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गणित में, अनुक्रम वस्तुओं का एक प्रगणित संग्रह होता है जिसमें दोहराव की अनुमति होती है और क्रम मायने रखता है। एक सेट की तरह, इसमें सदस्य होते हैं (जिन्हें तत्व या पद भी कहा जाता है)। तत्वों की संख्या (संभवतः अनंत) अनुक्रम की लंबाई कहलाती है। एक सेट के विपरीत, एक ही तत्व एक क्रम में विभिन्न स्थितियों में कई बार प्रकट हो सकते हैं, और एक सेट के विपरीत, ऑर्डर मायने रखता है। औपचारिक रूप से, अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं (अनुक्रम में तत्वों की स्थिति) से प्रत्येक स्थिति में तत्वों के लिए एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनुक्रम की धारणा को एक अनुक्रमित परिवार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसे एक इंडेक्स सेट से एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है जो तत्वों के दूसरे सेट के लिए संख्या नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, (M, A, R, Y) अक्षरों का एक क्रम है जिसमें पहले 'M' और आखिरी में 'Y' अक्षर होते हैं। यह क्रम (A, R, M, Y) से अलग है। साथ ही, अनुक्रम (1, 1, 2, 3, 5, 8), जिसमें दो अलग-अलग पदों पर संख्या 1 है, एक वैध अनुक्रम है। अनुक्रम परिमित हो सकते हैं, जैसे कि इन उदाहरणों में, या अनंत, जैसे कि सभी सम धनात्मक पूर्णांकों का क्रम (2, 4, 6, . . . )

अनुक्रम में किसी तत्व की स्थिति उसकी रैंक या अनुक्रमणिका होती है; यह प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए तत्व छवि है। संदर्भ या एक विशिष्ट सम्मेलन के आधार पर पहले तत्व में सूचकांक 0 या 1 है।, गणितीय विश्लेषण में, अनुक्रम को अक्सर अक्षरों द्वारा के रूप में निरूपित किया जाता है $a_{n}$ , $b_{n}$ तथा $c_{n}$ , जहां सबस्क्रिप्ट n अनुक्रम के n वें तत्व को संदर्भित करता है; उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम का n वां तत्व $F$ आम तौर पर के रूप में दर्शाया जाता है $F_{n}$ .

कंप्यूटिंग और कंप्यूटर विज्ञान में, परिमित अनुक्रमों को कभी-कभी तार, शब्द या सूचियां कहा जाता है, अलग-अलग नाम आमतौर पर कंप्यूटर मेमोरी में उनका प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीकों से संबंधित होते हैं; अनंत अनुक्रमों को धाराएँ कहा जाता है। खाली अनुक्रम ( ) अनुक्रम की अधिकांश धारणाओं में शामिल है, लेकिन संदर्भ के आधार पर इसे बाहर रखा जा सकता है।

वास्तविक संख्याओं का एक अनंत अनुक्रम (नीले रंग में)।यह अनुक्रम न तो बढ़ रहा है, न ही घट रहा है, अभिसरण है, न ही कॉची।हालांकि, यह बाध्य है।

उदाहरण और संकेतन

अनुक्रम को एक विशेष क्रम वाले तत्वों की सूची के रूप में माना जा सकता है।।^[1]^[2] अनुक्रमों के अभिसरण गुणों का उपयोग करके कार्यों, रिक्त स्थान और अन्य गणितीय संरचनाओं के अध्ययन के लिए कई गणितीय विषयों में अनुक्रम उपयोगी होते हैं। विशेष रूप से, अनुक्रम श्रृंखला का आधार हैं, जो अंतर समीकरणों और विश्लेषण में महत्वपूर्ण हैं।अनुक्रम भी अपने आप में रुचि रखते हैं, और पैटर्न या पहेली के रूप में अध्ययन किया जा सकता है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के अध्ययन में होता है।

किसी अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करने के कई तरीके हैं, जिनमें से कुछ विशिष्ट प्रकार के अनुक्रमों के लिए अधिक उपयोगी हैं। अनुक्रम निर्दिष्ट करने का एक तरीका इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है। उदाहरण के लिए, पहली चार विषम संख्याएँ अनुक्रम बनाती हैं (1, 3, 5, 7)। इस संकेतन का उपयोग अनंत अनुक्रमों के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, धनात्मक विषम पूर्णांकों के अनंत अनुक्रम को (1, 3, 5, 7, ...) के रूप में लिखा जाता है। चूंकि इलिप्सिस के साथ अनुक्रमों को नोट करना अस्पष्टता की ओर जाता है, पारंपरिक अनंत अनुक्रमों के लिए लिस्टिंग सबसे उपयोगी है जिसे उनके पहले कुछ तत्वों द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है। अनुक्रम को निरूपित करने के अन्य तरीकों की चर्चा निम्नलिखित उदाहरणों में की गई है।

उदाहरण

वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।

अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।

फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)^[1]

अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, $π$ , 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है। एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।

पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।^[3]

अनुक्रमण

अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक।ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है $(2n)_{n\in \mathbb {N} }$ , वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है $(n^{2})_{n\in \mathbb {N} }$ वेरिएबल n को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।

यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है।यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका nth तत्व चर द्वारा दिया गया है $a_{n}$ ।उदाहरण के लिए:

{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{st element o

[1]

[2]

[3]

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 === उदाहरण ===
 [[File:Fibonacci blocks.svg|thumb|वर्गों के साथ एक टाइलिंग जिनके पक्ष लंबाई में क्रमिक फाइबोनैकि संख्या हैं।]]
-प्राइम नंबर 1 से अधिक प्राकृतिक संख्याएं हैं जिनमें कोई दिव्य नहीं है, लेकिन 1 और खुद हैं।इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से अनुक्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) मिलता है।प्राइम नंबरों का व्यापक रूप से गणित में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में जहां उनसे संबंधित कई परिणाम मौजूद हैं।
+अभाज्य संख्याएँ वे प्राकृत संख्याएँ होती हैं जो 1 से बड़ी होती हैं जिनका कोई भाजक नहीं बल्कि 1 और स्वयं होते हैं। इन्हें उनके प्राकृतिक क्रम में लेने से क्रम (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...) प्राप्त होता है। गणित में अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, जहाँ उनके साथ कई परिणाम जुड़े होते हैं।
-फाइबोनैचि संख्या में पूर्णांक अनुक्रम शामिल है, जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग हैं।पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) हो।<ref name=":0" />
+फाइबोनैचि संख्याओं में पूर्णांक अनुक्रम होते हैं जिनके तत्व पिछले दो तत्वों का योग होते हैं। पहले दो तत्व या तो 0 और 1 या 1 और 1 हैं ताकि अनुक्रम (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...)<ref name=":0" />
-अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में तर्कसंगत संख्या, वास्तविक संख्या और जटिल संख्याओं से बने लोग शामिल हैं।उदाहरण के लिए, अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...), उदाहरण के लिए, नंबर 1 पर पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को तर्कसंगत संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (जैसे कि इसके माध्यम सेदशमलव विस्तार)।एक अन्य उदाहरण के रूप में,{{pi}}अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है।एक संबंधित अनुक्रम दशमलव अंकों का अनुक्रम है {{pi}}, वह है, (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...)।पूर्ववर्ती अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई भी पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से समझ में आता है।
+अनुक्रमों के अन्य उदाहरणों में परिमेय संख्याएं, वास्तविक संख्याएं और सम्मिश्र संख्याएं शामिल हैं। अनुक्रम (.9, .99, .999, .9999, ...) उदाहरण के लिए संख्या 1 तक पहुंचता है। वास्तव में, प्रत्येक वास्तविक संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में लिखा जा सकता है (उदाहरण के लिए इसके दशमलव प्रसार द्वारा)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, अनुक्रम की सीमा (3, 3.1, 3.14, {{Pi}}, 3.1415, ...) है, जो बढ़ रही है। एक संबंधित अनुक्रम π के दशमलव अंकों का क्रम है, अर्थात, (3, 1, 4, 1, 5, 9, . . . ) पिछले अनुक्रम के विपरीत, इस अनुक्रम में कोई पैटर्न नहीं है जो निरीक्षण द्वारा आसानी से देखा जा सकता है।
 पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में पूर्णांक अनुक्रमों के उदाहरणों की एक बड़ी सूची शामिल है।<ref>[https://oeis.org/wiki/Index_to_OEIS Index to OEIS], On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 2020-12-03</ref>
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 === अनुक्रमण ===
-अन्य सूचनाएं उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकती हैं जिनके पैटर्न को आसानी से अनुमानित नहीं किया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनके पास कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि अंक{{pi}}।ऐसा एक संकेतन एन के एक फ़ंक्शन के रूप में nth शब्द की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र को लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करता है, और एक सबस्क्रिप्ट शामिल करता है जो मानों के सेट को दर्शाता है जो n ले सकता है।उदाहरण के लिए, इस संकेतन में सम संख्याओं के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>।वर्गों के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math>।चर n को एक सूचकांक कहा जाता है, और मूल्यों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।
+अन्य संकेतन उन अनुक्रमों के लिए उपयोगी हो सकते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान नहीं लगाया जा सकता है या उन अनुक्रमों के लिए जिनका कोई पैटर्न नहीं है जैसे कि π के अंक।ऐसा ही एक संकेतन n के कार्य के रूप में nवें पद की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र लिखना है, इसे कोष्ठक में संलग्न करना, और एक सबस्क्रिप्ट भी शामिल है जो n के मानों के सेट को दर्शाता है। उदाहरण के लिए इस अंकन में सम संख्याओं के अनुक्रम को इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(2n)_{n\in\mathbb N}</math>, वर्गों का क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है <math>(n^2)_{n\in\mathbb N}</math> वेरिएबल ''n'' को एक इंडेक्स कहा जाता है और मानों का सेट जो इसे ले सकता है उसे इंडेक्स सेट कहा जाता है।
 यह अक्सर इस संकेतन को व्यक्तिगत चर के रूप में एक अनुक्रम के तत्वों के इलाज की तकनीक के साथ संयोजित करना उपयोगी होता है।यह अभिव्यक्ति की तरह पैदावार करता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, जो एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका nth तत्व चर द्वारा दिया गया है <math>a_n</math>।उदाहरण के लिए:
@@ Line 38: / Line 38: @@
 &\;\; \vdots
 \end{align}</math>
-कोई अलग -अलग चर का उपयोग करके एक ही समय में कई अनुक्रमों पर विचार कर सकता है;उदा। <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> की तुलना में एक अलग अनुक्रम हो सकता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>।यहां तक कि अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार कर सकते हैं: <math>((a_{m, n})_{n\in\mathbb N})_{m\in\mathbb N}</math> एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका mth शब्द अनुक्रम है <math>(a_{m, n})_{n\in\mathbb N}</math>।
+विभिन्न चरों का उपयोग करके एक ही समय में एकाधिक अनुक्रमों पर विचार किया जा सकता है। जैसे <math>(b_n)_{n\in\mathbb N}</math> से भिन्न क्रम हो सकता है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> . अनुक्रमों के अनुक्रम पर भी विचार किया जा सकता है: <math>((a_{m, n})_{n\in\mathbb N})_{m\in\mathbb N}</math> एक अनुक्रम को दर्शाता है जिसका ''m'' वां पद अनुक्रम है <math>(a_{m, n})_{n\in\mathbb N}</math> .
-सबस्क्रिप्ट में एक अनुक्रम के डोमेन को लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की सीमा को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम कानूनी मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकते हैं।उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि के अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math>।सीमा <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति दी जाती है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, क्रमशः ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या अनंत।उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>, और अनंत पर एक अतिरिक्त शब्द नहीं है।क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और के रूप में भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math>।
+अनुक्रम के क्षेत्र को सबस्क्रिप्ट में लिखने का एक विकल्प उन मूल्यों की श्रेणी को इंगित करना है जो सूचकांक अपने उच्चतम और निम्नतम वैध मूल्यों को सूचीबद्ध करके ले सकता है। उदाहरण के लिए, संकेतन <math>(k^2)_{k = 1}^{10}</math> वर्गों के दस-अवधि अनुक्रम को दर्शाता है <math>(1, 4, 9, \ldots, 100)</math> . सीमाएं <math>\infty</math> तथा <math>-\infty</math> अनुमति है, लेकिन वे सूचकांक के लिए मान्य मूल्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, केवल ऐसे मूल्यों का सर्वोच्च या न्यूनतम। उदाहरण के लिए, अनुक्रम <math>(a_n)_{n = 1}^\infty</math> अनुक्रम के समान है <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math> और इसमें "अनंत पर" एक अतिरिक्त शब्द नहीं है। क्रम <math>(a_n)_{n = -\infty}^\infty</math> एक द्वि-अनंत अनुक्रम है, और इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है <math>(\ldots, a_{-1}, a_0, a_1, a_2, \ldots)</math> .
-ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है।वह है, एक बस लिखता है <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए।अक्सर, इंडेक्स k को 1 से the से चलाने के लिए समझा जाता है।हालाँकि, अनुक्रम अक्सर शून्य से शुरू होते हैं, जैसे
+ऐसे मामलों में जहां अनुक्रमण संख्याओं के सेट को समझा जाता है, सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को अक्सर छोड़ दिया जाता है। <math>(a_k)</math> एक मनमाना अनुक्रम के लिए। अक्सर, सूचकांक k 1 से अनंत तक होता है, जिसे अंतिम माना जाता है वह भिन्न होता है। हालांकि, अनुक्रमों को अक्सर शून्य से शुरू करके अनुक्रमित किया जाता है। जैसे
 :<math>(a_k)_{k=0}^\infty = ( a_0, a_1, a_2, \ldots ).</math>
-कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांक के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न को आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।इन मामलों में, सूचकांक सेट को पहले कुछ अमूर्त तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से निरूपित किया जा सकता है।
+कुछ मामलों में, अनुक्रम के तत्व स्वाभाविक रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम से संबंधित होते हैं जिनके पैटर्न का आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इन मामलों में, सूचकांक सेट को पहले कुछ सार तत्वों की सूची द्वारा निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विषम संख्याओं के वर्गों के अनुक्रम को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से दर्शाया जा सकता है।
 * <math>(1, 9, 25, \ldots)</math>
@@ Line 51: / Line 51: @@
 * <math>(a_{k})_{k=1}^\infty, \qquad a_k = (2k-1)^2</math>
 * <math>\left((2k-1)^2\right)_{k=1}^\infty</math>
-इसके अलावा, यदि अनुक्रमण सेट को प्राकृतिक संख्याओं के बारे में समझा जाता है, तो सदस्यता और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें नोटेशन में छोड़ दिया जा सकता है।दूसरी और तीसरी गोलियों में, एक अच्छी तरह से परिभाषित अनुक्रम है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह अभिव्यक्ति द्वारा निरूपित अनुक्रम के समान नहीं है।
+इसके अलावा, सबस्क्रिप्ट और सुपरस्क्रिप्ट को तीसरे, चौथे और पांचवें अंकन में छोड़ा जा सकता है, अगर इंडेक्सिंग सेट को प्राकृतिक संख्या के रूप में समझा जाता है। दूसरी और तीसरी गोलियों में एक सुपरिभाषित क्रम होता है <math>(a_{k})_{k=1}^\infty</math>, लेकिन यह व्यंजक द्वारा दर्शाए गए अनुक्रम के समान नहीं है।
 === पुनरावृत्ति द्वारा एक अनुक्रम को परिभाषित करना ===

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