घातांक: Difference between revisions

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=== शून्य प्रतिपादक ===
=== शून्य प्रतिपादक ===
परिभाषा के अनुसार, किसी भी अशून्य संख्या को ऊपर उठाया गया {{math|0}} शक्ति है {{math|1}}:<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=तकनीकी दुकान गणित|first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref><ref name=":1" />:<math>b^0=1.</math>
परिभाषा के अनुसार, किसी भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 है :<ref>{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=YOdtemSmzQQC&pg=PA101 |title=तकनीकी दुकान गणित|first1=Thomas |last1=Achatz |page=101 |date=2005 |edition=3rd |publisher=Industrial Press |isbn=978-0-8311-3086-2}}</ref><ref name=":1" />:
यह परिभाषा ही एकमात्र संभव है जो सूत्र को विस्तारित करने की अनुमति देती है
 
<math>b^0=1.</math>
 
यह परिभाषा ही एकमात्र यथासम्भव है जो सूत्र को विस्तारित करने की अनुमति देती है
:<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math>
:<math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math>
शून्य घातांक के लिए। इसका उपयोग प्रत्येक [[बीजगणितीय संरचना]] में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है।
शून्य घातांक तक। इसका उपयोग प्रत्येक [[बीजगणितीय संरचना]] में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है।
 
सहज रूप से, <math>b^0</math> की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है।


सहज रूप से, <math>b^0</math> की प्रतियों के [[खाली उत्पाद]] के रूप में व्याख्या की जा सकती है {{mvar|b}}. तो, समानता <math>b^0=1</math> खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है।
{{math|0<sup>0</sup>}}  प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक शक्तियों पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} सामान्यतः <math>0^0,</math>को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|अधिक विवरण के लिए, देखें  [[शून्य की घात शून्य]].}}


के मामले में {{math|0<sup>0</sup>}} अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक शक्तियों पर विचार किया जाता है, मान {{math|1}} आम तौर पर सौंपा गया है <math>0^0,</math> लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है। {{Crossref|For more details, see [[Zero to the power of zero]].}}




=== नकारात्मक घातांक ===
=== नकारात्मक घातांक ===
ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए है {{mvar|n}} और अशून्य {{mvar|b}}:
ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए {{mvar|n}} है और अशून्य {{mvar|b}}:
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" />0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत के रूप में की जा सकती है (<math>\infty</math>).{{citation needed|date=November 2022}}
:<math>b^{-n} = \frac{1}{b^n}</math>.<ref name=":1" />0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत के रूप में की जा सकती है (<math>\infty</math>).{{citation needed|date=November 2022}}
ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो पहचान को विस्तारित करने की अनुमति देती है <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> नकारात्मक घातांक के लिए (मामले पर विचार करें <math>m=-n</math>).
ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान <math>b^{m+n}=b^m\cdot b^n</math> को विस्तारित करने की अनुमति देती है (मामले पर विचार करें <math>m=-n</math>).


एक ही परिभाषा एक गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व]]ों पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}} (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग मैट्रिक्स)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व का व्युत्क्रम {{mvar|x}} मानक रूप से दर्शाया गया है <math>x^{-1}.</math>
एक ही परिभाषा एक गुणक [[मोनोइड]] में [[उलटा तत्व|उलटा तत्वों]] पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है {{math|1}} (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग मैट्रिक्स)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व {{mvar|x}} का व्युत्क्रम मानक <math>x^{-1}</math> रूप से दर्शाया गया है




=== पहचान और गुण ===
=== पहचान और गुण ===
{{Redirect|Laws of Indices|the horse|Laws of Indices (horse)}}
{{Redirect|सूचकांकों के नियम|घोड़ा|सूचकांकों के नियम (घोड़ा)}}
निम्नलिखित [[पहचान (गणित)]], अक्सर कहा जाता है{{vanchor|exponent rules}}, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए पकड़ें, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align}
निम्नलिखित [[पहचान (गणित)]], प्रायः कहा जाता है {{vanchor| प्रतिनिधि  नियम}}, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए पकड़ें, बशर्ते कि आधार शून्य न हो:<ref name=":1" />:<math>\begin{align}
           b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
           b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\
   \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
   \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\
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दूसरी ओर, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या की वास्तविक शक्ति के लिए घातांक को लगातार परिभाषित करना अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह अवास्तविक हो सकता है और इसके कई मान हो सकते हैं (देखें {{section link||Real exponents with negative bases}}). कोई इनमें से किसी एक मूल्य को चुन सकता है, जिसे मुख्य मूल्य कहा जाता है, लेकिन मुख्य मूल्य का कोई विकल्प नहीं है जिसके लिए पहचान है
दूसरी ओर, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या की वास्तविक शक्ति के लिए घातांक को लगातार परिभाषित करना अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह अवास्तविक हो सकता है और इसके कई मान हो सकते हैं (देखें {{section link||Real exponents with negative bases}}). कोई इनमें से किसी एक मूल्य को चुन सकता है, जिसे मुख्य मूल्य कहा जाता है, लेकिन मुख्य मूल्य का कोई विकल्प नहीं है जिसके लिए पहचान है
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>
:<math>\left(b^r\right)^s = b^{r s}</math>
सच हैं; देखना {{section link||Failure of power and logarithm identities}}. इसलिए, एक आधार के साथ घातांक जो एक सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, को आम तौर पर एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है।
सच हैं; देखना {{section link||Failure of power and logarithm identities}}. इसलिए, एक आधार के साथ घातांक जो एक सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, को सामान्यतः एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है।


=== परिमेय घातांकों की सीमाएं ===
=== परिमेय घातांकों की सीमाएं ===
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=== चरघातांकी फलन ===
=== चरघातांकी फलन ===
{{Main|Exponential function}}
{{Main|Exponential function}}
घातीय फलन को अक्सर इस रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x\mapsto e^x,</math> कहाँ पे <math>e\approx 2.718</math> यूलर की संख्या है। [[परिपत्र तर्क]] से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, निरूपित <math>\exp(x),</math> और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती है। फिर एक प्रमाण को रेखांकित किया जाता है कि, यदि कोई पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई घातांक की परिभाषा का उपयोग करता है, तो उसके पास है
घातीय फलन को प्रायः इस रूप में परिभाषित किया जाता है <math>x\mapsto e^x,</math> कहाँ पे <math>e\approx 2.718</math> यूलर की संख्या है। [[परिपत्र तर्क]] से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, निरूपित <math>\exp(x),</math> और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती है। फिर एक प्रमाण को रेखांकित किया जाता है कि, यदि कोई पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई घातांक की परिभाषा का उपयोग करता है, तो उसके पास है
:<math>\exp(x)=e^x.</math>
:<math>\exp(x)=e^x.</math>
घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है
घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है
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\end{align}</math>इस मामले में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान।
\end{align}</math>इस मामले में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है <math>4\ln 2,</math> और विभिन्न निरपेक्ष मान।


दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक आम तौर पर, यह सच है अगर और केवल अगर असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है।
दोनों उदाहरणों में, के सभी मान <math>z^w</math> एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है अगर और केवल अगर असली हिस्सा {{mvar|w}} एक पूर्णांक है।


==== शक्ति और लघुगणक पहचान की विफलता ====
==== शक्ति और लघुगणक पहचान की विफलता ====
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तथा
तथा
:<math>(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots)).</math>
:<math>(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots)).</math>
आम तौर पर, <math>(f^n)(x)</math> निरूपित किया जाता है <math>f(x)^n,</math> जबकि <math>(f^{\circ n})(x)</math> निरूपित किया जाता है <math>f^n(x).</math>
सामान्यतः, <math>(f^n)(x)</math> निरूपित किया जाता है <math>f(x)^n,</math> जबकि <math>(f^{\circ n})(x)</math> निरूपित किया जाता है <math>f^n(x).</math>




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यदि नीलमूल को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), कम्यूटेटिव रिंग को [[कम अंगूठी]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए छल्ले महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक एफाइन बीजगणितीय सेट का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है।
यदि नीलमूल को [[शून्य आदर्श]] में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि <math>x\neq 0</math> तात्पर्य <math>x^n\neq 0</math> प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए {{mvar|n}}), कम्यूटेटिव रिंग को [[कम अंगूठी]] कहा जाता है। [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में कम किए गए छल्ले महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक एफाइन बीजगणितीय सेट का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है।


अधिक आम तौर पर, एक आदर्श दिया जाता है {{mvar|I}} एक कम्यूटेटिव रिंग में {{mvar|R}}, के तत्वों का सेट {{mvar|R}} जिसमें शक्ति हो {{mvar|I}} एक आदर्श है, जिसे के आदर्श का मूलक कहा जाता है {{mvar|I}}. शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद अंगूठी में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> एक क्षेत्र पर (गणित) {{mvar|k}}, एक आदर्श कट्टरपंथी है अगर और केवल अगर यह सभी बहुपदों का सेट है जो एक affine बीजगणितीय सेट पर शून्य है (यह हिल्बर्ट के Nullstellensatz का परिणाम है)।
अधिक सामान्यतः, एक आदर्श दिया जाता है {{mvar|I}} एक कम्यूटेटिव रिंग में {{mvar|R}}, के तत्वों का सेट {{mvar|R}} जिसमें शक्ति हो {{mvar|I}} एक आदर्श है, जिसे के आदर्श का मूलक कहा जाता है {{mvar|I}}. शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक [[कट्टरपंथी आदर्श]] एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद अंगूठी में <math>k[x_1, \ldots, x_n]</math> एक क्षेत्र पर (गणित) {{mvar|k}}, एक आदर्श कट्टरपंथी है अगर और केवल अगर यह सभी बहुपदों का सेट है जो एक affine बीजगणितीय सेट पर शून्य है (यह हिल्बर्ट के Nullstellensatz का परिणाम है)।


=== मैट्रिसेस और लीनियर ऑपरेटर्स ===
=== मैट्रिसेस और लीनियर ऑपरेटर्स ===
यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह शक्ति कहलाता है। भी <math>A^0</math> पहचान मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है,<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref> और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.
यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह शक्ति कहलाता है। भी <math>A^0</math> पहचान मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है,<ref>Chapter 1, Elementary Linear Algebra, 8E, Howard Anton</ref> और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब <math>A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n</math>.


मैट्रिक्स शक्तियां अक्सर असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां मैट्रिक्स ए किसी सिस्टम के राज्य वेक्टर एक्स से सिस्टम के अगले राज्य एक्स में संक्रमण को व्यक्त करता है।<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Chapter 5.</ref> उदाहरण के लिए, यह [[मार्कोव श्रृंखला]] की मानक व्याख्या है। फिर <math>A^2x</math> दो समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति है, और इसी प्रकार आगे: <math>A^nx</math> n टाइम स्टेप्स के बाद सिस्टम की स्थिति है। मैट्रिक्स शक्ति <math>A^n</math> भविष्य में एक समय n चरणों में राज्य और राज्य के बीच संक्रमण मैट्रिक्स है। इसलिए कंप्यूटिंग मैट्रिक्स शक्तियां गतिशील प्रणाली के विकास को हल करने के बराबर हैं। कई मामलों में, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का उपयोग करके मैट्रिक्स शक्तियों की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।
मैट्रिक्स शक्तियां प्रायः असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां मैट्रिक्स ए किसी सिस्टम के राज्य वेक्टर एक्स से सिस्टम के अगले राज्य एक्स में संक्रमण को व्यक्त करता है।<ref>{{citation|first=Gilbert|last=Strang|title=Linear algebra and its applications|publisher=Brooks-Cole|date=1988|edition=3rd}}, Chapter 5.</ref> उदाहरण के लिए, यह [[मार्कोव श्रृंखला]] की मानक व्याख्या है। फिर <math>A^2x</math> दो समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति है, और इसी प्रकार आगे: <math>A^nx</math> n टाइम स्टेप्स के बाद सिस्टम की स्थिति है। मैट्रिक्स शक्ति <math>A^n</math> भविष्य में एक समय n चरणों में राज्य और राज्य के बीच संक्रमण मैट्रिक्स है। इसलिए कंप्यूटिंग मैट्रिक्स शक्तियां गतिशील प्रणाली के विकास को हल करने के बराबर हैं। कई मामलों में, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का उपयोग करके मैट्रिक्स शक्तियों की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।


मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]]ों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, <math>d/dx</math>, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है <math>f(x)</math> एक नया कार्य देने के लिए <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. अवकलन संकारक की n-वीं शक्ति n-वें अवकलज है:
मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य [[रैखिक ऑपरेटर]]ों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, <math>d/dx</math>, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है <math>f(x)</math> एक नया कार्य देने के लिए <math>(d/dx)f(x) = f'(x)</math>. अवकलन संकारक की n-वीं शक्ति n-वें अवकलज है:
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यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें शक्ति <math>S^n</math> एक सेट का {{mvar|S}} सभी के सेट के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}.
यह परिभाषित करने की अनुमति देता है {{mvar|n}}वें शक्ति <math>S^n</math> एक सेट का {{mvar|S}} सभी के सेट के रूप में {{mvar|n}}-टुपल्स <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> के तत्वों का {{mvar|S}}.


कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह अक्सर होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस मामले में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और एक्सपोनेंटिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], रिंग (गणित), आदि।
कब {{mvar|S}} कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः होता है <math>S^n</math> स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस मामले में, [[प्रत्यक्ष उत्पाद]] शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और एक्सपोनेंटिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए <math>\R^n</math> (कहाँ पे <math>\R</math> वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है {{mvar|n}} की प्रतियां <math>\R,</math> साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे [[सदिश स्थल]], [[टोपोलॉजिकल स्पेस]], रिंग (गणित), आदि।


=== एक्सपोनेंट के रूप में सेट ===
=== एक्सपोनेंट के रूप में सेट ===
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हरएक के लिए {{mvar|x}} के अधिकार क्षेत्र में {{mvar|f}}.
हरएक के लिए {{mvar|x}} के अधिकार क्षेत्र में {{mvar|f}}.


यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन {{mvar|f}} इसके कोडोमेन के बराबर है, कोई भी समय की मनमानी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह परिभाषित करता है {{mvar|n}}संरचना के तहत समारोह की वें शक्ति, सामान्यतः कहा जाता है{{mvar|n}}समारोह का वें पुनरावृति। इस प्रकार <math>f^n</math> आम तौर पर दर्शाता है {{mvar|n}}की पुनरावृति {{mvar|f}}; उदाहरण के लिए, <math>f^3(x)</math> साधन <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>
यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन {{mvar|f}} इसके कोडोमेन के बराबर है, कोई भी समय की मनमानी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह परिभाषित करता है {{mvar|n}}संरचना के तहत समारोह की वें शक्ति, सामान्यतः कहा जाता है{{mvar|n}}समारोह का वें पुनरावृति। इस प्रकार <math>f^n</math> सामान्यतः दर्शाता है {{mvar|n}}की पुनरावृति {{mvar|f}}; उदाहरण के लिए, <math>f^3(x)</math> साधन <math>f(f(f(x))).</math><ref name="Peano_1903"/>


जब गुणन को फ़ंक्शन के कोडोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो यह फ़ंक्शन पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को आम तौर पर फ़ंक्शन के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> और नहीं <math>\sin(\sin(x)),</math> जो, किसी भी मामले में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन नोटेशनों के कई रूपों का उपयोग किया गया था।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>
जब गुणन को फ़ंक्शन के कोडोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो यह फ़ंक्शन पर गुणन को परिभाषित करता है, [[बिंदुवार गुणन]], जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः फ़ंक्शन के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार <math>f^2(x)= f(f(x)),</math> तथा <math>f(x)^2= f(x)\cdot f(x).</math> जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए <math>f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,</math> तथा <math>f^3=f\cdot f\cdot f.</math> ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, <math>\sin^2 x</math> तथा <math>\sin^2(x)</math> दोनों मतलब <math>\sin(x)\cdot\sin(x)</math> और नहीं <math>\sin(\sin(x)),</math> जो, किसी भी मामले में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन नोटेशनों के कई रूपों का उपयोग किया गया था।<ref name="Herschel_1813"/><ref name="Herschel_1820"/><ref name="Cajori_1929"/>


इस संदर्भ में प्रतिपादक <math>-1</math> यदि यह मौजूद है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए <math>\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.</math> गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए सामान्यतः पर इन के रूप में उपयोग किया जाता है <math>1/\sin(x)=\frac 1{\sin x}.</math>
इस संदर्भ में प्रतिपादक <math>-1</math> यदि यह मौजूद है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए <math>\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.</math> गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए सामान्यतः पर इन के रूप में उपयोग किया जाता है <math>1/\sin(x)=\frac 1{\sin x}.</math>

Revision as of 00:37, 2 December 2022

"प्रतिपादक" redirects here. For other uses, see प्रतिपादक (disambiguation).

bn
notation
base b and exponent n
File:Expo02.svg
के रेखांकन y = bx विभिन्न आधारों के लिए बी:   base 10,   base e,   base 2,   base 1/2. प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है (0, 1) क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है x = 1, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की शक्ति तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।

<डिव क्लास = राइट>

Arithmetic operations
Addition (+)
Subtraction (−)
Multiplication (×)
Division (÷)