घातांक: Difference between revisions
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भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>। | भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं <math>\sqrt{b}</math> और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम <math>r</math> कह सकते हैं , ऐसा कि <math> b^r = \sqrt{b}</math>. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास <math> \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b </math> है इसलिए, प्रतिपादक <math>r</math> <math> b^r \cdot b^r = b </math> जैसा होना चाहिए। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और <math> b^{r+r} = b </math> देता है। <math> b </math> h> को दायीं ओर <math> b^1 </math> रूप में भी लिखा जा सकता है, <math> b^{r+r} = b^1 </math>दिया गया है। दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास <math> r+r = 1 </math> है इसलिए, <math> r = \frac{1}{2} </math>, इसलिए <math>\sqrt{b} = b^{1/2} </math>। | ||
घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। | घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है। | ||
[[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी। | [[अर्थशास्त्र]], जीव विज्ञान, [[रसायन विज्ञान]], [[भौतिक विज्ञान]] और [[कंप्यूटर विज्ञान|परिकलक विज्ञान]] सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि [[चक्रवृद्धि ब्याज]], [[जनसंख्या वृद्धि]], [[रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स]], तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी। | ||
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ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें). | ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( <math>m=-n</math> प्रकर्ण पर विचार करें). | ||
समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}} (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग | समान परिभाषा गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}} (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग आव्यूह)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है | ||
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=== एक समूह में === | === एक समूह में === | ||
गुणक समूह एक समुच्चय है जिसमें साहचर्य संचालन के रूप में गुणन के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसमें एक पहचान तत्व होता है, और ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है। | |||
तो यदि {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक | तो यदि {{mvar|G}} एक समूह है, <math>x^n</math> प्रत्येक <math>x\in G</math> और हर पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए परिभाषित किया गया है।{{mvar|x}} | ||
किसी समूह के किसी तत्व की सभी | किसी समूह के किसी तत्व की सभी घात का समुच्चय एक [[उपसमूह]] बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व x की सभी घात अंतर्ग्रस्त हैं, x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह है. यदि सभी घात {{mvar|x}} अलग हैं, <math>\Z</math> पूर्णांकों का समूह [[योजक समूह]] के लिए [[समरूप]] है । अन्यथा, चक्रीय समूह [[परिमित समूह]] है (इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) {{mvar|x}} है . यदि का {{mvar|x}} संख्या क्रम {{mvar|n}} है , फिर <math>x^n=x^0=1,</math> और x द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह में x की n पहली घाताऐं होती हैं (प्रतिपादक 0 या 1 से उदासीन रूप से शुरू). | ||
[[समूह सिद्धांत]] में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में | [[समूह सिद्धांत]] में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण हैं। | ||
अधिलेख संकेत पद्धति का उपयोग [[संयुग्मन वर्ग]] के लिए भी किया जाता है; वह है, {{math|1=''g''<sup>''h''</sup> = ''h''<sup>−1</sup>''gh''}}, जहाँ g और h समूह के अवयव हैं। इस अंकन को घातांक के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि अधिलेख पूर्णांक नहीं है। इस अंकन की प्रेरणा यह है कि संयुग्मन घातांक के कुछ नियमों का पालन करता है, अर्थात् <math>(g^h)^k=g^{hk}</math> तथा <math>(gh)^k=g^kh^k.</math> | |||
=== एक | === एक वलय में === | ||
एक वलय (गणित) में, ऐसा हो सकता है कि कुछ अशून्य तत्व | एक वलय (गणित) में, ऐसा हो सकता है कि कुछ अशून्य तत्व <math>x^n=0</math> कुछ पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए संतुष्ट हों। ऐसे तत्व को शून्य कहा जाता है। एक क्रमविनिमेय वलय में, निलपोटेंट तत्व एक आदर्श बनाते हैं, जिसे वलय का निरमूलक कहा जाता है। | ||
यदि | यदि निरमूलक को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), क्रम विनिमेय वलय को [[कम अंगूठी|कम वलय]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए वलय महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है। | ||
अधिक सामान्यतः, एक आदर्श | अधिक सामान्यतः, एक आदर्श {{mvar|I}} दिया जाता है क्रम विनिमेय वलय {{mvar|R}} में, {{mvar|R}} के तत्वों का समुच्चय जिसमें घात {{mvar|I}} हो एक आदर्श है, जिसे {{mvar|I}} के आदर्श का मूलक कहा जाता है। शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद वलय में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> क्षेत्र (गणित) {{mvar|k}} पर , एक आदर्श कट्टरपंथी है यदि और केवल यदि यह सभी बहुपदों का समुच्चय है जो एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय पर शून्य है (यह हिल्बर्ट के शून्य प्रमेय का परिणाम है)। | ||
=== मैट्रिसेस और | === मैट्रिसेस और रैखिक संचालक === | ||
यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह घात कहलाता है। | यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह घात कहलाता है। <math>A^0</math>भी अस्मिता आव्यूह के रूप में परिभाषित किया गया है,<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref> और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>. | ||
आव्यूह घात प्रायः असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां आव्यूह A किसी प्रणाली के अवस्था सदिश x से प्रणाली के अगले अवस्था x में परिवर्तन को व्यक्त करता है।<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Chapter 5.</ref> उदाहरण के लिए, यह [[मार्कोव श्रृंखला]] की मानक व्याख्या है। तब <math>A^2x</math> दो समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति है, और आगे भी:<math>A^nx</math> समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति आव्यूह घात <math>A^n</math> भविष्य में एक समय n चरणों में स्तिथि और स्तिथि के बीच परिवर्तन आव्यूह है। इसलिए अभिकलन आव्यूह घात गतिशील प्रणाली के विकास को हल करने के बराबर हैं। कई मामलों में, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का उपयोग करके आव्यूह घात की शीघ्रता से गणना की जा सकती है। | |||
मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]] | मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संचालकों]] को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक <math>d/dx</math> है, एक रैखिक संचालक है जो एक नया <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math> कार्य देने के लिए <math>f(x)</math> कार्यों पर कार्य करता है। अवकलन संकारक की n-वीं घात n-वें अवकलज है: | ||
:<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | :<math>\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).</math> | ||
ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की | ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की घात को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह [[c0-अर्धसमूह]] के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है।<ref>E. Hille, R. S. Phillips: ''Functional Analysis and Semi-Groups''. American Mathematical Society, 1975.</ref> जिस तरह असतत घातांक के साथ आव्यूह घात की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले आव्यूह घात की गणना निरंतर गतिकी वाले प्रणाली को हल करती है। उदाहरणों में [[ताप समीकरण]], श्रोडिंगर समीकरण, [[तरंग समीकरण]], और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण सम्मिलित हैं। व्युत्पन्न संचालक को एक गैर-पूर्णांक घात के घातांक के विशेष प्रकर्ण को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है। | ||
=== परिमित क्षेत्र === | === परिमित क्षेत्र === | ||
{{Main| | {{Main|परिमित क्षेत्र}} | ||
एक | |||
एक (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें गुणन, जोड़, घटाव और भाग को परिभाषित किया जाता है और उन गुणों को संतुष्ट करता है जो गुणन साहचर्य है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है। इसका तात्पर्य है कि पूर्णांक घातांक के साथ घातांक अच्छी तरह से परिभाषित है, की गैर-सकारात्मक घात {{math|0}} को छोड़कर। सामान्य उदाहरण सम्मिश्र संख्याएँ और उनके क्षेत्र विस्तार, परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन पर इस लेख में पहले चर्चा की जा चुकी है और ये सभी अनंत समुच्चय हैं। | |||
एक परिमित क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें तत्वों का एक परिमित समूह होता है। तत्वों की यह संख्या या तो [[अभाज्य संख्या]] है या अभाज्य घात है; अर्थात् उसका रूप <math>q=p^k</math> है जहाँ {{mvar|p}} एक प्रमुख संख्या है, और {{mvar|k}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। ऐसे प्रत्येक q के लिए, q तत्वों वाले क्षेत्र होते हैं। {{mvar|q}} तत्व के साथ क्षेत्र सभी समरूपी हैं, जो सामान्य रूप से काम करने की अनुमति देता है जैसे कि केवल एक ही क्षेत्र {{mvar|q}} तत्व था , निरूपित <math>\mathbb F_q.</math> | |||
किसी के पास | किसी के पास | ||
:<math>x^q=x</math> | :<math>x^q=x</math> | ||
हर <math>x\in \mathbb F_q</math> के लिए | |||
एक [[आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र)]] में <math>\mathbb F_q</math> एक तत्व है {{mvar|g}} ऐसा समुच्चय {{math|''q'' − 1}} की पहली घातयाँ {{mvar|g}} (वह है, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) के अशून्य तत्वों के समुच्चय के बराबर है <math>\mathbb F_q.</math> वहाँ हैं <math>\varphi (p-1)</math> आदिम तत्वों में <math>\mathbb F_q,</math> कहाँ पे <math>\varphi</math> यूलर का कुल कार्य है। | एक [[आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र)]] में <math>\mathbb F_q</math> एक तत्व है {{mvar|g}} ऐसा समुच्चय {{math|''q'' − 1}} की पहली घातयाँ {{mvar|g}} (वह है, <math>\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}</math>) के अशून्य तत्वों के समुच्चय के बराबर है <math>\mathbb F_q.</math> वहाँ हैं <math>\varphi (p-1)</math> आदिम तत्वों में <math>\mathbb F_q,</math> कहाँ पे <math>\varphi</math> यूलर का कुल कार्य है। | ||
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== समुच्चय की घात {{Anchor|Exponentiation over sets}}== | == समुच्चय की घात {{Anchor|Exponentiation over sets}}== | ||
दो समुच्चय (गणित) का कार्टेशियन उत्पाद {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म]]ों का समुच्चय है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T.</math> यह प्रवर्तन ठीक से | दो समुच्चय (गणित) का कार्टेशियन उत्पाद {{mvar|S}} तथा {{mvar|T}} [[क्रमित युग्म]]ों का समुच्चय है <math>(x,y)</math> ऐसा है कि <math>x\in S</math> तथा <math>y\in T.</math> यह प्रवर्तन ठीक से क्रम विनिमेय और न ही सहयोगी है, लेकिन इन गुणों को [[विहित नक्शा]] [[समाकृतिकता]] तक है, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, <math>(x,(y,z)),</math> <math>((x,y),z),</math> तथा <math>(x,y,z).</math> | ||
यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें घात <math>S^n</math> एक समुच्चय का {{mvar|S}} सभी के समुच्चय के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें घात <math>S^n</math> एक समुच्चय का {{mvar|S}} सभी के समुच्चय के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}. | ||
कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और प्रतिपादकिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], | कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस प्रकर्ण में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और प्रतिपादकिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], वलय (गणित), आदि। | ||
=== प्रतिपादक के रूप में समुच्चय === | === प्रतिपादक के रूप में समुच्चय === | ||
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== [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | == [[प्रोग्रामिंग भाषा]]ओं में == | ||
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)| | प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स [[ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग)|संचालक ( परिकलक प्रोग्रामिंग)]] या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में प्रतिपादकिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न [[कैरट]] है (<code>^</code>). ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक (<code>↑</code>), घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक परिकलक प्रणाली एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया।<ref>Richard Gillam, ''Unicode Demystified: A Practical Programmer's Guide to the Encoding Standard'', 2003, {{isbn|0201700522}}, p. 33</ref> | ||
नोटेशन में सम्मिलित हैं: | नोटेशन में सम्मिलित हैं: | ||
* <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर प्रतिपादक्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ। | * <code>x ^ y</code>: [[AWK]], [[BASIC]], [[बीसी प्रोग्रामिंग भाषा]], [[MATLAB]], [[वोल्फ्राम भाषा]] ([[वोल्फ्राम मैथेमेटिका]]), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल]], [[एनालिटिका (सॉफ्टवेयर)]], [[TeX]] (और इसके डेरिवेटिव), [[TI-BASIC]], bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर प्रतिपादक्स के लिए) ), [[हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा)]] (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), [[लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा)]] और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ। | ||
* <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर समुच्चय में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न सम्मिलित नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सही]] 7, [[टीसीएल]], [[एबीएपी]], मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट प्रतिपादक्स के लिए), | * <code>x ** y</code>. [[फोरट्रान]] कैरेक्टर समुच्चय में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न सम्मिलित नहीं थे <code>+-*/()&=.,'</code> और इसलिए इस्तेमाल किया <code>**</code> घातांक के लिए<ref name="Sayre_1956"/><ref>Brice Carnahan, James O. Wilkes, ''Introduction to Digital Computing and FORTRAN IV with MTS Applications'', 1968, p. 2-2, 2-6</ref> (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया <code>a xx b</code> बजाय।<ref name="Backus_1954"/>). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[जेड खोल]], [[के शेल]], [[बैश (यूनिक्स शेल)]], [[कोबोल]], [[कॉफीस्क्रिप्ट]], फोरट्रान, [[फॉक्सप्रो 2]], [[Gnuplot]], [[अपाचे ग्रूवी]], [[जावास्क्रिप्ट]], [[OCaml]], एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, [[पर्ल]], [[पीएचपी]], पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), [[रेक्स]], [[रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[एडा (प्रोग्रामिंग भाषा)]], [[सही]] 7, [[टीसीएल]], [[एबीएपी]], मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट प्रतिपादक्स के लिए), ट्यू वलय (प्रोग्रामिंग) भाषा), [[वीएचडीएल]]। | ||
* <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | * <code>x ↑ y</code>: [[अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा]], [[कमोडोर बेसिक]], टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।<ref name="InfoWorld_1982">{{cite news |title=BASCOM - TRS-80 I और II के लिए एक बेसिक कंपाइलर|author-first=Timothy "Tim" A. |author-last=Daneliuk |date=1982-08-09 |newspaper=[[InfoWorld]] |series=Software Reviews |publisher=[[Popular Computing, Inc.]] |volume=4 |number=31 |pages=41–42 |url=https://books.google.com/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42 |access-date=2020-02-06 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200207104336/https://books.google.de/books?id=NDAEAAAAMBAJ&pg=PA42&focus=viewport#v=onepage&q=TRS-80%20exponention |archive-date=2020-02-07}}</रेफरी><ref name="80Micro_1983">{{cite journal |title=80 सामग्री|journal=[[80 Micro]] |publisher=[[1001001, Inc.]] |issn=0744-7868 |date=October 1983 |issue=45 |page=5 |url=https://archive.org/details/80-microcomputing-magazine-1983-10 |access-date=2020-02-06 }}</रेफरी> | ||
* <code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | * <code>x ^^ y</code>: हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), [[डी (प्रोग्रामिंग भाषा)]]। | ||
| Line 725: | Line 728: | ||
*साहचर्य संचालन | *साहचर्य संचालन | ||
*गुणात्मक प्रतिलोम | *गुणात्मक प्रतिलोम | ||
* | *वलय (गणित) | ||
*समारोह रचना | *समारोह रचना | ||
*वास्तविक समारोह | *वास्तविक समारोह | ||
| Line 731: | Line 734: | ||
*साइलो प्रमेय | *साइलो प्रमेय | ||
*परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण | *परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण | ||
*एक | *एक वलय का नील-कट्टरपंथी | ||
*आदर्श ( | *आदर्श ( वलय सिद्धांत) | ||
*समन्वय की | *समन्वय की वलय | ||
*affine बीजगणितीय समुच्चय | *affine बीजगणितीय समुच्चय | ||
*एक आदर्श का कट्टरपंथी | *एक आदर्श का कट्टरपंथी | ||
*बहुपद की | *बहुपद की वलय | ||
* | *आव्यूह घात | ||
*असतत गतिशील प्रणाली | *असतत गतिशील प्रणाली | ||
*यौगिक | *यौगिक | ||
| Line 762: | Line 765: | ||
*जे प्रोग्रामिंग भाषा | *जे प्रोग्रामिंग भाषा | ||
*पारा (प्रोग्रामिंग भाषा) | *पारा (प्रोग्रामिंग भाषा) | ||
* | *ट्यू वलय (प्रोग्रामिंग भाषा) | ||
*एसएएस प्रोग्रामिंग भाषा | *एसएएस प्रोग्रामिंग भाषा | ||
*पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) | *पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) | ||
* | *संचालक साहचर्य | ||
*मतलब | *मतलब | ||
*पुस्तकालय (कम्प्यूटिंग) | *पुस्तकालय (कम्प्यूटिंग) | ||
