घातांक: Difference between revisions

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हर <math>x\in \mathbb F_q</math> के लिए  
हर <math>x\in \mathbb F_q</math> के लिए  


एक [[आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र)]] में <math>\mathbb F_q</math> एक तत्व है {{mvar|g}} ऐसा समुच्चय {{math|''q'' − 1}} की पहली घातयाँ {{mvar|g}} (वह है, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) के अशून्य तत्वों के समुच्चय के बराबर है <math>\mathbb F_q.</math> वहाँ हैं <math>\varphi (p-1)</math> आदिम तत्वों में <math>\mathbb F_q,</math> कहाँ पे <math>\varphi</math> यूलर का कुल कार्य है।
<math>\mathbb F_q</math> में एक प्रिमिटिव एलिमेंट एक एलिमेंट g है, जो q − 1 का समुच्चय है। ऐसा समुच्चय {{math|''q'' − 1}} की पहली घात {{mvar|g}} (वह है, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) के अशून्य तत्वों के समुच्चय <math>\mathbb F_q</math> के बराबर है।  वहाँ <math>\varphi (p-1)</math> आदिम तत्वों में <math>\mathbb F_q</math> हैं,  जहाँ <math>\varphi</math> यूलर का कुल कार्य है।


में <math>\mathbb F_q,</math> द फ्रेशमैन के सपनों की पहचान
<math>\mathbb F_q</math> में द फ्रेशमैन के सपनों की अस्मिता
:<math>(x+y)^p = x^p+y^p</math>
:<math>(x+y)^p = x^p+y^p</math>
घातांक के लिए सत्य है {{mvar|p}}. जैसा <math>x^p=x</math> में <math>\mathbb F_q,</math> यह इस प्रकार है कि मानचित्र
घातांक के लिए {{mvar|p}} सत्य है . जैसे <math>\mathbb F_q</math> में <math>x^p=x</math> यह मानचित्र इस प्रकार है कि  
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
F\colon{} & \mathbb F_q \to \mathbb F_q\\
F\colon{} & \mathbb F_q \to \mathbb F_q\\
& x\mapsto x^p
& x\mapsto x^p
\end{align}</math>
\end{align}</math>
[[रैखिक नक्शा]] खत्म हो गया है <math>\mathbb F_q,</math> और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> फील्ड <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं {{mvar|k}} की पहली घातयाँ (प्रकार्य रचना के तहत)। {{mvar|F}}. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह <math>\mathbb F_q</math> क्रम का चक्रीय समूह है {{mvar|k}}, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न।
<math>\mathbb F_q</math> पर रैखिक है। और एक [[फील्ड ऑटोमोर्फिज्म|आधार स्वसमाकृतिकता]] है, जिसे [[फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म|फ्रोबेनियस स्वसमाकृतिकता]] कहा जाता है। यदि <math>q=p^k,</math> आधार <math>\mathbb F_q</math> है {{mvar|k}} स्वसमाकृतिकता, जो कि F की k प्रथम घात (संयोजन के अंतर्गत) हैं। दूसरे शब्दों में, <math>\mathbb F_q</math> का गैलोज़ समूह क्रम {{mvar|k}} का चक्रीय समूह है , फ्रोबेनियस स्वसमाकृतिकता द्वारा उत्पन्न।


डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन , [[असतत लघुगणक]], कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, यदि {{mvar|g}} में आदिम तत्व है <math>\mathbb F_q,</math> फिर <math>g^e</math> किसी के लिए भी वर्ग करके घातांक के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है {{mvar|e}}, भले ही {{mvar|q}} बड़ा है, जबकि पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात एल्गोरिद्म नहीं है {{mvar|e}} से <math>g^e</math> यदि {{mvar|q}} काफी बड़ा है।
डिफी-हेलमैन प्रमुख विनिमय परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो [[सुरक्षित संचार]] के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक अभिकलनात्मक रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन, [[असतत लघुगणक]], अभिकलनात्मक रूप से महंगा है। अधिक सटीक, यदि {{mvar|g}} में आदिम तत्व <math>\mathbb F_q</math> है  फिर <math>g^e</math> किसी के लिए भी वर्ग द्वारा घातांक {{mvar|e}} के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है , भले ही {{mvar|q}} बड़ा है, जबकि {{mvar|e}} से <math>g^e</math> पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात कलन विधि नहीं है यदि {{mvar|q}} काफी बड़ा है।


== समुच्चय की घात {{Anchor|Exponentiation over sets}}==
== समुच्चय की घात {{Anchor}}==


दो समुच्चय (गणित) का कार्टेशियन उत्पाद {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म]]ों का समुच्चय है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T.</math> यह प्रवर्तन ठीक से क्रम विनिमेय और न ही सहयोगी है, लेकिन इन गुणों को [[विहित नक्शा]] [[समाकृतिकता]] तक है, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, <math>(x,(y,z)),</math> <math>((x,y),z),</math> तथा <math>(x,y,z).</math>
दो समुच्चय (गणित) का कार्तीय गुणनफल {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म|क्रमित युग्मों]] का समुच्चय<math>(x,y)</math> ऐसे है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T</math> है। यह प्रवर्तन ठीक से न क्रम विनिमेय और न ही सहयोगी है, लेकिन ये गुण विहित समरूपता तक हैं, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, <math>(x,(y,z)),</math> <math>((x,y),z),</math> तथा <math>(x,y,z).</math>
यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें घात <math>S^n</math> एक समुच्चय का {{mvar|S}} सभी के समुच्चय के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}.


कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह  प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और प्रतिपादकिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], वलय (गणित), आदि।
यह सभी n-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math>  {{mvar|S}} के तत्वों के समुच्चय के रूप में समुच्चय S की nवीं  घात <math>S^n</math> को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
 
जब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह  प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः कार्तीय गुणनफल के स्थान पर किया जाता है, और प्रतिपादक उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (जहाँ <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्तीय गुणनफल {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R</math> को दर्शाता है साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक]] [[सदिश स्थल|स्थल]], वलय (गणित), आदि।


=== प्रतिपादक के रूप में समुच्चय ===
=== प्रतिपादक के रूप में समुच्चय ===
{{see also|Function (mathematics)#Set exponentiation}}
{{see also| प्रकार्य(गणित )#घातांक संग्रह करें}}
A {{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}} से एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है।
A {{mvar|n}}-टुपल <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}} से एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है <math>\{1,\ldots, n\}.</math> यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है।


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:<math>(S^T)^U\cong S^{T\times U},</math>
:<math>(S^T)^U\cong S^{T\times U},</math>
:<math>S^{T\sqcup U}\cong S^T\times S^U,</math>
:<math>S^{T\sqcup U}\cong S^T\times S^U,</math>
कहाँ पे <math>\times</math> कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ।
कहाँ पे <math>\times</math> कार्तीय गुणनफल को दर्शाता है, और <math>\sqcup</math> असंबद्ध संघ।


कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए  प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा  सम्मिलित है)।
कोई समुच्चय पर अन्य कार्यों के लिए  प्रतिपादक के रूप में समुच्चय का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर [[एबेलियन समूह]]ों, वेक्टर रिक्त स्थान या [[मॉड्यूल (गणित)]] के [[प्रत्यक्ष योग]] के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\R^\N</math> वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और <math>\R^{(\N)}</math> उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है {{math|1}}, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा  सम्मिलित है)।
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[[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में, समुच्चय के बीच [[morphism]]s {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} से कार्य हैं {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}}. यह परिणाम है कि कार्यों का समुच्चय से {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}} जिसे दर्शाया गया है <math>Y^X</math> पूर्ववर्ती खंड में भी निरूपित किया जा सकता है <math>\hom(X,Y).</math> समरूपता <math>(S^T)^U\cong S^{T\times U}</math> फिर से लिखा जा सकता है
[[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में, समुच्चय के बीच [[morphism]]s {{mvar|X}} तथा {{mvar|Y}} से कार्य हैं {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}}. यह परिणाम है कि कार्यों का समुच्चय से {{mvar|X}} प्रति {{mvar|Y}} जिसे दर्शाया गया है <math>Y^X</math> पूर्ववर्ती खंड में भी निरूपित किया जा सकता है <math>\hom(X,Y).</math> समरूपता <math>(S^T)^U\cong S^{T\times U}</math> फिर से लिखा जा सकता है
:<math>\hom(U,S^T)\cong \hom(T\times U,S).</math>
:<math>\hom(U,S^T)\cong \hom(T\times U,S).</math>
इसका अर्थ है घात के लिए फ़ंक्टर  प्रतिपादकिएशन {{mvar|T{{space|thin}}}} फ़नकार प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर है {{mvar|T{{space|thin}}}} .
इसका अर्थ है घात के लिए फ़ंक्टर  प्रतिपादक {{mvar|T{{space|thin}}}} फ़नकार प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर है {{mvar|T{{space|thin}}}} .


यह [[घातीय (श्रेणी सिद्धांत)]] की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद होते हैं: ऐसी श्रेणी में, फ़ैक्टर <math>X\to X^T</math> है, यदि यह मौजूद है, तो फ़ंक्टर का दाहिना सटा हुआ है <math>Y\to T\times Y.</math> एक श्रेणी को कार्टेशियन बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद हैं, और फ़ैक्टर <math>Y\to X\times Y</math> प्रत्येक के लिए एक सही जोड़ है {{mvar|T}}.
यह [[घातीय (श्रेणी सिद्धांत)]] की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद होते हैं: ऐसी श्रेणी में, फ़ैक्टर <math>X\to X^T</math> है, यदि यह मौजूद है, तो फ़ंक्टर का दाहिना सटा हुआ है <math>Y\to T\times Y.</math> एक श्रेणी को कार्टेशियन बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद हैं, और फ़ैक्टर <math>Y\to X\times Y</math> प्रत्येक के लिए एक सही जोड़ है {{mvar|T}}.
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== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में ==
== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में ==
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|संचालक ( परिकलक प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में  प्रतिपादकिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक  परिकलक  प्रणाली एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref>
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|संचालक ( परिकलक प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में  प्रतिपादक व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक  परिकलक  प्रणाली एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref>
नोटेशन में  सम्मिलित हैं:
नोटेशन में  सम्मिलित हैं:
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर  प्रतिपादक्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश  परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ।
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर  प्रतिपादक्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश  परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ।
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*जीवविज्ञान
*जीवविज्ञान
*हिलाना
*हिलाना
*सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी
*सार्वजनिक प्रमुख क्रिप्टोग्राफी
*प्राचीन यूनानी
*प्राचीन यूनानी
*मध्यकालीन इस्लाम में गणित
*मध्यकालीन इस्लाम में गणित

Revision as of 19:58, 3 December 2022

"प्रतिपादक" redirects here. For other uses, see प्रतिपादक (disambiguation).

bn
अंकन पद्धति
आधार b तथा प्रतिपादक n
के रेखांकन y = bx विभिन्न आधारों के लिए b:   base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है (0, 1) क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है x = 1, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)