घातांक: Difference between revisions

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== तर्कहीनता और अतिक्रमण ==
== तर्कहीनता और अतिक्रमण ==
{{Main|गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय}}
{{Main|गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय}}
यदि {{mvar|b}} एक सकारात्मक वास्तविक [[बीजगणितीय संख्या]] है, और {{mvar|x}} तब एक परिमेय संख्या है  {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} एक बीजगणितीय संख्या है। यह [[बीजगणितीय विस्तार]] के सिद्धांत का परिणाम है। यह सच रहता है यदि {{mvar|b}} कोई भी बीजगणितीय संख्या है, जिस स्थिति में, के सभी मान  {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} (एक बहुविकल्पीय फलन के रूप में) बीजगणितीय हैं। यदि {{mvar|x}} अपरिमेय संख्या है (अर्थात परिमेय नहीं है), और दोनों {{mvar|b}} तथा {{mvar|x}} बीजगणितीय हैं, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का दावा है कि के सभी मूल्य  {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं (अर्थात बीजगणितीय नहीं), यदि को छोड़कर {{mvar|b}} बराबरी {{math|0}} या {{math|1}}.
यदि {{mvar|b}} एक सकारात्मक वास्तविक [[बीजगणितीय संख्या]] है, और {{mvar|x}} परिमेय संख्या है तब {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} एक बीजगणितीय संख्या है। यह [[बीजगणितीय विस्तार]] के सिद्धांत का परिणाम है। यह सत्य रहता है यदि {{mvar|b}} कोई बीजगणितीय संख्या है, जिस स्थिति में, {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} के सभी मान (बहुमूल्य फलन के रूप में) बीजगणितीय होते हैं। यदि {{mvar|x}} अपरिमेय संख्या है (अर्थात परिमेय नहीं है), और दोनों {{mvar|b}} तथा {{mvar|x}} बीजगणितीय हैं, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का दावा है कि के सभी मूल्य  {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} [[पारलौकिक संख्या]]एँ हैं (अर्थात बीजगणितीय नहीं), यदि {{mvar|b}} {{math|0}} या {{math|1}} को छोड़कर बराबर है।


दूसरे शब्दों में, यदि {{mvar|x}} तर्कहीन है और <math>b\not\in \{0,1\},</math> तो कम से कम एक {{mvar|b}}, {{mvar|x}} तथा {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} पारलौकिक है।
दूसरे शब्दों में, यदि {{mvar|x}} तर्कहीन है और <math>b\not\in \{0,1\},</math> तो कम से कम {{mvar|b}}, {{mvar|x}} तथा {{math|''b''<sup>''x''</sup>}} में से एक पारलौकिक है।


== बीजगणित में पूर्णांक घात ==
== बीजगणित में पूर्णांक घात ==
बार-बार गुणन के रूप में धनात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा गुणन के रूप में निरूपित किसी भी साहचर्य संक्रिया पर लागू हो सकती है।<ref group="nb">More generally, [[power associativity]] is sufficient for the definition.</ref> की परिभाषा <math>x^0</math> इसके लिए गुणक पहचान के अस्तित्व की आवश्यकता है।<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=बीजगणित|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>
बार-बार गुणन के रूप में सकारात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा गुणन के रूप में निरूपित किसी भी साहचर्य संक्रिया पर लागू हो सकती है।<ref group="nb">More generally, [[power associativity]] is sufficient for the definition.</ref> <math>x^0</math> की परिभाषा को इसके लिए गुणक पहचान के अस्तित्व की आवश्यकता है।<ref>{{cite book|author-first=Nicolas |author-last=Bourbaki|title=बीजगणित|date=1970|publisher=Springer}}, I.2</ref>
एक बीजगणितीय संरचना जिसमें एक साहचर्य संक्रिया के साथ एक समुच्चय होता है जिसे गुणात्मक रूप से निरूपित किया जाता है, और एक गुणात्मक पहचान जिसे 1 द्वारा निरूपित किया जाता है, एक मोनोइड है। ऐसे एक मोनोइड में, एक तत्व का घातांक {{mvar|x}} आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है
 
एक बीजगणितीय संरचना जिसमें एक साहचर्य संक्रिया के साथ एक समुच्चय होता है जिसे गुणात्मक रूप से निरूपित किया जाता है, और एक गुणात्मक पहचान जिसे 1 द्वारा निरूपित किया जाता है, वह मोनोइड है। ऐसे मोनोइड में, एक तत्व का घातांक {{mvar|x}} आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है
* <math>x^0 = 1,</math>
* <math>x^0 = 1,</math>
* <math>x^{n+1} =x x^n</math> प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}.
* <math>x^{n+1} =x x^n</math> प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक {{mvar|n}} के लिए .


यदि {{mvar|n}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, <math>x^n</math> केवल यदि परिभाषित किया गया है {{mvar|x}} एक गुणक व्युत्क्रम है।<ref>{{cite book |author-first=David M. |author-last=Bloom |title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45]}}</ref> इस प्रकर्ण में, का उलटा {{mvar|x}} निरूपित किया जाता है <math>x^{-1},</math> तथा <math>x^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>\left(x^{-1}\right)^{-n}.</math>
यदि {{mvar|n}} एक ऋणात्मक पूर्णांक है, <math>x^n</math> केवल यदि परिभाषित किया गया है {{mvar|x}} एक गुणक व्युत्क्रम है।<ref>{{cite book |author-first=David M. |author-last=Bloom |title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo |url-access=registration |date=1979 |isbn=978-0-521-29324-2 |page=[https://archive.org/details/linearalgebrageo0000bloo/page/45 45]}}</ref> इस प्रकर्ण में, का उलटा {{mvar|x}} निरूपित किया जाता है <math>x^{-1},</math> तथा <math>x^n</math> की तरह परिभाषित किया गया है <math>\left(x^{-1}\right)^{-n}.</math>
पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, के लिए {{mvar|x}} तथा {{mvar|y}} बीजगणितीय संरचना में, और {{mvar|m}} तथा {{mvar|n}} पूर्णांक:
 
पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, बीजगणितीय संरचना में x और y के लिए, और m और n पूर्णांक के लिए:
:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
x^0&=1\\
x^0&=1\\
Line 472: Line 474:
(xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}
(xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.}
\end{align}</math>
\end{align}</math>
गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से प्रकार्य (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो प्रकार्य संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के [[एंडोमोर्फिज्म]]  सम्मिलित हैं।
गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से [[समूह (गणित)]], वलय (गणित), [[क्षेत्र (गणित)]], वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक समुच्चय (गणित) से प्रकार्य (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो प्रकार्य संरचना के तहत एक एकाभ बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, [[ज्यामितीय परिवर्तन]] और किसी भी [[गणितीय संरचना]] के अंतःरूपांतरण सम्मिलित हैं।


जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है,
जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, अधिलेख में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन को इंगित करना सामान्य है। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|f}} एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, <math>f^n</math> गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और <math>f^{\circ n}</math> समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है,
:<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math>
:<math>(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),</math>
तथा
तथा

Revision as of 16:37, 3 December 2022

"प्रतिपादक" redirects here. For other uses, see प्रतिपादक (disambiguation).

bn
अंकन पद्धति
आधार b तथा प्रतिपादक n
File:Expo02.svg
के रेखांकन y = bx विभिन्न आधारों के लिए b:   base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है (0, 1) क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है x = 1, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)
Exponentiation (^)
nth root (√)
Logarithm (log)

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,[1] जिसे bn लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n सम्मिलित हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस प्रकर्ण में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए , की घटनाएं है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से: