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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

File:Cauchy sequence illustration2.svg

वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं। अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और प्रतिरूप या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। क्योंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को टिप्पणी करना अस्पष्टता की ओर ले जाता है। पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए सूचीकरण सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

File:Fibonacci blocks.svg

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है, एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक। ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल n को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है। यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका n वां तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ । उदाहरण के लिए:

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element of }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{nd element }}\\a_{3}&=3{\text{rd element }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{th element}}\\a_{n}&=n{\text{th element}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{th element}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे $(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ से भिन्न क्रम हो सकता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: $((a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} })_{m\in \mathbb {N} }$ एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका m वां पद अनुक्रम है $(a_{m,n})_{n\in \mathbb {N} }$

अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन $left parenthesis k squared right parenthesis Subscript k equals 1 Superscript 10$

[1]

[2]

[3]

@@ Line 97: / Line 97: @@
 === परिबद्ध ===
-यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम ( ''a <sub>n</sub>'' ) ऐसा है कि सभी पद किसी वास्तविक संख्या ''M'' से कम हैं, तो अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है। '''दूसरे श'''ब्दों में, इसका मतलब यह है कि सभी n के लिए m, a, a मौजूद है<sub>n</sub>≤ M. किसी भी ऐसे m को ऊपरी बाउंड कहा जाता है।इसी तरह, अगर, कुछ वास्तविक एम के लिए, ए<sub>n</sub>कुछ n के लिए सभी n के लिए ≥ m, तो अनुक्रम 'नीचे से बंधा हुआ' है और इस तरह के किसी भी m को एक निचला सीमा कहा जाता है।यदि एक अनुक्रम दोनों ऊपर से बंधा हुआ है और नीचे से बंधा हुआ है, तो अनुक्रम को 'बाउंडेड' कहा जाता है।
+यदि वास्तविक संख्याओं का अनुक्रम ( ''a <sub>n</sub>'' ) ऐसा है कि सभी पद किसी वास्तविक संख्या ''M'' से कम हैं, तो अनुक्रम को ऊपर से परिबद्ध कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि ''M'' मौजूद है जैसे कि सभी ''n'', ''a <sub>n</sub>'' ≤ ''M'' के लिए। ऐसे किसी भी ''M'' को ''अतिरिक्त परिबद्ध'' कहा जाता है। इसी तरह, यदि, कुछ वास्तविक ''m'' के लिए, ''a <sub>n</sub>'' ''m'' सभी ''n'' के लिए कुछ ''N'' से बड़ा है, तो अनुक्रम नीचे से घिरा हुआ है और ऐसे किसी भी ''m'' को ''निचला परिबद्ध'' कहा जाता है। यदि कोई क्रम ऊपर से आबद्ध और नीचे से आबद्ध हो, तो उस क्रम को आबद्ध कहा जाता है।
-=== बाद में ===
+=== परवर्ती ===
-किसी दिए गए अनुक्रम का एक अनुक्रम शेष तत्वों के सापेक्ष पदों को परेशान किए बिना कुछ तत्वों को हटाकर दिए गए अनुक्रम से गठित एक अनुक्रम है।उदाहरण के लिए, सकारात्मक भी पूर्णांक (2, 4, 6, ...) का अनुक्रम सकारात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, ...) का एक बाद है।कुछ तत्वों की स्थिति तब बदल जाती है जब अन्य तत्व हटा दिए जाते हैं।हालांकि, सापेक्ष पदों को संरक्षित किया जाता है।
+किसी दिए गए अनुक्रम का एक क्रम शेष तत्वों की सापेक्ष स्थिति को परेशान किए बिना कुछ तत्वों को हटाकर दिए गए अनुक्रम से बना एक क्रम है। उदाहरण के लिए, धनात्मक सम पूर्णांकों (2, 4, 6, ...) का अनुक्रम धनात्मक पूर्णांकों (1, 2, 3, . . . ) कुछ तत्वों की स्थिति बदल जाती है जब अन्य तत्वों को हटा दिया जाता है। हालांकि, सापेक्ष पदों को संरक्षित किया जाता है।
-औपचारिक रूप से, अनुक्रम का एक पूर्ववर्ती <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> फॉर्म का कोई अनुक्रम है <math>(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>, कहाँ पे <math>(n_k)_{k\in\mathbb N}</math> सकारात्मक पूर्णांक का एक कड़ाई से बढ़ता अनुक्रम है।
+औपचारिक रूप से, अनुक्रम का एक क्रम <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>  का कोई क्रम है <math>(a_{n_k})_{k\in\mathbb N}</math>, जहाँ पे <math>(n_k)_{k\in\mathbb N}</math> सकारात्मक पूर्णांकों का एक दृढ़ता से बढ़ता हुआ क्रम है।
 === अन्य प्रकार के अनुक्रम ===
 कुछ अन्य प्रकार के अनुक्रम जिन्हें परिभाषित करना आसान है, उनमें शामिल हैं:
-* एक पूर्णांक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें पूर्णांक हैं।
+* एक पूर्णांक अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद पूर्णांक होते हैं।
-* एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तें बहुपद हैं।
+* एक बहुपद अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पद बहुपद हैं।
-* एक सकारात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी -कभी गुणात्मक कहा जाता है, यदि '' '' '' '<sub>''nm''</sub> = a<sub>''n''</sub> a<sub>''m''</sub> सभी जोड़े n के लिए, m जैसे कि n और m कोपरीम हैं।<ref>{{cite book|title=Lectures on generating functions|last=Lando|first=Sergei K.|publisher=AMS|isbn=978-0-8218-3481-7|chapter=7.4 Multiplicative sequences|date=2003-10-21}}</ref> अन्य उदाहरणों में, अनुक्रमों को अक्सर गुणात्मक कहा जाता है, यदि ए<sub>''n''</sub> = ना<sub>1</sub> सभी के लिए n।इसके अलावा, एक गुणक फाइबोनैचि अनुक्रम<ref>{{cite journal|title=Fibonacci's multiplicative sequence|first=Sergio|last=Falcon|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=34|issue=2|pages=310–315|doi=10.1080/0020739031000158362|year = 2003|s2cid=121280842}}</ref> पुनरावर्ती संबंध को संतुष्ट करता है<sub>''n''</sub> = a<sub>''n''−1</sub> a<sub>''n''−2</sub>।
+* एक धनात्मक पूर्णांक अनुक्रम को कभी-कभी गुणक कहा जाता है, यदि सभी जोड़े n''<sub>'', ''</sub>''m के''<sub>'' ''</sub>''लि''<sub>''ए''</sub>'' एक nm = a n a m जैसे कि n और m सहअभाज्य हों ''<ref>{{cite book|title=Lectures on generating functions|last=Lando|first=Sergei K.|publisher=AMS|isbn=978-0-8218-3481-7|chapter=7.4 Multiplicative sequences|date=2003-10-21}}</ref>'' अन्य उदाहरणों में, अनुक्रमों को अक्सर ''गुणक'' कहा जाता है, यदि सभी ''n'' के ''<sub>''ल''</sub>''िए ''a'' <sub>''n''</sub> = ''na'' <sub>1</sub> है। इसके अलावा, एक ''गुणक'' फाइबोनैचि अनुक्रम ''<ref>{{cite journal|title=Fibonacci's multiplicative sequence|first=Sergio|last=Falcon|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology|volume=34|issue=2|pages=310–315|doi=10.1080/0020739031000158362|year = 2003|s2cid=121280842}}</ref>''पुनरावर्तन संबंध ''a'' <sub>''n''</sub> = ''a'' <sub>''n'' −1</sub> ''a'' <sub>''n'' −2</sub> ''<sub>''क''</sub>''ो सं''<sub>''तुष''</sub>''्ट''<sub>'' कर''</sub>''ता है।
-* एक द्विआधारी अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसकी शर्तों में दो असतत मूल्यों में से एक है, उदा।आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला (सिर/पूंछ) एच, टी, एच, एच, टी, ..., सही या गलत के एक सेट के उत्तरप्रश्न (टी, एफ, टी, टी, ...), और इसी तरह।
+* एक दोहरा अनुक्रम एक अनुक्रम है जिसके पदों में दो असतत मानों में से एक है, उदाहरण के लिए आधार 2 मान (0,1,1,0, ...), सिक्के की एक श्रृंखला विक्षेप (Heads/Tails) H,T,H,H,T, ..., सही या गलत प्रश्नों के एक सेट के उत्तर (T, F, T, T, ...), और इसी तरह।
 == सीमा और अभिसरण ==

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