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} निरंतरता से जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं।
+वास्तव में, {{math|''f''}}  के सभी [[संचय बिंदु]]ओं पर एक सीमा {{math|''D''}} है,  {{math|(0, 0)}}, {{math|(+∞, 0)}}, {{math|(1, +∞)}} तथा {{math|(1, −∞)}} के अलावा.<ref>Nicolas Bourbaki, ''Topologie générale'', V.4.2.</ref> तदनुसार, यह किसी को घात {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} को  निरंतरता से परिभाषित करने की अनुमति देता है जब भी {{math|0 ≤ ''x'' ≤ +∞}}, {{math|−∞ ≤ y ≤ +∞}}, 0 को छोड़कर<sup>0</sup>, (+∞)<sup>0</सुप>, 1<sup>+∞</sup> और 1<sup>−∞</sup>, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं।
 निरंतरता द्वारा इस परिभाषा के तहत, हम प्राप्त करते हैं:
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 * {{math|1=0<sup>''y''</sup> = +∞}} तथा {{math|1=(+∞)<sup>''y''</sup> = 0}}, जब {{math|−∞ ≤ ''y'' < 0}}.
-ये घातयाँ की सीमा लेकर प्राप्त की जाती हैं {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''}}. यह विधि परिभाषा की अनुमति नहीं देती है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} जब {{math|''x'' < 0}}, जोड़े के बाद से {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x'' < 0}} के संचय बिंदु नहीं हैं {{math|''D''}}.
+'''ये''' घातयाँ की सीमा लेकर प्राप्त की जाती हैं {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} के सकारात्मक मूल्यों के लिए {{math|''x''}}. यह विधि परिभाषा की अनुमति नहीं देती है {{math|''x''<sup>''y''</sup>}} जब {{math|''x'' < 0}}, जोड़े के बाद से {{math|(''x'', ''y'')}} साथ {{math|''x'' < 0}} के संचय बिंदु नहीं हैं {{math|''D''}}.
 वहीं, जब {{math|''n''}} एक पूर्णांक है, घात {{math|''x''<sup>''n''</sup>}} के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही सार्थक है {{math|''x''}}, नकारात्मक सहित। यह परिभाषा कर सकता है {{math|1=0<sup>''n''</sup> = +∞}} ऊपर नकारात्मक के लिए प्राप्त किया {{math|''n''}} समस्याग्रस्त जब {{math|''n''}} अजीब है, क्योंकि इस प्रकर्ण में {{math|''x''<sup>''n''</sup> → +∞}} जैसा {{math|''x''}} आदत है {{math|0}} सकारात्मक मूल्यों के माध्यम से, लेकिन नकारात्मक नहीं।

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