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Revision as of 23:49, 28 July 2022

गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

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वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

File:Fibonacci blocks.svg

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल n को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ । उदाहरण के लिए:

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ से भिन्न क्रम हो सकता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: $({(a_{m, n})}_{n \in}$

[1]

[2]

[3]

@@ Line 111: / Line 111: @@
 * एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह।
-== सीमा और अभिसरण ==
+== सीमाएं और अभिसरण ==
-{{Main|Limit of a sequence}}
 [[File:Converging Sequence example.svg|320px|thumb|एक अभिसरण अनुक्रम का कथानक (ए<sub>n</sub>) नीले रंग में दिखाया गया है।ग्राफ से हम देख सकते हैं कि अनुक्रम एन के बढ़ने के साथ सीमा शून्य में परिवर्तित हो रहा है।]]
-एक अनुक्रम की एक महत्वपूर्ण संपत्ति अभिसरण है।यदि कोई अनुक्रम परिवर्तित होता है, तो यह एक विशेष मूल्य में परिवर्तित होता है जिसे सीमा के रूप में जाना जाता है।यदि कोई अनुक्रम कुछ सीमा में परिवर्तित हो जाता है, तो यह 'अभिसरण' है।एक अनुक्रम जो अभिसरण नहीं करता है वह 'डायवर्जेंट' है।
+अनुक्रम का एक महत्वपूर्ण गुण अभिसरण है। यदि कोई अनुक्रम अभिसरण करता है, तो यह एक विशेष मान में परिवर्तित हो जाता है जिसे सीमा कहा जाता है। यदि कोई अनुक्रम किसी सीमा तक अभिसरण करता है, तो वह अभिसरण होता है । एक अनुक्रम जो अभिसरण नहीं करता है वह भिन्न होता है।
-अनौपचारिक रूप से, एक अनुक्रम में एक सीमा होती है यदि अनुक्रम के तत्व कुछ मूल्य के करीब और करीब हो जाते हैं <math>L</math> (अनुक्रम की सीमा कहा जाता है), और वे मनमाने ढंग से करीब बने रहते हैं <math>L</math>, जिसका अर्थ है कि एक वास्तविक संख्या दी गई है <math>d</math> शून्य से अधिक, सभी लेकिन अनुक्रम के तत्वों की एक परिमित संख्या से दूरी है <math>L</math> से कम <math>d</math>।
+अअनौपचारिक रूप से, एक अनुक्रम की एक सीमा होती है यदि अनुक्रम के तत्व कुछ मान  <math>L</math> (अनुक्रम की सीमा कहा जाता है), के पास आते हैं। <math>L</math>, जिसका अर्थ है कि एक वास्तविक संख्या दी गई है <math>d</math> शून्य से अधिक, अनुक्रम के तत्वों की एक सीमित संख्या को छोड़कर सभी से दूरी है <math>L</math> से कम <math>d</math> .
 उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math display="inline">a_n = \frac{n+1}{2n^2}</math> दाईं ओर दिखाया गया मान 0. दूसरी ओर, अनुक्रम। <math display="inline">b_n = n^3</math> (जो 1, 8, 27, और हेलिप;) से शुरू होता है <math>c_n = (-1)^n</math> (जो −1, 1, −1, 1,…) शुरू होता है, दोनों अलग -अलग हैं।
-यदि कोई अनुक्रम रूपांतरित होता है, तो वह मूल्य जो रूप में परिवर्तित होता है वह अद्वितीय है।इस मान को अनुक्रम की सीमा कहा जाता है।एक अभिसरण अनुक्रम की सीमा <math>(a_n)</math> आम तौर पर निरूपित होता है <math display="inline">\lim_{n\to\infty}a_n</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक अलग अनुक्रम है, फिर अभिव्यक्ति <math display="inline">\lim_{n\to\infty}a_n</math> अर्थहीन है।
+यदि कोई अनुक्रम रूपांतरित होता है, तो वह मूल्य जो रूप में परिवर्तित होता है वह अद्वितीय है। इस मान को अनुक्रम की सीमा कहा जाता है।एक अभिसरण अनुक्रम की सीमा <math>(a_n)</math> आम तौर पर निरूपित होता है <math display="inline">\lim_{n\to\infty}a_n</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक अलग अनुक्रम है, फिर अभिव्यक्ति <math display="inline">\lim_{n\to\infty}a_n</math> अर्थहीन है।
 === अभिसरण की औपचारिक परिभाषा ===
@@ Line 128: / Line 126: @@
 यदि <math>(a_n)</math> वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम के बजाय जटिल संख्याओं का एक अनुक्रम है, इस अंतिम सूत्र का उपयोग अभी भी अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, प्रावधान के साथ <math>|\cdot|</math> जटिल मापांक को दर्शाता है, अर्थात् <math>|z| = \sqrt{z^*z}</math>।यदि <math>(a_n)</math> एक मीट्रिक स्थान में बिंदुओं का एक अनुक्रम है, तो सूत्र का उपयोग अभिसरण को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, यदि अभिव्यक्ति <math>|a_n-L|</math> अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है <math>\operatorname{dist}(a_n, L)</math>, जो बीच की दूरी को दर्शाता है <math>a_n</math> तथा <math>L</math>।
-=== अनुप्रयोग और महत्वपूर्ण परिणाम ===
+=== आवेदन और महत्वपूर्ण परिणाम ===
 यदि <math>(a_n)</math> तथा <math>(b_n)</math> अभिसरण अनुक्रम हैं, फिर निम्नलिखित सीमाएं मौजूद हैं, और निम्नानुसार गणना की जा सकती है:<ref name="Gaughan" /><ref name="Dawkins">{{cite web |url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/Sequences.aspx |title=Series and Sequences |last1=Dawikins |first1=Paul |work=Paul's Online Math Notes/Calc II (notes) |access-date=18 December 2012}}</ref>
 * <math>\lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n\to\infty} a_n \pm \lim_{n\to\infty} b_n</math>
@@ Line 141: / Line 139: @@
 * एक अनुक्रम अभिसरण है यदि और केवल अगर इसके सभी बाद के सभी अभिसरण हैं।
-=== Cauchy अनुक्रम ===
+=== कॉची (Cauchy) अनुक्रम ===
-{{Main|Cauchy sequence}}
+[[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb|एक cauchy अनुक्रम का कथानक (x)<sub>n</sub>), नीले रंग में दिखाया गया है, एक्स के रूप में<sub>n</sub> बनाम एन।ग्राफ में अनुक्रम एक सीमा में परिवर्तित होता प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में लगातार शब्दों के बीच की दूरी n बढ़ जाती है।वास्तविक संख्याओं में हर कॉची अनुक्रम कुछ सीमा में परिवर्तित हो जाता है।]]
+कॉची अनुक्रम एक ऐसा क्रम है जिसके पद n के बहुत बड़े होने पर एकपक्षीय ढंग से एक-दूसरे के करीब हो जाते हैं। कॉची अनुक्रम की धारणा मीट्रिक रिक्त स्थान में अनुक्रमों के अध्ययन में महत्वपूर्ण है, और, विशेष रूप से, वास्तविक विश्लेषण में। वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के लिए अभिसरण का कॉची लक्षण वर्णन है:
+वास्तविक संख्याओं का एक क्रम अभिसरण (वास्तविक में) होता है यदि और केवल यदि यह कॉची (Cauchy) है।
-[[File:Cauchy sequence illustration.svg|350px|thumb|एक cauchy अनुक्रम का कथानक (x)<sub>n</sub>), नीले रंग में दिखाया गया है, एक्स के रूप में<sub>n</sub> बनाम एन।ग्राफ में अनुक्रम एक सीमा में परिवर्तित होता प्रतीत होता है क्योंकि अनुक्रम में लगातार शब्दों के बीच की दूरी n बढ़ जाती है।वास्तविक संख्याओं में हर कॉची अनुक्रम कुछ सीमा में परिवर्तित हो जाता है।]]
+इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के कॉची (Cauchy) अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं, उदा।द्वारा परिभाषित अनुक्रम
-एक cauchy अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें मनमाने ढंग से एक साथ हो जाती हैं क्योंकि n बहुत बड़ा हो जाता है।एक कॉची अनुक्रम की धारणा मीट्रिक स्थानों में अनुक्रमों के अध्ययन में महत्वपूर्ण है, और, विशेष रूप से, वास्तविक विश्लेषण में।वास्तविक विश्लेषण में एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण परिणाम अनुक्रमों के लिए अभिसरण का cauchy लक्षण वर्णन है:
-: वास्तविक संख्याओं का एक अनुक्रम अभिसरण (वास्तविक में) है यदि और केवल अगर यह कॉची है।
-इसके विपरीत, तर्कसंगत संख्याओं के cauchy अनुक्रम हैं जो तर्कसंगतों में अभिसरण नहीं हैं, उदा।द्वारा परिभाषित अनुक्रम
 एक्स<sub>1</sub> = 1 और एक्स<sub>''n''+1</sub> = {{sfrac|1=''x''<sub>''n''</sub> + {{sfrac|1=2|2=''x''<sub>''n''</sub>}}|2=2}}
 Cauchy है, लेकिन कोई तर्कसंगत सीमा नहीं है, cf.Cauchy अनुक्रम#काउंटर-उदाहरण: तर्कसंगत संख्याएँ | यहाँ |आम तौर पर, तर्कसंगत संख्याओं का कोई भी अनुक्रम जो एक तर्कहीन संख्या में परिवर्तित होता है, वह है, लेकिन तर्कसंगत संख्या के सेट में अनुक्रम के रूप में व्याख्या किए जाने पर अभिसरण नहीं है।

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