घातांक: Difference between revisions

$b n$
bn
अंकन पद्धति
	आधार b तथा प्रतिपादक n

Revision as of 20:51, 3 December 2022

File:Expo02.svg

के रेखांकन

y = b x

विभिन्न आधारों के लिए b: base 10, base e, base 2, base 12. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है

(0, 1)

क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है

x = 1

, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,^[1] जिसे $b n$ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

\begin{aligned} b^{n + m} & = \underset{n + m times}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}} \\ = \underset{n times}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}} \times \underset{m times}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}} \\ = b^{n} \times b^{} \end{aligned}

[1]

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 === प्रतिपादक के रूप में समुच्चय ===
 {{see also| प्रकार्य(गणित )#घातांक संग्रह करें}}
-A {{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}} से एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है।
+{{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> {{mvar|S}} के तत्वों के एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है।
-दो समुच्चय दिए गए हैं {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}}, से सभी कार्यों का समुच्चय {{mvar|T}} प्रति {{mvar|S}} निरूपित किया जाता है <math>S^T</math>. यह घातीय संकेतन निम्नलिखित विहित समरूपताओं द्वारा उचित है (पहले वाले के लिए, [[करी]]इंग देखें):
+दो समुच्चय {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} दिए गए हैं, {{mvar|T}} प्रति {{mvar|S}} के सभी कार्यों का समुच्चय <math>S^T</math> से निरूपित किया जाता है। यह घातीय संकेतन निम्नलिखित विहित समरूपताओं द्वारा उचित है (पहले वाले के लिए, [[करी]]इंग देखें):
 :<math>(S^T)^U\cong S^{T\times U},</math>
 :<math>S^{T\sqcup U}\cong S^T\times S^U,</math>
-कहाँ पे <math>\times</math> कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ।
+जहाँ <math>\times</math> कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ को।
-कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए  प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा  सम्मिलित है)।
+कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए  प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः [[एबेलियन समूह]], सदिश रिक्त स्थान या  [[मॉड्यूल (गणित)|प्रमात्रक (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो {{math|1}} के बराबर होता है, चूँकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न का स्वीकृत सिद्धांत सम्मिलित है)।{{math|1={{abs|''S''<sup>''T''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''T''}}</sup>}}{{math|{{abs|''X''}}}}
-इस संदर्भ में, {{math|2}} समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है <math>\{0,1\}.</math> इसलिए, <math>2^S</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है {{mvar|S}}, जो कि कार्यों का समुच्चय है {{mvar|S}} प्रति <math>\{0,1\},</math> जिसे के सबसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है {{mvar|S}}की [[उलटी छवि]] के लिए प्रत्येक प्रकार्य को मैप करके {{math|1}}.
+इस संदर्भ में, {{math|2}} <math>\{0,1\}.</math>समुच्चय का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इसलिए, <math>2^S</math> के घात {{mvar|S}} समुच्चय को दर्शाता है, जो कि {{mvar|S}} से <math>\{0,1\}</math> कार्यों का समुच्चय है। जिसे {{mvar|S}} के उपसमुच्चय के समुच्चय से पहचाना जा सकता है, प्रत्येक प्रकार्य को 1 की उलटी छवि में मानचित्र करके।
-यह कार्डिनल संख्या#कार्डिनल घातांक के साथ इस अर्थ में फिट बैठता है कि {{math|1={{abs|''S''<sup>''T''</sup>}} = {{abs|''S''}}<sup>{{abs|''T''}}</sup>}}, कहाँ पे {{math|{{abs|''X''}}}} की प्रमुखता है {{math|''X''}}.
+यह मुख्य अंकों के घातांक के साथ उचित है, इस आशय में कि |ST| = |S||T|, जहां |X| X की प्रमुखता है।
 === श्रेणी सिद्धांत में ===
-{{Main|Cartesian closed category}}
+{{Main| कार्तीय बंद श्रेणी}}
-[[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में, समुच्चय के बीच [[morphism]]s {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} से कार्य हैं {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}}. यह परिणाम है कि कार्यों का समुच्चय से {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}} जिसे दर्शाया गया है <math>Y^X</math> पूर्ववर्ती खंड में भी निरूपित किया जा सकता है <math>\hom(X,Y).</math> समरूपता <math>(S^T)^U\cong S^{T\times U}</math> फिर से लिखा जा सकता है
+[[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में, समुच्चय {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}}  के बीच [[morphism|आकारिता]] {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}} तक के कार्य हैं। इसका परिणाम यह होता है कि X से Y तक के कार्यों का सेट जिसे पिछले अनुभाग में <math>Y^X</math> के रूप में दर्शाया गया है, (X,Y) को भी दर्शाया जा सकता है। <math>\hom(X,Y).</math> समरूपता <math>(S^T)^U\cong S^{T\times U}</math> फिर से लिखा जा सकता है
 :<math>\hom(U,S^T)\cong \hom(T\times U,S).</math>
 इसका अर्थ है घात के लिए फ़ंक्टर  प्रतिपादक {{mvar|T{{space|thin}}}} फ़नकार प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर है {{mvar|T{{space|thin}}}} .

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