घातांक: Difference between revisions

$b n$
bn
notation
	base b and exponent n

Revision as of 12:46, 2 December 2022

के रेखांकन

y = b x

विभिन्न आधारों के लिए बी: base 10, base e, base 2, base 12. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है

(0, 1)

क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है

x = 1

, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की घात तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है,^[1] जिसे $b n$ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या घात n शामिल हैं, और "b (उठाया गया) से (की घात) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है

b^{n}=\underbrace {b\times b\times \dots \times b\times b} _{n{\text{ times}}}.

प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की घात तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की घात", "b की nth घात", "b को nth की घात", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $n$ के लिए , $b^{n}$ $n$ की घटनाएं $b$ है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

\begin{aligned} b^{n + m} & = \underset{n +}{\underset{⏟}{b \times \dots \times b}} \end{aligned}

[1]

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 === घात प्रकार्य ===
 [[File:Potenssi 1 3 5.svg|thumb|left|घात के लिए कार्य करता है <math>n=1,3,5</math>]]
-[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|घात के लिए कार्य करता है <math>n=2,4,6</math>]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद हैं: <math>n</math> के लिए  यहां तक कि, और के लिए <math>n</math> अजीब। सामान्य तौर पर के लिए <math>c > 0</math>, जब <math>n</math> सम है <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर प्रवृत्त होगा <math>x</math>, और घटते हुए सकारात्मक अनंत की ओर भी <math>x</math>. सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार होता है <math>y=cx^2</math>, के रूप में बीच में अधिक चपटा <math>n</math> बढ़ती है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] के साथ कार्य करता है {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} सम फलन कहलाते हैं।
+[[File:Potenssi 2 4 6.svg|thumb|<math>n=2,4,6</math> घात के लिए कार्य करता है ]]<math>f(x) = cx^n</math> रूप के वास्तविक कार्य, जहाँ पर <math>c \ne 0</math>, कभी-कभी घात कार्य कहलाते हैं।<ref>{{cite book |last1=Hass |first1=Joel R. |last2=Heil |first2=Christopher E. |last3=Weir |first3=Maurice D. |last4=Thomas |first4=George B. |title=थॉमस की कैलकुलस|date=2018 |publisher=Pearson |isbn=9780134439020 |pages=7–8 |edition=14}}</ref> जब <math>n</math> एक पूर्णांक है और <math>n \ge 1</math>, दो प्राथमिक परिवार मौजूद होते हैं: <math>n</math> सम के लिए, और <math>n</math> विषम के लिए। सामान्यतः <math>c > 0</math> के लिए, जब <math>n</math> सम है <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ <math>x</math> धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर प्रवृत्त होगा, और घटते हुए <math>x</math> सकारात्मक अनंत की ओर भी। सम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^2</math>होता है,<math>n</math> के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण बढ़ता है।<ref name="कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स">{{cite book|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|title=कैलकुलस: अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|date=2012|url=https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656|url-access=limited|publisher=John Wiley & Sons|page=[https://archive.org/details/calculusearlytra00anto_656/page/n51 28]|isbn=9780470647691|edition=9th}}</ref> इस तरह की [[समरूपता]] {{nobr|(<math>f(-x)= f(x)</math>)}} के साथ कार्य सम फलन कहलाता है।
-कब <math>n</math> अजीब है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक से उलट जाता है <math>x</math> नकारात्मक के लिए <math>x</math>. के लिये <math>c > 0</math>, <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी प्रवृत्त होगा <math>x</math>, लेकिन घटने के साथ नकारात्मक अनंतता की ओर <math>x</math>. विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार होता है <math>y=cx^3</math>, के रूप में बीच में अधिक चपटा <math>n</math> के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और सभी समतलता खो देता है <math>n=1</math>. इस तरह की समरूपता के साथ कार्य करता है {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} विषम फलन कहलाते हैं।
+जब <math>n</math> विषम है, <math>f(x)</math>का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक <math>x</math> से नकारात्मक <math>x</math> के लिए उलट जाता है। <math>c > 0</math> के लिये , <math>f(x) = cx^n</math> बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी <math>x</math> प्रवृत्त होगा, लेकिन घटने के साथ <math>x</math> नकारात्मक अनंतता की ओर प्रवृत्त होगा। विषम घात कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार <math>y=cx^3</math> होता है ,<math>n</math>  के रूप में बीच में अधिक चपटीकरण के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और <math>n=1</math> सभी समतलता खो देता है। इस तरह की समरूपता {{nobr|(<math>f(-x)= -f(x)</math>)}} के साथ कार्य करने को विषम फलन कहलाते हैं।
-के लिये <math>c < 0</math>, प्रत्येक मामले में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
+<math>c < 0</math> के लिये, प्रत्येक प्रकर्ण में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।<ref name="Calculus: Early Transcendentals"/>
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 == वाजिब घातांक ==
-[[Image:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|ऊपर से नीचे: x<sup>1/8</sup>, x<sup>1/4</sup>, x<sup>1/2</sup>, x<sup>1</सुप>, एक्स<sup>2</सुप>, एक्स<sup>4</sup>, एक्स<sup>8</sup>.]]यदि {{mvar|x}} एक गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, और {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है, <math>x^{1/n}</math> या <math>\sqrt[n]x</math> अद्वितीय धनात्मक वास्तविक nवें मूल को दर्शाता है{{mvar|n}}की जड़ {{math|x}}, वह है, अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|y}} ऐसा है कि <math>y^n=x.</math>
+[[Image:Mplwp roots 01.svg|right|thumb|300px|ऊपर से नीचे:   ''x''<sup>1/8</sup>, ''x''<sup>1/4</sup>, ''x''<sup>1/2</sup>, ''x''<sup>1</sup>, ''x''<sup>2</sup>, ''x''<sup>4</sup>, ''x''<sup>8</sup>.]]यदि {{mvar|x}} एक गैर-नकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, और {{mvar|n}} एक सकारात्मक पूर्णांक है, <math>x^{1/n}</math> या <math>\sqrt[n]x</math> अद्वितीय धनात्मक वास्तविक nवें मूल को दर्शाता है{{mvar|n}}की जड़ {{math|x}}, वह है, अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या {{mvar|y}} ऐसा है कि <math>y^n=x.</math>
 यदि {{mvar|x}} एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और <math>\frac pq</math> एक [[परिमेय संख्या]] है, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q ≠ 0}} पूर्णांक, फिर <math display="inline">x^{p/q}</math> की तरह परिभाषित किया गया है
 :<math>x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.</math>
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 :<math>b^{z+t} = b^z b^t,</math>
 सामान्य रूप में,
-<math DISPLAY=inline>\left(b^z\right)^t</math> परिभाषित नहीं है, क्योंकि {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} वास्तविक संख्या नहीं है। यदि एक सम्मिश्र संख्या के घातांक का अर्थ दिया गया है (देखें {{slink||Non-integer powers of complex numbers}}, नीचे), किसी के पास, सामान्य तौर पर,
+<math DISPLAY=inline>\left(b^z\right)^t</math> परिभाषित नहीं है, क्योंकि {{math|''b''<sup>''z''</sup>}} वास्तविक संख्या नहीं है। यदि एक सम्मिश्र संख्या के घातांक का अर्थ दिया गया है (देखें {{slink||Non-integer powers of complex numbers}}, नीचे), किसी के पास,  सामान्यतः,
 :<math>\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},</math>
 जब तक {{mvar|z}} वास्तविक है या {{mvar|t}} एक पूर्णांक है।
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 चरणों की इस श्रृंखला में 99 के बजाय केवल 8 गुणा की आवश्यकता है।
-सामान्य तौर पर, गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} तक घटाया जा सकता है <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> की संख्या को दर्शाता है {{math|1}} के [[द्विआधारी प्रतिनिधित्व]] में {{mvar|n}}. कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है (सबसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> हालांकि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है।
+सामान्यतः, गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} तक घटाया जा सकता है <math>\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,</math> वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ <math>\sharp n</math> की संख्या को दर्शाता है {{math|1}} के [[द्विआधारी प्रतिनिधित्व]] में {{mvar|n}}. कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना {{math|''b''<sup>''n''</sup>}} एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है (सबसमुच्चय योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी एल्गोरिदम उपलब्ध हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Gordon | first1 = D. M. | doi = 10.1006/jagm.1997.0913 | title = फास्ट एक्सपोनेंटिएशन मेथड्स का एक सर्वेक्षण| journal = Journal of Algorithms | volume = 27 | pages = 129–146 | date = 1998 | url = http://www.ccrwest.org/gordon/jalg.pdf | citeseerx = 10.1.1.17.7076 }}</ref> हालांकि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है।
 == पुनरावृत्त कार्य ==

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